- 17.01.2015
- 5602
- 83
НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
(1)
КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА
Нахождение решения (1) разобьем на три случая.
1. Случай гиперболичности уравнения (1)
В
этом случае 
должно быть больше нуля, что возможно,
если 
, а 
, где p и q нечетные
числа.
Составим характеристическое уравнение для уравнения (1):
. (2)
Решим
уравнение (2) 
, откуда получаем такие два дифференциальных
уравнения:
; 
или
.
Последние два уравнения имеют решения:
,
.
Введем характеристические координаты ξ , η , полагая
(3)
Найдем производные от ξ и η по x и y включительно до второго порядка.
Тогда после введения новых переменных ξ и η получим уравнение:
,
где 
.
Точно
также должно 
.
, то есть
Очевидно, что и 
.
Таким образом, в характеристических
координатах уравнение (1) принимает вид: .
Разделив все члены последнего
уравнения 
, получим
(4)
из (3) имеем 
, откуда 
.
После подстановки значения 
в (4) получим уравнение:
, (5)
в котором 
.
Для уравнения (5)
будем искать последовательность инвариантов 
. Нулевой инвариант найдется из условия 
, имеем:
.
Для получения 
введем в уравнение (5) подстановку 
, получим уравнение со следующими
коэффициентами:
,
,
.
Откуда
.
Пользуясь рекуррентной формулой (6)
, будем иметь
.
Найдем пока, чему
равно 
.
,
откуда 
.
Для того, чтобы
подметить общий закон образования числителей инвариантов 
, предварительно найдем условия равенства
нулю инвариантов и 
.
Если 
, то 
(7)
Решим уравнения
(7) относительно выражения 
(8)
Аналогично,
приравнивая числитель инварианте 
нулю, получаем 
(9)
Учитывая (8) и
(9), инварианты 
и можно
переписать так:
Докажем, что любой
инвариант 
, согласно подмеченной закономерности,
запишется так:
Для доказательства
этого предположения допустим, что оно верно до 
, т.е. 
Тогда по рекуррентной формуле будем иметь:
Обозначим
числитель инварианта 
через M, а 
через N, тогда
Таким образом 
,
т.е. 
, что и требовалось доказать.
Теперь для
обращения инварианта , где 
в
ноль, надо, чтобы 
(10)
Решая уравнение
(10) относительно 
, будем иметь:
, откуда 
, где
или иначе 
, где
(11)
Условие (11) и является необходимым и достаточным условием интегрируемости (1) в квадратурах каскадным методом Лапласа.
2. Случай эллиптичности уравнения
(1)
Уравнение
(1) является уравнением эллиптического типа в случае, если 
, т.е. 
, где 
. Неравенство возможно
при 
или 
, но
при p-четном.
Составим
характеристическое уравнение уравнения (1) 
,
откуда 
получим
два диф. уравнения:
и 
.
Решая эти диф. уравнения, получим уравнения характеристик:
; 
Введем характеристические координаты:
(2)
Найдем
опять производные от 
и 
по x и y включительно
до второго порядка.
, 
, 
, 
, 
, 
; 
; 
Вычислим теперь коэффициенты уравнения, полученного при введении характеристик (2).
Точно
так же должно 
.
Очевидно
и 
, значит при введении характеристических
координат уравнение (1) перепишется так:
(3)
Разделив
все члены равенства (3) на 
, будем иметь:
(4)
Сложив
значения характеристических координат, выраженных через x и y, найдем 
, откуда 
.
Тогда (4) перепишется так:
(5)
А
такое уравнение, как было показано ранее, интегрируется каскадным методом при
условии, что 
, где 
.
3. Случай, когда в (1) y<0, p-нечетное, а q-четное
В
этом случае преобразуем 
так:
, т.е. 
Проверим, можно ли в этом случае применять каскадный метод Лапласа. Напишем характеристическое уравнение уравнения (1).
при 
,
откуда
;
.
Имеем два диф. уравнения:
;
, которые имеют решения:
, 
.
Вводим характеристические координаты:
(2)
Находим
снова производные от и 
по x и y до
2-го порядка включительно.
, 
, 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.
