Инфоурок / Математика / Конспекты / Нахождение суммы первых п членов арифметической прогрессии

Нахождение суммы первых п членов арифметической прогрессии

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Нахождение суммы первых п членов
арифметической прогрессии
(Урок 1)

Цели: вывести формулу суммы первых п членов арифметической прогрессии; формировать умение применять эту формулу при решении задач.


Задачи урока:


Образовательные:

- Повторить и закрепить изученный материал по теме формула n-го члена арифметической прогрессии.

- Вывести формулу для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии и формировать навыки по ее применению.

- Формирование у школьников познавательных интересов и потребности в знаниях;

Развивающие:

- Продолжить формирование правильной математической речи.

- Развивать мышление путем анализа.

- Содействовать развитию воли и настойчивости в учении путем решения практических задач.

Воспитательные:


Воспитывать культуру математического мышления, ответственность, самостоятельность, настойчивость, инициативу и творчество.


Оборудование: компьютеры, мультимедиопроектор, интерактивная доска, портрет Магницкого, изображение первого учебника математики.


Ход урока

  1. Организационный момент.

Цель урока: повторить и закрепить изученный материал по теме формула n-го члена арифметической прогрессии. Вывести формулу для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии и формировать навыки по ее применению.

  1. Актуализация знаний.

Два ученика работают с интерактивным тестом, остальные – устные упражнения (Презентация)

  1. Какое из указанных чисел не является членом последовательности

hello_html_25fbde24.gif?

1) – 19/21, 2). 19/20 3). – 9, 5 4). – 19/9.



2. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите её.

1) 1; 2; 3; 8;…

2) 4; 8; 12; 16;…

3) 1; 3; 9; 27;

4) 1; 1/3; 1/6; 1/9;… /2/



3. Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?

1) Последовательность всех правильных дробей, числитель которых равен 9

2)Последовательность натуральных степеней числа 8

3) Последовательность натуральных чисел, кратных 4

4) Последовательность кубов натуральных чисел /3/



4. Арифметические прогрессии (х n), (у n) и (z n) заданы формулами n -го члена: x n = 2n + 9, у nn, z n = 2n + 1. Укажите те из них, у которых разность d равна 2.

1). n), 2). (х n), (у n) 3). (х n), (у n) и (z n) 4). (х n), (z n) /2/

III. Объяснение нового материала.

1. Создание проблемной ситуации.

З а д а ч а. Ученик мастера изготовил в первую неделю работы 15 гончарных изделий, а в каждую следующую неделю изготовлял на 5 изделий больше, чем в предыдущую. Сколько изделий ученик изготовил за восьмую неделю? Сколько изделий ученик изготовил всего в течение десяти недель?

Решение:

Количество изготовленных изделий в первую, вторую и т. д. недели можно обозначить а1, а2,… ап, …, причем (ап) – арифметическая прогрессия с разностью d = 5 и первым членом а1 = 15. За восьмую неделю ученик изготовил гончарных изделий:

а8 = 15 + 5 (8 – 1) = 50.

Ребята, а как ответить на второй вопрос?

Для ответа на второй вопрос ученики могут предложить только такой способ решения: подсчитать количество изделий, выполненных за 2-ю, 3-ю, …, 10-ю неделю, и сложить. Это очень долго. А если в задаче нужно будет найти сумму ста членов арифметической прогрессии, тысячи?

Возникает проблема – нужна общая формула. Получить такую формулу нам поможет…

Выступление ученика: (Интерактивная доска)

  1. Пример из истории математики.


Алгебра на клетчатой бумаге

Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в V в. до н. э. греки знали прогрессии и их суммы.

Задача из египетского папируса Ахмеса:«Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры»

Несмотря на это, в нашем школьном обиходе прогрессии появились сравнительно недавно. В учебнике Магницкого, изданном в 1703 году и служившем целых полвека основным руководством для школьного обучения, прогрессии хотя и имеются, но общих формул, связывающих входящие в них величины между собой, в нем не дано. Сам составитель учебника не без затруднений справлялся с такими задачами. Между тем формулу суммы членов арифметической прогрессии легко вывести простым и наглядным приемом с помощью клетчатой бумаги. На такой бумаге любая арифметическая прогрессия изображается ступенчатой фигурой. Например, фигура АВDС на рисунке изображает прогрессию: 2; 5; 8; 11; 14.



