Моделирование в процессе решения текстовых задач

МБОУ «Вечерняя (сменная) средняя общеобразовательная школа» г. Бологое Тверской области

Моделирование в процессах решения текстовых задач

Учитель математики Иванова С.А.

г. Бологое – 2015 г.

Термины «модель» и «моделирование» имеют своим источником латинское слово modus, modulas – мера, образ, способ. В современной образовательной системе моделирование является основным методом научного познания. Вместе с тем моделирование в обучении является и главным средством развития личности, особенно в плане интеллектуализации психической деятельности. В проекте общегосударственного стандарта по математике присутствует лишь фраза о том, что выпускник средней школы «должен получить представление о методе математического моделирования как способе научного познания». А между тем моделирование является основной целью школьного математического образования и, значит, определяет его содержание. Вместе с этим моделирование должно стать основным методом и способом математической деятельности. Моделирование является еще и универсальным средством решения проблемных ситуаций в практике. Наконец, формирование умения моделировать является условием интеллектуального развития.

Выделяют следующие признаки модели:

1. Между моделью и оригиналом имеется отношение сходства, форма которого явно выражена и зафиксирована (условие отражения);

2. Модель является заместителем изучаемого объекта (условие репрезентативности);

3. Изучение модели позволяет получить новую информацию об оригинале (условие экстраполяции);

Все модели различными авторами делятся на два больших класса:

1. Материальные (вещественные, реальные)

2. Идеальные (образные, знаковые).

Моделирование в обучении имеет несколько аспектов:

• цель обучения;

• предметное содержание процесса обучения;

• учебное действие, являющееся составной частью деятельности;

• общенаучный метод познания;

• средства обучения.

Использование моделирования позволяет организовать учебную деятельность на более сознательном и продуктивном уровне. Модели используют для замещения изучаемого объекта (понятия) каким-то другим, более удобным и наглядным. Моделированию надо обучать как общему способу учебной деятельности.

В учебной практике применяется следующая схема моделирования реальной проблемной ситуации:

• Формализация – перевод условия задачи на математический язык.

• Решение проблемы как математической задачи (внутримодельное решение);

• Интерпретация – перевод математического решения обратно на язык, на котором была сформулирована исходная проблема.

Рассмотрим решение нескольких задач, чтобы показать, что моделирование намного упрощает решение.

Задача 1. В школьном математическом кружке 18 учеников. В танцевальном на 12 учеников больше, чем в математическом, а в спортивном на 5 учеников меньше, чем в танцевальном. Сколько учеников в спортивном кружке?

В V классе, впервые анализируя условие задачи, его кратко записывают примерно так:

В математическом кружке - 18 учеников. В танцевальном кружке - ? на 12 учеников больше, чем в математическом кружке. В спортивном кружке - ? на 5 учеников меньше, чем в танцевальном кружке.

Такая запись нерациональна, т.к. не раскрывает наглядно зависимости между данными и искомыми величинами и не помогает в выборе действия. Лучше предложить такую модель:

Эта модель дает наглядное представление об отношениях между данными и искомыми. Рассуждения ребят при анализе примерно следующие:

1. В танцевальном кружке учащихся на 12 больше, чем в математическом, т.е. их столько же да еще 12 (и сразу вырисовывается 1 действие: 18 +12=30(уч.)).

2. В спортивном кружке на 5 учащихся меньше, чем в танцевальном, т.е. их столько же, но без 5. И второе действие: 30-5=25 (уч.)

Можно предложить учащимся найти и другой способ решения, рассмотрев еще раз более внимательно ту же модель. Дети видят, что в спортивном кружке (а именно это вопрос задачи) учащихся больше, чем в математическом и определяют на сколько больше (12 – 5 =7 (уч.)), а затем и отвечают на вопрос задачи:

18 + 7 = 25 (уч.)

Задача 2. Из пункта А по реке отправляется плот. Одновременно навстречу ему из пункта В, расположенного ниже по течению относительно пункта А, отправляется катер. Встретив плот, катер сразу поворачивает и идет вниз по течению. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде в 4 раза больше скорости течения реки.

Решение.

Вариант 1.

V – скорость течения реки, и, следовательно скорость движения плота.
- скорость катера в стоячей воде.
- скорость катера против течения реки.
- скорость катера по течению реки.

Далее необходимо составить модель задачи:

И так как катер идет против течения, то его скорость в 3 раза больше скорости плота и он пройдет расстояние в 3 раза большее, чем плот (при одновременном движении пройденные расстояния прямо пропорциональны скоростям). Значит, к моменту встречи плот пройдет 1/4 часть пути от А до В, т.е. .

Обратный путь СВ катер пройдет быстрее в отношении (при движении на одно расстояние времена обратно пропорциональны скоростям ), тогда как плот за это же время проплывет первоначального пути: . И, наконец, всего плот пройдет расстояние . ОТВЕТ: 2/5.

Вариант 2.