Вычислим теперь коэффициенты, получаемые вновь.
, где имеется ввиду, что 
. Точно также 
.
Коэффициент 
,
таким образом уравнение (1) перепишется так:
(3)
Сложив уравнения (2) почленно, получим
, откуда 
.
Подставляя полученный результат в (3), будем иметь
(4)
А,
как мы уже знаем, уравнение (4) интегрируется каскадным методом Лапласа при
условии, если 
, где .
В
случае же параболичности уравнения (1) оно решается просто, ибо в этом случае
получается:
.
При
имеем 
;
отсюда 
.
Таким образом получено, что уравнение
Интегрируется
в квадратурах каскадным методом при выполнении условия 
на
всей плоскости, кроме оси X, где оно интегрируется сразу.
Но для различных полуплоскостей и для определенных k, где k- рациональная дробь, применяются различные замены переменных, что и отмечается в следующей таблице:
|
Уравнение (1) |
|
тип |
подстановка |
|
|
p, q-нечетные числа |
гипербол. |
|
|
|
p, q-любые целые положит.
p-четное |
эллиптич. |
|
|
|
p-нечетное q-четное |
|
|
В случае, если k=1, т.е. если имеем диф. уравнение
, (5)
то условие необходимое и достаточное для его интегрирования в квадратурах каскадным методом Лапласа напишется так:
, где 
.
А
если в уравнение (5) предположить, что 
, то получаем уравнение Трикоми
Таким
образом получается как побочный результат, что уравнение Трикоми не
интегрируется каскадным методом, ибо ни при каком 
выражение 
не равно нулю.
ПРИМЕР НА ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ВИДА КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ
Рассмотрим пример, когда в уравнении (1)
, а 
, т.е. когда будем иметь уравнение
(2)
Если
и такие, что допускают каскадное
интегрирование уравнения (2), то из необходимости и достаточного условия (3) 
применимости этого метода
можно найти 
, как целое.
А последовательное введение преобразования
приведет
к инварианту 
, что и
позволит перейти к интегрированию в квадратурах.
Подставляя
в (3) данные значения 
и 
, получаем 
.
Значит,
преобразование 
, нужно применить к уравнению
(2) три раза.
Канонический вид данного уравнения, согласно полученным результатам, будет
.
Проверим,
действительно ли 
Вычислим,
чему равны 
, 
, 
, 
;
; 
; 
Мы при этом подразумевали такую систему последовательных подстановок:
, (*)
которые приводят к уравнениям:
(**) 
Но
так как , то будем иметь:
(4)
Подставляя
в (4) значение 
из (2), получим:
(5)
Проинтегрируем уравнение (5).
; 
; 
, где 
- произвольная функция от 
.
Подставим
значение 
в уравнение 
из
системы (*)
(6)
Проинтегрируем пока однородное уравнение
Разделяем
переменные, 
, откуда 
или
(7)
Заметим, что функция 
является
произвольной только по 
, а по должна быть такой, чтобы она удовлетворяла уравнению (6).
Найдем теперь функцию 
Продифференцируем (7) по 
:
.
Подставим значения 
и
в
равенство (6).
;
; 
; 
; 
; 
.
Но
если отождествим со второй производной некоторой
функции 
, то будем иметь:
, где 
-
произвольная функция от 
.
Таким
образом 
.
Теперь с учетом системы (**) можем найти искомую функцию с помощью двукратного дифференцирования.
Далее,
, откуда 
; 
Окончательно
Справедливость полученного можно проверить подстановкой в данное уравнение
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
(1)
КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА
Нахождение решения (1) разобьем на три случая.
1. Случай гиперболичности уравнения (1)
В этом случае должно быть больше нуля, что возможно, если , а , где pи qнечетные числа.
Составим характеристическое уравнение для уравнения (1):
. (2)
Решим уравнение (2), откуда получаем такие два дифференциальных уравнения:
; или
.
Последние два уравнения имеют решения:
,
.
Введем характеристические координаты ξ , η , полагая
(3)
Найдем производные от ξ и ηпо xи yвключительно до второго порядка.
6 660 662 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Бетанов Дантес Магометович. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
8 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.