Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Наглядное пособие по математике по теме "формулы тригонометрии".

Наглядное пособие по математике по теме "формулы тригонометрии".

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_48b6ab16.gifЗначения тригонометрических функций некоторых углов.



α

y



0

π

6

π

4

π

3

π

2

2 π

3

3 π

4

5 π

6



π

7 π

6

5 π

4

4 π

3

3 π

2

5 π

3

7 π

4

11 π

6



2 π



sin α

0

hello_html_6eec8aff.gif

hello_html_73ca8c00.gif

hello_html_1fc87bde.gif

1

hello_html_1fc87bde.gif

hello_html_73ca8c00.gif

hello_html_6eec8aff.gif

0

hello_html_m3d15adeb.gif

hello_html_7499bbcf.gif

hello_html_538d53cd.gif

-1

hello_html_538d53cd.gif

hello_html_7499bbcf.gif

hello_html_m3d15adeb.gif

0

cos α

1

hello_html_1fc87bde.gif

hello_html_73ca8c00.gif

hello_html_6eec8aff.gif

0

hello_html_m3d15adeb.gif

hello_html_7499bbcf.gif

hello_html_538d53cd.gif

-1

hello_html_538d53cd.gif

hello_html_7499bbcf.gif

hello_html_m3d15adeb.gif

0

hello_html_6eec8aff.gif

hello_html_73ca8c00.gif

hello_html_1fc87bde.gif

1

tg α

0

hello_html_m5e5e191c.gif

1

hello_html_5909bbae.gif

-

hello_html_35b962c5.gif

-1

hello_html_7a731dc8.gif

0

hello_html_m5e5e191c.gif

1

hello_html_5909bbae.gif

-

hello_html_35b962c5.gif

-1

hello_html_7a731dc8.gif

0

ctg α

-

hello_html_5909bbae.gif

1

hello_html_m5e5e191c.gif

0

hello_html_7a731dc8.gif

-1

hello_html_35b962c5.gif

-

hello_html_5909bbae.gif

1

hello_html_m5e5e191c.gif

0

hello_html_7a731dc8.gif

-1

hello_html_35b962c5.gif

-









Формулы приведения.











Функция

α



Аргумент α

- α

90° - α

90°+ α

180° - α

180° + α

270° - α

270° + α

360° - α

360° +α

- α

hello_html_50661fa5.gif - α

hello_html_50661fa5.gif + α

π -α

π + α

hello_html_3e938cb2.gif - α

hello_html_3e938cb2.gif

2π -α

2π + α

sin α

-sin α

+cos α

+cos α

+sin α

-sin α

-cos α

-cos α

-sin α

+sin α

cos α

+cosα

+sin α

-sin α

-cos α

-cos α

-sin α

+sin α

+cos α

+cos α

tg α

-tg α

+ctg α

-ctg α

-tg α

+tg α

+ctg α

-ctg α

-tg α

+tg α

ctg α

-ctg α

+tg α

-tg α

-ctg α

+ctg α

+tg α

-tg α

-ctg α

+ctg α

Коор.

четверть




1


2



2



3



3



4



4



1









Соотношения между

тригонометрическими функциями одного и того же угла.





sin2 α + cos2 α= 1



sin α=hello_html_19cfc9b2.gif



cosα=hello_html_m10bb4bf6.gif

hello_html_11834c1b.gif

hello_html_71dee168.gif

hello_html_427e007f.gif

1+ctg2 α= 1/ sin2 α.



Формулы сложения



hello_html_b7b780f.gif

hello_html_5684a5d1.gif

hello_html_m23057319.gif

hello_html_m19c60bcd.gif





Формулы двойного угла.



hello_html_26b04f06.gif

hello_html_3862992c.gifcos2αhello_html_m5c062083.gifsin2αhello_html_m7c48e444.gif2cos2αhello_html_m5c062083.gif1hello_html_499c180c.gif1hello_html_m5c062083.gif2sin2 α,

hello_html_m4f2a4beb.gif.







Формулы половинного угла.

hello_html_466d5647.gif

hello_html_3daf77c4.gif





hello_html_6470d603.gif



hello_html_mde8d9e1.gif



hello_html_11556d99.gif

hello_html_257a4580.gif

hello_html_3e9d3e7.gif





hello_html_3863c52f.gif





Формулы суммы и разности синусов и косинусов.

hello_html_m7a3a94ff.gif

hello_html_7f95b900.gif

hello_html_m1999d677.gif

hello_html_340a12de.gif

hello_html_1301b6d8.gif

hello_html_m7273ba67.gif

hello_html_m1cf04b1e.gif

hello_html_m197945a8.gif

hello_html_m5725bf34.gif

Формулы для обратных функций.

