Инфоурок / Математика / Конспекты / Наглядное пособие по математике по теме "формулы тригонометрии".

Наглядное пособие по математике по теме "формулы тригонометрии".

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

hello_html_48b6ab16.gifЗначения тригонометрических функций некоторых углов.



α

y



0

π

6

π

4

π

3

π

2

2 π

3

3 π

4

5 π

6



π

7 π

6

5 π

4

4 π

3

3 π

2

5 π

3

7 π

4

11 π

6



2 π



sin α

0

hello_html_6eec8aff.gif

hello_html_73ca8c00.gif

hello_html_1fc87bde.gif

1

hello_html_1fc87bde.gif

hello_html_73ca8c00.gif

hello_html_6eec8aff.gif

0

hello_html_m3d15adeb.gif

hello_html_7499bbcf.gif

hello_html_538d53cd.gif

-1

hello_html_538d53cd.gif

hello_html_7499bbcf.gif

hello_html_m3d15adeb.gif

0

cos α

1

hello_html_1fc87bde.gif

hello_html_73ca8c00.gif

hello_html_6eec8aff.gif

0

hello_html_m3d15adeb.gif

hello_html_7499bbcf.gif

hello_html_538d53cd.gif

-1

hello_html_538d53cd.gif

hello_html_7499bbcf.gif

hello_html_m3d15adeb.gif

0

hello_html_6eec8aff.gif

hello_html_73ca8c00.gif

hello_html_1fc87bde.gif

1

tg α

0

hello_html_m5e5e191c.gif

1

hello_html_5909bbae.gif

-

hello_html_35b962c5.gif

-1

hello_html_7a731dc8.gif

0

hello_html_m5e5e191c.gif

1

hello_html_5909bbae.gif

-

hello_html_35b962c5.gif

-1

hello_html_7a731dc8.gif

0

ctg α

-

hello_html_5909bbae.gif

1

hello_html_m5e5e191c.gif

0

hello_html_7a731dc8.gif

-1

hello_html_35b962c5.gif

-

hello_html_5909bbae.gif

1

hello_html_m5e5e191c.gif

0

hello_html_7a731dc8.gif

-1

hello_html_35b962c5.gif

-









Формулы приведения.











Функция

α



Аргумент α

- α

90° - α

90°+ α

180° - α

180° + α

270° - α

270° + α

360° - α

360° +α

- α

hello_html_50661fa5.gif - α

hello_html_50661fa5.gif + α

π -α

π + α

hello_html_3e938cb2.gif - α

hello_html_3e938cb2.gif

2π -α

2π + α

sin α

-sin α

+cos α

+cos α

+sin α

-sin α

-cos α

-cos α

-sin α

+sin α

cos α

+cosα

+sin α

-sin α

-cos α

-cos α

-sin α

+sin α

+cos α

+cos α

tg α

-tg α

+ctg α

-ctg α

-tg α

+tg α

+ctg α

-ctg α

-tg α

+tg α

ctg α

-ctg α

+tg α

-tg α

-ctg α

+ctg α

+tg α

-tg α

-ctg α

+ctg α

Коор.

четверть




1


2



2



3



3



4



4



1









Соотношения между

тригонометрическими функциями одного и того же угла.





sin2 α + cos2 α= 1



sin α=hello_html_19cfc9b2.gif



cosα=hello_html_m10bb4bf6.gif

hello_html_11834c1b.gif

hello_html_71dee168.gif

hello_html_427e007f.gif

1+ctg2 α= 1/ sin2 α.



Формулы сложения



hello_html_b7b780f.gif

hello_html_5684a5d1.gif

hello_html_m23057319.gif

hello_html_m19c60bcd.gif





Формулы двойного угла.



hello_html_26b04f06.gif

hello_html_3862992c.gifcos2αhello_html_m5c062083.gifsin2αhello_html_m7c48e444.gif2cos2αhello_html_m5c062083.gif1hello_html_499c180c.gif1hello_html_m5c062083.gif2sin2 α,

hello_html_m4f2a4beb.gif.







Формулы половинного угла.

hello_html_466d5647.gif

hello_html_3daf77c4.gif





hello_html_6470d603.gif



hello_html_mde8d9e1.gif



hello_html_11556d99.gif

hello_html_257a4580.gif

hello_html_3e9d3e7.gif





hello_html_3863c52f.gif





Формулы суммы и разности синусов и косинусов.

hello_html_m7a3a94ff.gif

hello_html_7f95b900.gif

hello_html_m1999d677.gif

hello_html_340a12de.gif

hello_html_1301b6d8.gif

hello_html_m7273ba67.gif

hello_html_m1cf04b1e.gif

hello_html_m197945a8.gif

hello_html_m5725bf34.gif

Формулы для обратных функций.

hello_html_m4176dd2b.gif

hello_html_b382ad8.gif

hello_html_m5b5bab57.gif

hello_html_61a5f377.gif



hello_html_m30285b36.gif

hello_html_5f89b745.gif

hello_html_mfb52f45.gif

hello_html_61a5f377.gif



hello_html_m3688d2f1.gif

hello_html_1cf2284.gif

hello_html_m7193d3c5.gif

hello_html_m2ed14aeb.gif

hello_html_m74afa779.gif

hello_html_4f8dd9d2.gif,

hello_html_m73bd04f8.gif

hello_html_m1e33a2c4.gif



hello_html_77c49cf2.gif

hello_html_274675f.gif

hello_html_m65043ab6.gif

hello_html_6d06a7bb.gif

Знаки синуса и косинуса, тангенса и котангенса.

Коор.

четверть

1

2

3

4

sin α

+

+

hello_html_m5c062083.gif

hello_html_m5c062083.gif

cos α

+

hello_html_m5c062083.gif

hello_html_m5c062083.gif

+

tg α

+

hello_html_m5c062083.gif

+

hello_html_m5c062083.gif

ctg α

+

hello_html_m5c062083.gif

+

hello_html_m5c062083.gif







Координатные четверти

1 чет-ть 0 ≤ α ≤ 90°,0 ≤ α ≤ hello_html_50661fa5.gif,

2 чет-ть 90° ≤ α ≤ 180°,hello_html_50661fa5.gif ≤ α ≤ π,

3 чет-ть 180°≤ α ≤ 270°,π≤ α ≤ hello_html_3e938cb2.gif,

4 чет-ть 270°≤ α ≤ 360°,hello_html_3e938cb2.gif≤ α ≤ 2π.





Решение простейших тригонометрических уравнений вида sin x = а, cos х = а.

а

sin x = а

cos х = а

0

x= πк,кZ

x= hello_html_50661fa5.gif + πn, nZ

1

x= hello_html_50661fa5.gif + 2 πк,кZ

x= 2πn, nZ

-1

x= - hello_html_50661fa5.gif + 2 πк,кZ

x= π + 2πn, nZ

hello_html_6eec8aff.gif

x=hello_html_m46e8cc23.gif hello_html_1efe9eb4.gif + πк ,к Z

x=hello_html_m13c2736b.gif hello_html_351c7e71.gif + 2πn, nZ

hello_html_m3d15adeb.gif

x=hello_html_815435e.gif hello_html_1efe9eb4.gif + πк, к Z

x=hello_html_m13c2736b.gif hello_html_m2dc5eea0.gif + 2πn, nZ

hello_html_73ca8c00.gif

x=hello_html_m46e8cc23.gif hello_html_m2bf5a2e4.gif + πк, к Z

x=hello_html_m13c2736b.gif hello_html_m2bf5a2e4.gif + 2πn, nZ

hello_html_7499bbcf.gif

x=hello_html_815435e.gif hello_html_m2bf5a2e4.gif + πк, к Z

x=hello_html_m13c2736b.gif hello_html_m53e690d0.gif + 2πn, nZ

hello_html_1fc87bde.gif

x=hello_html_m46e8cc23.gif hello_html_351c7e71.gif + πк, к Z

x=hello_html_m13c2736b.gif hello_html_1efe9eb4.gif + 2πn, nZ

hello_html_538d53cd.gif

x=hello_html_815435e.gif hello_html_351c7e71.gif + πк, к Z

x=hello_html_m13c2736b.gif hello_html_31388407.gif + 2πn, nZ

Решение простейших тригонометрических уравнений вида tg x = а, ctg х = а.

а

tg x = а

ctg х = а

0

x= πк,кZ

x= hello_html_50661fa5.gif + πn, nZ

1

x=hello_html_m2bf5a2e4.gif + πк, к Z

x=hello_html_m2bf5a2e4.gif + πn, nZ

-1

x=hello_html_m656e27c5.gif + πк, к Z

x=hello_html_m53e690d0.gif + πn, nZ

hello_html_5909bbae.gif

x=hello_html_351c7e71.gif + πк, к Z

x=hello_html_1efe9eb4.gif + πn, nZ

hello_html_35b962c5.gif

x=hello_html_7b87fb56.gif + πк, к Z

x=hello_html_31388407.gif + πn, nZ

hello_html_m66cf2317.gif

x=hello_html_1efe9eb4.gif + πк, к Z

x=hello_html_351c7e71.gif + πn, nZ

hello_html_36f73219.gif

x=hello_html_50651b93.gif + πк, к Z

x=hello_html_m2dc5eea0.gif + πn, nZ



Решение простейших тригонометрических уравнений вида

sin x = а, cos х = а, tg x = а, ctg х = а.

а

sin x = а

cos х = а


а

tg x = а

ctg х = а

0

x= πк,кZ

x= hello_html_50661fa5.gif + πn, nZ


0

x= πк,к Z

x= hello_html_50661fa5.gif + πn, nZ

1

x= hello_html_50661fa5.gif + 2 πк,кZ

x= 2πn, nZ


1

x=hello_html_m2bf5a2e4.gif + πк, к Z

x=hello_html_m2bf5a2e4.gif + πn, nZ

-1

x= - hello_html_50661fa5.gif + 2 πк,кZ

x= π + 2πn, nZ


-1

x=hello_html_m656e27c5.gif + πк, к Z

x=hello_html_m53e690d0.gif + πn, nZ

hello_html_6eec8aff.gif

x=hello_html_m46e8cc23.gif hello_html_1efe9eb4.gif + πк ,к Z

x=hello_html_m13c2736b.gif hello_html_351c7e71.gif + 2πn, nZ


hello_html_5909bbae.gif

x=hello_html_351c7e71.gif + πк, к Z

x=hello_html_1efe9eb4.gif + πn, nZ

hello_html_m3d15adeb.gif

x=hello_html_815435e.gif hello_html_1efe9eb4.gif + πк, кZ

x=hello_html_m13c2736b.gif hello_html_m2dc5eea0.gif + 2πn, nZ


hello_html_35b962c5.gif

x=hello_html_7b87fb56.gif + πк, к Z

x=hello_html_31388407.gif + πn, nZ

hello_html_73ca8c00.gif

x=hello_html_m46e8cc23.gif hello_html_m2bf5a2e4.gif + πк, к Z

x=hello_html_m13c2736b.gif hello_html_m2bf5a2e4.gif + 2πn, nZ


hello_html_m66cf2317.gif

x=hello_html_1efe9eb4.gif + πк, к Z

x=hello_html_351c7e71.gif + πn, nZ

hello_html_7499bbcf.gif

x=hello_html_815435e.gif hello_html_m2bf5a2e4.gif + πк, кZ

x=hello_html_m13c2736b.gif hello_html_m53e690d0.gif + 2πn, nZ


hello_html_36f73219.gif

x=hello_html_50651b93.gif + πк, к Z

x=hello_html_m2dc5eea0.gif + πn, nZ

hello_html_1fc87bde.gif

x=hello_html_m46e8cc23.gif hello_html_351c7e71.gif + πк, к Z

x=hello_html_m13c2736b.gif hello_html_1efe9eb4.gif + 2πn, nZ


hello_html_538d53cd.gif

x=hello_html_815435e.gif hello_html_351c7e71.gif + πк, кZ

x=hello_html_m13c2736b.gif hello_html_31388407.gif + 2πn, nZ












Решение тригонометрических уравнений с помощью замены одной из тригонометрических функций и сведением к квадратному уравнению.

 

Вид уравнения

Подходящая замена

1

A sin2 x + B sin x + C = 0

sin x = t, t hello_html_m96db9f3.gif

2

A cos2 x + B cos x + C = 0

cos x = t, t hello_html_m96db9f3.gif

3

A sin2 x + B cos x + C = 0 =>
A
cos2 x - B cos x – (A + C) = 0

cos x = t, t hello_html_m96db9f3.gif

4

A cos2 x + B sin x + C = 0 =>
A sin
2 x - B sin x – (A + C) = 0

sin x = t, t hello_html_m96db9f3.gif

5

A tg2 x + B tg x + C = 0

tg x = t

6

A ctg2 x + B ctg x + C = 0

ctg x = t

7

A tg x + B ctg x + C = 0 =>
A tg
2 x + C tg x + B = 0 или
B ctg
2 x + C ctg x + A = 0

tg x = t  или  ctg x = t



Выделим признаки, по которым произвольное тригонометрическое уравнение может быть классифицировано, как уравнение, сводящееся к квадратному. Первым действием нужно убедиться, что все тригонометрические функции, входящие в уравнение, имеют единый аргумент. Если это не так, то их нужно свести к единому аргументу. Для этого используются формулы блока: “формулы двойного аргумента”

Вторым действием нужно пытаться привести уравнение к виду: Af 2(x) + B f(x) + C = 0 , где A,B,C – некоторые числа, f(x) – одна из тригонометрических функций. Для этого используется основное тригонометрическое тождество или взаимосвязь между тангенсом и котангенсом. Третьим действием общая тригонометрическая функция заменяется буквой t, при этом учитывается область значений обозначаемой функции. Таким образом, некоторые тригонометрические уравнений могут быть сведены к видам из таблицы, например
уравнение второго порядка А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х = 0. Разделив обе части уравнения на cos2x ≠ 0, получим уравнение вида
А tg 2x + В tg x + С = 0.

Общая информация

Номер материала: ДВ-462176

Похожие материалы