Примем время, необходимое плоту на весь путь от А до В равным 1. Тогда катеру, чтобы доплыть из В в А хватит 1/3, а обратно уже 1/5, а в сумме 8/15 всего времени плота. Очевидно, катер за все время лишь 3/4 пути туда и обратно между А и В значит, катер затратил полного времени плота из А в В. Т.к. движение было одновременным, то плот за это же время проплыл 2/5 всего пути.

Задача 3. Мастер и его ученик планировали сообща выполнить некоторую работу за 6 дней. Сначала за дело взялся ученик, но, выполнив 20% задания, он заболел. Остальную работу выполнил мастер. В итоге выполнение задания растянулось на11 дней. За сколько дней мог бы выполнить все задание мастер и за сколько дней ученик, действуя в одиночку, если известно, что количество дней выражается целым числом?

Решение.

Составляем математическую модель.

Обозначим всю работу за 1.

Х дней,

10 дней

а ученик выполнит работу за У дней.

15 дней

Производительность труда мастера - (доля работы за 1 день)

работы

Производительность труда ученика -

работы

Работая вместе они выполнили бы работу за 6 дней

Значит, мастер сделает за 6 дней:

работы

а ученик сделает за 6 дней:

работы

составим уравнение:

(т.к. вместе они выполнят всю работу)

1=1.

Но!

Ученик, трудясь в одиночку, до болезни выполнил 20% задания или 1/5 часть работы и, значит, он потратил 1/5 того времени, которое ему нужно для выполнения всей работы, т.е. дней

дней

А мастер потратил дней.

дней

Они выполнили работу за 11 дней.

3+8=11

Составим уравнение:
или

Таким образом, математическая модель задачи составлена – это система двух уравнений с двумя переменными.

И далее начинается работа с составленной моделью, т.е. решаем систему.

Найдем 2 решения системы (10; 15) и (; 22).

Вторая пара (; 22) нас не устраивает, т.к. по условию задачи количество дней работы выражается целым числом.

Ответ: 10 дней; 15 дней.

Задача 4. Диагональ трапеции перпендикулярна к ее основаниям. Тупой угол, прилежащий к большему основанию, равен 120°, а боковая сторона, прилежащая к нему, равна 7 см. Большее основание равно 12 см. Определить среднюю линию трапеции.

Для составления математической модели задачи нам нужно использовать чертеж той фигуры, которая рассматривается в задаче. При построении такого чертежа надо выполнять ряд требований. Главное из них:

1. Чертеж должен представлять схематический рисунок основного объекта задачи с обозначением всех элементов фигуры и некоторых их характеристик. Если в тексте есть обозначения фигуры и элементов, то они должны быть и на чертеже; если же нет обозначений, то следует воспользоваться общепринятыми.

2. Чертеж должен соответствовать задаче. Если в задаче указан треугольник и при этом не указан его вид (прямоугольный, равносторонний и т.д.) то чертим какой-либо разносторонний треугольник. Если объект – трапеция и не указан вид, то не следует строить равнобедренную или прямоугольную и т.д.

3. Нет необходимости строго выдерживать какой-либо определенный масштаб, однако желательно соблюдать пропорции в построении элементов фигуры. Если сказано АВ – наибольшая сторона АВС, то это должно быть отражено на чертеже. Точно также надо соблюдать параллельность, перпендикулярность и т.д.

4. При построении пространственных фигур необходимо соблюдать все правила черчения таких фигур. Там, где можно и целесообразно, лучше строить какие-либо плоскостные сечения этих фигур.

Вернемся к нашей задаче. Основным ее объектом является трапеция. Причем диагональ ее перпендикулярна к ее основаниям. На это надо обратить внимание учащихся, т.к. если они начнут чертить трапецию обычным способом ( с построения сторон), то обязательно ошибутся. Лучше начать с построения диагонали. А т.к. она перпендикулярна основаниям, то ее надо построить как вертикальный отрезок, то концов отходят 2 горизонтальных отрезка (основания трапеции). Причем (и на это тоже надо обратить внимание учащихся) эти отрезки идут в разные стороны.

Дано: АВСD – трапеция: ВС‖АD, АС – диагональ. АС⊥ВС, ∠ВАD=120°, АВ=7 см. АD =12 см. MN –средняя линия: ВМ=МА, CN=ND.

Найти: MN.

Математическая модель условия задачи составлена.

Решение.

2. - катет прямоугольного треугольника АВС. ∠С=90° ∠А=∠ВАD-∠CAD=

120°- 90°=30°⟹BC= (катет прямоугольного треугольника лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы). ВС=3,5 см.

3. см.

Ответ: 7,75 см.

Задача 5. Объем конуса в 2 раза больше объема вписанного в него шара. Найти угол между образующей и плоскостью основания конуса.

Построим схематическую запись задачи – модель конуса. Для этого проведем сечение конуса с вписанным в него шаром плоскостью, проходящей через ось конуса (осевое сечение). В сечении получим равнобедренный треугольник с вписанной в него окружностью. Т.к. боковая сторона этого треугольника есть образующая конуса, а высота – ось конуса, перпендикулярная к плоскости основания, то угол между боковой стороной и основанием треугольника есть искомый угол между образующей и плоскостью основания. Получаем такую модель задачи (см. рисунок).

