- 24.11.2014
- 847
- 0
Урок
«Соотношения между сторонами и углами треугольника».
Цели:
1) научиться применять изученный материал, при решении задач с практической направленностью;
2) развивать умение анализировать, ориентироваться в нестандартных ситуациях;
3) вырабатывать интерес к способам деятельности, активность, интерес к истории изучаемого материала, самостоятельность.
План урока.
1) Сообщение темы и целей урока.
2) Повторение. Решение задач.
3) Историческая справка «Геометрия в древних практических задачах».
4) Решение задач на определение недоступных расстояний.
5) Проверочная работа.
6) Решение производственных задач.
7) Домашнее задание.
Ход урока.
1) Сообщение темы и целей урока.
На предыдущих уроках мы изучили теорему синусов и теорему косинусов, решали вычислительные задачи с применением этих теорем. Но надо уметь применять наши знания не только при решении математических задач, но и практических. Что мы и попытаемся сделать сегодня на уроке. А пока, вспомним, что нам известно об этих двух важнейших теоремах.
2) Повторение. Решение задач.
а) Работа по карточкам на местах.
Карточка 1
1. В Δ АВС: АВ=7см, ÐВ =45°, ВС=5см. Найти АС.
2. Сформулируйте и запишите теорему синусов.
Карточка 2.
1. В Δ АВС: АВ=8см, ÐС = 60°, ÐВ =45°. Найти АС.
2. Сформулируйте и запишите теорему косинусов.
б) Работа по карточкам у доски.
Карточка 1.
1. В Δ АВС: АВ=4см, ÐС = 30°, ÐВ =45°. Найти АС.
2. В Δ PQR: PQ=7,5см, QR=9,4см, PR=11,3см. Какой угол треугольника PQR наибольший, а какой – наименьший?
Карточка 2.
1. В Δ CDM: CD=10см, ÐM = 60°, ÐD =45°. Найти CM.
2. Стороны треугольника равны 7см и 9см. Может ли угол, противолежащий стороне равной 7см, быть тупым? Почему?
Карточка 3.
1. В Δ KPD: PD=6cм, ÐK = 60°, ÐP =45°. Найдите KD.
2. Стороны треугольника равны 8см и 6см. Может ли угол, противолежащий стороне равной 6 см, быть прямым? Почему?
в) Фронтальная устная работа с классом.
· Сформулируйте теорему косинусов. Какова буквенная запись (формула) этой теоремы?
· Сформулируйте теорему синусов. Какова буквенная запись (формула) этой теоремы?
· Можно ли из теоремы косинусов вывести теорему Пифагора? Какие условия, при этом, должны быть выполнены?
· Чему равны отношения 
и 
в прямоугольном треугольнике, если 
и 
?
· В треугольнике АВС: АС > АВ > ВС. Назовите в порядке убывания углы треугольника АВС.
· В треугольнике АВС угол В – тупой. Какая из сторон треугольника наибольшая? Почему?
· Каков вид угла при вершине равнобедренного треугольника, если его основание меньше боковой стороны? Ответ обоснуйте.
· Каков вид угла, лежащего против стороны а, если квадрат этой стороны меньше суммы квадратов двух других сторон?
· Каков вид угла, лежащего против стороны а, если квадрат этой стороны равен сумме квадратов двух других сторон?
После фронтальной работы с классом выслушиваются ответы учащихся, работающих у доски, и собираются работы по карточкам на местах.
3) Историческая справка «Геометрия в древних практических задачах».
Мы вспомнили и увидели, как можно находить расстояния между точками, применяя теорему косинусов или теорему синусов. Однако история геометрии хранит немало приемов решения задач на нахождение расстояний. Определение расстояний до кораблей, находящихся в море, - одна из таких задач. Предлагаю вашему вниманию два способа ее решения. Предполагают, что оба способа ее решения принадлежат древнегреческому ученому, путешественнику, купцу Фалесу Милетскому.
Выступление первого учащегося.
Первый способ основан на одном из признаков равенства треугольников.
 |
 |
К ·
 |
А С
В
D
Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель в точке А. Требуется определить расстояние АК. Построив в точке А прямой угол, необходимо отложить на берегу два равных отрезка АВ и ВС. В точке С вновь построить прямой угол, причем наблюдатель должен идти по перпендикуляру до тех пор, пока не дойдет до точки D, из которой корабль К и точка В были бы видны лежащими на одной прямой. В этом случае, Δ АКВ и Δ СDВ равны по катету и острому углу, следовательно, АК=CD, а отрезок CD можно непосредственно измерить.
Выступление второго учащегося.
Как и в предыдущем случае, пусть корабль находится в точке В, а наблюдатель в точке А. Требуется определить расстояние АК.
Этот метод основан на подобии треугольников и состоит из трех этапов.
 |
 |
К ·
К1
А В А1 В1
1 этап.
Измерение углов А и В, и расстояния АВ.
2 этап.
Построение ΔА1В1С1 с углами А и В при вершинах А1 и В1 соответственно.
3 этап.
Учитывая подобие ΔАВК и ΔА1В1К1 и
равенство 
= 
, по известным длинам отрезков АВ, А1В1
, А1К1 нетрудно найти длину отрезка АК.
Второй способ, получивший название метода триангуляции, нашел применение в астрономии. С его помощью измерялись расстояния до небесных тел.
Еще один – третий способ решения задачи на определение расстояния содержится в русской военной инструкции начала XVII в.
Выступление третьего учащегося.
D
В
C
А
Пусть необходимо измерить расстояние от точки А до точки В. В точке А нужно вбить «жезл» примерно в рост человека. Верхний конец «жезла» следует совместить с вершиной прямого угла треугольника так, чтобы продолжение одного из катетов проходило через точку В. Далее нужно отметить точку С – пересечение продолжения другого катета с землей. Тогда получим прямоугольный треугольник ВDС, в котором АВ – высота. А высота, опущенная из вершины прямого угла – есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой, то есть АВ2=АВ·АС, откуда АВ=АD2:АС.
Для того чтобы упростить вычисления и измерения рекомендуется разделить жезл на 100 или 1000 равных частей.
4) Решение задач на определение недоступных расстояний.
Огромный вклад в развитие прикладной геометрии внес китайский математик Лю Хуэй, автор трактата «Математика морского острова», в котором приведены решения различных задач на определение расстояний до предметов, расположенных на отдаленном расстоянии, и вычисление недоступных высот. Задачи Лю Хуэя довольно сложны. Решение своих задач он обычно давал в виде правил. Эти задачи имели большую практическую ценность и поэтому получили широкое распространение не только в Китае, но далеко за его пределами.
Попробуем решить одну из задач Лю Хуэя.
С
 |
 |
|||||
 |
|
||||
D В А
Наблюдают морской остров. Вершина острова видна из точки А под углом 38°42I. А при приближении к острову на 2 бу (бу – мера длины в Китае) вершина стала видна под углом 42°. Найдите высоту острова.
Дано: ÐА =38°42I, Решение: 1) Рассмотрим Δ СDВ – прямоугольный,
ÐВ =42°, СD=CВ·sinB.
АВ=2бу, 2) В Δ АВС по теореме синусов
CD-
высота. 
=
, откуда
Найти: CD. 
.
3) 
- внешний угол Δ АВС, значит,
=ÐВ - ÐА. Следовательно,
СD=
.
СD=
.
Ответ: 14,5 бу.
Сам же Лю Хуэй привел следующее решение этой задачи: «Взяв высоту шеста, умножь её на расстояние между шестами, это делимое. Разность между отступлениями будет делителем, раздели на неё. К тому, что получится, прибавь высоту шеста, получится высота острова».
5) Проверочная работа.
|
Вариант 1. Решите задачу.
Для определения ширины непроходимого болота с самолета, находящегося на высоте 2км, измерили угол А и угол В. Найдите ширину болота, если угол А равен 60°, а угол В равен 45°.
|
|
Вариант 2. Решите задачу.
Наблюдатель находится на вершине башни, расположенной на некотором расстоянии от левого берега реки, ширину которой надо определить. Высота башни 50м. Левый и правых берега реки, он видит соответственно под углом А и углом В к горизонту. Найдите ширину реки, если угол А равен 45°, а угол В равен 30°.
|
6) Решение производственных задач.
Теорема синусов и теорема косинусов помогают не только при определении расстояний до недоступных точек, но и при решении многих производственных задач.
Решим одну из них.
Кривошипно-шатунный механизм преобразует поступательное движение ползуна А, движущегося по прямой АО, во вращательное движение кривошипа ОВ (или наоборот). Кривошип и ползун соединены шатуном АВ. Найдите зависимость расстояния АО от угла ВОС, если АВ=3м, ОВ=1м.
В
 |
А С
Решение: Пусть х= АО, а=АВ, r=ОВ, ÐВОС=
. Тогда по теореме косинусов
- смежный с углом , значит, 
.
Откуда, 
,
, так как, а=3, r=1, то
Решим получившееся уравнение.
D1=
.
По смыслу задачи 
Так как 
, а 
.
Значит, 
- посторонний корень. Следовательно, 
.
Ответ: .
7) Домашнее задание.
Дома попробуйте проарифметировать треугольную кадриль вместе с героями повести Л.Кэрролла «Алиса в стране чудес» Черепахой-телячьи-ножки и Грифоном.
Треугольная кадриль.
Если Черепаха-телячьи-ножки
Приглашает Грифона на кадриль,
Проарифметируйте немножко,
Ибо та кадриль – не для простофиль!
Угол тридцать градусов при вершине
Вам поможет стороны связать,
Те, что называют боковыми,
И длиною сантиметров пять.
Коль через вершину основанья
И центр вписанной окружности
Провести прямую танцеванья, -
Не страшны любые трудности.
Вычислив длину ее отрезка,
Что у треугольника внутри,
Сможете на нем исполнить с блеском
Треугольную кадриль!
Чертеж к задаче можно сделать в классе.
В заключении ученики высказывают свои мнения, впечатления, пожелания и замечания по уроку.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Тема внеклассного занятия : «Настроение и здоровье. Положительные и отрицательные эмоции.» 4 класс.
Цель:ввести понятия «настроение», «эмоции».
Задачи: способствовать
-умению контролировать и оценивать своё настроение, определять настроение своего собеседника, слушать и быть внимательным;
-развитию коммуникативным навыкам, расширению словарного запаса, навыкам чтения;
-развитию навыков различной интонации и мимики;
-расширению представления о том, что влияет на настроение человека, рассмотрению способов поднятия настроения;
-воспитанию бережного отношения к своему здоровью, воспитания культуры поведения на уроке, умению сочувствовать другим, позитивного отношения к близким и окружающим .
Оборудование: ребус на бумаге для детей, мультимедийный проектор, презентация по теме, плакат с эмоциями человека, распечатки стихов Н.Якимовой «Облака», мультфильм «Ох и Ах»,трафареты рожиц (круглые) по количеству детей.
6 650 606 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Скрыль Юлия Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
аудиоформат
Курс повышения квалификации
72/108/144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
3 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.