hello_html_m4176dd2b.gif

hello_html_b382ad8.gif

hello_html_m5b5bab57.gif

hello_html_61a5f377.gif



hello_html_m30285b36.gif

hello_html_5f89b745.gif

hello_html_mfb52f45.gif

hello_html_61a5f377.gif



hello_html_m3688d2f1.gif

hello_html_1cf2284.gif

hello_html_m7193d3c5.gif

hello_html_m2ed14aeb.gif

hello_html_m74afa779.gif

hello_html_4f8dd9d2.gif,

hello_html_m73bd04f8.gif

hello_html_m1e33a2c4.gif



hello_html_77c49cf2.gif

hello_html_274675f.gif

hello_html_m65043ab6.gif

hello_html_6d06a7bb.gif

Знаки синуса и косинуса, тангенса и котангенса.

Коор.

четверть

1

2

3

4

sin α

+

+

hello_html_m5c062083.gif

hello_html_m5c062083.gif

cos α

+

hello_html_m5c062083.gif

hello_html_m5c062083.gif

+

tg α

+

hello_html_m5c062083.gif

+

hello_html_m5c062083.gif

ctg α

+

hello_html_m5c062083.gif

+

hello_html_m5c062083.gif







Координатные четверти

1 чет-ть 0 ≤ α ≤ 90°,0 ≤ α ≤ hello_html_50661fa5.gif,

2 чет-ть 90° ≤ α ≤ 180°,hello_html_50661fa5.gif ≤ α ≤ π,

3 чет-ть 180°≤ α ≤ 270°,π≤ α ≤ hello_html_3e938cb2.gif,

4 чет-ть 270°≤ α ≤ 360°,hello_html_3e938cb2.gif≤ α ≤ 2π.





Решение простейших тригонометрических уравнений вида sin x = а, cos х = а.

а

sin x = а

cos х = а

0

x= πк,кZ

x= hello_html_50661fa5.gif + πn, nZ

1

x= hello_html_50661fa5.gif + 2 πк,кZ

x= 2πn, nZ

-1

x= - hello_html_50661fa5.gif + 2 πк,кZ

x= π + 2πn, nZ

hello_html_6eec8aff.gif

x=hello_html_m46e8cc23.gif hello_html_1efe9eb4.gif + πк ,к Z

x=hello_html_m13c2736b.gif hello_html_351c7e71.gif + 2πn, nZ

hello_html_m3d15adeb.gif

x=hello_html_815435e.gif hello_html_1efe9eb4.gif + πк, к Z

x=hello_html_m13c2736b.gif hello_html_m2dc5eea0.gif + 2πn, nZ

hello_html_73ca8c00.gif

x=hello_html_m46e8cc23.gif hello_html_m2bf5a2e4.gif + πк, к Z

x=hello_html_m13c2736b.gif hello_html_m2bf5a2e4.gif + 2πn, nZ

hello_html_7499bbcf.gif

x=hello_html_815435e.gif hello_html_m2bf5a2e4.gif + πк, к Z

x=hello_html_m13c2736b.gif hello_html_m53e690d0.gif + 2πn, nZ

hello_html_1fc87bde.gif

x=hello_html_m46e8cc23.gif hello_html_351c7e71.gif + πк, к Z

x=hello_html_m13c2736b.gif hello_html_1efe9eb4.gif + 2πn, nZ

hello_html_538d53cd.gif

x=hello_html_815435e.gif hello_html_351c7e71.gif + πк, к Z

x=hello_html_m13c2736b.gif hello_html_31388407.gif + 2πn, nZ

Решение простейших тригонометрических уравнений вида tg x = а, ctg х = а.

а

tg x = а

ctg х = а

0

x= πк,кZ

x= hello_html_50661fa5.gif + πn, nZ

1

x=hello_html_m2bf5a2e4.gif + πк, к Z

x=hello_html_m2bf5a2e4.gif + πn, nZ

-1

x=hello_html_m656e27c5.gif + πк, к Z

x=hello_html_m53e690d0.gif + πn, nZ

hello_html_5909bbae.gif

x=hello_html_351c7e71.gif + πк, к Z

x=hello_html_1efe9eb4.gif + πn, nZ

hello_html_35b962c5.gif

x=hello_html_7b87fb56.gif + πк, к Z

x=hello_html_31388407.gif + πn, nZ

hello_html_m66cf2317.gif

x=hello_html_1efe9eb4.gif + πк, к Z

x=hello_html_351c7e71.gif + πn, nZ

hello_html_36f73219.gif

x=hello_html_50651b93.gif + πк, к Z

x=hello_html_m2dc5eea0.gif + πn, nZ



Решение простейших тригонометрических уравнений вида

sin x = а, cos х = а, tg x = а, ctg х = а.

