Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / МРПЗ ЕН.01. Математика 19.02.10

МРПЗ ЕН.01. Математика 19.02.10

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m56d9e2dc.gifhello_html_m314ab8e1.gifhello_html_8f95d24.gifhello_html_m5d184eda.gifhello_html_7f70356.gifhello_html_m1b0fb1cb.gifhello_html_285899.gifhello_html_3b10dc4c.gifhello_html_m2d43f100.gifhello_html_m32b6e23d.gifhello_html_32ceca7c.gifhello_html_597708f.gifhello_html_m3efe9ad7.gifhello_html_4c759f0a.gifhello_html_m44c053fe.gifhello_html_2cb2a8c5.gifhello_html_m5d184eda.gifhello_html_7f70356.gifhello_html_m1b0fb1cb.gifhello_html_285899.gifhello_html_3b10dc4c.gifhello_html_79ff2fc9.gifhello_html_d3223dc.gifhello_html_m17b89e73.gifhello_html_m4da6184b.gifhello_html_m64c277f3.gifhello_html_m50e5deb3.gifhello_html_m5dba534d.gifhello_html_39e84ee4.gifhello_html_148dc7c1.gifhello_html_4644265c.gifhello_html_4aa211ac.gifhello_html_m468f31f4.gifhello_html_m468c663d.gifhello_html_m1267b114.gifhello_html_m59c629fc.gifhello_html_m59c629fc.gifhello_html_6125bc3a.gifМИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ

государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Ростовской области

«Новочеркасский промышленно–гуманитарный колледж»

(ГБПОУ РО «НПГК»)



УТВЕРЖДАЮ

Директор ГБПОУ РО «НПГК»

_____________ И.А.Потапов

«___» ______________ 2015 г.

Рег. № МРПЗ.190210.237.2015















Методические рекомендации для проведения практических занятий по учебной дисциплине

ЕН.01. Математика


по специальности СПО

19.02.10 Технология продукции общественного питания

(базовая подготовка)



















Новочеркасск 2015


РАССМОТРЕНО

на заседании ПЦК

дисциплин гуманитарного профиля

Протокол № __ от _________2015

Председатель ПЦК__________Г.В.Закарлюк

СОГЛАСОВАНО

зам. директора по МР и ИТ

____________Л.А. Тимченко

_______________




Методические рекомендации для проведения практических занятий по учебной дисциплине ЕН.01. Математика разработаны на основе рабочей программы дисциплины (рег. № РПД.19.02.10.180.2015.), положения о разработке методических рекомендаций для проведения практических занятий и лабораторных работ в ГБПОУ РО «Новочеркасский промышленно-гуманитарный колледж».



Организация-разработчик: ГБПОУ РО «Новочеркасский промышленно-гуманитарный колледж»


Разработчик:

Г.И.Склярова преподаватель

ГБПОУ РО «НПГК»

Рецензенты:

Л.М. Топчий методист

ГБПОУ РО «НПГК»


Т.В.Григорьева преподаватель

ГБПОУ РО «НПГК»



Данные методические рекомендации предназначены для обучающихся и преподавателей и являются руководящим материалом к проведению практических занятий по дисциплине ЕН.01. Математика по специальности СПО 19.02.10 Технология продукции общественного питания (базовая подготовка).

Методические рекомендации содержат: пояснительную записку, темы, цели занятия, формируемые компетенции, умения и знания, методическое обеспечение, задание, порядок выполнения работы, вопросы для самопроверки, содержание практических занятий, список литературы.



СОДЕРЖАНИЕ


  1. Пояснительная записка...........................................................................................……...

4

  1. Правила выполнения практических заданий…………………………………………...

5

  1. Перечень практических работ...........................................................................................

6

  1. Содержание практических работ……………………………………………………......

6

  1. Литература..........................................................................................................................

34





































1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА


Данные методические рекомендации предназначены для оказания методической помощи преподавателям и обучающимся колледжа при подготовке и проведении практических занятий по дисциплине ЕН.01. Математика по специальности СПО 19.02.10 Технология продукции общественного питания (базовая подготовка).

Выполнение обучающимися практических заданий направлено на:

  • обобщение, углубление и закрепление полученных теоретических знаний по основным темам дисциплины;

  • формирование умений применять полученные знания на практике.

Практические занятия по данной дисциплине носят в основном репродуктивный, а также частично-поисковый характер.

При репродуктивном характере обучающийся выполняет работу по методическим рекомендациям.

При частично-поисковом характере работы обучающийся самостоятельно выбирает способ выполнения работы, подбирает нужную справочную литературу.

Практические занятия по данной дисциплине способствуют формированию профессиональных (ПК) и общих компетенций (ОК):

ПК 1.1. Организовывать подготовку мяса и приготовление полуфабрикатов для сложной кулинарной продукции.

ПК 1.2. Организовывать подготовку рыбы и приготовление полуфабрикатов для сложной кулинарной продукции.

ПК 1.3. Организовывать подготовку домашней птицы для приготовления сложной кулинарной продукции.

ПК 2.1. Организовывать и проводить приготовление канапе, легких и сложных холодных закусок.

ПК 2.2. Организовывать и проводить приготовление сложных холодных блюд из рыбы, мяса и сельскохозяйственной (домашней) птицы.

ПК 2.3. Организовывать и проводить приготовление сложных холодных соусов.

ПК 3.1. Организовывать и проводить приготовление сложных супов.

ПК 3.2. Организовывать и проводить приготовление сложных горячих соусов.

ПК 3.3. Организовывать и проводить приготовление сложных блюд из овощей, грибов и сыра.

ПК 3.4. Организовывать и проводить приготовление сложных блюд из рыбы, мяса и сельскохозяйственной (домашней) птицы.

ПК 4.1. Организовывать и проводить приготовление сдобных хлебобулочных изделий и праздничного хлеба.

ПК 4.2. Организовывать и проводить приготовление сложных мучных кондитерских изделий и праздничных тортов.

ПК 4.3. Организовывать и проводить приготовление мелкоштучных кондитерских изделий.

ПК 4.4. Организовывать и проводить приготовление сложных отделочных полуфабрикатов, использовать их в оформлении.

ПК 5.1. Организовывать и проводить приготовление сложных холодных десертов.

ПК 5.2. Организовывать и проводить приготовление сложных горячих десертов.

ПК 6.1. Участвовать в планировании основных показателей производства.

ПК 6.2. Планировать выполнение работ исполнителями.

ПК 6.3. Организовывать работу трудового коллектива.

ПК 6.4. Контролировать ход и оценивать результаты выполнения работ исполнителями.

ПК 6.5. Вести утвержденную учетно-отчетную документацию.

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

В результате выполнения практических заданий обучающийся должен:

уметь:

- решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

- применять простые математические модели систем и процессов в сфере профессиональной деятельности;

знать:

  • значение математики в профессиональной деятельности и при освоении ППСС3;

  • основные понятия и методы математического анализа, теории вероятностей и математической статистики;

  • основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности.


2. ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ


Практические занятия проводятся в кабинете «Математика». Продолжительность занятия – два академических часа.

Структура проведения практического занятия предполагает наличие следующих элементов:

  • вводная часть – преподаватель излагает тему, цели и задачи работы;

  • проверка знаний обучающихся по теме занятия;

  • рекомендации преподавателя по оптимизации выполнения работы;

  • самостоятельная работа обучающихся по выполнению заданий практического занятия;

  • подведение итогов занятия, анализ полученных результатов.

При проведении практического занятия должны использоваться настоящие методические рекомендации, образцы ранее выполненных работ, наглядные пособия, плакаты, учебная и справочная литература, вычислительная техника.

Каждый обучающийся получает допуск к выполнению работы после проверки теоретических знаний.

После оформления отчет должен быть предъявлен преподавателю для проверки и защиты. Все зачтенные практические работы комплектуются с оформления титульного листа и сдаются преподавателю до проведения промежуточной аттестации по дисциплине.

