Набиев Асиф Казым оглы, учитель математики Европейской Азербайджанской школы, доктор философии по педагогике.
Адрес: г. Баку, ул. К. Караева 66, кв.40, тел.+994706421625.
Джафарли Карим Сулейман оглы, учитель математики Европейской
Азербайджанской школы.
Адрес: г.Баку, пос. Локбатан, у. Ю. Мирзоев,
д.4, кВ.11.
Наибольшее
и наименьшее значение.
Людям
всегда было интересно знать,что является самым-самым.
Самая
высокая вершина Гималаев - пик Джомолунгма (8848м).
Самое
холодное место на земле - Антарктида (-89,2 Со).
Самое
глубокое место–Марианская впадина в Тихом океане (11022м).
Самая
маленькая птица -колибри (весит всего 3-12 граммов).
Самый
крупный млекопитающий на суше - слон (около 300 килограммов) , в море -синяя
акула(190-300 тонна).
Самый
древний договор заключен между египтянами и хетами (в 1286 году до н.э.).
Самая
продолжительная война (100-летняя война) была между Англией и Францией (в
1337-1453 годах).
Самая
короткая война была между Англией и Занзибаром и продолжалась всего 30 минут.
Наибольшее
и наименьшее значение – одна из основных задач математики.
Этот
материал можно использовать в XI классе по теме «Наибольшее и
наименьшее значения», а также в математическом кружке. Ниже мы показали разные
способы (стандартные и особые) для нахождения наибольших и наименьших значений.
Мы думаем, что этот материал будет полезным для учителей математики,а также
для учеников старших классов.
1) Найти
наибольшее значение функции 
.
Решение.
Наибольшее
значение функции есть 
.
2) Если 
,
Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения 
,
если .
Решение.
.
Наименьшее
значение равно 
, при 
, а наибольшее значение равно 1,
при 
или 1.
3)
Площадь полной поверхности цилиндра равна 24
. Найдите высоту цилиндра при наибольшем
объёме.
Решение.
2
; 
; 
.
4)
Найдите наибольшее значение выражения 
+1.
Решение. 
Наибольшего
значения 
достигает , когда 
.
5)
Найдите наибольшее значение функции 
Решение.
Функция 
и
достигает наибольшего (и
наименьшего) значения при одном и том же значении 
.
Сумма
множителей есть постоянное число 
.
Поэтому, чтобы достичь наибольшего значения, множители должны быть равными, то
есть,
6)
Площадь трапеции равна 10. Найдите наибольшее значение меньшей диагонали.
Решение.
Наибольшее значение меньшей диагонали не может быть больше второй диагонали,
иначе она не была бы меньшей диагональю. Наибольшего значения меньшая
диагональ достигает, когда трапеция равнобедренная.
Обозначаем AD=
; BC=
; AC=
; CF=
. AE=
; AF=
.
С другой стороны 
; 
Тогда,
=AC=
.
7)Найдите
наибольшее и наименьшее значения функции 
в
отрезке 
.
Решение. 
Вычислим:
; 
8) Найти
наименьшее положительное значение суммы 
, если
Решение.
Раскрываем скобки: 
; 
.
Наименьшее
значение будет 
при 
9)
Определите наибольшее значение отношения трёхзначного числа к числу, равному
сумме этих цифр.
Решение.
Если число 
, то 
,
ибо
двухзначное число 
.
Если хотя
бы одна из цифр 
отлична от нуля, то, очевидно,
,
и потому 
.
Если же 
, то число равно 100,
его сумма цифр 
, и рассматриваемое отношение равно : 
Итак, наибольшее значение
отношения равно 100, оно достигает чисел 100, 200, 300, …,900.
10)
Данный отрезок разделите на три части так, чтобы сумма
квадратов этих длин была наименьшей.
Решение.
Обозначим части отрезка через 
Очевидно,
что 
Отсюда следует, что наименьшее значение 
достигается
при 
11) Дана
функция 
. Зная, что функция проходит через точку
А(1;1), найдите наименьшее значение функции.
Решение.
Подставив координаты точки А, получим функцию
.
Очевидно,что наименьшее значение функции равно 1.
12)
Найдите наименьшее и наибольшее значение 
.
Решение.
Преобразуем выражение:
, 
.
Очевидно,
что наименьшее значение равно -13, а наибольшее значение равно 13.
13)
Сравните числа: 
и 
.
Решение.
Возьмём функцию 
. 
=
.
Легко показать, что 
точка максимума, значит, 
,
в том числе, 
. Получим: 
,
; 
; 
.
14) При
каких значениях 
произведение корней квадратного уравнения
будет наибольшим?
Решение. 
.
Наибольшее
значение будет равно
.
15) Велосипедист едет по асфальтной дороге
со скоростью 10 
, а по грунтовой дороге со скоростью 8 .
Велосипедист находится на расстоянии 9 км от асфальта, а расстояние между
ближайшей точкой на асфальте и посёлком 15 км. За какое кратчайшее время
велосипедист доедет до посёлка?.
Решение.
Велосипедист находится на точке P, посёлок на точке B. PA=9, AB=15.
Обозначаем
AM
,
PMB -траектория велосипедиста. Время езды велосипедиста будет
. Решив уравнения 
,
получаем 
и 
.
16)
Найдите наименьшее значение выражения 
,
если 
.
Решение.
Из рисунка видна, что 
; 
;
D1 
А наименьшее значение 
D1 =
D1
C другой стороны, 
D1
И так
наименшее значение выражение
есть 5.
Упражнения для самостоятельного
решения.
1)
Найдите
наименьшее и наибольшее значение функции 
на
отрезке 
.
2)
Найдите
наименьшее и наибольшее значение функции 
на отрезке 
.
3)
Найдите
область значения функции 
.
4)
Найдите
наименьшее четырёхзначное число, которое при умножении на 21 даёт квадрат
натурального числа.
5)
Найдите
область значения функций: 
.
6)
Известно,
что 
проходит через точку
А(2;2). Найдите наименьшее и наибольшее значения функции.
7)
Найдите
наименьшее и наибольшее значение функции 
.
8)
Найдите
наименьшее и наибольшее значение выражения 
.
9)
Найдите
наименьшее и наибольшее значение выражения 
.
10) Осевое сечение цилиндра есть прямоугольник с
диагональю
. Найдите высоту цилиндра
при наибольшем объёме.
11) Из прямоугольников с площадью S найдите тот,
который с наименьшим периметром.
12) Объём цилиндра равен V. Найдите цилиндр с
наименьшей площадью поверхности.
13) Найдите наименьшее и наибольшее значения 
,b)
.
14) ) При
каких значениях 
произведение корней квадратного уравнения
будет наибольшим?
15) Найдите наименьшее значение выражения 
, если 
Библиография.
1)
И.
Х. Сивашинский. «Задачи по математике для внеклассных занятий»,
Москва,Просвещение,1968.
2)
С.
А. Теляковский. «Алгебра» , 9-ый класс,Москва,Просвещение,2002.
3)
М.
Дж. Марданов. «Алгебра и начало анализа»,11-ый класс, Чашоглы, Баку,2003.