а

sin x = а

cos х = а


а

tg x = а

ctg х = а

0

x= πк,кZ

x= hello_html_50661fa5.gif + πn, nZ


0

x= πк,к Z

x= hello_html_50661fa5.gif + πn, nZ

1

x= hello_html_50661fa5.gif + 2 πк,кZ

x= 2πn, nZ


1

x=hello_html_m2bf5a2e4.gif + πк, к Z

x=hello_html_m2bf5a2e4.gif + πn, nZ

-1

x= - hello_html_50661fa5.gif + 2 πк,кZ

x= π + 2πn, nZ


-1

x=hello_html_m656e27c5.gif + πк, к Z

x=hello_html_m53e690d0.gif + πn, nZ

hello_html_6eec8aff.gif

x=hello_html_m46e8cc23.gif hello_html_1efe9eb4.gif + πк ,к Z

x=hello_html_m13c2736b.gif hello_html_351c7e71.gif + 2πn, nZ


hello_html_5909bbae.gif

x=hello_html_351c7e71.gif + πк, к Z

x=hello_html_1efe9eb4.gif + πn, nZ

hello_html_m3d15adeb.gif

x=hello_html_815435e.gif hello_html_1efe9eb4.gif + πк, кZ

x=hello_html_m13c2736b.gif hello_html_m2dc5eea0.gif + 2πn, nZ


hello_html_35b962c5.gif

x=hello_html_7b87fb56.gif + πк, к Z

x=hello_html_31388407.gif + πn, nZ

hello_html_73ca8c00.gif

x=hello_html_m46e8cc23.gif hello_html_m2bf5a2e4.gif + πк, к Z

x=hello_html_m13c2736b.gif hello_html_m2bf5a2e4.gif + 2πn, nZ


hello_html_m66cf2317.gif

x=hello_html_1efe9eb4.gif + πк, к Z

x=hello_html_351c7e71.gif + πn, nZ

hello_html_7499bbcf.gif

x=hello_html_815435e.gif hello_html_m2bf5a2e4.gif + πк, кZ

x=hello_html_m13c2736b.gif hello_html_m53e690d0.gif + 2πn, nZ


hello_html_36f73219.gif

x=hello_html_50651b93.gif + πк, к Z

x=hello_html_m2dc5eea0.gif + πn, nZ

hello_html_1fc87bde.gif

x=hello_html_m46e8cc23.gif hello_html_351c7e71.gif + πк, к Z

x=hello_html_m13c2736b.gif hello_html_1efe9eb4.gif + 2πn, nZ


hello_html_538d53cd.gif

x=hello_html_815435e.gif hello_html_351c7e71.gif + πк, кZ

x=hello_html_m13c2736b.gif hello_html_31388407.gif + 2πn, nZ












Решение тригонометрических уравнений с помощью замены одной из тригонометрических функций и сведением к квадратному уравнению.

 

Вид уравнения

Подходящая замена

1

A sin2 x + B sin x + C = 0

sin x = t, t hello_html_m96db9f3.gif

2

A cos2 x + B cos x + C = 0

cos x = t, t hello_html_m96db9f3.gif

3

A sin2 x + B cos x + C = 0 =>
A
cos2 x - B cos x – (A + C) = 0

cos x = t, t hello_html_m96db9f3.gif

4

A cos2 x + B sin x + C = 0 =>
A sin
2 x - B sin x – (A + C) = 0

sin x = t, t hello_html_m96db9f3.gif

5

A tg2 x + B tg x + C = 0

tg x = t

6

A ctg2 x + B ctg x + C = 0

ctg x = t

7

A tg x + B ctg x + C = 0 =>
A tg
2 x + C tg x + B = 0 или
B ctg
2 x + C ctg x + A = 0

tg x = t  или  ctg x = t



Выделим признаки, по которым произвольное тригонометрическое уравнение может быть классифицировано, как уравнение, сводящееся к квадратному. Первым действием нужно убедиться, что все тригонометрические функции, входящие в уравнение, имеют единый аргумент. Если это не так, то их нужно свести к единому аргументу. Для этого используются формулы блока: “формулы двойного аргумента”

Вторым действием нужно пытаться привести уравнение к виду: Af 2(x) + B f(x) + C = 0 , где A,B,C – некоторые числа, f(x) – одна из тригонометрических функций. Для этого используется основное тригонометрическое тождество или взаимосвязь между тангенсом и котангенсом. Третьим действием общая тригонометрическая функция заменяется буквой t, при этом учитывается область значений обозначаемой функции. Таким образом, некоторые тригонометрические уравнений могут быть сведены к видам из таблицы, например
уравнение второго порядка А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х = 0. Разделив обе части уравнения на cos2x ≠ 0, получим уравнение вида
А tg 2x + В tg x + С = 0.

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 17.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров111
Номер материала ДВ-462176
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх