Мультимедиа урок "Решение уравнений с модулем" 10 класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 8

муниципального образования Выселковский район

поселка Бейсуг Краснодарского края

План – конспект урока алгебры

 «Понятие модуля.

Решение уравнений содержащих модуль»

10 класс

Разработала и провела

учитель математики

Сорокина Татьяна Искандаровна

Тема:  Понятие модуля.

Решение уравнений содержащих модуль.

Цели:  помочь повысить уровень понимания и практической подготовки в решении уравнений, содержащих модуль;

подготовка к краевой диагностической работе;

помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения  им сточки зрения дальнейшей перспективы.

Задача: научить учащихся решать уравнения  содержащие  модуль

Методы обучения: беседа, объяснение, выполнение  тренировочных упражнений

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач

Класс:  10

ХОД УРОКА

I.      Организационный момент.

II.  Устная работа. Повторение основных понятий.

Слайд №2. Дайте определение модуля.

Дайте геометрическое истолкование модуля 

              действительного числа а?

Как изобразить на координатной прямой │5│  и │-6│?

│5│  – расстояние от начала координат О до точки В(5).

│-6│– расстояние от начала координат О до точки М(-6).

Почему модуль не может быть отрицательной величиной?

Почему противоположные числа имеют равные модули?

Слайд №3. Как расположены на числовой прямой точки с координатами  -4; -2; 1 и 5?

Как найти расстояние между точками на координатной прямой?

Слайд №4.  Что называется расстоянием между двумя точками на координатной прямой?

В чем состоит геометрический смысл модуля разности действительных чисел?

III.           Закрепление изученного материала.

Слайд №5. Решение уравнений с помощью геометрической интерпретации модуля:

1.    | х - 2 | = 3,

2.    | 3х + 6| = 4,  

3.    | х - 3 | + | х - 1 | = 5,

4.    | х + 4| + | х - 5| = 9,

5.    | 2х - 3| + | 2х + 3| = 6,

6.    | х + 5| - | х - 8 | = 13,

7.    | х + 4| - | х - 3 | = 1,

8.    | 3х - 8| - | 3х - 2| = 6,

9.    | х + 7| = | х - 5 |.

                  Воспользовавшись гиперссылками слайда №5 решения уравнений можно найти на слайдах с 12 по 20 соответственно и вернуться обратно со слайдов с решениями.

   Слайд №6. Решение уравнений с параметрами:

1.    Сколько решений может иметь уравнение | х - 4 | = а, в зависимости от значений а?

2.    Сколько решений может иметь уравнение

| х + 3 | + | х - 1 | = а, в зависимости от значений а?

3.    Сколько решений может иметь уравнение

| х + 3 | - | х - 1 | = а,   при положительных значениях а?

               Решения уравнений при необходимости можно найти на слайдах с 9 по 11 соответственно с помощью гиперссылок слайда № 6 и  вернуться обратно со слайдов с решениями.

IV.            Cамостоятельная работа по карточкам.

Вариант I

1.     |x - 5| = 3

 

2.     |2x - 6| = 4

 

3.     |x + 4| = |x – 2|

 

4.     |x - 2| + |x + 3| = 7

 

5.     |x - 2| - |x + 3| = 5

 

Вариант II

1.     |2x - 5| - 3 = -2

 

2.     |x + 1| = |3 – х|

 

3.     |x | + |x – 1| = 9

 

4.     |3 + х| + |3 - х| = 6

 

5.     |3x + 8| - |3x + 2| = 6

 

V.   Домашнее задание.

Слайд №8. Исследовать уравнения и определить число

         корней  в зависимости от значения  а :  

                  | х + 3 | - | х – 1 |  =  а,

                  | х – 4 | - | х + 2 |  =  а,

                  | х + 1 | - | х - 6 |  =  а,

                  | х – 3 | - | х - 8 |  =  а.

VI.            Итог урока:

Слайд №7. Сколько решений имеет уравнение вида

| х - а | + | х – в | = с?

ПРИЛОЖЕНИЕ.

