Инфоурок / Математика / Конспекты / НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Я люблю природу», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 15 ДЕКАБРЯ!

Конкурс "Я люблю природу"

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ

hello_html_7a3da3dc.gif (1)

КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

Нахождение решения (1) разобьем на три случая.

  1. Случай гиперболичности уравнения (1)

В этом случае hello_html_m48321859.gif должно быть больше нуля, что возможно, если hello_html_7cc91a26.gif, а hello_html_m136faaf2.gif, где p и q нечетные числа.

Составим характеристическое уравнение для уравнения (1):

hello_html_m3b55f704.gif. (2)

Решим уравнение (2) hello_html_me51d26c.gif, откуда получаем такие два дифференциальных уравнения:

hello_html_6b236daf.gif; hello_html_4ac2b1d9.gif или

hello_html_m37cfb368.gif.

Последние два уравнения имеют решения:

hello_html_m1ef215bf.gif,

hello_html_m3f4b9db1.gif.

Введем характеристические координаты ξ , η , полагая

hello_html_6d21d2c3.gif (3)

Найдем производные от ξ и η по x и y включительно до второго порядка.

hello_html_m150f1a91.gif

hello_html_m6e65c851.gif

Тогда после введения новых переменных ξ и η получим уравнение:

hello_html_21244c07.gif,

где hello_html_m54077871.gif.

Точно также должно hello_html_2fb32900.gif.

hello_html_1d906f75.gif

hello_html_m3c72be19.gif, то есть

hello_html_m7ee96786.gif

Очевидно, что и hello_html_5d77023b.gif.

Таким образом, в характеристических координатах уравнение (1) принимает вид: hello_html_21244c07.gif.

Разделив все члены последнего уравнения hello_html_2ad28148.gif, получим

hello_html_m4a74dea5.gif (4)

из (3) имеем hello_html_ddf3c06.gif, откуда hello_html_m211862df.gif.

После подстановки значения hello_html_1591e5ac.gif в (4) получим уравнение:

hello_html_m7191a279.gif, (5)

в котором hello_html_m3f18349.gif.

Для уравнения (5) будем искать последовательность инвариантов hello_html_m53513765.gif. Нулевой инвариант найдется из условия hello_html_m4879e34.gif, имеем:

hello_html_m10eb7cc2.gif.

Для получения hello_html_6b358bd1.gif введем в уравнение (5) подстановку hello_html_4f894563.gif, получим уравнение со следующими коэффициентами:

hello_html_m7be44ba2.gif,

hello_html_1bedae8b.gif,

hello_html_77f87108.gif.

Откудаhello_html_4ced3329.gifhello_html_m1ddcc0c5.gif.

Пользуясь рекуррентной формулой (6)

hello_html_2eb01f6c.gif, будем иметь

hello_html_m3bf68e00.gif.

Найдем пока, чему равно hello_html_7d0af107.gif.

hello_html_m50a71809.gif,

откуда hello_html_m36f8d62.gif .

Для того, чтобы подметить общий закон образования числителей инвариантов hello_html_2b3119f2.gif, предварительно найдем условия равенства нулю инвариантов hello_html_6b358bd1.gif и hello_html_17a86a47.gif.

Если hello_html_2b42837e.gif, то hello_html_m6113db3b.gif (7)

Решим уравнения (7) относительно выражения hello_html_m7975f511.gif

hello_html_168f0cbe.gif

hello_html_439e3b8f.gif (8)

Аналогично, приравнивая числитель инварианте hello_html_522818db.gifнулю, получаем hello_html_4d21860a.gif (9)

Учитывая (8) и (9), инварианты hello_html_m2ef0cb92.gif и hello_html_522818db.gif можно переписать так:

hello_html_m118eb3e0.gif

hello_html_m21c7a784.gif

Докажем, что любой инвариант hello_html_m671ec585.gif , согласно подмеченной закономерности, запишется так:

hello_html_4dcb57d8.gif

Для доказательства этого предположения допустим, что оно верно до hello_html_m60f40cc.gif, т.е. hello_html_m5864e8fb.gif

Тогда по рекуррентной формуле будем иметь:

hello_html_5868eae9.gif

Обозначим числитель инварианта hello_html_ma0d20c6.gifчерез M, а hello_html_m71d0585f.gif через N, тогда

hello_html_m3d860e71.gif

Таким образом hello_html_18fa93d1.gif,

т.е. hello_html_275ce121.gif, что и требовалось доказать.

