Вариант 1
1.В треугольнике ABC AC=BC. Внешний угол при вершине B равен 146∘ . Найдите угол C . Ответ дайте в градусах.
2.В треугольнике ABC угол C равен 90∘ , AC=12 , tgA= . Найдите AB .
3.Высота BH ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=44 и HD=11. Найдите площадь ромба.
4.Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка K — середина стороны AB. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
5.Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=10 и MB=18 . Касательная к описанной окружности треугольника ABC , проходящая через точку C , пересекает прямую AB в точке D . Найдите CD .
6.Укажите номера верных утверждений.
1)В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
2)В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.
3)Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.
7.Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 2√5, √11 и 2 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90°.
8.В треугольнике ABC проведена биссектриса AL , угол ALC равен 112∘ , угол ABC равен 106∘. Найдите угол ACB . Ответ дайте в градусах.
9.В треугольнике ABC угол C равен 90∘, sinA=45, AC=9. Найдите AB.
10.Сторона AC треугольника ABC проходит через центр окружности. Найдите ∠C, если ∠A=30∘. Ответ дайте в градусах.
Вариант 2
1В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=65, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 1321−−√. Найдите sin∠ABC.
2. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 26:1, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 7.
3. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.
4. Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 36.
5. В треугольнике ABC угол C равен 90∘ , BC=2 , sinA=0,2 . Найдите AB .
6. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.
7. Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороныBC. Точка F — середина стороныCD. Докажите, что BF — биссектриса углаABC.
8. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 34, а основание равно 60. Найдите площадь этого треугольника.
9. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3 , если ∠1=22∘ , ∠2=72∘ . Ответ дайте в градусах.
10. В трапеции ABCD AD=4, BC=1, а её площадь равна 35. Найдите площадь треугольника ABC.
Вариант 3
1. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 28 и 100.
2. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 6.
3. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=104∘. Найдите острый угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
4. Сторона ромба равна 8, а расстояние от центра ромба до неё равно 2. Найдите площадь ромба.
5. В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 48 и 3, а сумма углов при основании AD равна 90∘ . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD , если AB=3 .
6. Центральный угол AOB опирается на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 60°. Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 8.
7. Площадь прямоугольного треугольника равна 722√ 3. Один из острых углов равен 30∘ . Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.
8. Площадь ромба равна 30, а периметр равен 24. Найдите высоту ромба.
9. Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 39 и 42, вписаны в угол с вершиной A . Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K , пересекает стороны угла в точках B и C . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC .
10. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 40 и 85.
Вариант 4
1. Найдите тангенс угла AOB.
2. В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и 9, а сумма углов при основании AD равна 90∘ . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD , если AB=10 .
3. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади четырёхугольника KPCM.
4. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=21 и CH=8. Найдите высоту ромба.
5. Высота равностороннего треугольника равна 15√ 3. Найдите его периметр.
6. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 92∘ , угол CAD равен 60∘ . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
7. В треугольнике ABC BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=84 и BC=BM . Найдите AH .
8. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD=16. Докажите, что треугольники CBD и ADB подобны.
9. Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точкуE. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
10. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 7:6, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 48.
Вариант 5
1. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 39 и 2.
2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45∘ . Найдите площадь треугольника.
3. Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=1 и HD=63. Диагональ параллелограмма BD равна 65. Найдите площадь параллелограмма.
4. На стороне AB треугольника ABC взята такая точка D так, что окружность, проходящая через точкиA , C и D , касается прямой BC . Найдите AD , если AC=40 , BC=45 и CD=24 .
5. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K . Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AKD .
6. Периметр квадрата равен 116. Найдите площадь квадрата.
7. Основания трапеции равны 1 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делии среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
8. Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 31.
9. ABCDEFGH – правильный восьмиугольник. Найдите угол EFG . Ответ дайте в градусах.
10. Точка H является основанием высоты BH, проведенной из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH=16.
Вариант 6
1. В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S . Найдите NS , если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ=44 , SQ=22 .
2. Катеты прямоугольного треугольника равны √15 и 1 . Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
3. В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 203√ , а сторона AB равна 40 . Найдите cos∠B .
4. Касательные к окружности с центром O в точках A и B пересекаются под углом 76∘. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.
5. В прямоугольнике одна сторона равна 65, а диагональ равна 97. Найдите площадь прямоугольника.
6. В параллелограмме KLMN точка A — середина стороны LM. Известно, что KA=NA. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
7. В выпуклом четырехугольнике ABCD AB=BC, AD=CD , ∠B=100∘ , ∠D=104∘ . Найдите угол A . Ответ дайте в градусах.
8. Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M . Найдите MC , если AB=16 , DC=24 , AC=25 .
9. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 25, а основание равно 30. Найдите площадь этого треугольника.
10. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите AB, если BC=34.
Вариант 7
1. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3:1, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 41.
2. Сторона ромба равна 29, а диагональ равна 42. Найдите площадь ромба.
3. Точка H является основанием высоты BH, проведенной из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH=13.
4. Площадь прямоугольного треугольника равна . Один из острых углов равен 30∘ . Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.
5. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=8, BC=4.
6. Точка O – центр окружности, на которой лежат точки P, Q и R таким образом, что OPQR – ромб. Найдите угол ORQ. Ответ дайте в градусах.
7. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL , угол ALC равен 37∘ , угол ABC равен 25∘ . Найдите угол ACB . Ответ дайте в градусах.
8. В треугольнике ABC BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=97 и BC=BM . Найдите AH .
9. Площадь параллелограмма ABCD равна 12. Точка E – середина стороны AB . Найдите площадь трапеции EBCD .
10. В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите большее основание.
Вариант 8
1.Найдите тангенс угла AOB
.
2. Высоты AA1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы CC1A1 и CAA1 равны.
3. Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=17 и MB=19 . Касательная к описанной окружности треугольника ABC , проходящая через точку C , пересекает прямую AB в точке D . Найдите CD .
4. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 2.
5. В треугольнике ABC угол C равен 90∘ , sinA=0,75 , AC=√7 . Найдите AB .
6. Площадь параллелограмма ABCD равна 136. Точка E – середина стороны AB . Найдите площадь трапеции EBCD .
7. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF=24, BF=32.
8. Касательные к окружности с центром O в точках A и B пересекаются под углом 82∘. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.
9. У треугольника со сторонами 16 и 2 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?
10. Длина хорды окружности равна 140, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 24. Найдите диаметр окружности.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.