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ по теме «Решение уравнений с модулем».
1. Какие числа являются решениями уравнения |х+3|= -4?
а) -7; б) -7; 1; в) нет корней; г) 1.
2. Решите уравнение |х+3|=7:
а) 7; б) -7; в) 0; 7; г) 7; -7.
3. Определите координаты точки пересечения графиков функций у=|2х+1| и у=0:
а) (0;0); б) (-0,5;0); в) (0;-0,5); г) (0,5;0).
4. Решите уравнение |х+3|+|х-1|=6:
а) 3; -2; б) 4; -2; в) -4; 2; г) 2; -3.
5. Сколько точек пересечения имеют графики функций у=||5,5х-4|+2| и у=3?
а) 1; б) 2; в) 3; г) 4.
6. Решите уравнение |3х-7|=1-х:
а) 2; 3; б) -2; 3; в) -3; 2; г) -2; -3.
7. Сколько решений имеет уравнение (2,5х-5)2=(0,5х-6)2:
а) 1; б) 2; в) 3; г) 4.

СИСТЕМА КАРТОЧЕК-ЗАДАНИЙ по теме «Решение уравнений с модулем».
1. ЗАДАНИЯ С УКАЗАНИЯМИ ИЛИ АЛГОРИТМИЧЕСКИМИ ПРЕДПИСАНИЯМИ И ОБРАЗОМ ВЫПОЛНЕНИЯ.
УКАЗАНИЯ ОБРАЗЕЦ ЗАДАНИЕ
Если |х-а|+|х-в|=в-а, где в ≥ а, то
а ≤ х ≤ в
|х-1|+|х-2|=1,
1 ≤ х ≤ 2.
Ответ: [1; 2]
а) |х-4|+|х-5|=1,
б) |х|-|х-1|=1,
в) |х-6|+|х-8|=2,
г) |х-0,5|-|х-4,5|=4.

Если |х-а|-|х-в|=в-а, где в ≥ а, то
х ≥ в
|х-1|-|х-2|=1,
х ≥ 2.
Ответ: [2; +∞).

АЛГОРИТМ ОБРАЗЕЦ ЗАДАНИЯ
1. Отметить все нули подмодульных выражений на числовой прямой. Они разобьют числовую прямую на промежутки, в которых все подмодульные выражения имеют постоянный знак.
2. Из каждого промежутка взять произвольное число и подсчетом определить знак подмодульного выражения, по знаку раскрыть модули.
3. Решить уравнения и выбрать решения, принадлежащие данному промежутку. |х+1|+|х+2|=1.
Решение.
Подмодульные выражения х+1 и х+2 обращаются в нуль при х= -1, х= -2.

1) -3 (-∞; -2]
-х-1-х-2=1; х= -2;
-2 (-∞; -2].
2) -1,5 (-2; -1)
-х-1+х+2=1; 1=1; х - любое число из промежутка (-2; -1).
3) 0 [-1; +∞)
х+1+х+2=1; х= -1;
-1 [-1; +∞).
Ответ: [-2; -1].
1) |14-х|+|х+1|=7;
2) |х|-|х+2|=2;
3) |х2-4|=|2х-1|;
4) | х2-6х+5|+|3-х|=3

2. ЗАДАНИЯ «НАЙДИ ОШИБКУ».
1. Решить уравнение: |х2-8х+5|=| х2-5|.
Решение.
|х2-8х+5|=| х2-5|
х2-8х+5= х2-5, или х2-8х+5=5- х2,
-8х+10=0, 2 х2-8х=0,
х=1,25. х(2х-8)=0,
х=0, или 2х-8=0,
2х=8,
х=0,25.
Ответ: 1,25; 0,25. ВЕРНОЕ РЕШЕНИЕ

2. Решить уравнение х2-6х+|х-4|+8=0.
Решение.
Если х-4 ≥ 0, то Если х-4 < 0, то
х2-6х+х-4+8=0, х2-6х-х+4+8=0,
х2-5х+4=0, х2-7х+12=0,
х1=4, х2=1. х1=4, х2=3.
1 - не удовлетворяет условию. Оба корня удовлетворяют
условию.
Ответ: 1; 3; 4. ВЕРНОЕ РЕШЕНИЕ


3. Решить уравнение |х-1|-2|х+3|+х+7=0.
Решение.
Решим уравнение методом интервалов, для этого найдем концы интервалов, решив уравнения
х-1=0 и  х+3=0
х=1  х= -3.

-х+1-2(-х-3)+х+7=0; -х+1-2х-6+х+7=0; х-1-2х-6+х+7=0;
2х+14=0; -2х+2=0; 0=0.
х= -7. х=1. х - любое число.
Ответ: х – любое число. ВЕРНОЕ РЕШЕНИЕ


3. ЗАДАНИЯ С СОПУТСТВУЮЩИМИ УКАЗАНИЯМИ И ИНСТРУКЦИЯМИ.
1.
Решить уравнение |х-2|+|2х-7|=3.
Решение.
Решим уравнение методом интервалов.
1) Найдите нули подмодульных выражений, решив уравнения:
х-2=0 и 2х-7=0.
х1=… х2=…
2) Отметьте полученные значения на координатном луче.
3) Решите исходное уравнение на каждом из интервалов, предварительно определив знак подмодульного выражения. Учитывая знак, раскрыть модули.
4) Проверьте, принадлежат ли найденные корни указанным промежуткам.
Ответ: …………………………………………………….

2. Решить уравнение ||х-3|-х+1|=6.
Решение.
1) Раскройте внешний модуль, используя определение: |а|=а, если а ≥ 0 и
|а|= -а, если а < 0.
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
2) Перенесите слагаемые, не содержащие знак модуля, в правую часть уравнения и решите каждое из полученных уравнений методом последовательного раскрытия модуля.
………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………….
3) Проверьте, удовлетворяет ли найденный корень указанному условию.
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
Ответ: …………………………………………………….

4. ЗАДАНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ КЛАССИФИКАЦИИ.
1. Выпишите уравнения, которые решаются с помощью зависимостей между величинами, их модулями и квадратами величин. Решите эти уравнения.
1) ||х|+3|=3;
2) |х|+|х+4|=х-1;
3) |х+2|=|3-х|;
4) |х+3|+|х-1|=7;
5) (2х-3)2=(3,5х-1)2;
6) |х2-4х+5|=|х2-9|;
7) |11х-7|= -3;
8) |х-2|+|х-1|=1;
9) х2-х-2=|5х-3|;

2. Выпишите уравнения, которые решаются с использованием геометрической интерпретации модуля. Решите эти уравнения.
1) |х|-|х-8|=2;
2) |х2-2х-3|=3х-3;
3) |2х-|2х-|2х-3|||=0;
4) |х-1|-2|х+4|+х+11=0;
5) |х-3|+|х-4|=1;
6) (5х-4)2=(2х-1)2;
7) |2,5х-11|= -2;
8) |х-7|-|х-9|=2.

5. ЗАДАНИЯ С ВЫПОЛНЕНИЕМ НЕКОТОРОЙ ЧАСТИ.
1. Решить уравнение (х2-5х+6)2-5•| х2-5х+6|+6=0.
Решение.
Пусть | х2-5х+6|=t, тогда, учитывая, что (х2-5х+6)2=| х2-5х+6|2, получим уравнение: t2-5t+6=0. Решением этого уравнения являются числа …….., поэтому исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
| х2-5х+6|=… или | х2-5х+6|=…
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………

Ответ: ………………..

2. Решите уравнение =1.
Решение.
Исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
=1 или = -1.
ОДЗ: ≠ 0;
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
х2-х-14= х2-5х+6; или х2-х-14= -(х2-5х+6);
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
Ответ: ……………………………..

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА по теме «Решение уравнений с модулем»
1. Решите уравнение |х-3|=7.
2. Решите графически уравнение |2х+1|=3.
3. Решите уравнение методом интервалов |х+1|+|х-1|=3.
4. Решите уравнение методом последовательного раскрытия модулей |-х+2|=2х+1.
5. Решите уравнение (2х+3)2=(х-1)2.
6. Решите уравнение самым удобным способом |2х +6х+2|=3|х+2|.
7. При каком значении а уравнение можно решить, используя геометрическую интерпретацию модуля: |х-а|+|х-9|=1?

ИТОГ УРОКА

• 1 слайд

  Тема урока:
  Понятие модуля. Решение уравнений с модулем
  
  
  Автор презентации учитель математики МБОУ СОШ № 8
  поселка Бейсуг МО Выселковский район Краснодарского края
  Сорокина Татьяна Искандаровна
  

• 2 слайд

  Основные понятия
  Модулем числа а называют расстояние (в единичных
  отрезках) от начала координат до точки А(а).
  
  
  
  
  
  
  Модуль числа 5 равен 5. Пишут: |5| = 5.
  Число 6 называют модулем числа -6.
  Пишут: |-6| = 6.
  Модуль числа не может быть отрицательным.
  Противоположные числа имеют равные модули:
  | -а | = | а |
  
  
  
  
  

• 3 слайд

  
  
  Расстояние между двумя точками
  На координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой.
  
  
  
  Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.
  ВС = 5 – 1 = 4; АС = 5 – (- 2) = 7; AD = - 2 – (- 4) = 2
  0
  -4
  -2
  5
  1
  D
  A
  B
  C
  

• 4 слайд

  М о д у л ь
  и расстояние между двумя точками
  8
  -4
  3
  -9
  -3
  5
  CD = - 4 – 5 = 5 – (- 4 ) = 9
  AB = 3 – 8 = 8 – 3 = 5
  MN = - 9 – (- 3 ) = - 3 – (- 9 ) = 6
  M
  N
  C
  D
  A
  B
  
  
  
  
  
  Формула расстояния между двумя точками координатной
  прямой с координатами х и а: ρ(x,a) = |x - a|
  

• 5 слайд

  Решите уравнения:
  | х-2 | = 3,
  | 3х+6| = 4,
  | х-3 | + | х-1 | = 5,
  | х+4| + | х-5| = 9,
  | 2х-3| + | 2х+3| = 6,
  | х+5| - | х-8 | = 13,
  | х+4| - | х-3 | = 1,
  | 3х-8| - | 3х-2| = 6.
  | х+7| = | х-5 |
  

• 6 слайд

  П р о в е р ь с е б я
  Сколько решений может иметь уравнение
  | х-4 | = а, в зависимости от значений а?
  
  
  Сколько решений может иметь уравнение
  | х+3 | +| х-1 | = а, в зависимости от значений а?
  
  
  Сколько решений может иметь уравнение
  | х+3 | -| х-1 | = а, при положительных
  значениях а?
  
  
  
   
  

• 7 слайд

  Число решений уравнения вида:
  Ι х – a Ι + Ι х – в Ι = с
  Если сумма модулей с больше расстояния между двумя точками а и в, то уравнение имеет два решения.
  Если сумма модулей равна расстоянию между двумя точками, то уравнение имеет множество решений, которые принадлежат отрезку между точками
  [ a; в ].
  Если расстояние между двумя точками меньше суммы модулей, то решений нет.
  
  

• 8 слайд

  Домашняя работа
  Исследовать уравнения и определить число
  корней в зависимости от значения а :
  | х – 4 | - | х +2 | = а,
  | х+1 | - | х - 6 | = а,
  | х – 3 | - | х - 8 | = а.
  
  
  С п а с и б о за в н и м а н и е.
  

• 9 слайд

  П р о в е р ь с е б я
  Сколько решений может иметь уравнение
  | х-4 | = а,
  в зависимости от значений а?
  
    Ответ:
  а) Если а=0, то уравнение имеет одно решение;
  б) Если а>0, то уравнение имеет 2 корня,
  в) Если а<0, то уравнение не имеет корней
  

• 10 слайд

  П р о в е р ь с е б я
  Сколько решений может иметь уравнение
  | х+3 | +| х-1 | = а,
  в зависимости от значений а?
  
    Ответ:
  а) Если а=4, то уравнение имеет множество
  решений – отрезок [-3;1] ,
  б) Если а>4, то уравнение имеет 2 корня,
  в) Если а<4, то уравнение не имеет корней
  

• 11 слайд

  П р о в е р ь с е б я
  Сколько решений может иметь уравнение
  | х+3 | -| х-1 | = а,
  при положительных значениях а?
  
    Ответ:
  а) если а = 4, то уравнение имеет множество
  решений –[1; +∞) ,
  б) если 0 < а < 4, то уравнение имеет 1 решение, которое лежит внутри отрезка [-3;1],
  в) если а > 4, то уравнение не имеет решений.
  

• 12 слайд

  Решение уравнения |х - 2|=3
  Решить уравнение: х – 2 = 3,
  значит найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию ρ (х;2)= 3; другими словами удалены от точки с координатой 2 на расстояние 3.
  
  
  
  Ответ: -1; 5.
  -1
  х
  5
  х
  2
  х
  3
  3
  

• 13 слайд

• 14 слайд

  
  | х - 3 | = ρ ( x, 3) ; | х - 1 | = ρ ( x, 1)
  Нужно найти такую точку Х(х),
  что : ρ ( x, 3 ) + ρ ( x, 1 ) = 5.
  ρ (3, 1) = 2, 2 < 5, следовательно, точка с координатой х находиться вне отрезка [ 1; 3 ] и таких точек две.
  
  1 3
  
  
  
  
  Ответ: [ -0,5; 4,5].
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  -0,5
  х
  4,5
  х
  2) 3,5 + 1,5 = 5
  1) 1,5 + 3,5 = 5
  
  
  Решение уравнения |х-3|+|х-1|=5
  

• 15 слайд

  
  | х + 4 | = ρ ( x, -4) ; | х - 5 | = ρ ( x, 5)
  Нужно найти такую точку Х(х),
  что : ρ ( x, -4 ) + ρ ( x, 5 ) = 9.
  ρ (-4, 5) = 9, 9 = 9, следовательно, все точки этого промежутка удовлетворяют условию уравнения
  
  Х
  
  
  
  
  Ответ: [-4; 5].
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  -4
  х
  5
  х
  
  4 + 5 = 9
  
  
  Решение уравнения |х+4|+|х-5|=9
  

• 16 слайд

  
  | 2х - 3 | = ρ ( 2x, 3) ; | 2х + 3 | = ρ ( 2x, -3)
  Нужно найти такую точку ,
  что : ρ ( 2x, 3 ) + ρ ( 2x, -3 ) = 6.
  ρ (3, -3) = 6, 6 = 6, следовательно, все точки этого промежутка удовлетворяют условию уравнения
  
  
  
  
  
  2х = -3 2х = 3
  х = -1,5 х = 1,5
  
  Ответ: [-1,5; 1,5].
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  -3
  2х
  3
  2х
  
  
  
  
  Решение уравнения |2х-3|+|2х+3|=6
  

• 17 слайд

  Решение уравнения |х+5| - |х-8| = 13
  ρ(-5; 8) = 13 , ρ(х; -5) > ρ(х; 8)
  ρ(х; -5) - ρ(х; 8) = 13 это множество точек координатной прямой, расположенных правее числа 8.
  
  
  
  
  
  Ответ: х [8; + ∞)
  ρ(х; -5)
  ρ(х; 8)
  ////////////////////////////
  -5
  8
  х
  13
  

• 18 слайд

  Решение уравнения | х+4 | - | х-3 | = 1
  ρ ( x, -4 ) - ρ ( x, 3 ) = 1, где ρ ( x, -4 ) > ρ ( x, 3 )
  ρ (-4, 3) = 7, 7 > 1, следовательно, точка с координатой х находиться внутри отрезка
  [ -4; 3 ] и такая точа одна.
  
  
  
  -3
  Ответ: 0
  
  -4
  3
  х
  ρ(х; -4)
  
  0
  ρ(х; 3)
  

• 19 слайд

  Решение уравнения |3х-8| - |3х-2| = 6
  ρ(8; 2) = 6 , ρ(3х; 8) > ρ(3х; 2)
  ρ(3х; 8) - ρ(3х; 2) = 6 это множество точек координатной прямой, расположенных левее числа 6.
  
  ρ(3х; 8) 3х < 2
  х < 2/3
  
  
  
  6
  Ответ: х (-; 2/3]
  2
  \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
  8
  3х
  ρ(3х; 2)
  

• 20 слайд

  
  | х + 7 | = ρ ( x, -7) ; | х - 5 | = ρ ( x, 5)
  Нужно найти такую точку Х(х),
  что : ρ ( x, -7 ) = ρ ( x, 5 ).
  ρ (-7, 5) = 12, следовательно, середина промежутка
  [-7;5] удовлетворяет условию уравнения
  ρ (-7, 5) = 12
  -1
  
  Х
  
  
  
  Ответ: -1.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  -7
  5
  
  
  
  
  Решение уравнения |х+7|=|х-5|