Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / МРПЗ ЕН.01. математика 23.02.03

МРПЗ ЕН.01. математика 23.02.03

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


hello_html_m56d9e2dc.gifhello_html_m314ab8e1.gifhello_html_74899482.gifhello_html_m5d184eda.gifhello_html_45cd0d99.gifhello_html_m1b0fb1cb.gifhello_html_285899.gifhello_html_46149e6d.gifhello_html_m2d43f100.gifhello_html_m32b6e23d.gifhello_html_32ceca7c.gifhello_html_597708f.gifhello_html_m3efe9ad7.gifhello_html_4c759f0a.gifhello_html_7ab864f7.gifhello_html_2cb2a8c5.gifhello_html_m5d184eda.gifhello_html_45cd0d99.gifhello_html_m1b0fb1cb.gifhello_html_285899.gifhello_html_46149e6d.gifhello_html_1c291cd6.gifhello_html_d3223dc.gifhello_html_m7a8f8ee5.gifhello_html_78ed1987.gifhello_html_2ff04cdb.gifhello_html_m50e5deb3.gifhello_html_m5dba534d.gifhello_html_39e84ee4.gifhello_html_148dc7c1.gifhello_html_6b78c649.gifhello_html_4aa211ac.gifhello_html_716a8ab9.gifhello_html_m468c663d.gifhello_html_m594b6452.gifhello_html_m59c629fc.gifhello_html_80679c4.gifhello_html_6125bc3a.gifМИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ

государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Ростовской области

«Новочеркасский промышленно–гуманитарный колледж»

(ГБПОУ РО «НПГК»)



УТВЕРЖДАЮ

Директор ГБПОУ РО «НПГК»

_____________ И.А.Потапов

«___» ______________ 2015 г.

Рег. № МРПЗ.230203. .2015













Методические рекомендации для проведения практических занятий по учебной дисциплине

ЕН.01. Математика


по специальности СПО

23.02.03 Техническое обслуживание и ремонт

автомобильного транспорта

(базовая подготовка)



















Новочеркасск 2015


РАССМОТРЕНО

на заседании ПЦК

дисциплин гуманитарного профиля

Протокол № __ от _________2015

Председатель ПЦК__________Г.В.Закарлюк

СОГЛАСОВАНО

зам. директора по МР и ИТ

____________Л.А. Тимченко

_______________




Методические рекомендации для проведения практических занятий по учебной дисциплине ЕН.01. Математика разработаны на основе рабочей программы дисциплины (рег. № РПД.23.02.03.181.2015.), положения о разработке методических рекомендаций для проведения практических занятий и лабораторных работ в ГБПОУ РО «Новочеркасский промышленно-гуманитарный колледж».



Организация-разработчик: ГБПОУ РО «Новочеркасский промышленно-гуманитарный колледж»


Разработчик:

Г.И.Склярова преподаватель

ГБПОУ РО «НПГК»

Рецензенты:

Л.М. Топчий методист

ГБПОУ РО «НПГК»


Т.В.Григорьева преподаватель

ГБПОУ РО «НПГК»



Данные методические рекомендации предназначены для обучающихся и преподавателей и являются руководящим материалом к проведению практических занятий по дисциплине ЕН.01. Математика по специальности СПО 23.02.03 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта (базовая подготовка).

Методические рекомендации содержат: пояснительную записку, темы, цели занятия, формируемые компетенции, умения и знания, методическое обеспечение, задание, порядок выполнения работы, вопросы для самопроверки, содержание практических занятий, список литературы.



СОДЕРЖАНИЕ


  1. Пояснительная записка...........................................................................................……...

4

  1. Правила выполнения практических заданий…………………………………………...

4

  1. Перечень практических работ...........................................................................................

5

  1. Содержание практических работ……………………………………………………......

6

  1. Литература..........................................................................................................................

34





































1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА


Данные методические рекомендации предназначены для оказания методической помощи преподавателям и обучающимся колледжа при подготовке и проведении практических занятий по дисциплине ЕН.01. Математика по специальности СПО 23.02.03 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта (базовая подготовка).

Выполнение обучающимися практических занятий направлено на:

  • обобщение, углубление и закрепление полученных теоретических знаний по основным темам дисциплины;

  • формирование умений применять полученные знания на практике.

Практические занятия по данной дисциплине носят в основном репродуктивный, а также частично-поисковый характер.

При репродуктивном характере обучающийся выполняет работу по методическим рекомендациям.

При частично-поисковом характере работы обучающийся самостоятельно выбирает способ выполнения работы, подбирает нужную справочную литературу.

Практические занятия по данной дисциплине способствуют формированию профессиональных (ПК) и общих компетенций (ОК):

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ПК 1.1. Организовывать и проводить работы по техническому обслуживанию и ремонту автотранспорта.

ПК 1.2. Осуществлять технический контроль при хранении, эксплуатации, техническом обслуживании и ремонте автотранспорта.

ПК 1.3. Разрабатывать технологические процессы ремонта узлов и деталей.

ПК 2.2. Контролировать и оценивать качество работы исполнителей работ.

В результате выполнения практических заданий обучающийся должен:

уметь:

  • решать обыкновенные дифференциальные уравнения;

знать:

  • основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, теории вероятностей и математической статистики;

  • основные численные методы решения прикладных задач.


2. ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ


Практические занятия проводятся в кабинете «Математика». Продолжительность занятия – два академических часа.

Структура проведения практического занятия предполагает наличие следующих элементов:

  • вводная часть – преподаватель излагает тему, цели и задачи работы;

  • проверка знаний обучающихся по теме занятия;

  • рекомендации преподавателя по оптимизации выполнения работы;

  • самостоятельная работа обучающихся по выполнению заданий практического занятия;

  • подведение итогов занятия, анализ полученных результатов.

При проведении практического занятия должны использоваться настоящие методические рекомендации, образцы ранее выполненных работ, наглядные пособия, плакаты, учебная и справочная литература, вычислительная техника.

Каждый обучающийся получает допуск к выполнению работы после проверки теоретических знаний.

После оформления отчет должен быть предъявлен преподавателю для проверки и защиты. Все зачтенные практические работы комплектуются с оформления титульного листа и сдаются преподавателю до проведения промежуточной аттестации по дисциплине.

Шифр практической работы:

ПР. 230203.44.15.01,

где ПР - практическая работа;

230203 - код специальности;

44 - номер учебной группы;

15 - номер варианта (по журналу);

01 - порядковый номер работы.

За выполненные работы обучающийся получает оценку по пятибалльной системе, которая учитывается как показатель его текущей успеваемости.

Пропущенные работы выполняются обучающимся во внеурочное время по согласованию с преподавателем.



3. ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ


работы

Тема практической работы

Кол-во

часов

1.

Производные сложной функции, высших порядков

2

2.

Приложение дифференциала к приближенным вычислениям функции

2

3.

Методы интегрирования неопределенных интегралов

2

4.

Вычисление определенного интеграла

2

5.

Однородные, линейные дифференциальные уравнения первого порядка

2

6.

Функция распределения вероятностей случайной величины

2

7.

Элементы математической статистики

2

8.

Множества и операции над ними

2

9.

Отношения на множестве

2

10.

Численное интегрирование

2


Итого:

20




4. СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ


Практическое занятие № 1

Тема: Производные сложной функции, высших порядков

1. Цель занятия: закрепить знания и умения по вычислению производных элементарных и сложных функций, производных высших порядков.


2. Работа способствует формированию ОК 1-9, ПК 1.1,1.2, 1.3,2.2.


3. Методическое обеспечение

3.1. Плакаты: «Правила дифференцирования», «Формулы дифференцирования».

3.2. Конспект лекций.

3.3. Методические рекомендации по проведению практических занятий.

3.4. Карточки с индивидуальными заданиями.


4. Краткие теоретические сведения

Производной функцииhello_html_5af5d08.gif называется конечный предел отношения приращения функции hello_html_173236e.gif к приращению независимой переменной hello_html_45b47d2.gif при стремлении последнего к нулю: hello_html_1e32f9ca.gif (1)

Процесс отыскания производной называется дифференцированием.

Пример 1. Вычислить производную функции hello_html_m2e5c0f46.gif

Решение

hello_html_78ee416b.gif

Пример 2. Вычислить производную функции hello_html_m6cd2e5ff.gif

Решение.

hello_html_77745e6c.gif

Пример 3. Вычислить производную функции hello_html_m640e4179.gif

Решение

hello_html_447c9b62.gif

hello_html_m32d45c76.gif

Пример 4. Вычислить вторую производную функции hello_html_m298a7d21.gif

Решение. Вычислим сначала первую производную:

hello_html_2b10ae56.gif

Теперь вторую: hello_html_m311f47d.gif

5. Вопросы для закрепления теоретического материала

5.1. Какая функция называется сложной?