Теперь для обращения инварианта hello_html_m671ec585.gif, где hello_html_5202d6ec.gifв ноль, надо, чтобы hello_html_ee9a629.gif (10)

Решая уравнение (10) относительно hello_html_m7af2ac01.gif, будем иметь:

hello_html_m58fdbc65.gif, откуда hello_html_m38784f39.gif, где hello_html_m6757b2a1.gif или иначе hello_html_1ba96dc6.gif, где hello_html_52f0ae65.gif (11)

Условие (11) и является необходимым и достаточным условием интегрируемости (1) в квадратурах каскадным методом Лапласа.

  1. Случай эллиптичности уравнения

hello_html_m10dede5b.gif (1)

Уравнение (1) является уравнением эллиптического типа в случае, если hello_html_m5ee607ab.gif, т.е. hello_html_7288bcf3.gif, где hello_html_4b507c65.gif. Неравенство hello_html_7288bcf3.gif возможно при hello_html_7a421a19.gif или hello_html_m3596ecc3.gif, но при p-четном.

Составим характеристическое уравнение уравнения (1) hello_html_m6a7e466c.gif, откуда hello_html_m3c8ecb71.gif hello_html_33597fcd.gif получим два диф. уравнения:

hello_html_245fbf6e.gifhello_html_m1d07b37e.gifи hello_html_m35f11077.gif.

Решая эти диф. уравнения, получим уравнения характеристик:

hello_html_m5a91d53f.gif; hello_html_m2471432a.gif

Введем характеристические координаты:

hello_html_7929b64c.gif (2)

Найдем опять производные от hello_html_43e5ab9a.gif и hello_html_m5d371992.gif по x и y включительно до второго порядка.

hello_html_m7891cd3a.gifhello_html_m7a6ca59c.gif, hello_html_4010f0f1.gif, hello_html_m7714d8f0.gif, hello_html_m46b4b9dd.gif

hello_html_m7116cc54.gif, hello_html_3e98fb21.gif, hello_html_m26a2d2fc.gif; hello_html_451deaf5.gif; hello_html_51d36f99.gif

Вычислим теперь коэффициенты уравнения, полученного при введении характеристик (2).

hello_html_5f455fed.gif

Точно так же должно hello_html_42d52e02.gif.

hello_html_m60aa6873.gif

hello_html_mcae3234.gif

Очевидно и hello_html_2c6cf91c.gif, значит при введении характеристических координат уравнение (1) перепишется так:

hello_html_m2f011b8e.gif (3)

Разделив все члены равенства (3) на hello_html_6835dbfe.gif , будем иметь:

hello_html_m314d2568.gif (4)

Сложив значения характеристических координат, выраженных через x и y, найдем hello_html_e8dc691.gif, откуда hello_html_m66d0597c.gif.

Тогда (4) перепишется так:

hello_html_3109f872.gif (5)

А такое уравнение, как было показано ранее, интегрируется каскадным методом при условии, что hello_html_1ba96dc6.gif, где hello_html_52f0ae65.gif .

  1. Случай, когда в (1) y<0, p-нечетное, а q-четное

В этом случае преобразуем hello_html_5e12ee03.gifтак:

hello_html_6e32c87c.gif, т.е. hello_html_7b24bb90.gif

Проверим, можно ли в этом случае применять каскадный метод Лапласа. Напишем характеристическое уравнение уравнения (1).

hello_html_m340a604e.gifпри hello_html_7b24bb90.gif, откуда

hello_html_9bc649d.gif;

hello_html_733146dd.gif.

Имеем два диф. уравнения:

hello_html_34d65192.gif;

hello_html_m7fd9e140.gif, которые имеют решения:

hello_html_245fbf6e.gifhello_html_m5d9e3990.gif, hello_html_eb1e96a.gif.

Вводим характеристические координаты:

hello_html_m4fc3ab8c.gif (2)

Находим снова производные от hello_html_43e5ab9a.gif и hello_html_m5d371992.gifпо x и y до 2-го порядка включительно.

hello_html_48494614.gif, hello_html_m656ad64.gif, hello_html_m52f4e0de.gif; hello_html_m437e40db.gif; hello_html_m66c9b16f.gif

hello_html_m361cdd46.gif; hello_html_md12ff5d.gif; hello_html_43eb793d.gif; hello_html_m775462ca.gif; hello_html_m39693408.gif.

Вычислим теперь коэффициенты, получаемые вновь.

hello_html_3f48e928.gif, где имеется ввиду, что hello_html_7b24bb90.gif. Точно также hello_html_m563805d4.gif.

hello_html_73cc8bc6.gifhello_html_m50bee477.gifКоэффициент hello_html_7c70145.gif,

таким образом уравнение (1) перепишется так:

hello_html_7fcd43c.gif (3)

Сложив уравнения (2) почленно, получим

hello_html_29a2bb47.gif, откуда hello_html_mfed7fc.gif.

Подставляя полученный результат в (3), будем иметь

hello_html_mc033cfa.gif (4)

А, как мы уже знаем, уравнение (4) интегрируется каскадным методом Лапласа при условии, если hello_html_1ba96dc6.gif, где hello_html_52f0ae65.gif .

В случае же параболичности уравнения (1) оно решается просто, ибо в этом случае получается:hello_html_2385a820.gif.

При hello_html_6691c1b7.gif имеем hello_html_35af527c.gif; отсюда hello_html_56330a63.gif.

Таким образом получено, что уравнение

hello_html_7fe0f8b6.gif

Интегрируется в квадратурах каскадным методом при выполнении условия hello_html_1ba96dc6.gifна всей плоскости, кроме оси X, где оно интегрируется сразу.

Но для различных полуплоскостей и для определенных k, где k- рациональная дробь, применяются различные замены переменных, что и отмечается в следующей таблице:



Уравнение (1)

hello_html_64f9f471.gif

тип

подстановка

hello_html_46cea62a.gif

p, q-нечетные числа

гипербол.

hello_html_m76db6476.gif

hello_html_m74046e40.gif

hello_html_746734ac.gif





hello_html_46cea62a.gif

p, q-любые целые положит.



p-четное



эллиптич.

hello_html_m5e068a15.gif

hello_html_m697d6433.gif

hello_html_46cea62a.gif

p-нечетное

q-четное


hello_html_m5b95d3ad.gif

hello_html_18e7be47.gif



В случае, если k=1, т.е. если имеем диф. уравнение

hello_html_67c039c0.gif, (5)

то условие необходимое и достаточное для его интегрирования в квадратурах каскадным методом Лапласа напишется так:

hello_html_mc71ba9e.gif, где hello_html_52f0ae65.gif .

А если в уравнение (5) предположить, что hello_html_5cb4177d.gif , то получаем уравнение Трикоми

hello_html_75d72cba.gif

Таким образом получается как побочный результат, что уравнение Трикоми не интегрируется каскадным методом, ибо ни при каком hello_html_m62e612bb.gifвыражение hello_html_m298f768f.gifне равно нулю.



ПРИМЕР НА ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ВИДА КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ



Рассмотрим пример, когда в уравнении (1)

hello_html_435ba0c0.gif

hello_html_m3f353705.gif, а hello_html_47faeead.gif, т.е. когда будем иметь уравнение

hello_html_6aea86e0.gif (2)

Если hello_html_5e626bfe.gifи hello_html_47faeead.gifтакие, что допускают каскадное интегрирование уравнения (2), то из необходимости и достаточного условия (3) hello_html_62261261.gifприменимости этого метода можно найти hello_html_m62e612bb.gif, как целое.

А последовательное введение преобразования

hello_html_26ee9ef5.gif

приведет к инварианту hello_html_m2b0f1877.gif, что и позволит перейти к интегрированию в квадратурах.

Подставляя в (3) данные значения hello_html_m4c566d05.gif и hello_html_226ef425.gif, получаем hello_html_m1936af6a.gif.

Значит, преобразование hello_html_38c5f231.gif, нужно применить к уравнению (2) три раза.

Канонический вид данного уравнения, согласно полученным результатам, будет

hello_html_5b08074e.gif.

Проверим, действительно ли hello_html_m4386660c.gif

hello_html_e800928.gif

Вычислим, чему равны hello_html_mdf83d14.gif, hello_html_51690b76.gif, hello_html_1d4273d9.gif, hello_html_a31666c.gif;

hello_html_m4b9ee22c.gif; hello_html_m8e813ac.gif

hello_html_m7a5c0c9f.gif

hello_html_m4265e697.gif; hello_html_437b799.gif

Мы при этом подразумевали такую систему последовательных подстановок:

hello_html_m635d584c.gif, (*)

которые приводят к уравнениям:

(**) hello_html_5ae66fba.gif

Но так как hello_html_m4386660c.gif, то будем иметь:

hello_html_6044036c.gif(4)

Подставляя в (4) значение hello_html_4a00fbe5.gif из (2), получим:

hello_html_m57596bcf.gif (5)

Проинтегрируем уравнение (5).

hello_html_a0bf776.gif; hello_html_m445d7406.gif

hello_html_a057784.gif; hello_html_2a0920e8.gif, где hello_html_m61e514a6.gif- произвольная функция от hello_html_m5d371992.gif.

Подставим значение hello_html_m451161da.gif в уравнение hello_html_dfb182b.gif из системы (*)

hello_html_m4f33687a.gif (6)

Проинтегрируем пока однородное уравнение

hello_html_2e4120c8.gif

Разделяем переменные, hello_html_1a058335.gif, откуда hello_html_245fbf6e.gifhello_html_1e3dedeb.gif или hello_html_381c926b.gif (7)

Заметим, что функция hello_html_m4f76ea8e.gifявляется произвольной только по hello_html_43e5ab9a.gif, а по hello_html_m5d371992.gifдолжна быть такой, чтобы она удовлетворяла уравнению (6).

Найдем теперь функцию hello_html_42c90817.gif

Продифференцируем (7) по hello_html_m5d371992.gif: hello_html_5bbf650e.gif.

Подставим значения hello_html_m2f4983bc.gif и hello_html_m6525886b.gif в равенство (6).

hello_html_e7d29ff.gif;

hello_html_m645a61.gif; hello_html_m4b276d4b.gif; hello_html_m3fdacf07.gif

hello_html_52f646ae.gif; hello_html_m32394d6e.gif; hello_html_3c554eb3.gif.

Но если отождествим hello_html_m61e514a6.gifсо второй производной некоторой функции hello_html_5270b662.gif, то будем иметь:

hello_html_40d26abf.gif, где hello_html_685546ee.gif - произвольная функция от hello_html_43e5ab9a.gif.

Таким образом hello_html_18ca7969.gif.

Теперь с учетом системы (**) можем найти искомую функцию с помощью двукратного дифференцирования.

hello_html_17a82d63.gifhello_html_13f51e7d.gif

Далее, hello_html_m7ba014c2.gif, откуда hello_html_m287367f.gif; hello_html_1f37c14c.gifОкончательно

hello_html_m20883021.gif

Справедливость полученного можно проверить подстановкой в данное уравнение

hello_html_3a53c7b3.gif

Краткое описание документа:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ

         (1)

КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

Нахождение решения (1) разобьем на три случая.

1.                Случай гиперболичности уравнения (1)

В этом случае должно быть больше нуля, что возможно, если , а , где pи qнечетные числа.

Составим характеристическое уравнение для уравнения (1):

.               (2)

Решим уравнение (2), откуда получаем такие два дифференциальных уравнения:

;  или

.

Последние два уравнения имеют решения:

,

.

Введем характеристические координаты ξ , η , полагая

                            (3)

Найдем производные от ξ и ηпо xи yвключительно до второго порядка.

Общая информация

Номер материала: 312698

Похожие материалы