Шифр практической работы:

ПР. 190210.З514.15.01,

где ПР - практическая работа;

190210 - код специальности;

З514 - номер учебной группы;

15 - номер варианта (по журналу);

01 - порядковый номер работы.

За выполненные работы обучающийся получает оценку по пятибалльной системе, которая учитывается как показатель его текущей успеваемости.

Пропущенные работы выполняются обучающимся во внеурочное время по согласованию с преподавателем.


3. ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ


работы

Тема практической работы

Кол-во

часов

1.

Производные сложной функции, высших порядков

2

2.

Приложение дифференциала к приближенным вычислениям функции

2

3.

Методы интегрирования неопределенных интегралов

2

4.

Определенный интеграл, его свойства

2

5.

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

2

6.

Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка.

2

7.

Числовые характеристики дискретных случайных величин

2

8.

Функция распределения вероятностей случайной величины

2

9.

Элементы математической статистики

2

10.

Средние значения и их применение в статистике

2


Итого:

20



4. СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ


Практическое занятие № 1

Тема: Производные сложной функции, высших порядков

1. Цель занятия: закрепить знания и умения по вычислению производных элементарных и сложных функций, производных высших порядков.

2. Работа способствует формированию ОК 1 - 9; ПК 1.1 - 1.3, 2.1 - 2.3, 5.1 - 5.2, 6.1 - 6.5

3. Методическое обеспечение

3.1. Плакаты: «Правила дифференцирования», «Формулы дифференцирования».

3.2. Конспект лекций.

3.3. Методические рекомендации по проведению практических занятий.

3.4. Карточки с индивидуальными заданиями.


4. Краткие теоретические сведения

Производной функцииhello_html_5af5d08.gif называется конечный предел отношения приращения функции hello_html_173236e.gif к приращению независимой переменной hello_html_15cc4593.gif при стремлении последнего к нулю: hello_html_1e32f9ca.gif (1)

Процесс отыскания производной называется дифференцированием.

Пример 1. Вычислить производную функции hello_html_5b824c59.gif

Решение

hello_html_78ee416b.gif

Пример 2. Вычислить производную функции hello_html_6e21d43f.gif

Решение.

hello_html_51dfb50c.gif

Пример 3. Вычислить производную функции hello_html_414b1ae0.gif

Решение

hello_html_299f59cd.gif

hello_html_ec58d00.gif

Пример 4. Вычислить вторую производную функции hello_html_4e849b6c.gif

Решение. Вычислим сначала первую производную:

hello_html_22126e97.gif

Теперь вторую: hello_html_m6c6f41e8.gif

5. Вопросы для закрепления теоретического материала

5.1. Какая функция называется сложной?

5.2. Как вычислить производную сложной функции?

5.3. Что называется производной высшего порядка?

5.4. Как вычислить производные высшего порядка?


6. Задание



Вариант 1

  1. Вычислите производные сложных функций:

у = (6х + 2) -3, у = hello_html_47baabd2.gif,

hello_html_69b1d847.gif, hello_html_5b74f856.gif,

у = sin (2x2 – 12x3 + hello_html_m636da74.gif),

у = hello_html_m5d7bc47a.gif, hello_html_3b27179c.gif,

y = arctg (5x +7).



  1. Вычислите производные второго порядка:

y = hello_html_m4c9eeebd.gif y = 5x,

y = 7sin x, y = 2 + ctg x.

3. Вычислите производные третьего порядка:

у = lnx, y = cos2x.


Вариант 2

  1. Вычислите производные сложных функций:

у = (7х -3) -2, у = hello_html_m279987ed.gif,

hello_html_m4ba6430d.gif, hello_html_m3c5f0dd3.gif,

у = cos (3x4 – 5x2 + hello_html_m26c9beb9.gif),

у = hello_html_72c925d8.gif, hello_html_284dd9ea.gif,

y = arcctg (5x +7).




  1. Вычислите производные второго порядка:

y = hello_html_m628d3cdc.gif y = 12x,

y = 4 – cos x, y = 3 tg x.

  1. Вычислите производные третьего порядка:

у = ex, y = sin2x.

Вариант 3

  1. Вычислите производные сложных функций:

у = (3х - 4) -5, у = hello_html_4074e6e1.gif,

hello_html_798cdfdc.gif, hello_html_62cd2bdd.gif,

у = cos (2x2 + 4x -1),

у = hello_html_1ef0367a.gif,hello_html_m423da97d.gif,

y = arccos (5x +7).

  1. Вычислите производные второго порядка:

y = hello_html_m73087345.gif y = ex,

y = 5tgx, y = 3 – sin x.

  1. Вычислите производные третьего порядка:

у = x + ln x, y = cos 6x.

Вариант 4

  1. Вычислите производные сложных функций:

у = (2х - 8 ) -3, у = hello_html_5b65d7db.gif,

hello_html_m354707ad.gif, hello_html_m7572cd86.gif,

у = sin (3x2 – 2x2 + 1),

у = hello_html_66208d06.gif, hello_html_67c44a4b.gif,

y = arcsin (5x +7)

  1. Вычислите производные второго порядка:

y = hello_html_m307a8ec4.gif y = 9x,

y = x + cos x, y = 21 – ctg x.

  1. Вычислите производные третьего порядка:

у = 5x + 5x, y = sin 2x.


7. Порядок выполнения работы

7.1. Прочитать краткие теоретические сведения.

7.2. Записать ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

7.3. Решить вариант (№ варианта сообщит преподаватель).


8. Вопросы для самопроверки

8.1. Из каких операций складывается общее правило нахождения производной данной функции?

8.2. Как вычислить частное значение производной?

8.3. Сформулируйте основные правила дифференцирования.

8.4. Приведите формулы дифференцирования функции.


9. Критерии оценки

«Отлично» - обучающийся правильно выполнил дифференцирование сложных функций, определил производные высших порядков, правильно ответил на вопросы и сдал задание в установленный срок.

«Хорошо» - обучающийся допустил одну, две ошибки при выполнении задания.

«Удовлетворительно» - обучающийся допустил три, четыре ошибки при выполнении задания.

«Неудовлетворительно» - обучающийся допустил более четырех ошибок при выполнении задания.


Литература [1, с. 307-310].

Практическое занятие № 2

Тема: Приложение дифференциала к приближенным вычислениям функции

1. Цель занятия: закрепить знания и умения по применению дифференциала к приближенным вычислениям функции.


2. Работа способствует формированию ОК 1 - 9; ПК 1.1 - 1.3, 4.1 - 4.4, 5.1 - 5.2, 6.1 - 6.5

3. Методическое обеспечение

3.1. Плакаты: «Правила дифференцирования», «Формулы дифференцирования».

3.2. Конспект лекций

3.3. Методические рекомендации по проведению практических занятий.

3.4. Карточки с индивидуальными заданиями.


4. Краткие теоретические сведения

Рассмотрим функцию y = f(x), дифференцируемую в данной точке x. Приращение y ее представимо в видеy = f'(x)x + α (x) x,где первое слагаемое линейно относительно x, а второе является в точке x = 0 бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем x.

Определение. Дифференциалом функции y = f(x) называется главная линейная относительно  x часть приращения  y, равная произведению производной на приращение независимой переменной dy = f'(x)  x.

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной dx =  x. Поэтому формулу для дифференциала принято записывать в следующем виде: dy = f'(x)dx.

На практике с помощью дифференциаловчасто производят приближённые вычисления значений функции, а также оценивают погрешностивычислений. Пусть, например, надо вычислить значение функции (x) в точке х, если известны (x0) и f' (x0).Заменяя приращение функции её дифференциалом, получают приближённое равенство

(x1) ≈ (x0) + df (x0) = (x0) + f' (x0) (x1 - x0).

При достаточно малых hello_html_57de705f.gif приращение функции приближенно равно ее дифференциалу т.е. hello_html_m7c53f3cf.gif.


Пример1. Найти дифференциалы функций:

а) hello_html_31d6a44d.gifб) hello_html_mc989fa2.gifв) hello_html_m193d00ec.gif

Для дифференциала функции hello_html_m4d0dcaba.gif справедлива формулаhello_html_m3ae7da09.gif т. е. дифференциал функции равен произведению производной от функции на дифференциал независимой переменной.

Решение.

а) hello_html_5e7f36ad.gif

б) hello_html_m30aed33a.gif

в) hello_html_m47344b6e.gif

Пример 2.

Для функции hello_html_m52f30146.gif найти приращениеhello_html_m12d1ff4c.gifприhello_html_m267a1b61.gifиhello_html_m6cd1df6b.gif.

Решение:

Используя формулу, hello_html_5de315e1.gif получаемhello_html_2549b34f.gif(hello_html_m105e0379.gif)hello_html_7c6ddbe2.gifhello_html_m4b1af5ef.gif= (hello_html_38474ced.gif)hello_html_m4b1af5ef.gif. Выполняя подстановку hello_html_m267a1b61.gif иhello_html_m6cd1df6b.gif, находим приращениеhello_html_m12d1ff4c.gif:

hello_html_m12d1ff4c.gif=(3hello_html_m62e55b09.gifhello_html_m28cd049b.gif)hello_html_m161658aa.gif=0,05

Ответ: hello_html_m12d1ff4c.gif=0,05

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a; b] нужно:

1) найти значение функции на концах отрезка, т.е . f(a) и f( b) ;

2) найти её значения в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a;b)

3) из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечание: Если на (a, b) нет стационарных точек, то наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах отрезка [a; b].

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

hello_html_m27bab9d8.gifhello_html_25218ed0.gifна [-2; 1]

1) hello_html_3743b0af.gif

hello_html_2326bbd4.gif

2) hello_html_6ffecbc2.gif hello_html_m2d66daf2.gif при hello_html_m2c54ada5.gif и hello_html_1940d9d9.gif

hello_html_7d679eb9.gif

hello_html_m24a02a5b.gif

hello_html_357a9cc5.gifhello_html_c6f3bc6.gif

5. Вопросы для закрепления теоретического материала

5.1. Что называется дифференциалом функции?

5.2. Как с помощью  дифференциалов  производят  приближённые  вычисления значений  функции?


6. Задание

Вариант 1

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции:


на отрезке [-4; 0]


  1. 2. Найти дифференциал функции:

- при изменении аргумента x от х = 1 до х = 1,3


  1. 3. Пользуясь понятием дифференциала функции, вычислить приближенно изменение функции у = х3 – 2x2 + 70 при изменении аргумента х: от 4 до 4,01


Вариант 2

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции:


на отрезке [-3; 2]


  1. 2. Найти дифференциал функции:

f(x) = х2 / (х+3) при изменении аргумента х от х = –2до х = –1,95


  1. 3. Пользуясь понятием дифференциала функции, вычислить приближенно изменение функции у = х3 – 2x2 + 70 при изменении аргумента х: от 3 до 3,01



7. Порядок выполнения работы

7.1. Прочитать краткие теоретические сведения.

7.2. Записать ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

7.3. Решить вариант №1 или №2 (№ варианта сообщит преподаватель).


8. Вопросы для самопроверки

8.1. Запишите формулу дифференциала функции.

8.2. Сформулируйте свойства дифференциала.


9. Критерии оценки

«Отлично» - обучающийся определил наибольшее и наименьшее значения функций, вычислил дифференциал функции, правильно ответил на вопросы и сдал задание в установленный срок.

«Хорошо» - обучающийся допустил одну, две ошибки при выполнении задания.

«Удовлетворительно» - обучающийся допустил три, четыре ошибки при выполнении задания.

«Неудовлетворительно» - обучающийся допустил более четырех ошибок при выполнении задания.


Литература [1].


Практическое занятие № 3

Тема: Методы интегрирования неопределенных интегралов


1. Цель занятия: закрепить знания и умения по нахождению неопределенных интегралов различными методами.


2. Работа способствует формированию ОК 1 - 9; ПК 2.1 - 2.3, 3.1 - 3.4, 6.1 - 6.5


3. Методическое обеспечение

3.1. Плакаты: «Правила интегрирования», «Таблица интегралов».

3.2. Конспект лекций.

3.3. Методические рекомендации по проведению практических занятий.

3.4. Карточки с индивидуальными заданиями.


4. Краткие теоретические сведения

Методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование

Этот способ интегрирования предполагает такое преобразование подынтегральной функции, которое позволило бы использовать для решения табличные интегралы.

Пример 1: Вычислите hello_html_m688130b1.gif

Решение: Для вычисления интеграла сначала воспользуемся свойствами неопределенного интеграла, а затем применим табличные интегралы:

hello_html_1efc8d8a.gifhello_html_m43a6dbb6.gif

Пример 2. Вычислите hello_html_7486e64b.gif

Решение: Для вычисления интеграла сначала каждый член числителя почленно разделим на знаменатель, затем воспользуемся свойствами неопределенного интеграла и применим табличные интегралы

hello_html_m56a58d32.gif

Пример 3.

=+C.

2. Метод замены переменной (метод подстановки)

Суть этого метода состоит в том, что путем введения новой переменной интегрирования заданный интеграл сводится к новому интегралу, который легко вычисляется непосредственным интегрированием. Этот способ часто бывает полезным в тех случаях, когда интеграл не может быть непосредственно преобразован к форме табличного интеграла. Сделаем подстановку hello_html_m390b97b4.gif, где (t) — функция, имеющая непрерывную производную. Тогда: f(x) =f[(t)], dx=hello_html_7ba265ef.gif и hello_html_m612620fa.gif

Пример 4. Вычислите hello_html_m325897ad.gif

Решение: Введем новую переменную t = 3x-4, тогда hello_html_502d065.gif, откуда hello_html_21de3c5d.gif. Подставим новую переменную в интеграл (вместо выражения 3х-4 подставим t, вместоhello_html_20ed2d69.gifподставим hello_html_5b4e476f.gif).

hello_html_m1419d1df.gif

Далее нужно вернуться к первоначальной переменной. Для этого сделаем обратную замену (вместо t подставим выражение 3х-4), получим окончательный ответ.

hello_html_m4ddca20a.gif

Во многих случаях нет необходимости записывать, какое выражение мы принимаем за новую переменную. Вычисления удобно располагать так, как указано в следующих примерах.

Пример 5.

а) hello_html_m50180bfc.gif .

б) hello_html_m7dc16f2.gif.

в) hello_html_m1b716a63.gif.

3. Интегрирование по частям

Пусть и == u(x) и = (x) – непрерывно дифференцируемые функции. По формуле для дифференциала произведения имеем d(и) = dи + иd, откуда иd = d(и) du. Интегрируя последнее соотношение, получим:

или (произвольная постоянная интегрирования здесь включена в слагаемое ). Это и есть формула интегрирования по частям.

К интегралам, вычисляемым по частям, относятся, например, интегралы вида: , где – многочлен (в частности, степенная функция xn), одна из следующих функций: , , , , , , , . При этом для интегралов вида , , , за и принимается многочлен P(x), а для интегралов вида , , , , за и принимается ,,,, .

Пример 6.

а) .

б)

= .

5. Вопросы для закрепления теоретического материала

5.1. Метод непосредственного интегрирования.

5.2. Метод замены переменной

5.3. Метод интегрирования по частям


6. Задание

Вариант 1

Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования (для № 1-5).

  1. hello_html_201632f0.gif

  2. hello_html_m7d6dca48.gif.

  3. hello_html_m580b9f54.gif.

  4. hello_html_m79a99551.gif.

  5. hello_html_39ce6bdc.gif.

Найти неопределенные интегралы методом подстановки (для № 6-8).

  1. hello_html_3da52e0f.gif.

  2. hello_html_m312ddc15.gif.

  3. hello_html_281a0927.gif.

  4. Найти неопределенный интеграл методом интегрирования по частям: hello_html_m703aba94.gif.

Вариант 2

Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования (для № 1-5).

  1. hello_html_6534869b.gif.

  2. hello_html_m721e03e4.gif.

  3. hello_html_m3d7e709f.gif.

  4. hello_html_1e1c853.gif.

  5. hello_html_3f3fb470.gif.

Найти неопределенные интегралы методом подстановки (для № 6-8).

  1. hello_html_m92bbf07.gif.

  2. hello_html_m78267d67.gif.

  3. hello_html_m518a6887.gif.

  4. Найти неопределенный интеграл методом интегрирования по частям: hello_html_b3ac108.gif.

7. Порядок выполнения работы

7.1. Прочитать краткие теоретические сведения.

7.2. Записать ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

7.3. Решить вариант (№ варианта сообщит преподаватель).


8. Вопросы для самопроверки

8.1. Что называется первообразной функции?

8.2. Что такое неопределенный интеграл?

8.3. Сформулируйте правила интегрирования.

8.4. Формулы интегрирования

9. Критерии оценки

«Отлично» - обучающийся правильно выполнил все задания на нахождение неопределенных интегралов различными методами, правильно ответил на вопросы и сдал задание в установленный срок.

«Хорошо» - обучающийся допустил одну, две ошибки при выполнении задания.

«Удовлетворительно» - обучающийся допустил три, четыре ошибки при выполнении задания.

«Неудовлетворительно» - обучающийся допустил более четырех ошибок при выполнении задания.


Литература [1].


Практическое занятие № 4

Тема: Определенный интеграл, его свойства

1. Цель занятия: закрепить знания и умения по вычислению определенного интеграла.


2. Работа способствует формированию ОК 1 - 9; ПК 3.1 - 3.4, 4.1 - 4.4, 6.1 - 6.5


3. Методическое обеспечение

3.1. Плакаты: «Таблица интегралов», «Формула Ньютона-Лейбница».

3.2. Конспект лекций.

3.3. Методические рекомендации по проведению практических занятий.

3.4. Карточки с индивидуальными заданиями.


4. Краткие теоретические сведения

Определение.

Если F(x) - первообразная функции f(x) , то разность F(b) - F(а) называется определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a ;b] и обозначают hello_html_m58a76237.gif

а – нижний предел интегрирования

b - верхний предел интегрирования

f(x)- подынтегральная функция

Правило вычисления определённого интеграла:

hello_html_m8a3331e.gifФормула Ньютона – Лейбница

Пример 1.

hello_html_61c56e59.gif


Пример 2.

hello_html_m579ba565.png

Пример 3.

http://www.mathprofi.ru/f/opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image077.gif


Пример 4.

http://www.mathprofi.ru/f/opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image700.gif


5. Вопросы для закрепления теоретического материала

5.1. Что называется определенным интегралом?

5.2. По какому правилу вычисляется определенный интеграл?

5.3. Перечислите основные свойства определенного интеграла.


6. Задание

Вычислить определённый интеграл с помощью основных свойств и формулы Ньютона-Лейбница

1 вариант

1) hello_html_5fe77338.gif; 2) hello_html_d07842c.gif; 3) hello_html_m6404b55b.gif; 4) hello_html_m4542862e.gif; 5) hello_html_m487f68b7.gif; 6) hello_html_8c55eaf.gif

_____________________________________________________________________________

2 вариант

1) hello_html_146734ba.gif; 2) hello_html_m66253b7b.gif; 3) hello_html_m73360841.gif; 4) hello_html_292eb219.gif; 5) hello_html_m52f8f92f.gif; 6) hello_html_4de852c8.gif

_____________________________________________________________________________3 вариант

1) hello_html_20ce5137.gif; 2) hello_html_m2f761b40.gif; 3) hello_html_5f6ee5c3.gif; 4) hello_html_68bcfcaf.gif; 5) hello_html_m60dd562.gif; 6) hello_html_22d4e6d8.gif

_____________________________________________________________________________

4 вариант

1) hello_html_6279a8f7.gif; 2) hello_html_m732de7be.gif; 3)hello_html_m66253b7b.gif; 4) hello_html_3136e73e.gif; 5) hello_html_5f6ee5c3.gif;hello_html_m27bab9d8.gif6) hello_html_8c55eaf.gif

_____________________________________________________________________________


7. Порядок выполнения работы

7.1. Прочитать краткие теоретические сведения.

7.2. Записать ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

7.3. Решить вариант (№ варианта сообщит преподаватель).


8. Вопросы для самопроверки

8.1. Как вычислить определенный интеграл?

8.2. Напишите формулу Ньютона-Лейбница.

8.3. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

8.4. В чем заключается физический смысл определенного интеграла?


9. Критерии оценки

«Отлично» - обучающийся правильно вычислил определенный интеграл с помощью основных свойств и формулы Ньютона-Лейбница, правильно ответил на вопросы и сдал задание в установленный срок.

«Хорошо» - обучающийся допустил одну, две ошибки при выполнении задания.

«Удовлетворительно» - обучающийся допустил три, четыре ошибки при выполнении задания.

«Неудовлетворительно» - обучающийся допустил более четырех ошибок при выполнении задания.


Литература [1].


Практическое занятие № 5

Тема: Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

1. Цель занятия: закрепить знания и умения по решению дифференциальных уравнений


2. Работа способствует формированию ОК 1 - 9; ПК 1.1 - 1.3, 2.1 - 2.3, 3.1 - 3.4,


3. Методическое обеспечение

3.1. Плакаты: «Правила нахождения первообразной», «Таблица интегралов».

3.2. Конспект лекций.

3.3. Методические рекомендации по проведению практических занятий.

3.4. Карточки с индивидуальными заданиями.


4. Краткие теоретические сведения

Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y:

правая часть уравнения с разделяющимися переменными

где p(x) и h(y) − непрерывные функции. 
Для решения уравнения с разделяющимися переменными необходимо представить производную как отношение дифференциалов и разделить переменные, т.е. с одной стороны от знака равенства собрать выражение содержащее только x , с другой - только y
Рассматривая производную 
y' как отношение дифференциалов http://www.math24.ru/images/1fodi2.gif, перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h(y):

разделение переменных

Разумеется, нужно убедиться, что h(y) ≠ 0. Если найдется число x0, при котором h(x0) = 0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h(y) приводит к потере указанного решения. 
Обозначив 
http://www.math24.ru/images/1fodi4.gif, запишем уравнение в форме:

http://www.math24.ru/images/1fodi5.gif

Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение:

интегрирование уравнения с разделяющимися переменными

где C − постоянная интегрирования. 
Вычисляя интегралы, получаем выражение

общее решение уравнения с разделяющимися переменными

описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными

Пример1.

Решить уравнение hello_html_m7565083e.gif.

Решение.

Перепишем уравнение в виде hello_html_32c3c7bc.gif. Разделение переменных приводит к равенству hello_html_m191c4e09.gif. В результате вычисления интегралов hello_html_m3a771fff.gif получаем hello_html_m7cc3dfbb.gif,

где hello_html_m73fc64be.gif - произвольная положительная постоянная.

Произвольная постоянная записана в форме hello_html_97f692b.gif для удобства записи формы общего решения.

Далее, используя свойства логарифмов, из последнего равенства получаем

hello_html_59d34e0c.gif.

Отсюда hello_html_7cb83896.gif, где hello_html_m239f1eb8.gif.

Отрицательные и неотрицательные решения охватываются одной формулой: hello_html_m66605585.gif, hello_html_m73fc64be.gif- произвольная постоянная.

Ответ. hello_html_m66605585.gif; hello_html_m73fc64be.gif - произвольная постоянная.

Пример 2.

Найти частное решение дифференциального уравнения http://www.math24.ru/images/1fodi28.gif при условии y(1) = −1.


Решение.

Разделим обе части уравнения на x:

     http://www.math24.ru/images/1fodi29.gif

Мы предполагаем, что x ≠ 0, поскольку областью определения исходного уравнения является множество x > 0. В результате интегрирования получаем:

     http://www.math24.ru/images/1fodi30.gif

Интеграл в правой части вычисляется следующим образом:

      http://www.math24.ru/images/1fodi31.gif

Следовательно, общее решение в неявной форме имеет вид:

      http://www.math24.ru/images/1fodi32.gifгде C1 = 2C − постоянная интегрирования. 
Найдем теперь значение 
C1, удовлетворяющее начальному условию y(1) = −1:

      http://www.math24.ru/images/1fodi33.gif

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения с заданным начальным условием (задача Коши) описывается алгебраическим уравнением:

      http://www.math24.ru/images/1fodi34.gif

5. Вопросы для закрепления теоретического материала

5.1. Какое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка?

5.2. Какое дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными?


6. Задание

Вариант 1

Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений (для № 1-2).

  1. hello_html_6be2a5.gif.

  2. hello_html_m531bb23e.gif.

  3. Решить задачу Коши: hello_html_m2544628.gif.

Решить следующие дифференциальные уравнения первого порядка (для № 4-5).

  1. hello_html_5d56aef.gif.

  2. hello_html_m4acdc7e.gif.

Вариант 2

Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений (для № 1-2).

  1. hello_html_33b4faaf.gif.

  2. hello_html_6c4350c5.gif.

  3. Решить задачу Коши: hello_html_4e8d6f28.gif.

Решить следующие дифференциальные уравнения первого порядка (для № 4-5).

  1. hello_html_m2ed97b25.gif.

  2. hello_html_2c35f319.gif.

7. Порядок выполнения работы

7.1. Прочитать краткие теоретические сведения.

7.2. Записать ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

7.3. Решить вариант (№ варианта сообщит преподаватель).


8. Вопросы для самопроверки

8.1. Как решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными?

8.2. Как найти частное решение дифференциального уравнения с заданным начальным условием?


9. Критерии оценки

«Отлично» - обучающийся правильно решил дифференциальные уравнения, правильно ответил на вопросы и сдал задание в установленный срок.

«Хорошо» - обучающийся допустил одну, две ошибки при выполнении задания.

«Удовлетворительно» - обучающийся допустил три, четыре ошибки при выполнении задания.

«Неудовлетворительно» - обучающийся допустил более четырех ошибок при выполнении задания.

Литература [1].


Практическое занятие № 6

Тема: Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка.

1. Цель занятия: закрепить знания и умения по решению дифференциальных уравнений.

2. Работа способствует формированию ОК 1 - 9; ПК 1.1 - 1.3, 6.1 - 6.5


3. Методическое обеспечение

3.1. Плакаты: «Правила нахождения первообразной», «Таблица интегралов».

3.2. Конспект лекций.

3.3. Методические рекомендации по проведению практических занятий.

3.4. Карточки с индивидуальными заданиями.


4. Краткие теоретические сведения

Дифференциальное уравнение первого порядка дифференциальное уравнение первого порядка

называется однородным, если правая часть удовлетворяет соотношению условие однородности уравнения для всех значений t.

Однородное дифференциальное уравнение можно также записать в виде однородное уравнение

или через дифференциалы:

однородное уравнение в дифференциалах

где P(x,y) и Q(x,y) − однородные функции одинакового порядка.

Решение однородных дифференциальных уравнений

Однородное дифференциальное уравнение можно решить с помощью подстановки y = ux, которая преобразует однородное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными 
Дифференциальное уравнение вида

http://www.math24.ru/images/2fodi7.gif

преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными посредством переноса начала системы координат в точку пересечения прямых линий, заданных в уравнении. Если указанные прямые параллельны, то дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными путем замены переменной: http://www.math24.ru/images/2fodi8.gif

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение пример однородного дифференциального уравнения.


Решение.

Нетрудно заметить, что многочлены P(x,y) и Q(x,y), соответственно, при dx и dy, являются однородными функциями первого порядка. Поэтому, данное дифференциальное уравнение также будет однородным. 
Положим 
y = ux, где u − некоторая новая функция, зависящая от x. Тогда

      дифференциал произведения

Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем

      http://www.math24.ru/images/2fodi11.gif

Следовательно,       http://www.math24.ru/images/2fodi12.gif

Разделим обе части уравнения на x:

     http://www.math24.ru/images/2fodi13.gif

Выполняя деление x, мы могли потерять решение x = 0. Прямая подстановка показывает, что x = 0действительно является одним из решений нашего уравнения. 
Интегрируем последнее выражение:

      http://www.math24.ru/images/2fodi14.gif

где C − постоянная интегрирования. 
Возвращаясь к старой переменной 
y, можно записать:      http://www.math24.ru/images/2fodi15.gif

Таким образом, уравнение имеет два решения:

      http://www.math24.ru/images/2fodi16.gif

Пример 2

Решить дифференциальное уравнение однородное уравнение.


Решение.

Заметим, что корень x = 0 не принадлежит области определения заданного дифференциального уравнения. Перепишем уравнение в следующей форме:

      http://www.math24.ru/images/2fodi18.gif

Как видно, уравнение является однородным. 
Сделаем замену 
y = ux. Следовательно,

      http://www.math24.ru/images/2fodi19.gif

Подставляем полученное выражение в дифференциальное уравнение:

      http://www.math24.ru/images/2fodi20.gif

Разделим обе части на x ≠ 0:

      http://www.math24.ru/images/2fodi21.gif

В результате мы получаем уравнение с разделяющимися переменными:

      http://www.math24.ru/images/2fodi22.gif

На следующем шаге проинтегрируем левую и правую части уравнения:

      http://www.math24.ru/images/2fodi23.gif

Следовательно,       http://www.math24.ru/images/2fodi24.gif

Постоянную C здесь можно записать как ln C1 (C1 > 0). Тогда

      http://www.math24.ru/images/2fodi25.gif

Таким образом, мы получили два решения:

      http://www.math24.ru/images/2fodi26.gif

Если C1 = 0, то ответом является функция y = xe. Легко убедиться, что эта функция будет также и решением дифференциального уравнения.

В самом деле, подставляя      http://www.math24.ru/images/2fodi27.gif в дифференциальное уравнение, находим:

      http://www.math24.ru/images/2fodi28.gif

Таким образом, все решения дифференциального уравнения можно представить одной формулой:

      http://www.math24.ru/images/2fodi29.gif

где C − произвольное действительное число. 

5. Вопросы для закрепления теоретического материала

5.1. Какое уравнение называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка?

5.2. Какое дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными?


6. Задание

1 вариант

Решить следующие однородные дифференциальные уравнения первого порядка

  1. пример однородного дифференциального уравнения

  2. http://www.math24.ru/images/2fodi30.gif

  3. http://www.math24.ru/images/2fodi45.gif


2 вариант

Решить следующие однородные дифференциальные уравнения первого порядка

  1. однородное уравнение

  2. http://www.math24.ru/images/2fodi40.gif

  3. http://www.math24.ru/images/2fodi45.gif


7. Порядок выполнения работы

7.1. Прочитать краткие теоретические сведения.

7.2. Записать ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

7.3. Решить вариант (№ варианта сообщит преподаватель).


8. Вопросы для самопроверки

8.1. Как решить однородное дифференциальное уравнение первого порядка?

8.2. Как решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными?


9. Критерии оценки

«Отлично» - обучающийся правильно решил дифференциальные уравнения, правильно ответил на вопросы и сдал задание в установленный срок.

«Хорошо» - обучающийся допустил одну, две ошибки при выполнении задания.

«Удовлетворительно» - обучающийся допустил три, четыре ошибки при выполнении задания.

«Неудовлетворительно» - обучающийся допустил более четырех ошибок при выполнении задания.

Литература [1].


Практическое занятие № 7. Числовые характеристики дискретных случайных величин

1. Цель занятия: закрепить знания и умения по нахождению числовых характеристик дискретной случайной величины


2. Работа способствует формированию ОК 1 - 9; ПК 3.1 - 3.4, 6.1 - 6.5


3. Методическое обеспечение

3.1. Конспект лекций.

3.2. Методические рекомендации по проведению практических занятий.

3.3. Карточки с индивидуальными заданиями.


4. Краткие теоретические сведения

Случайная величина - величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины (кратко: СВ) обозначают большими латинскими буквами http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/5af59ccf1f8803f645400d2889ebf2f3.gif, а принимаемые ими значения - малыми буквами http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/816238bdd46ca837f886544a51f1e0c3.gif

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически. 

Закон распределения ДСВ Х удобно задавать с помощью следующей таблицы

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/1ba8aaab47179b3d3e24b0ccea9f4e30.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/aa687da0086c1ea060a8838e24611319.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/8732099f74d777a67257cb2f04ead3d8.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/7497173ad509a4b287733ce90d63d41d.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/5bef92b1854f9c388d11bfbb1720c05d.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/7497173ad509a4b287733ce90d63d41d.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/eca91c83a74a2373ca5f796700e99fd3.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/6cbb60d59d04d1d7c9e64fd2a001c8c6.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/6cbb60d59d04d1d7c9e64fd2a001c8c6.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/7497173ad509a4b287733ce90d63d41d.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/6cbb60d59d04d1d7c9e64fd2a001c8c6.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/7497173ad509a4b287733ce90d63d41d.gif

называемой рядом распределения. При этом возможные значения http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/2b6876eaff78750b07c60ccf4cf69672.gif СВ Х в верхней строке этой таблицы располагаются в определенном порядке, а в нижней - соответствующие вероятности http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/42d790b6827e1063b782af5ace3c9201.gif.

Пример 1.

Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

X

2

5

8

P

0,4

P2

0,1


Найти: Р2; математическое ожидание; дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х.

Решение.

1) Определим Р2. Так как сумма всех вероятностей, указанных в таблице, должна быть равна единице (то есть Р1 + Р2 + Р3 = 1), то Р2 найдем из формулы:

Р2 = 1 - Р1 - Р3

Р2 = 1 – 0,4 – 0,1 = 0,5.

2) Определим математическое ожидание данной случайной величины Х (математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины при большом числе испытаний):

http://allmatematika.ru/../images/t30.gif

М(Х) = 2 * 0,4 + 5 * 0,5 + 8 * 0,1 = 4,1.

3) Определим дисперсию для данной случайной величины по формуле (дисперсия характеризует средний квадрат отклонения случайной величины от среднего):

Д(Х) = М(Х2) – М2(Х)

http://allmatematika.ru/../images/t31.gif


М(Х2) = 22 * 0,4 + 52 * 0,5 + 82 * 0,1 = 20,5.


Д(Х) = 20,5 – 4,12 = 3,69.


4) Определим среднеквадратическое отклонение, которое характеризует среднее отклонение случайной величины от среднего, по формуле:

http://allmatematika.ru/../images/t42.gif

http://allmatematika.ru/../images/t43.gif

5. Вопросы для закрепления теоретического материала

5.1. Дайте определение дискретной случайной величины

5.2. Что характеризует математическое ожидание ДСВ?

5.3. Что характеризует дисперсия ДСВ?

5.4. Что характеризует среднеквадратическое отклонение?


6. Задание

Вариант 1


    1. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения

Х 1 4 8

Р 0,3 р2 0,6


Найти: Р2; математическое ожидание; дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х.

2. Приведен рост (в см) пяти человек: 163, 183, 172, 180, 172.

Найдите закон распределения случайной величины, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение.


Вариант 2


  1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х 2 4 7

Р 0,5 0,2 р3


Найти: Р3; математическое ожидание; дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х.

2. Приведен рост (в см) пяти человек: 187, 162, 171, 162, 183.

Найдите закон распределения случайной величины, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение.


7. Порядок выполнения работы

7.1. Прочитать краткие теоретические сведения.

7.2. Записать ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

7.3. Решить вариант (№ варианта сообщит преподаватель).


8. Вопросы для самопроверки

8.1. Как может быть задана дискретная случайная величина?

8.2. Где в практической деятельности используют свойства дискретных случайных величин?


9. Критерии оценки

«Отлично» - обучающийся правильно выполнил 2 задания, правильно ответил на вопросы и сдал задание в установленный срок.

«Хорошо» - обучающийся допустил одну, две ошибки при выполнении задания.

«Удовлетворительно» - обучающийся допустил три, четыре ошибки при выполнении задания.

«Неудовлетворительно» - обучающийся допустил более четырех ошибок при выполнении задания.

Литература [1].


Практическое занятие № 8

Тема: Функция распределения вероятностей случайной величины.


1. Цель занятия: закрепить знания и умения по нахождению функции распределения вероятностей случайной величины


2. Работа способствует формированию ОК 1 - 9; ПК 1.1 - 1.3, 2.1 - 2.3, 3.1 - 3.4,


3. Методическое обеспечение

3.1. Конспект лекций.

3.2. Методические рекомендации по проведению практических занятий.

3.3. Карточки с индивидуальными заданиями.


4. Краткие теоретические сведения

Функцией распределения называют функцию http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/d76f2c4d6bdf142af5106c3f36e9e970.gif , определяющую вероятность того, что случайная величина http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif в результате испытания примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/8bfab71ad8f07fdbfbe269272ae522ad.gif

Свойства функции распределения:

  1. http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/1a5718e76bfe9cb12ed14c52a980ba49.gif

  2. http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/d76f2c4d6bdf142af5106c3f36e9e970.gif - неубывающая функция, т.е. http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/edf50684574f333e333851723e2d9da4.gif, если http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/8ce3a557db09be069ba2679a06170251.gif

  3. http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/d45a874bc0e82daf7fe4b6b77c0aeba1.gif

  4. http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/d76f2c4d6bdf142af5106c3f36e9e970.gif непрерывна слева в любой точке http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif, т.е. http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/f1c83db316e85197243baaf95cdacf86.gif

  5. http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/e9b89598d0d5a94762fb14be29e642e2.gif

Функция распределения ДСВ имеет вид

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/de8fe371a90662f3a4df5443137b5bf3.gif

где суммирование ведется по всем индексам http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.gif, для которых http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/4ba7c5be762ad6ea01de0942e571bf18.gif

Пример. Задан закон распределения ДСВ Х:

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/1ba8aaab47179b3d3e24b0ccea9f4e30.gif

-2

-1

0

2

3

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/eca91c83a74a2373ca5f796700e99fd3.gif

0,1

0,2

0,3

0,3

0,1

Найти функцию распределения и построить ее график.

Решение.

По определению функции распределения находим:

если http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/f55bb91ad5b02938ed438ec169aa15a6.gif, то http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/d9ca7ec84165b8770fb6893d0f927acf.gif, так как значения меньше -2 ДСВ Х не принимает;

если http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/190de29b85149da1ba4d33225478352d.gif, то http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/ca391987e9bc9640feb687088a858aeb.gif

если http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/e41a2d966d3ac66e6470699228b95a60.gif, то http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/737ec01fc2c797e9b4a90d3729919fe6.gif, так как http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif может принять значения -2 или -1

если http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/214b36b89554d6e01d1ca0e0da6fdb61.gif, то http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/55324430bde8b4136c28889a3353b774.gif

если http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/37d06f2d2af9b38a5671bea134cd1271.gif, то http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/6d062b656e1b620ab7a4080d72dfc54c.gif

если http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/600f716e2bea7b0b2e8f36655dec1bea.gif, то http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/f25ebe01ec3ec044452495ed47661363.gif

Таким образом, функция распределения http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/d76f2c4d6bdf142af5106c3f36e9e970.gifимеет вид:

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/f66225b1487faf26f7a08032307e9ab6.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/audit_zaniatia/ter-ver/DSV%28diskr-sluch-velichina%29/Opredelenie%20operacii%20nad%20DSV/funkcia%20raspredelenia%20%281.4%29.JPG

Пример 2. Задан закон распределения ДСВ М:

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/342e772474b691ac87dac30aeef596c0.gif

0

1

2

3

4

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/eca91c83a74a2373ca5f796700e99fd3.gif

0,12

0,24

0,34

0,22

0,08

Найдем вероятности всех значений ДСВ М, которые меньше, либо равны 2

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/c1418383559bdd2f47c5f455690882b4.gif

5. Вопросы для закрепления теоретического материала

5.1. Какую функцию называют функцией распределения?

5.2. Какими свойствами обладает функция распределения?

5.3. Сформулируйте свойства функции распределения и их следствия.


6. Задание

Вариант 1

  1. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения

Х 1 4 8

Р 0,3 0,1 0,6


Найти функцию распределения и построить ее график.

  1. Случайная величина х задана функцией распределения

hello_html_m17269a8f.gif

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значения принадлежащее интервалу (0;2):

Р ( 0 < х < 2 ) = F (2) – F (0).

  1. Случайная величина Х задана функцией распределения

hello_html_m583bd6ee.gif

Найдите вероятность того, что в результате испытания Х примет значение:

а) меньшее 0,2; б) меньшее трех; в) не меньшее трех; г) не меньшее пяти.


Вариант 2

  1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х 2 4 7

Р 0,5 0,2 0,3


Найдите функцию распределения F(х) и начертите ее график.

  1. Случайная величина Х задана функцией распределения

hello_html_13876e49.gif

Найдите вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (0;1/3).

  1. Случайная величина Х задана функцией распределения

hello_html_m53500935.gif

Вычислите вероятность попадания случайной величины Х в интервале (1;2,5) и (2,5;3,5).


7. Порядок выполнения работы

7.1. Прочитать краткие теоретические сведения.

7.2. Записать ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

7.3. Решить вариант (№ варианта сообщит преподаватель).


8. Вопросы для самопроверки

8.1. Как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины?

8.2. Если дискретная случайная величина задана таблицей, как найти функцию ее распределения?


9. Критерии оценки

«Отлично» - обучающийся правильно выполнил 2 задания, правильно ответил на вопросы и сдал задание в установленный срок.

«Хорошо» - обучающийся допустил одну, две ошибки при выполнении задания.

«Удовлетворительно» - обучающийся допустил три, четыре ошибки при выполнении задания.

«Неудовлетворительно» - обучающийся допустил более четырех ошибок при выполнении задания.

Литература [1].


Практическое занятие № 9

Тема: Элементы математической статистики


1. Цель занятия: закрепить знания и умения по решению задач.


2. Работа способствует формированию ОК 1 - 9; ПК 5.1 - 5.2, 6.1 - 6.5


3. Методическое обеспечение

3.1. Конспект лекций.

3.2. Методические рекомендации по проведению практических занятий.

3.3. Карточки с индивидуальными заданиями.


4. Краткие теоретические сведения

Опр. Случайной величиной называется переменная величина, которая может принимать те или иные значения в зависимости от случая.

Опр. Функция, связывающая значения случайной величины с соответствующими им вероятностями, называется законом распределения дискретной случайной величины.

Опр. Полигоном частот называют зависимость, выражающую распределение величины Х по частотам или по относительным частотам.

Характеристики случайной величины:

Опр. Размах (обозначается R) - разница между наибольшим и наименьшим значениями случайной величины.

Опр. Мода (обозначается Мо) – наиболее часто встречающееся значение случайной величины.

Опр. Медиана (обозначается Ме) – это так называемое серединное значение упорядоченного ряда значений случайной величины.

Пример


В детском обувном магазине за декаду было куплено 750 пар обуви. Кладовщик проводил статистическое исследование и с этой целью записывал размеры каждой пятой из затребованных пар. Эти числа составили следующий ряд данных: 23, 24, 16, 21, 18, 17, 20, 23, 18, 16, 19, 18, 22, 19, 21, 17, 24, 15, 23, 19, 16, 22, 18, 24, 19, 17, 22, 19, 15, 23, 21, 23, 19, 23, 17, 22,16, 19, 22, 18, 20, 15, 21, 23, 19, 18, 23, 22, 20, 17, 19, 23, 21, 24, 22, 23, 20, 22, 21, 18, 16, 19, 22, 23, 20, 24, 21, 19, 24, 16, 20, 23, 24, 18 22, 17, 15, 21, 24, 20, 19, 17, 21, 20, 15, 23, 24, 18, 16, 22, 23, 24, 21, 15, 23, 22, 20, 23, 19, 20, 17, 22, 19, 20, 24, 15, 23, 18, 22, 23, 15, 21, 24, 19, 18, 19, 17, 15, 19, 23, 20, 17, 22, 23, 20, 18, 22, 19, 20, 18, 19, 24, 18, 16, 21, 24, 17, 15, 20, 22, 21, 24, 22, 18, 22, 18, 24, 15, 21.

а) Постройте таблицу частот.

б) Определите моду ряда (самый распространенный размер).

в) Постройте диаграмму частот.

г) Найдите средний размер по этой выборке.


Решение.

а) Сначала при просмотре всей выборки выясним, какие в ней встречаются размеры, и расположим их в порядке возрастания: 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24. Далее подсчитаем количество пар каждого размера в выборке (т.е. частоту появления каждого размера) и сведем данные в таблицу


Размер обуви

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Частота

12

8

11

16

19

15

14

19

20

16

б) Мода данного ряда – число 23.

в) Воспользуемся данными таблицы для построения диаграммы частот, в которой по горизонтальной оси отложены номера имеющихся размеров, по вертикальной оси – количество пар каждого размера.

http://festival.1september.ru/articles/531635/img02.gif

г) Найдем средний размер. Для этого сначала вычислим сумму всех членов ряда: 15 •12 + 16 • 8 + 17• 11 + 18 • 16 + 19 • 19 + 20 • 15 + 21 • 13 + 22 • 19 + 23 • 20 + 24 •16 = 3000, затем общее количество ленов ряда. Это удобно сделать, сложив частоты: 12 + 8 + 11+ +16 + 19 + 15 + 14 + 19 + 20 + 16 = 150, далее, разделив первый результат на второй, получим средний размер: 3000 / 150= 20.


5. Вопросы для закрепления теоретического материала

5.1. Что называется случайной величиной?

5.2. Что называется законом распределения дискретной случайной величины?

5.3. Что такое полигон частот?


6. Задание












1 вариант.

1. В таблице приведены размеры одежды 50 учащихся 10 класса. На основании этих данных составить таблицу распределения по вероятностям значений случайной величины Х – размеров одежды учащихся 10 класса.

Составить таблицы распределения по частотам (М) и относительным частотам (W)

50

40

44

44

46

46

44

48

46

44

38

44

48

50

40

42

50

46

54

44

42

42

52

44

46

38

46

42

44

48

46

48

44

40

52

44

48

50

46

46

48

40

46

42

44

50

46

44

46

48


2. Построить полигон частот и полигон относительных частот значений случайной величины Х, распределение которой представлено в таблице:

Х

11

12

13

14

15

М

3

1

5

6

5


3. Найти размах, моду и медиану выборки:

1, 3, -2, 4, -2, 0, 2, 3, 1, -2, 4

Построить полигон частот значений величины и указать на нём размах, моду и медиану.


2 вариант.

1. В таблице приведены размеры одежды 50 учащихся 10 класса. На основании этих данных составить таблицу распределения по вероятностям значений случайной величины Х – размеров одежды учащихся 10 класса.

Составить таблицы распределения по частотам (М) и относительным частотам (W)

42

42

52

44

46

38

46

42

44

48

48

40

46

42

44

50

46

44

46

48

50

40

44

44

46

46

44

48

46

44

46

48

44

40

52

44

48

50

46

46

38

44

48

50

40

42

50

46

54

44


2. Построить полигон частот и полигон относительных частот значений случайной величины Х, распределение которой представлено в таблице:

Х

23

24

25

26

27

28

М

6

5

2

3

1

3


3. Найти размах, моду и медиану выборки:

0,2 ; 0,4; 0,1; 0,5; 0,1; 0,2; 0,3; 0,5; 0,4; 0,6

Построить полигон частот значений величины и указать на нём размах, моду и медиану.

7. Порядок выполнения работы

7.1. Прочитать краткие теоретические сведения.

7.2. Записать ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

7.3. Решить вариант (№ варианта сообщит преподаватель).


8. Вопросы для самопроверки

8.1. Назовите основные характеристики случайной величины.

8.2. Как найти размах, моду и медиану ряда?


9. Критерии оценки

«Отлично» - обучающийся правильно решил задачи, правильно ответил на вопросы и сдал задание в установленный срок.

«Хорошо» - обучающийся допустил одну, две ошибки при выполнении задания.

«Удовлетворительно» - обучающийся допустил три, четыре ошибки при выполнении задания.

«Неудовлетворительно» - обучающийся допустил более четырех ошибок при выполнении задания.

Литература [1].


Практическое занятие № 10. Средние значения и их применение в статистике


1. Цель работы: отработать навыки применения средних значений в статистике.

2. Работа способствует формированию ОК 1 - 9; ПК 1.1 - 1.3, 6.1 - 6.5


3. Методическое обеспечение

3.1. Методические рекомендации по проведению практического занятия.

3.2. Конспект лекций.

3.3. Карточки с индивидуальными заданиями.


4. Краткие теоретические сведения

Средние величины используются на этапе обработки и обобщения полученных первичных статистических данных. Потребность определения средних величин связана с тем, что у различных единиц исследуемых совокупностей индивидуальные значения одного и того же признака, как правило, неодинаковы.

Средней величиной называют показатель, который характеризует обобщённое значение признака или группы признаков в исследуемой совокупности.

Значение средних величин состоит в их обобщающей функции.

Используются две категории средних величин:

- степенные средние;

- структурные средние.

Первая категория степенных средних включает: среднюю арифметическую, среднюю гармоническую, среднюю квадратическую, среднюю геометрическую и средняя кубическая.

Вторая категория (структурные средние) - это мода и медиана.


Вид степенной средней

Показатель степени

(hello_html_m6b52e9df.gif)

Формула расчета

простая

взвешенная

гармоническая

- 1

hello_html_377b8583.gif

hello_html_m6059da07.gif

геометрическая

0

hello_html_m71076fc8.gif

hello_html_15ec8d92.gif

арифметическая

1

hello_html_5ae4e529.gif

hello_html_540fca43.gif

квадратическая

2

hello_html_m4fd25d87.gif

hello_html_m9294c3d.gif

кубическая

3

hello_html_303fab52.gif

hello_html_m6a66edac.gif


5. Вопросы для закрепления теоретического материала

5.1. Какое значение имеет средняя величина в статистике?

5.2. Перечислите виды и формы средних величин

6. Задание

Определить среднее значение каждого признака.


Задача 1. Доля бракованной продукции в 1 партии изделий составила 1%, во 2 партии - 1,5%, а в третьей - 2%. Первая партия составляет 35% всей продукции, вторая - 40%. Определить средний процент бракованной продукции.

Решение.

По данным задачи составим таблицу.

партии

Доля бракованной продукции, %

Удельный вес каждой партии в общем объеме продукции

1

2

3

1

1,5

2

0,35

0,40

0,25

Итого

-

1


Средний процент бракованной продукции определим по формуле средней арифметической взвешенной:

Ответ: б) 1,45%.


Задача 2. По трем населенным пунктам имеются следующие данные


Населенные пункты

Число жителей всего, тыс. чел.

% лиц, старше 18 лет

% лиц, старше 18 лет, занятых в общественном производстве

a

b

c

1

2

3

100

60

85

60

69

54

70

75

83

Определить среднее значение каждого признака.


Решение.

1) Используем формулу средней арифметической простой:

2) Используем формулу средней арифметической взвешенной:

3)Используем формулу средней арифметической взвешенной:

Ответ: г) 81,7; 60,1; 75,5.


Задача 3. По трем предприятиям отрасли имеются следующие данные:

Предприятие

Выпуск продукции, тыс. руб.

Производительность труда 1 рабочего,

тыс. руб.

Энерговооруженность 
1 рабочего, тыс. кВт/час

a

b

c

1

2

3

1800

1200

1720

6,0

2,4

8,6

10,4

5,8

12,2

Определить среднее значение каждого признака.

Решение.

1)Используем формулу средней арифметической простой:

2) Используем формулу средней гармонической взвешенной:

3) Используем формулу средней гармонической взвешенной:

Ответ: б) 1573,3; 4,7; 8,5.

7. Порядок выполнения работы

7.1. Прочитать краткие теоретические сведения.

7.2. Записать ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

7.3. Выполнить практическое задание.


8. Вопросы для самопроверки

8.1. Как исчисляется средняя арифметическая простая и взвешенная?

8.2. Как исчисляется средняя гармоническая простая и взвешенная?

8.3. Как исчисляется средняя геометрическая?


9. Критерии оценки

«Отлично» - обучающийся верно определил среднее значение каждого признака, правильно ответил на вопросы и сдал задание в установленный срок.

«Хорошо» - обучающийся допустил одну, две ошибки при выполнении задания.

«Удовлетворительно» - обучающийся допустил три, четыре ошибки при выполнении задания.

«Неудовлетворительно» - обучающийся допустил более четырех ошибок при выполнении задания.


Литература [1].



ЛИТЕРАТУРА


Основные источники

  1. Дадаян А.А. Математика: учебник для ССУЗов («Профессиональное образование»). – М.: Форум – Инфра, 2013.

  2. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика: учебник для ССУЗов. – М.: Дрофа, 2013.

  3. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для средних специальных учебных заведений. – М.: Academa, 2013.


Дополнительные источники

  1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учебное пособие для ССУЗов. – М.: Высшая школа, 2013.

  2. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике для ССУЗов. – М.: Дрофа, 2013.

  3. Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика: учебное пособие для ВУЗов. – М.: Высшая школа, 2012.

  4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятности и математической статистике: учебное пособие для студентов вузов. – М.: Высшая школа, 2012.

  5. Дадаян А.А. Сборник задач по математике: учебное пособие для ССУЗов. – М.: Форум – Инфра, 2013.

  6. Ермаков В.И. Сборник задач по высшей математике: учебное пособие для вузов. – М.: Инфра-М, 2012

  7. Соболь Б.В., Мишняков Н.Т. Практикум по высшей математике: учебное пособие для студентов и преподавателей вузов. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2012.

  8. Уртенов Н.С. Основные понятия математики: учебное пособие для студентов вузов. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2012.


Интернет ресурсы

  1. http://www.math.ru

  2. Газета "Математика" издательского дома "Первое сентября"

http://mat.1september.ru

  1. Математика в Открытом колледже

http://www.mathematics.ru

  1. Математика: Консультационный центр преподавателей и выпускников МГУ

http://school.msu.ru

  1. Материалы по математике в Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов

http://www.mccme.ru

  1. Образовательный математический сайт Exponenta.ru

http://www.exponenta.ru

  1. Общероссийский математический портал Math_Net.Ru

http://www.bymath.net

  1. Геометрический портал

http://www.neive.by.ru

  1. Графики функций

http://www.math_on_line.com

  1. Интернет-библиотека физико-математической литературы

http://smekalka.pp.ru



Автор
Дата добавления 09.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров117
Номер материала ДВ-432320
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх