Многоуровневая система задач "квадратные уравнения" с параметрами

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Самарской области основная общеобразовательная школа № 21 города Новокуйбышевска городского округа Новокуйбышевск Самарской области (ГБОУ ООШ № 21 г. Новокуйбышевска)

Методическая  разработка:

«Методические особенности обучения решению задач с параметрами в условиях перехода к новым образовательным стандартам»

по теме:

Многоуровневая система задач “Квадратные уравнения” с параметром  

Выполнила:

Дмитриева Людмила Владимировна

учитель математики

 ГБОУ ООШ № 21 г. Новокуйбышевска.

Г. Самара

2015г.

Пояснительная записка

1.	ФИО (полностью)	Дмитриева Людмила Владимировна
2.	Место работы	ГБОУ ООШ № 21
3.	Должность	Учитель математики
4.	Предмет	алгебра
5.	Класс	9        класс

      6. Цель:  Научить решать уравнения второй степени с параметрами и ознакомить с методами решения подобных заданий

    7. Задачи:

- обучающие: анализировать и осмысливать текст задачи, самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели, переформулировать условие, строить логическую цепочку рассуждений, критически оценивать полученный ответ, осознанное и произвольное построение речевого высказывания, выбор наиболее эффективного способа решения задач, постановка и формулирование проблемы, выдвижение гипотез и их обоснование, смысловое чтение;

-развивающие: целеполагание, планировать свою деятельность в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности, саморегуляция, через решение задач, развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, интеллектуальные качества: способность к “видению” проблемы, оценочным действиям, самостоятельности, гибкости мышления.;

-воспитательные: смыслообразование, умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, воспитывать ответственность и аккуратность.

Основным направлением модернизации математического школьного образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение единого государственного экзамена.  

    Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.

    Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках.

Задачи с параметрами являются непривычными, сложными для многих. Они представляют сложность в логическом, техническом и психологическом плане.

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры учащихся.

Отметим, что задачи с параметрами (в частности уравнения и неравенства с параметрами) обладают большим потенциалом в развитии исследовательских умений таких, как умение наблюдать, анализировать, выдвигать и доказывать гипотезу, обобщать и др. Данные задачи играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры как у школьников, так и у студентов.

Проанализировав диссертационные исследования, учебные пособия и программы (посвященные задачам с параметрами), а также государственные образовательные стандарты отметим следующее :

Во-первых, задачи с параметрами полностью отсутствуют в учебных программах основной средней школы.

Во-вторых, задачи с параметрами являются наиболее сложными в техническом плане (как с позиции школьников, так и с позиции учителей математики).

В-третьих, овладение школьниками методами решения задачи с параметрами ведет к более глубокому пониманию всего школьного курса математики.

В-четвертых, благодаря своей высокой диагностической и прогностической ценности задачи с параметрами:

·                      развивают у учащихся логическое мышление;

·                      формируют математическую культуру учащихся;

·                      помогают учащимся в овладении техники исследования;

·                      позволяют учителю выявить нестандартность мышления учащегося;

·                      наталкивают учащихся проводить элементарные математические рассуждения;

·                      открывают перед учащимися значительное число эвристических приемов.

Задачи с параметрами позволяют сформировать ключевые компетенции, применимые как в учебной, так и в будущей профессиональной деятельности:

·                      использование приобретенных знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни;

·                      проведение анализа ситуаций;

·                      планирование своей деятельности;

·                      осуществление самоконтроля;

·                      планирование и выбор более рационального решения;

·                      работа с учебной и научной литературой;

·                      систематизация знания по теме, решение и составление аналогичных задачи и др.

Целенаправленное использование задач с параметрами позволяет развивать и диагностировать развитие ряда предметных компетенций учащихся.

1.                   Выполнять вычисления и преобразования.

2.                   Решать уравнения и неравенства, в том числе:

·                      находить область допустимых значений;

·                      приводить дроби к общему знаменателю;

·                      приводить подобные слагаемые;

·                      производить проверку принадлежности корней уравнения области допустимых значений;

·                      применять метод группировки слагаемых;

·                      свободно владеть формулами сокращенного умножения и др.