5.2. Как вычислить производную сложной функции?

5.3. Что называется производной высшего порядка?

5.4. Как вычислить производные высшего порядка?


6. Задание



Вариант 1

  1. Вычислите производные сложных функций:

у = (6х + 2) -3, у = hello_html_m359c2723.gif,

hello_html_71c2b04f.gif, hello_html_mc3c51e3.gif,

у = sin (2x2 – 12x3 + hello_html_64862675.gif),

у = hello_html_m5d7bc47a.gif, hello_html_3b27179c.gif,

y = arctg (5x +7).



  1. Вычислите производные второго порядка:

y = hello_html_m4c9eeebd.gif y = 5x,

y = 7sin x, y = 2 + ctg x.

3. Вычислите производные третьего порядка:

у = lnx, y = cos2x.


Вариант 2

  1. Вычислите производные сложных функций:

у = (7х -3) -2, у = hello_html_m279987ed.gif,

hello_html_m4ba6430d.gif, hello_html_35e07ebb.gif,

у = cos (3x4 – 5x2 + hello_html_m26c9beb9.gif),

у = hello_html_72c925d8.gif, hello_html_m2f4319c5.gif,

y = arcctg (5x +7).




  1. Вычислите производные второго порядка:

y = hello_html_m628d3cdc.gif y = 12x,

y = 4 – cos x, y = 3 tg x.

  1. Вычислите производные третьего порядка:

у = ex, y = sin2x.

Вариант 3

  1. Вычислите производные сложных функций:

у = (3х - 4) -5, у = hello_html_4074e6e1.gif,

hello_html_798cdfdc.gif, hello_html_302b6ec0.gif,

у = cos (2x2 + 4x -1),

у = hello_html_1ef0367a.gif,hello_html_m3bd30078.gif,

y = arccos (5x +7).

  1. Вычислите производные второго порядка:

y = hello_html_m73087345.gif y = ex,

y = 5tgx, y = 3 – sin x.

  1. Вычислите производные третьего порядка:

у = x + ln x, y = cos 6x.

Вариант 4

  1. Вычислите производные сложных функций:

у = (2х - 8 ) -3, у = hello_html_5b65d7db.gif,

hello_html_3249c782.gif, hello_html_7ccdbeec.gif,

у = sin (3x2 – 2x2 + 1),

у = hello_html_66208d06.gif, hello_html_67c44a4b.gif,

y = arcsin (5x +7)

  1. Вычислите производные второго порядка:

y = hello_html_m307a8ec4.gif y = 9x,

y = x + cos x, y = 21 – ctg x.

  1. Вычислите производные третьего порядка:

у = 5x + 5x, y = sin 2x.


7. Порядок выполнения работы

7.1. Прочитать краткие теоретические сведения.

7.2. Записать ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

7.3. Решить вариант (№ варианта сообщит преподаватель).


8. Вопросы для самопроверки

8.1. Из каких операций складывается общее правило нахождения производной данной функции?

8.2. Как вычислить частное значение производной?

8.3. Сформулируйте основные правила дифференцирования.

8.4. Приведите формулы дифференцирования функции.


9. Критерии оценки

«Отлично» - обучающийся правильно выполнил дифференцирование сложных функций, определил производные высших порядков, правильно ответил на вопросы и сдал задание в установленный срок.

«Хорошо» - обучающийся допустил одну, две ошибки при выполнении задания.

«Удовлетворительно» - обучающийся допустил три, четыре ошибки при выполнении задания.

«Неудовлетворительно» - обучающийся допустил более четырех ошибок при выполнении задания.


Литература [1, с. 307-310].


Практическое занятие № 2

Тема: Приложение дифференциала к приближенным вычислениям функции

1. Цель занятия: закрепить знания и умения по применению дифференциала к приближенным вычислениям функции.


2. Работа способствует формированию ОК 1-9, ПК 1.1, 1.2, 1.3, 2.2.


3. Методическое обеспечение

3.1. Плакаты: «Правила дифференцирования», «Формулы дифференцирования».

3.2. Конспект лекций

3.3. Методические рекомендации по проведению практических занятий.

3.4. Карточки с индивидуальными заданиями.


4. Краткие теоретические сведения

Рассмотрим функцию y = f(x), дифференцируемую в данной точке x. Приращение y ее представимо в видеy = f'(x)x + α (x) x,где первое слагаемое линейно относительно x, а второе является в точке x = 0 бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем x.

Определение. Дифференциалом функции y = f(x) называется главная линейная относительно  x часть приращения  y, равная произведению производной на приращение независимой переменной dy = f'(x)  x.

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной dx =  x. Поэтому формулу для дифференциала принято записывать в следующем виде: dy = f'(x)dx.

На практике с помощью дифференциаловчасто производят приближённые вычисления значений функции, а также оценивают погрешностивычислений. Пусть, например, надо вычислить значение функции (x) в точке х, если известны (x0) и f' (x0).Заменяя приращение функции её дифференциалом, получают приближённое равенство

(x1) ≈ (x0) + df (x0) = (x0) + f' (x0) (x1 - x0).

При достаточно малых hello_html_57de705f.gif приращение функции приближенно равно ее дифференциалу т.е. hello_html_5a8c1e9d.gif.

Пример1. Найти дифференциалы функций:

а) hello_html_m524d184f.gifб) hello_html_mc989fa2.gifв) hello_html_5593b9fa.gif

Для дифференциала функции hello_html_m4d0dcaba.gif справедлива формулаhello_html_m3ae7da09.gif т. е. дифференциал функции равен произведению производной от функции на дифференциал независимой переменной.

Решение.

а) hello_html_252bd587.gif

б) hello_html_m64acdf5b.gif

в) hello_html_m47344b6e.gif

Пример 2.

Для функции hello_html_mee12442.gif найти приращениеhello_html_m12d1ff4c.gifприhello_html_m642db541.gifиhello_html_m6cd1df6b.gif.

Решение:

Используя формулу, hello_html_5de315e1.gif получаемhello_html_2549b34f.gif(hello_html_3b4add75.gif)hello_html_m225093a.gifhello_html_m4b1af5ef.gif= (hello_html_38474ced.gif)hello_html_m4b1af5ef.gif. Выполняя подстановку hello_html_m642db541.gif иhello_html_m6cd1df6b.gif, находим приращениеhello_html_m12d1ff4c.gif:

hello_html_m12d1ff4c.gif=(3hello_html_m62e55b09.gifhello_html_m28cd049b.gif)hello_html_59f88182.gif=0,05

Ответ: hello_html_m12d1ff4c.gif=0,05

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a; b] нужно:

1) найти значение функции на концах отрезка, т.е . f(a) и f( b) ;

2) найти её значения в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a;b)

3) из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечание: Если на (a, b) нет стационарных точек, то наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах отрезка [a; b].

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

hello_html_m27bab9d8.gifhello_html_m69151d47.gifна [-2; 1]

1) hello_html_792ec40.gif

hello_html_2326bbd4.gif

2) hello_html_36e1c7b3.gif hello_html_mad5af37.gif при hello_html_m2c54ada5.gif и hello_html_1940d9d9.gif

hello_html_m67a76099.gif

hello_html_276214b8.gif

hello_html_357a9cc5.gifhello_html_c6f3bc6.gif

5. Вопросы для закрепления теоретического материала

5.1. Что называется дифференциалом функции?

5.2. Как с помощью  дифференциалов  производят  приближённые  вычисления значений  функции?


6. Задание

Вариант 1

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции:


на отрезке [-4; 0]


  1. 2. Найти дифференциал функции:

- при изменении аргумента x от х = 1 до х = 1,3


  1. 3. Пользуясь понятием дифференциала функции, вычислить приближенно изменение функции у = х3 – 2x2 + 70 при изменении аргумента х: от 4 до 4,01


Вариант 2

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции:


на отрезке [-3; 2]


  1. 2. Найти дифференциал функции:

f(x) = х2 / (х+3) при изменении аргумента х от х = –2до х = –1,95


  1. 3. Пользуясь понятием дифференциала функции, вычислить приближенно изменение функции у = х3 – 2x2 + 70 при изменении аргумента х: от 3 до 3,01



7. Порядок выполнения работы

7.1. Прочитать краткие теоретические сведения.

