МОМЕНТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ И - ЗНАЧНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ С ПЕРЕМЕШИВАНИЕМ.

МОМЕНТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ   И - ЗНАЧНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ С ПЕРЕМЕШИВАНИЕМ.

                  Ушбу мақолада  ва  фазоларида қиймат қабул

 қилувчи кучсиз боғланган тасодифий майдонлар        учун момент тенгсизликлари ўрганилган.

In the work studied for the random fields wit

values in  and  under conditions on mixing coefficients  moment inequalities.                                                            Нодира Парпиева Тулкуновна

                                                                                         Ташкентский            государственный

университет им. Низами

[e-mail]

В статье изучена моментные неравенства для   и - значных случайных полей с перемешиванием.

Калит сўзлар: тасодифий майдонлар,  ва  фазолари, момент тенгсизликлари.

Keywords: random fields,  and  spaces, moment inequalities.

Ключевые слова: случайные поля, пространства  и , моментные неравенства.

Основная цель данной работы является получение моментных неравенств для случайных полей, принимающих значения в пространстве   (1≤р<∞) и . Как обычно  есть пространство последовательностей действительных  чисел х=(х₁, х₂, …) таких, что   с нормой                                                     и   есть пространство стремящихся к нулю числовых последовательностей х=(х₁, х₂, …)  с нормой       .

Мы  будем предполагать, что случайные поля  удовлетворяют определенным условиям перемешивания. Эти условия перемешивания отличаются от условий перемешивания.

         Рассмотрим случайное поле Х(t), tÎZ^d, d³1 (целочисленная решетка) со значениями в пространстве (1≤р<∞). Рассматриваемые нами коэффициенты перемешивания определяются следующим образом:                        ( r )  =

                                                                                                                                                                        

где означает  - алгебру, порожденную случайными величинами ; П_k – оператор проектирования из в k-мерное подпространство . Более точно, П_k отображает х=(х₁, х₂, …) Πв П_k хÎ, ровно k компонент которого сохраняются, а остальные компоненты равны нулю.

- означает число точек множества G;

            

Для случайных полей, принимающих значения в пространстве  , коэффициент перемешивания определим точно также, но с заменой  на

Введем обозначения:

                                                   ,

V – любое ограниченное множество из

-я компонента Х() , то есть ;      

где  стандартный базис пространства  или .

Норму всех пространств,      рассматриваемых в статье, будем обозначать   и надеемся, что это не приведет к путанице.

         Основными результатами являются следующие теоремы.

         Теорема 1. Пусть центрированное случайное поле Х(t), tÎZ^d, d³1 принимает значения в пространстве (1≤р<∞), и удовлетворяет следующему условию, существует четное число  такое, что при некотором      (1)

Тогда

1) при существует константа  зависящая от  и коэффициентов перемешивания, такая, что имеет место неравенство  

.  (2)

2) при существует константа  зависящая от  и коэффициентов перемешивания, такая, что имеет место неравенство

                       (3)

    Теорема 2. Пусть центрированное случайное поле Х(t), tÎZ^d, d³1 принимает значения в пространстве , и удовлетворяет условию (1).

Тогда при существует константа  зависящая от  и коэффициентов перемешивания, такая, что имеет место неравенство                 

            

     Доказательство теоремы 1. Для доказательства теоремы 1 мы воспользуемся двумя леммами.

Пусть  одномерное случайное поле. Рассмотрим следующий коэффициент перемешивания

( r )  =                                                                                                                                  

где   - алгебра, порожденная случайных величин ;

-некоторая система множеств ; 

     

    расстояние между s и t по некоторой метрике.  

В  8 статье для одномерных случайных полей   доказан следующий результат.

Лемма 1. Пусть   одномерное центрированное случайное поле удовлетворяющее следующему условию

                                 

Тогда для любых ограниченных множеств  V из   существует константа  С такая, что  для  имеет место неравенство

                                 (4)

Лемма 2. Для случайной величины   , принимающей значения в пространстве (1≤р<∞) при  имеет место следующее неравенство

                                               

         В дальнейшем будем считать, что все ряды на правых сторонах неравенств (2),(3) – конечны, в противном случае эти неравенства очевидны. Докажем неравенство (2). Применяя лемму 2 и неравенство (5), получим

           

     

          

Таким образом, (2) доказана.

Неравенство (3) доказывается применением следующего неравенства

                                   (6)

которое имеет место в силу неравенства , верного для неотрицательных  и  и леммы 2.

         Докажем неравенство (3). Используем неравенства (5) и (6)

Таким образом, теорема 1  доказана.

   Доказательство теоремы 2. Для случайной величины имеет место    . Так как при предположении  ( в противном случае неравенство очевидно), имеем

Используя этот факт и лемму 1, для  получим

                

          

Теорема 2 доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1.                 Bosq D. Linear processes in function spaces. Theory and applications. //Lect. Notes in Statist. 2000. Springer-Verlag. P. 149.

2.                 Doukhan P. Mixing. Properties and Examples.osq D. Linear processes in function spaces. //Lect. Notes in Statistics. 85. 1994. P. 140.

3.                 Bradley R.C., Utev S.A. On second-order properties of mixing random sequences and random fields.//Prob. Theory and math. stat. B. Grigelionis et al. (Eds.) 1994. VSP/TEV. P. 99-120.

4.                 Bradley R.C. On the spectral density and asymptotic normality of weakly dependent random fields.//Journal of Theor. Prob. 1992.V.5,№ 2. P.355-373.

5.                 Сунклодас И. Аппроксимация распределений сумм для слабо зависимых случайных величин  с нормальным распределением.// ВИНИТИ.Итоги науки и техники. Современные проблемы математики.Фундаментальные направления, 1991. Т. 81. С. 140-199.

6.                 Мухамедов А. К. О глобальной форме центральной предельной теоремы для слабо зависимых случайных полей.// В книге: Математический    анализ, алгебра и теория вероятностей. Ташкент. ТашГУ,1987. С.77-81.  

7.                   Парпиева Н.Т., Шарипов О.Ш. Центральная предельная теорема для стационарных случайных полей со значениями в некоторых банаховых пространствах.// Узб. матем. жур. -1999.- №1. С. 68-73.

8.                 Парпиева Н.Т.Моментные неравенства для слабо зависимых случайных полей со значениями в некоторых банаховых пространствах.// Узб. матем. жур. -1999.- №6. С. 49-55.

9.                 Парпиева Н.Т. Моментные неравенства и усиленный закон больших чисел для слабо зависимых случайных полей со значениями в пространствах  и .// Материалы Респ. науч. конф. молодых ученых-математиков, посвящ. 125-летию академика В.И.Романовского, 9-10 декабря 2004. –С. 27-30.