1.                   Выполнять действия с функциями.

2.                   Выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.

3.                   Строить и исследовать простейшие математические модели.

Формируемые  УУД в рамках ФГОС при решении задач с параметрами:

№	Этапы решения задач	Формируемые УУД
1.	Анализ условия (введение буквенных обозначений)	-        целеполагание; -        выделение существенной информации; -        формулирование задачи и прогнозирование способов решения; -        абстрагирование; -        аналогия; -        классификация(типологизация); -        знакосимволические действия.
2.	Схематическая запись условия задачи в виде таблицы, схемы, графа с введенными буквенными обозначениями	-        планирование; -        систематизация; -        знакосимволические действия; -        моделирование.
3.	Составление модели (поиск аналога, привлечение из математики или физики известного закона)	-        создание способа решения залачи; -        корректировка условия; -        моделирование в графическом виде.
4.	Решение уравнения, системы и т.д. (поиск неизвестного)	-        анализ и выявление существенной информации; -        выведение следствий; -        построение цепи рассуждений; -        выдвижение и проверка гипотез; -        преобразование модели.
5.	Интерпретация модели (проверка и оценка решений, корней)	-        анализ; -        выведение следствий; -        конкретизация; -        знакосимволическое действие (интерпретация).
6.	Исследование (обобщение задачи или способа её решения для видоизмененных условий, другие подходы к решению)	-        анализ; -        синтез; -        поиск аналогов; -        построение цепи рассуждений; -        умение сжато передать содержание; -        умение применять схемы, символы, модели; -        создание способов решения проблем поискового, творческого характера.
7.	Рефлексия	-        смыслообразование; -        планирование; -        контроль; -        коррекция; -        оценка; -        волевая саморегуляция; -        готовность к саморазвитию, к самообразованию; -        умение самостоятельно определять цели своего обучения; -        ставить и формулировать для себя новые задачи; -        развивать мотивы и интересы своей образовательной деятельности.

   Иногда уравнения (неравенства), кроме букв, обозначающих неизвестные величины, содержат другие буквы, которые называются параметрами. Параметр-это переменная величина. Термин «параметр» происходит от греческого слова «parametron», означающего «отмеривающий».

     К задачам с параметрами, рассматриваемым в школьном курсе, можно отнести, например, поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров.

Пусть дано равенство с переменными   х, а:  f (x; а) = 0. Если ставится задача для каждого действительного значения  а  решить это уравнение относительно  х, то уравнение  f  (х; а) = 0  называется уравнением с переменной  х  и параметром  а. Решить уравнение с параметром  а – это значит,  для каждого значения  а  найти значение  х,  удовлетворяющие этому уравнению.

Среди множества задач с параметрами рассмотрим один класс задач, связанный с количеством решений уравнения. Задачи такого вида формулируются в следующем виде: найти все значения параметра, при которых уравнение имеет конечное множество решений (ровно одно, ровно два и т.д.), бесконечное множество решений (интервал, отрезок, луч), не имеет решений.

 Многоуровневая система задач на решение квадратных уравнений с параметрами

Базовые задачи:

1.      Решить уравнение x² – (2p – 2)x + p² – 2p = 0.

Решение.

Это квадратное уравнение отличается от квадратных уравнений тем, что в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные выражения. Такие уравнения называют уравнениями с буквенными коэффициентами или уравнения с параметрами. В данном случае параметр (буква) p входит в состав второго коэффициента и свободного члена уравнения.

a = 1,         b = - (2p -2) = - 2p + 2,          c = (p² – 2p)

Найдем дискриминант:

D = (-2p + 2)² – 4 * 1 * (p² – 2p) = (4p² – 8p + 4) – (4p² – 8p) = 4.

Далее,

x₁ =  =  = p;              x₂ =  =  = p – 2.

Ответ: p;  p – 2.

2.      Решите уравнение с параметром p: x² – (2p – 2)x + p² – 2 p = 0.

3.      Решите уравнение с параметром: (p – 4)x² + (2p – 4)x +p = 0.

4.      При каких значениях параметра p уравнение x² + 2x + 3 = p не имеет корней?

5.      При каких значениях параметра p уравнение x² + 4x – 6 = p имеет хотя бы один корень?

6.      При каких значениях параметра p уравнение – x² + 4x + 6 = p:

a)   не имеет корней?

b)   имеет один корень?

c)   имеет два корня?

7.При каких значениях параметра  а уравнение

x²+x+=0

 не имеет решений?

Решение:

При  а=-5 уравнение не имеет смысла.

1.                   D= b²-4ac=1-4==.

Квадратное уравнение не имеет корней при  D<0<0>0-7а+9=0; а=;

  а;+∞).

Ответ:;+∞).

8. При каких значениях параметра а уравнение

(3а-1)x²+2аx +3а-2=0

имеет два действительных различных корня?

Решение.

1. Если 3а -1=0, т. е. 3а=1; а=, то уравнение линейное  х+1-2=0;

  х-1=0 имеет единственный корень

2. При    а≠       =k²-ac=a²-(3a-1)(3a-2)= a²- 9a²+3a+6a-2=-8a²+9a-2,

квадратное уравнение имеет два различных корня, если  >0,

-8а²+9а-2>0 8а²-9а+2<0,  а_1,2==.

Ответ:  ( ;)( ;).

9.Найти все значения a, при которых уравнение

имеет  два различных действительных корня, из которых только один принадлежит интервалу (1;7).

Решение:

Квадратное уравнение  имеет  один корень внутри интервала (M;A), а другой вне этого интервала  тогда и только  тогда, когда  f(M)∙f(A)<0.

f(M)=f(1)=a-5, f(A)=f(7)=7+a, получим неравенство(a-5)(a+7)<0 , решая его методом интервалов, получим: -7<a<5.

Ответ:  -7<a<5.

10.Найти все значения a, при которых уравнение

   имеет только целые корни.

Решение:

Пусть , тогда уравнение линейное: 3x+3=0, x=-1. Поэтому удовлетворяет условию  задачи.

Пусть , тогда уравнение равносильно уравнению .

Если x_1, x₂- целые корни уравнения,  то, по теореме Виета,  их сумма -4-

их произведение  2a+4+3/a - целые числа,  откуда следует, что их сумма, т.е. 2a -целое число.

Пусть, 2а=n, где , тогда , причем - целое число. Отсюда следует, что n- делитель числа 6, т.е. n может принимать значения из множества чисел .

Проверка.  При n=1 a=,  уравнение x²+10x+11=0, корни иррациональные;

При n= - 1; a= - , уравнение x² – 2x – 3=0, x₁=-1, x₂=3 - целые корни;

при n=2 a=1, x²+7x+9=0, корни иррациональные; при n=-2 a=-1, x²+x-1=0, корни иррациональные;  при n=3 a=, x²+6x+9=0, x=-3–целый; при n=-3

a= -    x²+2x -1=0-  корни иррациональные.

Проверка показывает, что только при n=-1 и n=3 все корни являются целыми числами. Ответ: .

Модифицированные задачи:

1. Решить уравнение px² + (1 – p)x – 1 = 0.

Решение.

Это также уравнение с параметром p, но, в отличие от задачи базового уровня, его нельзя сразу решать по формулам нахождения корней квадратного уравнения. Дело в том, что указанные формулы применимы к квадратным уравнениям, а про заданное уравнение мы этого пока сказать не можем. В самом деле, а вдруг p = 0? Тогда уравнение примет вид

0 * x² + (1 – 0)x – 1 = 0,

т.е. x – 1 = 0, откуда получаем: x = 1. Вот если точно известно, что p ≠ 0, то можно применять формулы корней квадратного уравнения:

x_1;2 =  =  =  =

Ответ: если p = 0 или p = -1, то x = 1; если p ≠ 0 и p ≠ -1, то x₁ = 1, x₂ = - 1/p.

2. При каких значениях a сумма квадратов двух различных корней

уравнения         равна 6?

Решение. Уравнение имеет два различных корня, поэтому дискриминант положителен:        

Откуда         

Пусть корни равны  и . Имеем:

Получаем квадратное уравнение    корни которого  и . Значение  не годится, так как не удовлетворяет условию .

Значение    удовлетворяет этому условию и поэтому подходит.

Ответ:

3.      Дано уравнение  x² – (2p² – p – 6)x + (8p – 1) = 0. Известно, что сумма его корней равна -5. Найдите значения параметра p.

4.      При некотором значении параметра p корни квадратного уравнения 2px² + 5x + p + 1 = 0 являются взаимно обратными  числами. Найдите эти корни.

5.      Разность корней уравнения 2x² – 15x + p = 0 равна 2,5. Найдите значение параметра p и корни уравнения.

6.      Докажите, что не существует такого значения параметра p, при котором уравнение x² – px + p = 0 имело бы только один корень.

7.      При каких значениях параметра p уравнение (6 – p)x² + (2p + 6)(x + 12) = 0 является неполным квадратным уравнением? Решить уравнение при найденных значениях параметра.

НЕСТАНДАРТНЫЕ  ЗАДАЧИ :

1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых среди корней уравнения

ах²+x(а+4)+а+1=0

имеется  ровно один отрицательный.

Решение.

1. При  а=0 уравнение линейное 4х+1=0х=-  - удовлетворяет условию задачи.

2. При  а≠0  D=b²-4ac=(a+4)²-4a(a+1)=a²+8a+16-4a²-4a=-3a²+4a+16;

а) D=0-3a²+4a+16=0;3a²-4a-16=0;

a===.

Пусть,   а=, тогда х=

Пусть   a=, тогда х= - удовлетворяет условию задачи.

б) Уравнение имеет корни разных знаков тогда и только тогда, когда

 ас<0, т.е. <0, a(-1;0).

в) Один из корней равен нулю, если c=0 т.е. a+1=0, a=-1, тогда

-x²+3x=0,  x²-3x=0, x(x-3)=0.

x₂=3-  не удовлетворяет условию задачи.

Ответ:(-1;0).

2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

х²-(|а+5|-|а-5|)х+(а-12)(а+12)=0

имеет два различных отрицательных корня.

Решение

Квадратное  уравнение имеет два разных  отрицательных корня, если 

Рассмотрим систему из второго и третьего условий:

1.(a-12)(a+12)>0 при a(-∞;-12)(12;+∞).

2. |a+5|-|a-5|<0.

Решив второе  неравенство методом интервалов, получим a<0, решение системы неравенств: a(-∞;-12).

Решим систему:

(a+5)²-2|a-5||a+5| +(a-5)²-4a²+576>0;

a²+50-4a²+576-2(a²-25)=2a²-2a²-4a²+676=-4a²+676;

-4a²+676>0;a²-169<0; (a-13)(a+13)<0, отсюдаa(-13;-12)

Ответ:-13а<-12.

3. Найти все значения a , при которых уравнение

имеет два действительных корня  и  такие , что.

Решение

Квадратное уравнение имеет корни разных знаков, принадлежащие интервалу (-4; 4), тогда и только тогда, когда выполняются условия:

Решая систему, получаем .               Ответ:

4. При каком значении параметра а уравнение (а + 4х – х² – 1)(а + 1 - |х – 2|) = 0 имеет                        а) один корень;       б) два корня;       в) три корня;        г) четыре корня;                     д) не имеет корней?

Решение:

Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Имеем 1)  а + 4х – х² – 1 =0      или     2)  а + 1 - |х – 2| = 0.

1)  а + 4х – х² – 1 = 0    перепишим уравнение    4х – х² – 1 = а и с помощью графика найдём  количество корней этого уравнения:  при а < -3 уравнение не имеет корней;  при а = -3 уравнение имеет единственный корень, а при а > -3 – два корня.

2)  а + 1 - |х – 2| = 0.  Рассмотрим уравнение  а = |х – 2| - 1:  при а < -1 – корней нет, при       а = -1 – один корень, а при а > -1 – два корня.

Анализируя количество корней каждого из множителей получаем ответ:

При а < - 3  уравнение не имеет решения.  

При а = - 3 в уравнении один корень.  

При   - 3 < а < -1  и при а = 1 уравнение имеет два корня.

При  а = - 1 уравнение имеет три корня.

При а (-1; 1)(1; +∞) в уравнении четыре корня.

5.  При каких значениях  уравнение  имеет хотя бы один положительный корень?

Решение.

Уточним формулировку задачи. Если один корень положителен, то другой может быть отрицательным,  равным нулю  или тоже положительным.

I.                   Один корень положителен, а другой отрицательный.  Рис. 12  позволяет понять, что для решения этой задачи следует использовать систему (3) (=0). Таким образом,  , откуда .

 

II.                Один корень положителен, а второй равен нулю. Рис.13 дает возможность записать для этого случая систему и решить ее: 

 

III.             Оба корня положительны. Здесь есть возможность использовать систему (2) или теорему Виета. Решим задачу с использованием теоремы Виета.

Объединяя все три случая, приходим к окончательному ответу.

Ответ. 

6.При каких значениях параметра  уравнение  имеет корни разных знаков, удовлетворяющие условию ?

Решение.

Рассмотрим “верные” и  “неверные” параболы на рис. 14.Имеем 

Ответ. .

7.При каких значениях а корни уравнения x²-2x-a²+1=0 лежат между корнями уравнения

 x²-2(a+1)x+a(a-1)=0?

            Пусть f(x)=x²-2x-a²+1, g(x)=x²-2(a+1)x+a(a-1).

            f(x)=0  при x₁=1-a, x₂=1+a.

            g(x)=0 при x₃=a+1-, x₄=a+1+, где a >- .

            Условию задачи удовлетворяют все значения а, при которых

     g(x₁) < 0,                              (a + 0,25) (a - 1) < 0,

        g(x₂)< 0,    т.е.                     -3a-1 < 0,

        a > -                                 a > - .

 

            -0,25 < a < 1,             т.е. а (-0,25; 1).

            a > -   

8. Найдите все значения a, при каждом из которых один из корней уравнения

в два раза больше другого.

Решение. Прежде всего, уравнение должно иметь два различных корня, поэтому его дискриминант положителен:

Откуда 

Пусть корни нашего уравнения равны t и 2t. По теореме Виета имеем:

Выразим t  из первого уравнения, подставим во второе и после простых преобразований

получим:   

то есть . Это значение a удовлетворяет неравенству  и потому годится.

Ответ: .

9.При каких a уравнения имеют общий корень?

Решение. Предположим, что  - общий корень данных уравнений. Имеем систему:

Вычитая из первого уравнения второе, получим:

Отсюда следует, что  или. Надо рассмотреть оба этих случая.

Если , то оба уравнения совпадают: . Это уравнение не имеет корней,поэтому  не годится. 

Если , то из любого равенства системы получаем . При данном a исходные   уравнения принимают вид:   Проверкой убеждаемся, что    в самом деле является общим корнем данных уравнений.

Ответ: .

10. Найти все значения параметра , при которых оба корня уравнения  будут меньше 1.

Ответ. 

11. При каких значениях параметра  все корни уравнения  удовлетворяют условию 

Ответ. 

12. Пусть уравнение  имеет корни , . Найти все значения параметра , такие, что  и  удовлетворяют условию 

Ответ. 

13. Найти все значения , при которых больший корень уравнения  больше 100.

Ответ. 

14. Найти все значения параметра , при которых все корни уравнения  больше 

Ответ. 

Литература

1.      Азаров А.И., Барвенов С.А., Федосенко В.С. Методы решения задач с параметрами. Математика для старшеклассников. Минск: «Аверсэв», 2003.

2.      В.С. Высоцкий, Задачи с параметрами для подготовки к ЕГЭ

3.      Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. — К.: РИА "Текст"; МП "ОКО", 1992. -290 с.

4.      М.И. Сканави Сборник задач по математике для поступающих во втузы.- М., 1994.-528с.

5.       Математика. 9-й класс. Подготовка к ГИА-2013 : учебно – методическое пособие / Под ред . Ф. Ф. Лысенко , С. Ю. Кулабухова . – Ростов –на Дону: Легион , 2012. – 288 с. – (ГИА-9)

6.      Родионов Е.М. Решение задач с параметрами. М.: МП «Русь-90»,1995

7.      Шевкин А.В. Задачи с параметром: Линейные уравнения и их системы. /Серия «Математика. Проверь себя». М.: ООО «Русское слово – учебная книга», 2003.