7.2. Записать ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

7.3. Решить вариант №1 или №2 (№ варианта сообщит преподаватель).


8. Вопросы для самопроверки

8.1. Запишите формулу дифференциала функции.

8.2. Сформулируйте свойства дифференциала.


9. Критерии оценки

«Отлично» - обучающийся определил наибольшее и наименьшее значения функций, вычислил дифференциал функции, правильно ответил на вопросы и сдал задание в установленный срок.

«Хорошо» - обучающийся допустил одну, две ошибки при выполнении задания.

«Удовлетворительно» - обучающийся допустил три, четыре ошибки при выполнении задания.

«Неудовлетворительно» - обучающийся допустил более четырех ошибок при выполнении задания.


Литература [1].



Практическое занятие № 3

Тема: Методы интегрирования неопределенных интегралов


1. Цель занятия: закрепить знания и умения по нахождению неопределенных интегралов различными методами.


2. Работа способствует формированию ОК 1-9, ПК 1.1, 1.2, 1.3, 2.2


3. Методическое обеспечение

3.1. Плакаты: «Правила интегрирования», «Таблица интегралов».

3.2. Конспект лекций.

3.3. Методические рекомендации по проведению практических занятий.

3.4. Карточки с индивидуальными заданиями.


4. Краткие теоретические сведения

Методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование

Этот способ интегрирования предполагает такое преобразование подынтегральной функции, которое позволило бы использовать для решения табличные интегралы.

Пример 1: Вычислите hello_html_m688130b1.gif

Решение: Для вычисления интеграла сначала воспользуемся свойствами неопределенного интеграла, а затем применим табличные интегралы:

hello_html_1efc8d8a.gifhello_html_m43a6dbb6.gif

Пример 2. Вычислите hello_html_m6cc73d4f.gif

Решение: Для вычисления интеграла сначала каждый член числителя почленно разделим на знаменатель, затем воспользуемся свойствами неопределенного интеграла и применим табличные интегралы

hello_html_m56a58d32.gif


Пример 3.

=+C.

2. Метод замены переменной (метод подстановки)

Суть этого метода состоит в том, что путем введения новой переменной интегрирования заданный интеграл сводится к новому интегралу, который легко вычисляется непосредственным интегрированием. Этот способ часто бывает полезным в тех случаях, когда интеграл не может быть непосредственно преобразован к форме табличного интеграла. Сделаем подстановку hello_html_m390b97b4.gif, где (t) — функция, имеющая непрерывную производную. Тогда: f(x) =f[(t)], dx=hello_html_7ba265ef.gif и hello_html_m612620fa.gif

Пример 4. Вычислите hello_html_m325897ad.gif

Решение: Введем новую переменную t = 3x-4, тогда hello_html_502d065.gif, откуда hello_html_21de3c5d.gif. Подставим новую переменную в интеграл (вместо выражения 3х-4 подставим t, вместоhello_html_20ed2d69.gifподставим hello_html_5b4e476f.gif).

hello_html_m70ab7ba8.gif

Далее нужно вернуться к первоначальной переменной. Для этого сделаем обратную замену (вместо t подставим выражение 3х-4), получим окончательный ответ.

hello_html_m4ddca20a.gif

Во многих случаях нет необходимости записывать, какое выражение мы принимаем за новую переменную. Вычисления удобно располагать так, как указано в следующих примерах.

Пример 5.

а) hello_html_241534d7.gif .

б) hello_html_32dc7f96.gif.

в) hello_html_m1b716a63.gif.

3. Интегрирование по частям

Пусть и == u(x) и = (x) – непрерывно дифференцируемые функции. По формуле для дифференциала произведения имеем d(и) = dи + иd, откуда иd = d(и) du. Интегрируя последнее соотношение, получим:

или (произвольная постоянная интегрирования здесь включена в слагаемое ). Это и есть формула интегрирования по частям.

Применение способа интегрирования по частям целесообразно в том случае, когда интеграл в правой части окажется более простым для вычисления, чем исходный интеграл. К интегралам, вычисляемым по частям, относятся, например, интегралы вида: , где – многочлен (в частности, степенная функция xn), одна из следующих функций: , , , , , , , . При этом для интегралов вида , , , за и принимается многочлен P(x), а для интегралов вида , , , , за и принимается ,,,, .

Пример 6.

а) .

б)

= .

5. Вопросы для закрепления теоретического материала

5.1. Метод непосредственного интегрирования.

5.2. Метод замены переменной

5.3. Метод интегрирования по частям


6. Задание

Вариант 1

Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования (для № 1-5).

  1. hello_html_m64015cc8.gif

  2. hello_html_m7d6dca48.gif.

  3. hello_html_7977d31.gif.

  4. hello_html_1fc290d1.gif.

  5. hello_html_m4ba5280.gif.

Найти неопределенные интегралы методом подстановки (для № 6-8).

  1. hello_html_3da52e0f.gif.

  2. hello_html_m312ddc15.gif.

  3. hello_html_281a0927.gif.

  4. Найти неопределенный интеграл методом интегрирования по частям: hello_html_m1ce49568.gif.

Вариант 2

Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования (для № 1-5).

  1. hello_html_6534869b.gif.

  2. hello_html_m721e03e4.gif.

  3. hello_html_62e292fc.gif.

  4. hello_html_m131d989d.gif.

  5. hello_html_m7d7344bc.gif.

Найти неопределенные интегралы методом подстановки (для № 6-8).

  1. hello_html_m92bbf07.gif.

  2. hello_html_m78267d67.gif.

  3. hello_html_m518a6887.gif.

  4. Найти неопределенный интеграл методом интегрирования по частям: hello_html_mc340127.gif.

7. Порядок выполнения работы

7.1. Прочитать краткие теоретические сведения.

7.2. Записать ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

7.3. Решить вариант (№ варианта сообщит преподаватель).


8. Вопросы для самопроверки

8.1. Что называется первообразной функции?

8.2. Что такое неопределенный интеграл?

8.3. Сформулируйте правила интегрирования.

8.4. Формулы интегрирования

9. Критерии оценки

«Отлично» - обучающийся правильно выполнил все задания на нахождение неопределенных интегралов различными методами, правильно ответил на вопросы и сдал задание в установленный срок.

«Хорошо» - обучающийся допустил одну, две ошибки при выполнении задания.

«Удовлетворительно» - обучающийся допустил три, четыре ошибки при выполнении задания.

«Неудовлетворительно» - обучающийся допустил более четырех ошибок при выполнении задания.


Литература [1].


Практическое занятие № 4

Тема: Вычисление определенного интеграла

1. Цель занятия: закрепить знания и умения по вычислению определенного интеграла.


2. Работа способствует формированию ОК 1-9, ПК 1.1, 1.2, 1.3, 2.2


3. Методическое обеспечение

3.1. Плакаты: «Таблица интегралов», «Формула Ньютона-Лейбница».

3.2. Конспект лекций.

3.3. Методические рекомендации по проведению практических занятий.

3.4. Карточки с индивидуальными заданиями.


4. Краткие теоретические сведения

Определение.

Если F(x) - первообразная функции f(x) , то разность F(b) - F(а) называется определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a ;b] и обозначают hello_html_m58a76237.gif

а – нижний предел интегрирования

b - верхний предел интегрирования

f(x)- подынтегральная функция

Правило вычисления определённого интеграла:

hello_html_4901dacd.gifФормула Ньютона – Лейбница

Пример 1.

hello_html_366a7b16.gif


Пример 2.

hello_html_m579ba565.png

Пример 3.

http://www.mathprofi.ru/f/opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image077.gif


Пример 4.

http://www.mathprofi.ru/f/opredelennye_integraly_primery_reshenij_clip_image700.gif


5. Вопросы для закрепления теоретического материала

5.1. Что называется определенным интегралом?

5.2. По какому правилу вычисляется определенный интеграл?

5.3. Перечислите основные свойства определенного интеграла.


6. Задание

Вычислить определённый интеграл с помощью основных свойств и формулы Ньютона-Лейбница

1 вариант

1) hello_html_m72e5e457.gif; 2) hello_html_2a71bbbe.gif; 3) hello_html_m34f8c0f1.gif; 4) hello_html_m485aa3c5.gif; 5) hello_html_m487f68b7.gif; 6) hello_html_m4c83fecd.gif

_____________________________________________________________________________

2 вариант

1) hello_html_m59784bad.gif; 2) hello_html_m66253b7b.gif; 3) hello_html_m73360841.gif; 4) hello_html_m29b7405.gif; 5) hello_html_120bf2fd.gif; 6) hello_html_4de852c8.gif

_____________________________________________________________________________3 вариант

1) hello_html_m6dd12e22.gif; 2) hello_html_m39aa4dd6.gif; 3) hello_html_m5481022a.gif; 4) hello_html_68bcfcaf.gif; 5) hello_html_m217beaf4.gif; 6) hello_html_m423af1c9.gif

_____________________________________________________________________________

4 вариант

1) hello_html_m3879501d.gif; 2) hello_html_223045ea.gif; 3)hello_html_m66253b7b.gif; 4) hello_html_3136e73e.gif; 5) hello_html_m5481022a.gif;hello_html_m27bab9d8.gif6) hello_html_m4c83fecd.gif

_____________________________________________________________________________


7. Порядок выполнения работы

7.1. Прочитать краткие теоретические сведения.

7.2. Записать ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

7.3. Решить вариант (№ варианта сообщит преподаватель).


8. Вопросы для самопроверки

8.1. Как вычислить определенный интеграл?

8.2. Напишите формулу Ньютона-Лейбница.

8.3. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

8.4. В чем заключается физический смысл определенного интеграла?


9. Критерии оценки

«Отлично» - обучающийся правильно вычислил определенный интеграл с помощью основных свойств и формулы Ньютона-Лейбница, правильно ответил на вопросы и сдал задание в установленный срок.

«Хорошо» - обучающийся допустил одну, две ошибки при выполнении задания.

«Удовлетворительно» - обучающийся допустил три, четыре ошибки при выполнении задания.

«Неудовлетворительно» - обучающийся допустил более четырех ошибок при выполнении задания.


Литература [1].


Практическое занятие № 5

Тема: Однородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка

1. Цель занятия: закрепить знания и умения по решению дифференциальных уравнений первого порядка.


2. Работа способствует формированию ОК 2,4, ПК 1.3,2.2


3. Методическое обеспечение

3.1. Плакаты: «Правила нахождения первообразной», «Таблица интегралов».

3.2. Конспект лекций.

3.3. Методические рекомендации по проведению практических занятий.

3.4. Карточки с индивидуальными заданиями.


4. Краткие теоретические сведения


Линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида  y' + f(x)y = 0

Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y:

правая часть уравнения с разделяющимися переменными

где p(x) и h(y) − непрерывные функции. 
Для решения уравнения с разделяющимися переменными необходимо представить производную как отношение дифференциалов и разделить переменные, т.е. с одной стороны от знака равенства собрать выражение содержащее только x , с другой - только y
Рассматривая производную 
y' как отношение дифференциалов http://www.math24.ru/images/1fodi2.gif, перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h(y):

разделение переменных

Разумеется, нужно убедиться, что h(y) ≠ 0. Если найдется число x0, при котором h(x0) = 0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h(y) приводит к потере указанного решения. 
Обозначив 
http://www.math24.ru/images/1fodi4.gif, запишем уравнение в форме:

http://www.math24.ru/images/1fodi5.gif

Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение:

интегрирование уравнения с разделяющимися переменными

где C − постоянная интегрирования. 
Вычисляя интегралы, получаем выражение

общее решение уравнения с разделяющимися переменными

описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными

Пример1.

Решить уравнение hello_html_m7565083e.gif.

Решение.

Перепишем уравнение в виде hello_html_78698976.gif. Разделение переменных приводит к равенству hello_html_m53b600c3.gif. В результате вычисления интегралов hello_html_m3a771fff.gif получаем hello_html_7bcd1f94.gif,

где hello_html_m73fc64be.gif - произвольная положительная постоянная.

Произвольная постоянная записана в форме hello_html_97f692b.gif для удобства записи формы общего решения.

Далее, используя свойства логарифмов, из последнего равенства получаем

hello_html_2b755949.gif.

Отсюда hello_html_m1a5bc55c.gif, где hello_html_m239f1eb8.gif.

Отрицательные и неотрицательные решения охватываются одной формулой: hello_html_m66605585.gif, hello_html_m73fc64be.gif- произвольная постоянная.

Ответ. hello_html_m66605585.gif; hello_html_m73fc64be.gif - произвольная постоянная.

Пример 2.

Найти частное решение дифференциального уравнения http://www.math24.ru/images/1fodi28.gif при условии y(1) = −1.


Решение.

Разделим обе части уравнения на x:

     http://www.math24.ru/images/1fodi29.gif

Мы предполагаем, что x ≠ 0, поскольку областью определения исходного уравнения является множество x > 0. В результате интегрирования получаем:

     http://www.math24.ru/images/1fodi30.gif

Интеграл в правой части вычисляется следующим образом:

      http://www.math24.ru/images/1fodi31.gif

Следовательно, общее решение в неявной форме имеет вид:

      http://www.math24.ru/images/1fodi32.gif

где C1 = 2C − постоянная интегрирования. 
Найдем теперь значение 
C1, удовлетворяющее начальному условию y(1) = −1:

      http://www.math24.ru/images/1fodi33.gif

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения с заданным начальным условием (задача Коши) описывается алгебраическим уравнением:

      http://www.math24.ru/images/1fodi34.gif

5. Вопросы для закрепления теоретического материала

5.1. Какое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка?

5.2. Какое дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными?


6. Задание

Вариант 1

Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений (для № 1-2).

  1. hello_html_44025533.gif.

  2. hello_html_75383edc.gif.

  3. Решить задачу Коши: hello_html_3106f8b2.gif.

Решить следующие дифференциальные уравнения первого порядка (для № 4-5).

  1. hello_html_5d56aef.gif.

  2. hello_html_m52bd42b6.gif.

Вариант 2

Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений (для № 1-2).

  1. hello_html_m318e466c.gif.

  2. hello_html_1a976d98.gif.

  3. Решить задачу Коши: hello_html_m2fc827ae.gif.

Решить следующие дифференциальные уравнения первого порядка (для № 4-5).

  1. hello_html_m2ed97b25.gif.

  2. hello_html_m101ec1c2.gif.

7. Порядок выполнения работы

7.1. Прочитать краткие теоретические сведения.

7.2. Записать ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

7.3. Решить вариант (№ варианта сообщит преподаватель).


8. Вопросы для самопроверки

8.1. Как решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными?

8.2. Как найти частное решение дифференциального уравнения с заданным начальным условием?


9. Критерии оценки

«Отлично» - обучающийся правильно решил дифференциальные уравнения, правильно ответил на вопросы и сдал задание в установленный срок.

«Хорошо» - обучающийся допустил одну, две ошибки при выполнении задания.

«Удовлетворительно» - обучающийся допустил три, четыре ошибки при выполнении задания.

«Неудовлетворительно» - обучающийся допустил более четырех ошибок при выполнении задания.

Литература [1].


Практическое занятие № 6

Тема: Функция распределения вероятностей случайной величины.


1. Цель занятия: закрепить знания и умения по нахождению функции распределения вероятностей случайной величины


2. Работа способствует формированию ОК 1-9, ПК 1.1, 1.2, 1.3, 2.2.


3. Методическое обеспечение

3.1. Конспект лекций.

3.2. Методические рекомендации по проведению практических занятий.

3.3. Карточки с индивидуальными заданиями.


4. Краткие теоретические сведения

Случайная величина - величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины (кратко: СВ) обозначают большими латинскими буквами http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/5af59ccf1f8803f645400d2889ebf2f3.gif, а принимаемые ими значения - малыми буквами http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/816238bdd46ca837f886544a51f1e0c3.gif

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически. 

Закон распределения ДСВ Х удобно задавать с помощью следующей таблицы

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/1ba8aaab47179b3d3e24b0ccea9f4e30.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/aa687da0086c1ea060a8838e24611319.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/8732099f74d777a67257cb2f04ead3d8.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/7497173ad509a4b287733ce90d63d41d.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/5bef92b1854f9c388d11bfbb1720c05d.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/7497173ad509a4b287733ce90d63d41d.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/eca91c83a74a2373ca5f796700e99fd3.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/6cbb60d59d04d1d7c9e64fd2a001c8c6.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/6cbb60d59d04d1d7c9e64fd2a001c8c6.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/7497173ad509a4b287733ce90d63d41d.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/6cbb60d59d04d1d7c9e64fd2a001c8c6.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/7497173ad509a4b287733ce90d63d41d.gif

называемой рядом распределения. При этом возможные значения http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/2b6876eaff78750b07c60ccf4cf69672.gif СВ Х в верхней строке этой таблицы располагаются в определенном порядке, а в нижней - соответствующие вероятности http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/42d790b6827e1063b782af5ace3c9201.gif.

