Нахождение корней целого уравнения

Чудная Л.Г.

МБОУ СОШ №1 г. Нерюнгри им. Кочнева

Целые уравнения и его корни

ЦЕЛЬ: ввести понятие целого уравнения и его классификации, а также корней целого уравнения.

Ход урока

I.                  Организационный момент (1 мин)

Здравствуйте, ребята. Садитесь. Сегодня мы с вами познакомимся с понятием целого уравнения и его корнями.

II.               Актуализация знаний (5 мин)

Прежде чем приступить к изучению новой темы давайте решим следующую задачу:

Велосипедист ехал 2 часа по лесной дороге и 1 час по шоссе, всего он проехал 40 км. Скорость его по шоссе была на 4 км/ч больше, чем скорость на лесной дороге. С какой скоростью велосипедист ехал по лесной дороге и с какой по шоссе?(слайд 2)

Итак, задачи такого типа, т.е. текстовые задачи, вы решать умеете, используя уравнения. В данной задаче за переменную х примем скорость велосипедиста по лесной дороге, а именно

Решение: (слайд 3)

Пусть х км/ч – скорость велосипедиста по лесной дороге;

Тогда (х+4) км/ч – скорость велосипедиста по шоссе;

По условию за 2 часа велосипедист проехал 2х км по лесной дороге и  (х+4) км за 1 час по шоссе. Т.к. по условию весь пройденный пусть равен 40 км., то составляем следующее уравнение: 2x+(x+4) = 40.

Решая полученное уравнение имеем:

 2x+x +4= 40;

 3x = 36;

 x = 36:3;

 x=12.

Следовательно, скорость на лесной дороге 12 км/ч, а на шоссе 12+4=16 (км/ч).

Ответ: v₁=12 км/ч; v₂=16 км/ч.

III.           Теоретическая часть (15 мин)

Решая задачу, мы с вами получили целое уравнение. Давайте вспомним что такое уравнение? (Равенство, содержащее переменную, называется уравнением с одной переменной). (слайд 4)

Что такое корни уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое  равенство).

Что значит решить уравнение? (Найти все его корни или доказать, что корней нет).

Запишите следующее определение: (слайд 5)

Целыми  называются уравнения, в которых правая и левая части являются целыми выражениями.

Например,

а) x² = 0               

б) x³ – 25x = 0

в) 9x –27 = 0          

г) x(x – 1)(x + 4) = 0

д) x² –16 = 0             е) x⁴ – 3x² = 0

ж) x² = – 49             з) 10 – х² = 26

Обратите внимание, все эти уравнения имеют одну переменную и являются целыми.

Если уравнение с одной переменной записано в виде Р(х)=0, где Р(х) – многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения.

Например, уравнение а) имеет вторую степень, уравнение б) имеет третью степень. Уравнение г) можно привести к виду стандартного, раскрыв скобки. Тогда получим многочлен третьей степени:

x(x – 1)(x + 4) = 0

х³+3х²-4х = 0

Рассмотрим решение уравнений различных степеней: (слайд 6)

1.     Уравнение первой степени можно привести к виду ax+b=0,

где х – переменная, a и b – некоторые числа, причём при a0.

Из уравнения ax+b=0, при a0 получаем, что   – корень уравнения. Каждое уравнение первой степени имеет один корень.

2.     Уравнения второй степени можно привести к виду ax²+bx+c=0, (слайд 7)

где х – переменная, a, b и c – некоторые числа, причём при при a0. Число корней такого уравнения зависит от дискриминанта D=b²–4ac.

a.      если D>0, то уравнение имеет два корня ;

b.     если D=0, то уравнение имеет один корень ;

c.      если D<0, то уравнение не имеет корней.

3.     Уравнение третьей степени можно привести к виду ax³+bx²+cx+d=0, уравнение четвёртой степени – к виду ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0, и т. д.,

где a, b, c, ... – некоторые числа, причём при a0. (слайд 8)

Для уравнения третьей и четвёртой степени известны формулы корней, но эти формулы очень сложны, например корни уравнения третьей степени связаны с коэффициентами уравнения следующим образом:

Для уравнения пятой и более высоких степеней общих формул корней не существует.

Заметим, что иногда удаётся решить уравнение третьей и более высокой степени, применяя какой-либо специальный приём. Например, некоторые уравнения нетрудно решить с помощью разложения многочлена на множители.

Пример1. Решим уравнение x³–8x²–x+8=0. (слайд 9)

 Разложим левую часть уравнения на множители:

 

Ответ: x₁=8; x₂=1; x₃=–1.