Дано: АВМ – осевое сечение вписанного шара.

Найти: ∠МАК.

Решение.

Построенная наглядная модель задачи облегчает поиск и решение задачи.

1. Найду V_kиV_ш.
   
   
   

2. По условию задачи отсюда получаем:

.

3. Из АМК находим

Из АОК находим

Обозначим АК=y, ∠МАК=x получаем .

4. Таким образом имеем:

или - это тригонометрическое уравнение есть модель исходной задачи при условии, что .

Решив это уравнение, найдем ответ задачи.

Задачи на построение сечений объемных тел традиционно считаются одной из трудных тем школьного курса стереометрии.

Рассмотрим первую типовую задачу на построение сечения тетраэдра SABC плоскостью по трем заданным точкам P, Q и R,лежащим на его ребрах SA, AB, SC соответственно. Очень часто предлагают следующее «решение» задачи: проведем через точку R прямую, параллельную PQ до пересечения с ребром BC в т.U. PRUQ – искомое сечение.

Однако это «решение» легко опровергается с помощью дополнительного построения, заключающегося в продолжении непараллельных сторон сечения PRUQ до пересечения в т. Т, которая лежит вне прямой АС, а должна быть на ней. Прямые PR и QU должны пересечься с прямой АС, т.к. они лежат в общих плоскостях и не параллельны АС. Кроме того, они (прямые PR и QU) не могут пересекать АС в разных точках, т.к. в этом случае они будут скрещивающимися, но тогда сечение не будет плоскостью (т.к. скрещивающиеся прямые лежат в разных плоскостях). Таким образом, приходим к следующему утверждению, которое сформулируем в виде полезной теоремы. Если две непараллельные прямые, принадлежащие одной плоскости, пересекают прямую, не лежащую в этой плоскости, то все три прямые пересекаются в месте в одной точке.

Приводимые ниже примеры в свете сформулированного утверждения показывает исключительную важность этой теоремы с точки зрения проверки на правильность построения сечения.

Рассмотренные примеры сечений тел показывают полезность продолжения сечения за пределы объема фигур – получающиеся их треугольные формы делают процедуру построения более ясной. В черчении прямые, которые образуют такие треугольники, называют следами сечения на соответствующих плоскостях (секущей и плоскостей данной фигуры). А процедура нахождения сечений объемных тел с помощью этих прямых и называется методом следов.

Задача 1. Построить сечение треугольной пирамиды SABC плоскостью, проходящей через точки P, Q, R, лежащие на ребрах SA, SB, AC.

Построение.

Для определения следов сечения на плоскости основания пирамиды заметим, что одна его точка R задана условием задачи, а другую точку U можно найти, продолжив PQ до пересечения с прямой AB, которая принадлежит основанию ABC и одновременно грани SAB, в которой лежит PQ (PQ и AB должны пересечься т.к. они лежат в одной плоскости и не параллельны). Соединив U и R (они обе лежат в плоскости ABC), получим след сечения, пересечение которого с ребром BC даст искомую вершину T. PQTR – искомое сечение.

Задача 2. Построить сечение четырехугольной пирамиды SABCD, плоскостью, проходящей через точки P, Q, R лежащих на ребрах SA, SB, SC.

Построение.

Очевидно, необходимо определить точки пересечения плоскости сечения с нижними ребрами пирамиды, т.е. найти след сечения на плоскости основания ABCD.

Продолжим отрезки PQ и QR до пересечения с прямыми AB и BC, которые принадлежат плоскости ABCD, найдем точки V и U. соединим эти точки, получим след плоскости сечения на грани ABCD. Точки X и Z – точки пересечения следа со сторонами основания ABCD и являются искомыми вершинами фигуры сечения. PQRZX – искомое сечение.

Задача 3. Построить сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁, проходящее через точки P, Q, R, лежащие на ребрах A₁B₁, B₁C₁ и AA₁.

Построение.

Соединим точки P и Q, P и R. Прямая PR – след секущей плоскости на плоскости грани AA₁BB₁. Точки U и S этого следа с продолжениями ребер AB и BB₁ являются точками следов сечения на гранях ABCD и BB₁C₁C. Т.к. точка Q также принадлежит грани BB₁C₁C, находим след сечения ST на этой грани. Соединив точки T и U, получаем третий след сечения на плоскости ABCD. PRVWHQ – искомое сечение.

Таким образом, в заключении нужно отметить, что обучение решению задач с применением моделирования активизирует мыслительную деятельность учащихся, помогает им понять задачу, самостоятельно найти рациональный путь ее решения и т.д. Работа с моделью позволяет ученикам яснее увидеть зависимость между данными и искомыми величинами и оценить задачу в целом, а учителю – продемонстрировать разные варианты решения и, сравнив их, обобщить теоретические знания. Чтобы научить учащихся самостоятельно и творчески учиться, нужно включать их в специально организованную деятельность, сделать их хозяевами этой деятельности. И одним из способов включения учащихся в активную деятельность в процессе решения задач является моделирование.