B


D













G


1





5












2







4










3








3










4








2










5







1


А C E

Чтобы определить сумму ее членов, дополним чертеж до прямоугольника АВGE. Пoлучим две равные фигуры АВDС и DGЕС. Площадь каждой из них изображает сумму членов нашей прогрессии. Значит, двойная сумма прогрессии равна площади прямоугольника АВGЕ, т. е. (АС + СЕ)* АВ.

Но АС + СЕ изображает сумму 1-го и 5-го членов прогрессии; АВ — число членов прогрессии. Поэтому двойная сумма

2S = (сумма крайних членов)* (число членов)

S = (первый + последний член)* (число членов)/2

  1. Ребята, как записать эту формулу в обозначениях?

Появляется формула:

  1. hello_html_m4d206d86.gifформула суммы п первых членов арифметической прогрессии.

Формулу записывают в тетрадь.

Хорошо. Итак, что нужно знать, чтобы вычислить сумму первых нескольких членов арифметической прогрессии?

Обычно арифметическая прогрессия задается первым членом и разностью, поэтому удобно иметь еще формулу суммы п первых членов, выраженную через а1 и d арифметической прогрессии.

hello_html_m2d20619e.gif, ап = а1 + d (п – 1);


hello_html_m5ab3b74c.gif

(2) hello_html_40648031.gif hello_html_66ff34e5.gif– формула суммы п первых членов арифметической прогрессии.

Формулу записывают в тетрадь.

В учебнике вы найдете другой вывод этой формулы.


4. Пример.

Вернемся к задаче про ученика мастера. В течение 10 недель ученик мастера изготовил

S10 = hello_html_1dbd0e49.gif · 10 = 375 изделий.

IV. Формирование умений и навыков.

Так как формул суммы п первых членов арифметической прогрессии две, то необходимо сначала выяснить, в заданиях какого вида лучше использовать каждую из них, а затем при решении упражнений анализировать условие и выбирать формулу.

603(а), № 604(а). Самостоятельное решение с последующей проверкой.

606(а).

V. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

Назовите формулу суммы первых п членов арифметической прогрессии (2 вида).

В каких случаях удобнее применять формулу I, II?

Домашнее задание: п. 26 (до примера 3),№ 605, № 607, № 621 (а).



603(а).

Дано: (аn)- арифметическая прогрессия, а 1 = 3, а60 = 57.

Найти: S 60.

Решение. hello_html_m2d20619e.gif

hello_html_m3a3f0ef.gif

Ответ: S60 = 1800

604 (а).

Дано: - 23; -20…- арифметическая прогрессия.

Найти: S 8.

Решение.

hello_html_40648031.gif

d = - 20 –(-23) = 3

hello_html_mb2c2431.gif

Ответ: - 100

606.(А)

Дано: (хn) – последовательность, xn = 4n + 2

Найти: S50, S100, Sn.

Решение. Так как последовательность задается формулой вида xn = kx + b,то (хn) – арифметическая прогрессия, d = 4.

x1 = 4*1 + 2 = 6, x50 = 4*50 + 2 = 202.

hello_html_48d3b6d1.gif

Литература.

  1. Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразовательных учреждений [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под редакцией С.А. Теляковского.

  2. Я. И. Перельман. Занимательная алгебра. ТРИАДА-ЛИТЕРА Москва 1994.

  3. Семенов А.Л. ГИА: 3000 задач с ответами по математике. Все задания части I /И.В. Ященко, Л.О. Рослова, Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, А.С. Трепалин, П.И. Захаров, В.А. Смирнов, И.Р. Высоцкий под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко.— М,: Издательство «Экзамен», издательство МЦНМО, 2014.

  4. Интерактивный тест

  5. Электронное пособие. Алгебра. Поурочные планы. 9 класс. Издательство «Учитель».

Краткое описание документа:

Повторить и закрепить изученный материал по теме формула n-го члена арифметической прогрессии. Вывести формулу для нахождения суммы первых членов арифметической прогрессии и формировать навыки по ее применению.

Урок комбинированный.

Для повторения взяла задания для подготовки к ГИА из книги Семенова А.Л. ГИА: 3000 задач с ответами по математике. Все задания части I.

Изучение нового материала начинается с постановки проблемной ситуации. 

Для вывода формулы использовала книгу Я. И. Перельмана Занимательная алгебра.  

Работаю по учебнику Ю.Н. Макарычева.

 

Общая информация

Номер материала: 157420

Похожие материалы