IV.            Закрепление изученного материала (12 мин)

А сейчас мы с вами разделимся на три группы (по рядам). Я раздаю вам задания, которые вы должны решить вместе. По окончанию представитель каждой группы будет защищать свою выполненную работу у доски. Итак,

1 группа:

1)  Определите степень уравнения:

а)

б)

2) Какие из чисел -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 являются корнями уравнения:

3) Решите уравнение:

4) Составьте какое либо уравнение второй степени, имеющее корни 2 и -9.

2 группа:

1)  Определите степень уравнения:

а)

б)

2) Какие из чисел -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 являются корнями уравнения:

3) Решите уравнение:

4) Составьте какое либо уравнение второй степени, имеющее корни 5 и -7.

3 группа:

1)                Определите степень уравнения:

а)

б)

2) Какие из чисел -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 являются корнями уравнения:

3) Решите уравнение:

4) Составьте какое либо уравнение второй степени, имеющее корни 3 и -1.

V. Практическая часть (5 мин) (слайд 10)

Самостоятельная работа.

Вариант 1

Привести к виду многочлена и ответить сколько корней имеет уравнение

Вариант 2

Привести к виду многочлена и ответить сколько корней имеет уравнение

VI.            Домашнее задание (1 мин) (слайд 11)

№ 266 (б, г), № 267 (а, в), № 269.

VII.        Подведение итогов (1 мин)

Обобщение материала. Выставление оценок

• 1 слайд

  Целые уравнения и его корни
  

• 2 слайд

  ЗАДАЧА. Велосипедист ехал 2 часа по лесной дороге и 1 час по шоссе, всего он проехал 40 км. Скорость его по шоссе была на 4 км/ч больше, чем скорость на лесной дороге. С какой скоростью велосипедист ехал по лесной дороге и с какой по шоссе?
  

• 3 слайд

  Решение:
  Пусть х км/ч – скорость велосипедиста по лесной дороге;
  Тогда (х+4) км/ч – скорость велосипедиста по шоссе;
  По условию за 2 часа велосипедист проехал 2х км по лесной дороге и (х+4) км за 1 час по шоссе. Т.к. по условию весь пройденный пусть равен 40 км., то составляем следующее уравнение: 2x+(x+4) = 40.
  Решая полученное уравнение имеем:
  2x+x +4= 40;
  3x = 36;
  x = 36:3;
  x=12.
  Следовательно, скорость на лесной дороге 12 км/ч, а на шоссе 12+4=16 (км/ч).
  Ответ: v1=12 км/ч; v2=16 км/ч.
  

• 4 слайд

  Что такое уравнение?
  
  
  
  
  Что такое корни уравнения?
  
  
  
  
  
  
  Что значит решить уравнение?
  Равенство, содержащее переменную, называется уравнением с одной переменной
  Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство
  Найти все его корни или доказать, что корней нет
  

• 5 слайд

  Целыми называются уравнения, в которых правая и левая части являются целыми выражениями.
  Например,
  
  а)x2 = 0 д) x2 –16 = 0
  
  б) x3 – 25x = 0 е) x4 – 3x2 = 0
  
  в) 9x –27 = 0 ж) x2 = – 49
  
  г) x(x – 1)(x + 4) = 0 з) 10 – х2 = 26
  
  
  Если уравнение с одной переменной записано в виде Р(х)=0, где Р(х) – многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения.
  

• 6 слайд

  Рассмотрим решение уравнений различных степеней:
  
  1.Уравнение первой степени можно привести к виду ax+b=0,
  где х – переменная, a и b – некоторые числа, причём при a≠0.
  Из уравнения ax+b=0, при a≠0 получаем, что – корень уравнения. Каждое уравнение первой степени имеет один корень.
  

• 7 слайд

  2. Уравнения второй степени можно привести к виду ax2+bx+c=0, где х – переменная, a, b и c – некоторые числа, причём при a ≠ 0. Число корней такого уравнения зависит от дискриминанта D=b2–4ac
  .
  если D>0, то уравнение имеет два корня
  если D<0, то уравнение не имеет корней.
  
  если D=0, то уравнение имеет один корень
  

• 8 слайд

  3. Уравнение третьей степени можно привести к виду
  ax3+bx2+cx+d=0,
  уравнение четвёртой степени – к виду ax4+bx3+cx2+dx+e=0, и т. д.,
  где a, b, c, ... – некоторые числа, причём при a≠0
  Корни уравнения третьей степени
  

• 9 слайд

  Пример1. Решим уравнение x3–8x2–x+8=0.
  Разложим левую часть уравнения на множители:
  
  
  Ответ: x1=8; x2=1; x3=–1.
  

• 10 слайд

• 11 слайд

  
  № 266 (б, г),
  
  № 267 (а, в),
  
  № 269.