Графически ряд распределения изображают в виде многоугольника (или полигона) распределения.

Пример 1. В ящике 2 нестандартные и 4 стандартные детали. Из него последовательно вынимают детали до первого появления стандартной детали. Построить ряд и многоугольник распределения ДСВ http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif - числа извлеченных деталей.

Решение.

Рассмотрим все возможные значения, которые может принимать случайная величина http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif:

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/b79a8e461e9bf30fc1f40a2464480100.gif - первой вынули  стандартную деталь;

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/d966684ae158e246c3642e50d89e15bf.gif - первая вынутая деталь нестандартная, вторая стандартная;

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/ac23233e70b360f29e950ac6ba6e19ad.gif - первая деталь нестандартная, вторая деталь нестандартная, третья деталь стандартная.

Соответствующие им вероятности http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/5463aa9694db012f12349720e4a3126d.gif найдем, воспользовавшись правилом умножения вероятностей (заметьте, что события зависимы):

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/d9e3781348fb092ea60d1a87b98a80e2.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/1c53224cae36b561e7fe0f858181dcfd.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/e05f9fed013714f79216af7e249e7a1d.gif

Тогда закон распределения дискретной случайной величины Х примет вид:

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/1ba8aaab47179b3d3e24b0ccea9f4e30.gif

1

2

3

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/eca91c83a74a2373ca5f796700e99fd3.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/6ca8c824c79dbb80005f071431350618.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/7e56c79236bbf90c734a8eccfdf83f45.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/56e7f66d849d2a6c1a430d38565c2e35.gif

Построим многоугольник распределения, отложив на оси абсцисс (ОХ) значения ДСВ Х, а на оси ординат (ОY) соответствующие им вероятности:

http://ischanow.ru/sites/default/files/audit_zaniatia/ter-ver/DSV%28diskr-sluch-velichina%29/Opredelenie%20operacii%20nad%20DSV/1.1.JPG

Функцией распределения называют функцию http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/d76f2c4d6bdf142af5106c3f36e9e970.gif , определяющую вероятность того, что случайная величина http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif в результате испытания примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/8bfab71ad8f07fdbfbe269272ae522ad.gif

Свойства функции распределения:

  1. http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/1a5718e76bfe9cb12ed14c52a980ba49.gif

  2. http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/d76f2c4d6bdf142af5106c3f36e9e970.gif - неубывающая функция, т.е. http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/edf50684574f333e333851723e2d9da4.gif, если http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/8ce3a557db09be069ba2679a06170251.gif

  3. http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/d45a874bc0e82daf7fe4b6b77c0aeba1.gif

  4. http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/d76f2c4d6bdf142af5106c3f36e9e970.gif непрерывна слева в любой точке http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif, т.е. http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/f1c83db316e85197243baaf95cdacf86.gif

  5. http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/e9b89598d0d5a94762fb14be29e642e2.gif

Функция распределения ДСВ имеет вид

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/de8fe371a90662f3a4df5443137b5bf3.gif

где суммирование ведется по всем индексам http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.gif, для которых http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/4ba7c5be762ad6ea01de0942e571bf18.gif

Пример 2. Задан закон распределения ДСВ Х:

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/1ba8aaab47179b3d3e24b0ccea9f4e30.gif

-2

-1

0

2

3

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/eca91c83a74a2373ca5f796700e99fd3.gif

0,1

0,2

0,3

0,3

0,1

Найти функцию распределения и построить ее график.

Решение.

По определению функции распределения находим:

если http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/f55bb91ad5b02938ed438ec169aa15a6.gif, то http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/d9ca7ec84165b8770fb6893d0f927acf.gif, так как значения меньше -2 ДСВ Х не принимает;

если http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/190de29b85149da1ba4d33225478352d.gif, то http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/ca391987e9bc9640feb687088a858aeb.gif

если http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/e41a2d966d3ac66e6470699228b95a60.gif, то http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/737ec01fc2c797e9b4a90d3729919fe6.gif, так как http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif может принять значения -2 или -1

если http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/214b36b89554d6e01d1ca0e0da6fdb61.gif, то http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/55324430bde8b4136c28889a3353b774.gif

если http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/37d06f2d2af9b38a5671bea134cd1271.gif, то http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/6d062b656e1b620ab7a4080d72dfc54c.gif

если http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/600f716e2bea7b0b2e8f36655dec1bea.gif, то http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/f25ebe01ec3ec044452495ed47661363.gif

Таким образом, функция распределения http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/d76f2c4d6bdf142af5106c3f36e9e970.gifимеет вид:

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/f66225b1487faf26f7a08032307e9ab6.gif

http://ischanow.ru/sites/default/files/audit_zaniatia/ter-ver/DSV%28diskr-sluch-velichina%29/Opredelenie%20operacii%20nad%20DSV/funkcia%20raspredelenia%20%281.4%29.JPG

Пример 3. Задан закон распределения ДСВ М:

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/342e772474b691ac87dac30aeef596c0.gif

0

1

2

3

4

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/eca91c83a74a2373ca5f796700e99fd3.gif

0,12

0,24

0,34

0,22

0,08

Найдем вероятности всех значений ДСВ М, которые меньше, либо равны 2

http://ischanow.ru/sites/default/files/latex/c1418383559bdd2f47c5f455690882b4.gif

5. Вопросы для закрепления теоретического материала

5.1. Дайте определение дискретной случайной величины

5.2. Какую функцию называют функцией распределения?

5.3. Дайте определение непрерывной случайной величины

5.4. Какими свойствами обладает функция распределения?

5.5. Сформулируйте свойства функции распределения и их следствия.


6. Задание

Вариант 1

    1. Случайная величина х задана функцией распределения

hello_html_m26d8ece6.gif

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значения принадлежащее интервалу (0;2):

Р ( 0 < х < 2 ) = F (2) – F (0).


    1. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения

Х 1 4 8

Р 0,3 0,1 0,6


Найти функцию распределения и построить ее график.


    1. Случайная величина Х задана функцией распределения

hello_html_m58e9e6fb.gif

Найдите вероятность того, что в результате испытания Х примет значение:

а) меньшее 0,2; б) меньшее трех; в) не меньшее трех; г) не меньшее пяти.


Вариант 2


  1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х 2 4 7

Р 0,5 0,2 0,3


Найдите функцию распределения F(х) и начертите ее график.


  1. Случайная величина Х задана функцией распределения

hello_html_m2b20b182.gif

Найдите вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (0;1/3).


  1. Случайная величина Х задана функцией распределения

hello_html_m53500935.gif

Вычислите вероятность попадания случайной величины Х в интервале (1;2,5) и (2,5;3,5).

7. Порядок выполнения работы

7.1. Прочитать краткие теоретические сведения.

7.2. Записать ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

7.3. Решить вариант (№ варианта сообщит преподаватель).


8. Вопросы для самопроверки

8.1. Как может быть задана дискретная случайная величина?

8.2. Как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины?

8.3. Где в практической деятельности используют свойства дискретных случайных величин?

8.4. Если дискретная случайная величина задана таблицей, как найти функцию ее распределения?

8.5. Дискретная случайная величина задана с помощью таблицы, как вычертить ее график?


9. Критерии оценки

«Отлично» - обучающийся правильно выполнил 3 задания, правильно ответил на вопросы и сдал задание в установленный срок.

«Хорошо» - обучающийся допустил одну, две ошибки при выполнении задания.

«Удовлетворительно» - обучающийся допустил три, четыре ошибки при выполнении задания.

«Неудовлетворительно» - обучающийся допустил более четырех ошибок при выполнении задания.

Литература [1].


Практическое занятие № 7

Тема: Элементы математической статистики


1. Цель занятия: закрепить знания и умения по решению задач.


2. Работа способствует формированию ОК 1-9, ПК 1.1, 1.2, 1.3, 2.2.


3. Методическое обеспечение

3.1. Конспект лекций.

3.2. Методические рекомендации по проведению практических занятий.

3.3. Карточки с индивидуальными заданиями.


4. Краткие теоретические сведения

Опр. Случайной величиной называется переменная величина, которая может принимать те или иные значения в зависимости от случая.

Опр. Функция, связывающая значения случайной величины с соответствующими им вероятностями, называется законом распределения дискретной случайной величины.

Опр. Полигоном частот называют зависимость, выражающую распределение величины Х по частотам или по относительным частотам.

Характеристики случайной величины:

Опр. Размах (обозначается R) - разница между наибольшим и наименьшим значениями случайной величины.

Опр. Мода (обозначается Мо) – наиболее часто встречающееся значение случайной величины.

Опр. Медиана (обозначается Ме) – это так называемое серединное значение упорядоченного ряда значений случайной величины.

Пример


В детском обувном магазине за декаду было куплено 750 пар обуви. Кладовщик проводил статистическое исследование и с этой целью записывал размеры каждой пятой из затребованных пар. Эти числа составили следующий ряд данных: 23, 24, 16, 21, 18, 17, 20, 23, 18, 16, 19, 18, 22, 19, 21, 17, 24, 15, 23, 19, 16, 22, 18, 24, 19, 17, 22, 19, 15, 23, 21, 23, 19, 23, 17, 22,16, 19, 22, 18, 20, 15, 21, 23, 19, 18, 23, 22, 20, 17, 19, 23, 21, 24, 22, 23, 20, 22, 21, 18, 16, 19, 22, 23, 20, 24, 21, 19, 24, 16, 20, 23, 24, 18 22, 17, 15, 21, 24, 20, 19, 17, 21, 20, 15, 23, 24, 18, 16, 22, 23, 24, 21, 15, 23, 22, 20, 23, 19, 20, 17, 22, 19, 20, 24, 15, 23, 18, 22, 23, 15, 21, 24, 19, 18, 19, 17, 15, 19, 23, 20, 17, 22, 23, 20, 18, 22, 19, 20, 18, 19, 24, 18, 16, 21, 24, 17, 15, 20, 22, 21, 24, 22, 18, 22, 18, 24, 15, 21.

а) Постройте таблицу частот.

б) Определите моду ряда (самый распространенный размер).

в) Постройте диаграмму частот.

г) Найдите средний размер по этой выборке.


Решение.

а) Сначала при просмотре всей выборки выясним, какие в ней встречаются размеры, и расположим их в порядке возрастания: 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24. Далее подсчитаем количество пар каждого размера в выборке (т.е. частоту появления каждого размера) и сведем данные в таблицу


Размер обуви

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Частота

12

8

11

16

19

15

14

19

20

16

б) Мода данного ряда – число 23.

в) Воспользуемся данными таблицы для построения диаграммы частот, в которой по горизонтальной оси отложены номера имеющихся размеров, по вертикальной оси – количество пар каждого размера.

http://festival.1september.ru/articles/531635/img02.gif

г) Найдем средний размер. Для этого сначала вычислим сумму всех членов ряда: 15 •12 + 16 • 8 + 17• 11 + 18 • 16 + 19 • 19 + 20 • 15 + 21 • 13 + 22 • 19 + 23 • 20 + 24 •16 = 3000, затем общее количество ленов ряда. Это удобно сделать, сложив частоты: 12 + 8 + 11+ +16 + 19 + 15 + 14 + 19 + 20 + 16 = 150, далее, разделив первый результат на второй, получим средний размер: 3000 / 150= 20.


5. Вопросы для закрепления теоретического материала

5.1. Что называется случайной величиной?

5.2. Что называется законом распределения дискретной случайной величины?

5.3. Что такое полигон частот?


6. Задание












1 вариант.

1. На стол одновременно бросают два игральных тетраэдра, грани каждого из которых пронумерованы числами 1, 2, 3, 4. Составить таблицу распределения по вероятностям значений случайной величины Х – суммы очков на гранях тетраэдров, касающихся поверхности стола.


2. В таблице приведены размеры одежды 50 учащихся 10 класса. На основании этих данных составить таблицу распределения по вероятностям значений случайной величины Х – размеров одежды учащихся 10 класса. Составить таблицы распределения по частотам (М) и относительным частотам (W)

50

40

44

44

46

46

44

48

46

44

38

44

48

50

40

42

50

46

54

44

42

42

52

44

46

38

46

42

44

48

46

48

44

40

52

44

48

50

46

46

48

40

46

42

44

50

46

44

46

48


3. Построить полигон частот и полигон относительных частот значений случайной величины Х, распределение которой представлено в таблице:

Х

11

12

13

14

15

М

3

1

5

6

5


4. Найти размах, моду и медиану выборки:

1, 3, -2, 4, -2, 0, 2, 3, 1, -2, 4

Построить полигон частот значений величины и указать на нём размах, моду и медиану.


2 вариант.

1. На стол одновременно бросают игральный кубик и игральный тетраэдр (грани которого пронумерованы числами 1, 2, 3, 4). Составить таблицу распределения по вероятностям значений случайной величины Х – суммы очков, выпавших на кубике и грани тетраэдра, касающейся поверхности стола.


2. В таблице приведены размеры одежды 50 учащихся 10 класса. На основании этих данных составить таблицу распределения по вероятностям значений случайной величины Х – размеров одежды учащихся 10 класса. Составить таблицы распределения по частотам (М) и относительным частотам (W)

42

42

52

44

46

38

46

42

44

48

48

40

46

42

44

50

46

44

46

48

50

40

44

44

46

46

44

48

46

44

46

48

44

40

52

44

48

50

46

46

38

44

48

50

40

42

50

46

54

44


3. Построить полигон частот и полигон относительных частот значений случайной величины Х, распределение которой представлено в таблице:

Х

23

24

25

26

27

28

М

6

5

2

3

1

3


4. Найти размах, моду и медиану выборки:

0,2 ; 0,4; 0,1; 0,5; 0,1; 0,2; 0,3; 0,5; 0,4; 0,6

Построить полигон частот значений величины и указать на нём размах, моду и медиану.

7. Порядок выполнения работы

7.1. Прочитать краткие теоретические сведения.

7.2. Записать ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

7.3. Решить вариант (№ варианта сообщит преподаватель).


8. Вопросы для самопроверки

8.1. Назовите основные характеристики случайной величины.

8.2. Как найти размах, моду и медиану ряда?


9. Критерии оценки

«Отлично» - обучающийся правильно решил задачи, правильно ответил на вопросы и сдал задание в установленный срок.

«Хорошо» - обучающийся допустил одну, две ошибки при выполнении задания.

«Удовлетворительно» - обучающийся допустил три, четыре ошибки при выполнении задания.

«Неудовлетворительно» - обучающийся допустил более четырех ошибок при выполнении задания.

Литература [1].


Практическое занятие № 8

Тема: Множества и операции над ними


1. Цель занятия: закрепить знания и умения по выполнению операций над множествами.


2. Работа способствует формированию ОК 1-9, ПК 1.1, 1.2, 1.3, 2.2.


3. Методическое обеспечение

3.1. Конспект лекций.

3.2. Методические рекомендации по проведению практических занятий.

3.3. Карточки с индивидуальными заданиями.


4. Краткие теоретические сведения

Под множеством в математике понимается любая совокупность каких-либо объектов. При этом сами объекты, составляющие множество, называются Элементами Множества.

Определение 1. Пересечением двух множеств и называется множество A hello_html_69c8c4a6.gifB, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств A и B, т. е.

http://matica.org.ua/images/stories/LDM/image020.png

Например, {1; 2; 5; 7} hello_html_69c8c4a6.gif {1; 5; 6} = {1; 5}. Пересечением множества прямоугольников с множеством ромбов является множество квадратов. Пересечением множества студентов-первокурсников с множеством отличников является множество первокурсников-отличников.

Определение 2. Объединением множеств A и B называется множество Ahello_html_48d46fa3.gifB, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B:

http://matica.org.ua/images/stories/LDM/image021.png

Например, {1; 2; 5} hello_html_48d46fa3.gif {1; 5; 6; 7} = {1; 2; 5; 6; 7}.

Определение 3. Разностью множеств A и B называется множество A \ B, состоящее из всех элементов множества A, не принадлежащих множеству B: http://matica.org.ua/images/stories/LDM/image030.png

Если ясно, о каком универсальном множестве U идет речь, то разность U \ A называется дополнением множества A и обозначается: http://matica.org.ua/images/stories/LDM/image031.png.

Например, разностью множества четных чисел и множества чисел, кратных 3, является множество четных чисел, не делящихся на 6. Дополнением множества четных чисел в (универсальном множестве целых чисел) является множество нечетных чисел.

Диаграммы Эйлера-Венна. Введенные операции допускают удобное графическое истолкование с помощью диаграмм (или кругов) Эйлера-Венна, где результат операции указан штриховкой

http://matica.org.ua/images/stories/LDM/image032.jpghttp://matica.org.ua/images/stories/LDM/image036.pnghttp://matica.org.ua/images/stories/LDM/image033.jpghttp://matica.org.ua/images/stories/LDM/image037.pnghttp://matica.org.ua/images/stories/LDM/image034.jpghttp://matica.org.ua/images/stories/LDM/image038.pnghttp://matica.org.ua/images/stories/LDM/image035.jpghttp://matica.org.ua/images/stories/LDM/image031.png

5. Вопросы для закрепления теоретического материала

5.1. Что такое множество?

5.2. Что такое элемент множества?

5.3. Способы задания множества

5.4. Что такое подмножество?

5.5. Какие множества называются равными?

6. Задание

1 вариант

2 вариант

В заданиях 1-3сформулируйте верный ответ

В заданиях 1-3 сформулируйте верный ответ

1. Множество N натуральных чисел:

  1. Конечно

  2. Бесконечно

  3. Ограничено

  4. Симметрично

1. Множество всех букв греческого алфавита:

  1. Бесконечно

  2. Конечно

  3. Пустое множество

  4. Ограничено

2. Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов:

  1. Множества А, которые не принадлежат множеству В

  2. Множества В, которые не принадлежат множеству А

  3. Множества элементов которые принадлежат множеству А и В одновременно

  4. Нет верного ответа

2. Если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В, то множество А называется:

  1. Подмножеством В

  2. Множество В называется подмножеством множества А

  3. Множество А не является подмножеством множества В

  4. Множество В не является подмножеством множества А


3. Пересечением множеств А и В называется множество тех и только тех элементов, которые принадлежат:

  1. Множеству А

  2. Множеству В

  3. Множеству А и множеству В одновременно

  4. Нет верного ответа

3. Объединением множеств А и В называется множество тех и только тех элементов:

  1. Которые входят хотя бы в одно из множеств А и В

  2. множества А, не принадлежащих множеству В

  3. множества В, не принадлежащих множеству А

  4. Которые входят и в множество А и в множество В

В заданиях 4-5 выполните операции над множествами

В заданиях 4-5 выполните операции над множествами

4. Найти множества А∩В, АUВ, А/В, В/А, если:

а) А={е, о, р, х} В={х, у}

б) А={х: -3<х<4} В={х: 0≤х≤6}

в) А={2n+1}, B={n+1} nєN

4. Найти множества А∩В, АUВ, А/В, В/А, если:

а) А={12, 13, 14, 15} В={12, 14, 16}

б) А={х: 0<х<2} В={х: 1≤х≤4}

в) А={3-(n+1)}, B={n+5} nєN

5. Дано: A={b, e, f, k, t}; B={f, i, j, p, y};

C={j, k, l, y}; D={i, j, s, t, u, y, z};

X ACBC;

Y ABD\C

Найти: X, Y

5. Дано: A={c, m, n, o, q}; B={c, d, m, w};

C={m, n, q}; D={c, m, p};

X ABC ;

Y ABC \ D

Найти: X, Y


7. Порядок выполнения работы

7.1. Прочитать краткие теоретические сведения.

7.2. Записать ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

7.3. Решить вариант (№ варианта сообщит преподаватель).


8. Вопросы для самопроверки

8.1. Что такое пересечение множеств?

8.2. Что называется объединением множеств?

8.3. Что называется разностью множеств?

8.4. Что называется дополнением?


9. Критерии оценки

«Отлично» - обучающийся правильно выполнил операции над множествами, правильно ответил на вопросы и сдал задание в установленный срок.

«Хорошо» - обучающийся допустил одну, две ошибки при выполнении задания.

«Удовлетворительно» - обучающийся допустил три, четыре ошибки при выполнении задания.

«Неудовлетворительно» - обучающийся допустил более четырех ошибок при выполнении задания.


Литература [1].


Практическое занятие № 9

Тема. Отношения на множестве

1. Цель занятия: закрепить знания и умения решения задач с использованием отношений на множестве


2. Работа способствует формированию ОК 1-9, ПК 1.1, 1.2, 1.3, 2.2.


3. Методическое обеспечение

3.1. Конспект лекций.

3.2. Методические рекомендации по проведению практических занятий.

3.3. Карточки с индивидуальными заданиями.


  1. Краткие теоретические сведения

Декартово произведение A x B множеств A и B - множество всевозможных пар вида (a, b), где a - элемент множества A, b - элемент множества B. В отличие от обычного произведения, перестановка "множителей" меняет результат. Заметим, что декартово произведение множества самого на себя - допустимая операция. 
Пример декартова произведения. 
A = {-1,1}, B ={0,2}, A x B = {(-1, 0), (-1, 2), (1, 0), (1, 2)}. 
Любое подмножество R декартова произведения A x A называется отношением на множестве A. Если некоторые элементы y, z из A находятся в отношении R, это обозначают как yRz. Небольшой пример. Пусть есть молодёжная компания K = {Вася, Маша, Катя, Лиза, Петя}. Допустим, R - отношение "живущие по одной улице". Маша и Катя живут по улице Дубовой, Лиза и Петя - по улице Липовой, Вася - по улице Кустарной. Тогда R = {(Маша, Катя), (Катя, Маша), (Лиза, Петя), (Петя, Лиза)}.

Задача 1. Из 100 школьников английский знают 42, немецкий — 30, французский — 28, английский и немецкий — 5, английский и французский — 10, немецкий и французский — 8, английский, немецкий и французский — 3 школьника. Сколько школьников не знают ни одного языка?

Решение.

Обозначим через А — множество школьников, знающих английский язык; N — множество школьников, знающих немецкий язык; F — множество школьников, знающих французский язык.

Тогда n(A) = 42, n(N) = 30, n(F) = 28, n(A N) = 5,

n(A F) = 10, n(N F) = 8, n(A N F) = 3.

Найдем с помощью формулы включений и исключений количество школьников, знающих хотя бы один из перечисленных иностранных языков.

n(A N F) = n(A) + n(N) + n(F) – n(A N) – n(A F) – n(N F) + n(A N F) =

= 42 + 30 + 28 – 5 – 10 – 8 + 3 = 80.

Следовательно, не знают ни одного иностранного языка: 100 – 80 = 20 школьников.

Задача 2. Сколько четных двузначных чисел, не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 11?

Решение. Обозначим: А — множество четных двузначных чисел, делящихся на 2; В — множество четных двузначных чисел, делящихся на 3; С — множество четных двузначных чисел, делящихся на 5; D — множество четных двузначных чисел, делящихся на 11. Нужно ответить на вопрос: сколько элементов попало во множество А и не попало ни в какие другие множества?

hello_html_671a7d66.gif

Рассмотрим диаграмму. Отметим количественные показатели в соответствующих областях в следующем порядке:

n(A B C) = 3, n(A B D) = 1,

n(A B) – 3 – 1 = 11, n(A C) – 3 = 6,

n(A D) – 1 = 3,

n(A) – 3 – 1 – 11 – 3 – 6 = 45 – 24 = 21.

Таким образом, только во множестве А (т.е. четных чисел, не делящихся ни на 3, ни на 5, ни на 11) находится 21 число.

Задача 3. Учащиеся пошли в лес за грибами. 80% собирали белые грибы, 70% — моховики, 85% — маслята, 75% — рыжики. Сколько процентов учащихся собирали белые грибы, моховики, маслята и рыжики?

Решение. Подсчитаем, сколько учащихся собирали белые грибы и моховики: 70 % + 80 % = 150 %. Следовательно, белые грибы и моховики собирали 50 % учащихся. Аналогично, так как 50 % + 85 % = 135 %, то белые грибы, моховики и маслята собирали 35 % учащихся. Далее, имеем 35 % + 75 % = 110 %, белые грибы, моховики, маслята и рыжики собирали 10 % учащихся.

5. Вопросы для закрепления теоретического материала

5.1. Что такое декартово произведение?

5.2. Что называется отношением на множестве?

5.3. Назовите простейшие виды отношений.


  1. Задание


  1. В спортивном классе обучаются 24 человека. Каждый учащийся занимается хотя бы одним видом спорта (баскетболом или волейболом), из них баскетболом и волейболом занимаются 12 человек. Сколько человек занимается только волейболом, если их в 3 раза больше, чем тех, кто занимается только баскетболом?

  2. В одном украинском городе все жители говорят на русском или украинском языке. По-украински говорят 80 % всех жителей, а по-русски — 75 %. Сколько процентов всех жителей говорят на обоих языках?

  3. Группа ребят отправилась в поход. Семеро из них взяли с собой бутерброды, шестеро — фрукты, пятеро — печенье. Четверо ребят взяли с собой бутерброды и фрукты, трое — бутерброды и печенье, двое — фрукты и печенье, а один — и бутерброды, и фрукты, и печенье. Сколько ребят пошли в поход?

7. Порядок выполнения работы

7.1. Прочитать краткие теоретические сведения.

7.2. Записать ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

7.3. Выполнить самостоятельно задание.


8. Вопросы для самопроверки

8.1. Какие отношения называются рефлексивным и антирефлексивным? Приведите примеры.

8.2. Какие отношения называются симметричным, антисимметричным и асимметричным? Приведите примеры.

8.3. Какое отношение называется транзитивным?

8.4. Какое отношение называется связным?

8.5. Отношения эквивалентности и отношения порядка.


9. Критерии оценки

«Отлично» - обучающийся правильно решил 3 задачи, правильно ответил на вопросы и сдал задание в установленный срок.

«Хорошо» - обучающийся допустил одну, две ошибки при выполнении задания.

«Удовлетворительно» - обучающийся допустил три, четыре ошибки при выполнении задания.

«Неудовлетворительно» - обучающийся допустил более четырех ошибок при выполнении задания.


Литература [1].


Практическое занятие № 10

Тема: Численное интегрирование


1. Цель занятия: закрепить знания и умения по применению приближенных методов к вычислению определенных интегралов.


2. Работа способствует формированию ОК 2,4, ПК 1.3,2.2

3. Методическое обеспечение

3.1. Плакаты: «Численное интегрирование».

3.2. Конспект лекций.

3.3. Методические рекомендации по проведению практических занятий.

3.4. Карточки с индивидуальными заданиями.


4. Краткие теоретические сведения

Пример 1.

Пользуясь методом трапеций, вычислить приближенно интегралhello_html_m20a9fb96.gif при n=10.

Решение. Разобьем отрезок [0;1] на 10 равных частей точками x0=0; x1=0,1; …; x9=0,9; x10=1 b и вычислим приближенно значения функции hello_html_m29944227.gif в этих точках:

f (0) =1, 0000 f (0,3) =0,7692

f (0,1) =0, 9091 f (0,2) =0,8333 f (0,6) =0, 6250

f (0,4) =0,7143 f (0,5) =0,6667 f (0,9) = 0,5263

f (0,7) =0, 5882 f (0,8) =0,5556 f (1) = 0,5000

Применяя формулу трапеций, получим:

hello_html_m5f34ba45.gif

Оценим погрешность полученного результата. Так как

hello_html_19b4c849.gif, то hello_html_m503bb6a3.gif, hello_html_631c48c5.gif.


На отрезке [0;1] имеем hello_html_m308fabf.gif, а значит hello_html_m28ba1587.gif. Поэтому погрешность полученного результата не превосходит величины


hello_html_m43544370.gif


Точное значение данного интеграла легко находим по формуле Ньютона-Лейбница:


hello_html_m25f1839f.gif


Абсолютная ошибка результата, полученного по формуле трапеций, меньше 0, 0007, что находится в соответствии с приведенной выше оценкой погрешности.

Пример 2. Вычислить интеграл hello_html_m43e4d3ac.gif по формуле прямоугольников.

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница, получим

hello_html_3ee652a8.gif

Теперь применим формулу прямоугольников

  1. hello_html_2d059b0e.gifhello_html_34c87ed4.gif.

  2. hello_html_7190e257.gifhello_html_5287c53d.gif.

  3. hello_html_m16950c96.gifhello_html_7435749f.gif.

  4. hello_html_m1620dc36.gifhello_html_6e90501b.gif.

  5. hello_html_487928d4.gifhello_html_m426ebfb5.gif.

  6. hello_html_m4ff43a8b.gifhello_html_m11d22d45.gif.

  7. hello_html_32a94ec7.gifhello_html_2ca3da49.gif.

  8. hello_html_m39c878ca.gifhello_html_m1fff8030.gif.

  9. hello_html_2d45b858.gifhello_html_42f62df8.gif.

  10. hello_html_m4993e78e.gifhello_html_6db76503.gif.

Сумма hello_html_m1945cfab.gif.


Таким образом,


hello_html_m510cf468.gifhello_html_m7a25cdaa.gif


В данном примере неточности в вычислениях нет. А значит, для данной функции формула прямоугольников позволила точно вычислить определённый интеграл.


5. Вопросы для закрепления теоретического материала

5.1. По какой формуле вычисляются определенные интегралы?

5.2. Когда используются приближенные методы вычисления определенных интегралов?

5.3. В чем заключается метод прямоугольников?

5.4. В чем заключается метод трапеций?


6. Задание

Вариант 1

1. Вычислите интеграл hello_html_m593e0d90.gifметодом прямоугольников, найдите относительную погрешность вычисления.

2. Вычислите интеграл hello_html_m6dd18e59.gif по формуле трапеций, разбив промежуток интегрирования на 10 равных частей.

3. Вычислите интеграл hello_html_m6dd18e59.gif по формуле Ньютона-Лейбница.

Вариант 2

1. Вычислите интеграл hello_html_m6c5eb22f.gifметодом прямоугольников, разбив промежуток [0;П] на 10 равных частей.

2. Найдите точное вычисление интеграла hello_html_m6c5eb22f.gif по формуле Ньютона-Лейбница и относительную погрешность приближенного вычисления.

3. Вычислите приближенное значение интеграла hello_html_m358f93c3.gif по формуле прямоугольника, полагая n = 10.


7. Порядок выполнения работы

7.1. Прочитать краткие теоретические сведения.

7.2. Записать ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

7.3. Решить вариант (№ варианта сообщит преподаватель).


8. Вопросы для самопроверки

8.1. Какой метод является наиболее простым методом приближенного вычисления определенного интеграла?

8.2. От чего зависит выбор метода приближенного интегрирования?

8.3. Какой метод дает наиболее точные результаты?


9. Критерии оценки

«Отлично» - обучающийся правильно вычислил все определенные интегралы, правильно ответил на вопросы и сдал задание в установленный срок.

«Хорошо» - обучающийся допустил одну, две ошибки при выполнении задания.

«Удовлетворительно» - обучающийся допустил три, четыре ошибки при выполнении задания.

«Неудовлетворительно» - обучающийся допустил более четырех ошибок при выполнении задания.


Литература [1].



ЛИТЕРАТУРА


Основные источники

  1. Дадаян А.А. Математика: учебник для ССУЗов («Профессиональное образование»). – М.: Форум – Инфра, 2013.

  2. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика: учебник для ССУЗов. – М.: Дрофа, 2013.

  3. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для средних специальных учебных заведений. – М.: Academa, 2013.


Дополнительные источники

  1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учебное пособие для ССУЗов. – М.: Высшая школа, 2013.

  2. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике для ССУЗов. – М.: Дрофа, 2013.

  3. Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика: учебное пособие для ВУЗов. – М.: Высшая школа, 2012.

  4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятности и математической статистике: учебное пособие для студентов вузов. – М.: Высшая школа, 2012.

  5. Дадаян А.А. Сборник задач по математике: учебное пособие для ССУЗов. – М.: Форум – Инфра, 2013.

  6. Ермаков В.И. Сборник задач по высшей математике: учебное пособие для вузов. – М.: Инфра-М, 2012

  7. Соболь Б.В., Мишняков Н.Т. Практикум по высшей математике: учебное пособие для студентов и преподавателей вузов. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2012.

  8. Уртенов Н.С. Основные понятия математики: учебное пособие для студентов вузов. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2012.


Интернет ресурсы

  1. http://www.math.ru

  2. Газета "Математика" издательского дома "Первое сентября"

http://mat.1september.ru

  1. Математика в Открытом колледже

http://www.mathematics.ru

  1. Математика: Консультационный центр преподавателей и выпускников МГУ

http://school.msu.ru

  1. Материалы по математике в Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов

http://www.mccme.ru

  1. Образовательный математический сайт Exponenta.ru

http://www.exponenta.ru

  1. Общероссийский математический портал Math_Net.Ru

http://www.bymath.net

  1. Геометрический портал

http://www.neive.by.ru

  1. Графики функций

http://www.math_on_line.com

  1. Интернет-библиотека физико-математической литературы

http://smekalka.pp.ru




Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 09.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров191
Номер материала ДВ-432337
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх