IX муниципальная научно-практическая конференция школьников

секция физико-математическая

 

 

 

Научно-исследовательская работа

по математике

"Дробные числа и их эволюция"

 

 

Выполнена ученицей

5 класса МОУ Октябрьской СОШ

Беловой Софией

Научный руководитель -

учитель математики

МОУ Октябрьской СОШ

Геркулева Марина Валерьевна

 

 

Рыбинский муниципальный район

2016 год

 

 

 

 

 

 

Содержание работы:                                                Стр.

 

Глава 1. О происхождении обыкновенных дробей.                             

 

1.1 О происхождении дробей. Дроби в Древнем Риме.                                    2

1.2 Дроби в Древнем Египте.                                                                             2-3

1.3 Вавилонская нумерация. Шестидесятеричные дроби.                              3-4

1.4  Нумерация и дроби в Древней Греции.                                                       4

1.5 Нумерация и дроби на Руси.                                                                        4-5

 

Глава 2. Происхождение десятичных дробей.

 

2.1 От шестидесятеричных к десятичным дробям. Ал-Каши.                       5-6

2.2 «Десятая» Симона Стивена.                                                                          7

 

Глава 3. Дробные числа в задачах.

 

3.1 Задача Пифагора                                                                                             8

3.2 Задача Альбина                                                                                               8

3.3 Задачи на представление шестидесятеричных дробей и проверку вычислений в древнеегипетских папирусах Ахмеса                                        9

3.4 Задачи на совместную работу                                                                      10

3.5 Задача c десятичными дробями                                                                   10

3.6 Задачи на части                                                                                              11

Заключение.

 Распространение десятичных дробей. Значение дробей в жизни

 современного общества.                                                                                     12

 

Литература                                                                                                            13

 

Приложение 1. Запись дробей в Египте.

 

Приложение 2. Дроби на Руси.

 

Приложение 3. Первые учебники арифметики.

 

 

 

 

 

 

 

                                                             -1-

                                               

 

                                                          

                                                                  Глава 1.

О происхождении дробей. Дроби в Древнем Риме.

 

Наряду с необходимостью считать предметы у людей с древних времён появилась потребность измерять длину, площадь, объём, время и другие величины. Результат измерения не всегда удаётся выразить натуральным числом. Приходится учитывать и части употребляемой меры. Так возникли дроби.

Цель работы: изучить историю развития дробных чисел и применение дробей при решении различных типов задач.

Вначале это были конкретные дроби, части известных единиц. В Древней Руси, например, «четверть», «осьмина» долгое время означали конкретные дроби, части более крупной меры. Медленным и длительным был переход от конкретных к отвлечённым дробям, не связанным с определёнными мерами. Даже римляне пользовались в основном конкретными дробями. Асс, который у древних римлян служил основной единицей измерения массы, а также денежной единицей, делился на 12 равных частей, унций. Со временем унции стали применяться для измерения любых величин. Так возникли римские двенадцатеричные дроби, то есть дроби, у которых знаменателем всегда было число 12. Вместо 1/12 римляне говорили «одна унция», 5/12-«пять унций» и т.д.

Три унции назывались четвертью, четыре унции - третью, шесть унций - половиной.

 

Дроби в Древнем Египте.

 

Первая дробь, с которой познакомились люди, была, наверное, половина. За ней следовали 1/4, 1/8, 1/16,…, затем 1/3, 1/6 и т.д., т.е. самые простые дроби, доли целого, называемые единичными или основными дробями. У них числитель всегда единица. Некоторые народы древности, например, египтяне, выражали любую дробь в виде суммы только основных дробей. Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами.

В Древнем Египте архитектура достигала высокого развития. Об этом свидетельствуют сохранившиеся до наших дней египетские пирамиды. Разумеется, для того, чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объёмы фигур, необходимо знать математику.

Египтяне писали на папирусах, т.е. на свитках, изготовленных из стебля крупных тропических растений, носивших то же название. Самым древним математическим папирусом, дошедшим до нас, является так называемый

Московский папирус, написанный около 1850 г. до нашей эры. Длина его около

5,5 м, а ширина 8 см. Хранится он в Московском Музее изобразительных

искусств. Его изучили и расшифровали русские учёные, академики Тураев Борис Александрович и Струве Василий Васильевич.

                                                            -2-

Важнейшим по содержанию является папирус Ахмеса, названный так по имени одного из древнеегипетских писцов, рукою которого он был написан. Его длина

544 см, а ширина 33 см; хранится он в Лондоне, в Британском музее. Он был

приобретён в прошлом веке англичанином Риидом и поэтому называется иногда папирусом Риида. Этот старинный математический документ озаглавлен так: «Способы, при помощи которых можно дойти до понимания всех тёмных вещей, всех тайн, заключающихся в вещах».

После того как учёные расшифровали эти и другие папирусы, люди узнали, что египтяне 4000 лет назад имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностью строительства, торговли и военного  дела. Если, например, в результатах измерения получалось дробное число 3/4, то для египтян оно представлялось в виде суммы единичных дробей: 1/2+1/4. Итак, не три четверти брали египтяне, а одну вторую да ещё одну четверть. В папирусе Ахмеса имеются таблицы для представления некоторых дробей в виде суммы единичных дробей.

 

Вавилонская нумерация. Шестидесятеричные дроби.

 

В Древнем Вавилоне высокий уровень культуры был достигнут ещё третьем тысячелетии до нашей эры. Шумеры и Аккадцы, населявшие Древний Вавилон, писали не на папирусе, который в их стране не рос, а на глине. Путём нажима клиновидной палочкой на мягкие глиняные плитки наносились знаки, имевшие вид клиньев. Вот почему такое письмо называется клинописью. Плитки сушились на знойном солнце и приобретали прочность. Раскопками, проведёнными в ХХ в. среди развалин древних городов южной части Двуречья,

обнаружено большое количество клинописных математических табличек. Учёные, изучая их, установили, что за 2000 лет до н.э. у вавиловян математика достигла высокого уровня развития. Письменная шестидесятеричная нумерация

вавиловян комбинировалась из двух значков: вертикального клина, обозначавшего единицу, и углового знака, обозначавшего десять. В вавиловянских клинописных текстах впервые встречается позиционная система счисления. Вертикальный клин обозначал не только 1, но и натуральную степень числа 60. Чтобы написать, например, число 62, приписывали справа  вертикального клина, оставляя при этом промежуток, ещё два. Знака для нуля в позиционной шестидесятеричной системе у вавиловян не было. Означает ли вертикальный клин 1, или 60, или степень числа 60, можно было определить в связи с содержанием тех или иных задач. Вавилонская нумерация не была, таким образом, строго позиционной, не была абсолютной. Позже был введён знак, заменявший современный нуль, для отделения разрядов между собой.

Однако знак нуля никогда не ставился в конце числа.

Происхождение шестидесятеричной системы счисления у вавиловян связано, как полагают некоторые учёные с тем, что вавилонская денежная и весовая единицы измерения подразделялись в силу исторических условий на 60 равных

частей:

1 талант=60 мин, 1 мина=60 шекель.

                                                                 -3-

Шестидесятые доли были привычны в жизни вавиловян. Вот почему они пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателями всегда число 60 или его степени. В этом отношении шестидесятеричные дроби можно сравнить с нашими десятичными дробями.

Вавилонская математика оказала влияние на греческую математику. Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались и в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 мин, минуты на 60 сек, окружности на 360 градусов, градуса на 60 мин. Минута означает по-латыни «маленькая часть», секунда – «вторая» (маленькая часть).

Вавиловяне внесли ценный вклад в развитие астрономии. Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии учёные всех народов до XVII века, называя их астрономическими дробями. В отличие от них, дроби общего вида, которыми пользуемся мы, были названы обыкновенными.

 

Нумерация и дроби в древней Греции.

 

В Древней Греции, высокая культура которой приобрела мировое значение, существовали две системы письменной нумерации: аттическая и ионийская, или алфавитная. Они были так названы по древнегреческим областям: Аттика (на юго-востоке Средней Греции) и Иония (часть побережья Малой Азии). В аттической системе, названной также Иродиановой, большинство числовых знаков являются первыми буквами греческих соответствующих числительных,

например, GENTE (генте) - пять, ДЕКА (дека) – десять. Эту систему применяли в Аттике до I века н.э., но в других областях Древней Греции она была ещё раньше заменена более удобной алфавитной нумерацией, быстро распространившейся во всей Греции. Книга греческого учёного Никомаха «Введение в арифметику», написанная в I веке н.э., является первым дошедшим до нас систематическим учебником арифметики, которым более тысячи лет пользовались в школах Европы.

В Греции употреблялись наряду с единичными, «египетскими» дробями и общие, обыкновенные дроби. Среди разных записей употреблялась и такая: сверху знаменатель, под ним – числитель дроби. Например, 5/3 означало три пятых. Ещё за 2-3 столетия до Евклида греки свободно владели арифметическими действиями с дробями. В VI веке до н.э. жил знаменитый учёный Пифагор.

 

Нумерация и дроби на Руси.

Как свидетельствуют старинные памятники русской истории, наши предки – славяне, находившиеся в культурном общении с Византией, пользовались

десятичной алфавитной славянской нумерацией, сходной с ионийской. Над

буквами – числами ставился особый знак, названный титло. Для обозначения тысячи применялся другой знак, который приставлялся слева от букв. Так

можно было обозначать целые числа до одного миллиона.

                                                                  -4-

Старейшим арифметическим памятником Киевской Руси является сочинение о календаре, написанное на славянском языке в 1136 году и названное «Учение им же ведости человеку числа всех лет», т.е. «Наставление, как человеку познать счисление лет». Автор сочинения – учёный монах Кирик Новгородец, о жизни которого известно немного. В календарном счёте Кирик пользуется конкретными дробями, «дробными числами»: 1/5, 1/25, 1/125. В русских рукописных арифметиках XVII в. употребляются следующие наименования чисел: 10000 – тьма, 100000 – легион, 1000000 – леодр. Эта система наименований называлась «малым числом». В тех же рукописях встречается и другая система, так называемое «великое число», в которой большие числа обозначались и назывались как показано на рисунке.

Дроби в Древней Руси назывались долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:

1/2 - половина, полтина                             1/24 - полполполтреть

1/3 - треть                                                    1/32 - полполчеть

1/4 - четь                                                      1/5 - пятина

1/6 - полтреть                                              1/7 - седьмина

1/8 - полчеть                                                1/10 - деятина

1/12 - полполтреть

1/16 - полполчеть

Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, лишь в этом веке в нашу страну постепенно стала проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

                                                       

                                                      Глава 2.                                

Происхождение десятичных дробей.

 

К десятичным дробям математики пришли в разные времена в Азии и в Европе.

Зарождение и развитие десятичных дробей в некоторых странах Азии было тесно связано с метрологией (учением о метрах). Уже во II веке до н.э. там существовала десятичная система мер длины. Примерно в III веке до н.э. десятичный счёт распространился на меры массы и объёма. Тогда было создано понятие о десятичной дроби, сохранившей, однако, метрологическую форму.

Вот, например, какие меры массы существовали в Китае в X веке:

1 лан = 10, цянь – квадрат 10, фэнь – восьмая степень 10, ли – 10 в четвёртой степени, хао – 10 в пятой степени, сы – шестая степень числа 10.

Если вначале десятичные дроби выступали в качестве метрологических, конкретных дробей, десятых, сотых и т.д. частей более крупных мер, то позже они по существу стали всё более приобретать характер отвлечённых десятичных дробей. Целую часть от дробей стали отделять особым иероглифом «дынь» (точка). Однако в Китае, как в древние, так и в средние века десятичные

дроби не имели полной самостоятельности, оставаясь в той или иной мере связанными с метрологией.

Более полную и систематическую трактовку получают десятичные дроби в

                                                             -5-

трудах среднеазиатского учёного ал-Каши в 20-х годах XV века. Независимо от него, в 80-х годах XVI века десятичные дроби были «открыты» заново в Европе нидерландским математиком С. Стивеном.

В Средней Азии и в Европе учёные пришли к десятичным дробям по аналогии с шестидесятеричными и разработали теорию десятичных дробей.

 

                                                           

От шестидесятеричных к десятичным дробям. Ал-Каши.

 

Шестидесятеричные дроби вавиловян имели следующие преимущества:

1) действия над дробями производились по тем же правилам, как и над целыми числами;

2) основание мер и нумерации было одно и то же-60.

Поэтому употребление шестидесятеричных дробей значительно упрощало вычисления при решении задач. В восточно-арабских государствах некоторые весовые и денежные единицы также подразделялись на шестьдесят меньших единиц. В связи с этим на практике часто употреблялись шестидесятеричные доли. В астрономии, начиная с X-XII веков, применялась уже более совершенная, чем древневавилонская, полная позиционная шестидесятеричная нумерация с особым знаком для нуля.

В средние века учёные пользовались десятичной нумерацией для вычислений с целыми числами, а шестидесятеричной - для вычислений с дробями в астрономии и других отраслях науки. Это породило трудности, связанные с переходом от одного основания к другому.

нелегко усваивались и обыкновенные дроби. Вообще дроби считались самым трудным разделом арифметики. Поныне у немцев осталось поговорка «Попал в дроби», т.е. попал в трудное положение.

Идея шестидесятеричных дробей, идея одинакового систематического подразделения целого на одни и те же доли, с одной стороны, и десятичная нумерация – с другой, привели к мысли о десятичных дробях.

Среднеазиатский город Самарканд был в XV веке большим культурным центром. Там, в знаменитой обсерватории, созданной видным астрономом Улугбеком, внуком Тамерлана, работал в 20-х годах XV века крупный учёный  того времени  Джемиенд Гияхэддин ал-Каши. Это он впервые изложил учение о десятичных дробях. В своей книге «Ключ арифметики», написанной в 1427 году, ал-Каши пишет: «Астрономы применяют дроби последовательными знаменателями которых являются 60 и его последовательные степени». Ал-Каши называет сотые доли «десятичными секундами»; тысячные – «десятичными терциями» и т.д. Термины эти заимствованы из шестидесятеричной нумерации. Введя десятичные дроби, ал-Каши поставил себе задачу создать простую и удобную систему дробей, основанную на

десятичной нумерации и имеющую те же преимущества, которые имели для

вавиловян шестидесятеричные дроби.  Ал-Каши излагает правила и приводит примеры действий с десятичными дробями. Он вводит специфическую для

десятичных дробей запись: целая и дробная части пишутся в одной строке. Для

                                                                -6-

отделения первой части от дробной учёный не применяет запятую, а пишет целую часть чёрными чернилами, дробную же красными или отделяет целую часть от дробной вертикальной чертой. Открытие десятичных дробей ал-Каши стало известно в Европе лишь спустя 300 лет после того, как эти дроби были в конце XVI века, заново открыты Стевиным.

 

                                                        

 

«Десятая» Симона Стевина.

 

Всеобщее распространение десятичной позиционной нумерации в практике и растущая потребность в упрощении вычислений и действий над дробями способствовали введению десятичных дробей.

около 150 лет после ал-Каши в Европе учение о десятичных дробях впервые изложил фламандский инженер и учёный Симон Стевин. В 1585 году он написал небольшую книгу под названием «Десятая». Эта книга состояла всего лишь из 7 страниц, однако содержала всю теорию десятичных дробей. Запись десятичных дробей у Стевина была отличной от нашей. Например, чтобы записать десятичную дробь учёный вместо запятой использовал ноль в кружке, в других кружках указывался десятичный разряд: 1 - десятые, 2 – сотые и т.д.

Стевин указывал на большое практическое значение десятичных дробей и настойчиво пропагандировал их. Он был первым учёным, потребовавшим введения десятичной системы мери весов. Однако эта мечта учёного была осуществлена лишь спустя свыше 200 лет, когда была создана метрическая система мер.

                                                                                                  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                             -7-

 

 

                                      Глава 3.

                                 Дробные числа в задачах.

 

 

 

 

 

3.1 Задача 1. Задача Пифагора.

Рассказывают, что на вопрос, сколько учеников посещают школу, Пифагор ответил: «половина изучает математику, четверть – музыку, седьмая часть пребывает в молчании, кроме этого, есть три женщины». Сколько учеников посещало школу Пифагора?

 

1) 1/2 + 1/4 + 1/7 = 14/28 + 7/28 + 4/28 = 25/28 (уч.) – изучают музыку, математику и пребывают в молчании.

 

2) 1 – 25/28 = 3/28 (уч.) – составляют женщины

 

3) 3 : 3/28 = 3 * 28/3 = 28 (уч.)

 

Ответ: 28 учеников у Пифагора.

                                                         

 

 

 

 

 

3.2 Задача 2. Задача Альбина

Пусть скажет сын Альбина, сколько останется, если от 5 унций отнять одну унцию?

 

1) 1 унция – 1/12 часть

 

2) 5/12 - 1/12 = 4/12 (части)

 

3) 4/12 части – 4 унции

 

4) 4/12 = 1/3

Ответ: останется 4 унции или 1/3 часть.

 

 

 

                                                              -8-

 

 

3.3 Задача 3.

Выразить дроби в шестидесятеричных дробях.

 

а) 2/3 = 40/60; б) 3/5 = 36/60; в) 7/8 = 198000/216000.

 

Выразить в обыкновенных дробях шестидесятеричные дроби.

 

а) 18/60 = 3/10; б) 3250/3600 = 325/360 = 65/72; в) 148000/216000 = 37/54.

 

 

 

 

 

Задача 4.

а) Выразить в минутах 2/5 часа.

 

2\5 ч = 24/60 ч = 24 мин

 

б) выразить в дробях (превратить в часы) 15 мин 12сек.

 

15 мин 12 сек = 15/60 ч + 12/ 3600 ч = 900/3600 ч + 12/3600 ч = 912/3600 ч=

= 19/75 ч

 

 

 

 

 

 Задача 5.

В древнеегипетских папирусах Ахмеса расшифрованы таблицы, в которых некоторые дроби представлены в виде суммы неравных дробей с числителем 1. Проверить

содержащиеся в таблицах равенства.

а) 2/11 = 1/6 + 1/66

Проверка: 1/6 + 1/66 = 11/66 + 1/66 = 12/66 = 2/11

б) 2/7 = 1/6 + 1/14 + 1/21

Проверка: 1/6 + 1/14 + 1/21 = 7/42 + 3/42 + 2/42 = 12/42 = 2/7

 

                                                                

 

 

 

 

 

 

 

                                                                 -9-

3.4 Задача 6. Задача на совместную работу.

Дикая утка от южного моря до северного летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?

 

1) Обозначим расстояние от южного моря до северного за 1.

 

2) 1:7 = 1/7 (часть) – пути пролетит утка за 1 день

 

3) 1:9 = 1/9 (часть) – пути пролетит утка за 1 день

 

4) 1/7 + 1/9 = 9/63 + 7/63 = 16/63 (части) – пути пролетят утка и гусь за 1день

5) 1:16/63 = 1 х 63/16 = 63/16 = 3 15/16 (дней)

 

Ответ: через 3 15/16 дней утка и гусь встретятся.

 

 

 

 

3.5 Задача 7.Задача с десятичными дробями.

Душевая имеет длину 3,5 м и ширину 2,5 м. Стены высотой 2,5 м требуется

обложить плитками, исключая окно и дверь, которые занимают 0,1 площади стен. Сколько требуется плиток квадратной формы со стороной 25 см?

 1) 3,5 х 2,5 = 8,75 (кв. м) - площадь большой стены душевой кабины

 

2)  2,5 х 2,5 = 6,25 (кв. м) - площадь малой стены душевой кабины

 

 3) 8,75 х 2 + 6,25 х 2 = 17,5 + 12,5 = 20 (кв. м) - площадь стен душевой кабины

 

4) 20 х 0,1= 2 (кв. м) - площадь окна и двери

 

5) 20 – 2 = 18 (кв. м) - площадь стен душевой кабины, исключая окна и двери

 

6) 25 см = 0,25 м

 

7) 0,25 х 0,25 = 0,0625 (кв. м) – площадь одной плитки

 

8) 18 : 0,0625 = 288 (пл.)

 

 Ответ: 288 плиток потребуется.

 

 

 

 

                                                      -10-

3.5 Задачи на части. Задача 8.

Зашли три богомольца на постоялый двор и спросили себе картофеля. Пока хозяин варил  картофель, они заснули. Через некоторое время после того, как

картофель был подан, проснулся один из них, съел третью часть картофеля и снова заснул. Затем проснулся один из них и, думая, что он проснулся первым, съел третью часть картофеля и заснул. Наконец проснулся третий и, не зная, что его спутники уже ели картофель, съел третью часть и снова заснул. Наутро

выяснилось, что на блюде остались восемь картофелин. Сколько картофелин было подано первоначально и как богомольцы должны разделить оставшийся картофель?

1) 1 – 1/3 = 2/3 (части) – картофеля оставалось после каждого обеда

 

2) 8 : 2 х 3 = 12 (карт.) – осталось после обеда второго богомольца

 

3) 12 : 2 х 3 = 18 (карт.) -  осталось после обеда первого богомольца

 

4) 18 : 2 х 3 = 27 (карт.)

 

Ответ: 27 картофелин было подано первоначально.

Задача 9.

Расстояние между домами Винни-Пуха и Пятачка 1 км. Пятачок за 1 мин проходит 75 м, а Винни-Пух – 50 м. Однажды Винни-Пух и Пятачок вышли из дома Винни-Пуха, и пошли к дому Пятачка. Пятачок первым дошел до своего дома, повернул назад и с той же скоростью пошёл навстречу Винни-Пуху. Через сколько минут они встретились?

 

1) 1 км = 1000 м

 

2) 1000 х 2 = 2000 (м) – прошли Винни-Пух и Пятачок до встречи

 

3) 75 – 50 = 25 (м/мин) – скорость удаления Винни-Пуха и Пятачка

 

4) 1000 : 75 = 13 1/3 (мин) – прошёл Пятачок расстояние от между домами

 

5) 13 1/3 х 50 = 2000/3 = 666 2/3 (м) – прошёл Винни-Пух за это время

 

6) 1000 - 666 2/3 = 333 1/3 (м) – осталось пройти Винни-Пуху

 

7) 75 + 50 = 125 (м/мин) – скорость сближения Винни-Пуха и Пятачка

 

8) 333 1/3 : 125 = 1000/3 : 125/1 = 1000/3 х 1/125 = 18 (мин)

 

Ответ: через 18 мин Винни-Пух и Пятачок встретятся.

                                                              -11-

                                               

                                                     Заключение.

Распространение десятичных дробей. Их значение в жизни современного общества.

 

С начала XVII века начинается довольно интенсивное проникновение десятичных дробей в науку и практику. В Англии в качестве знака, отделяющего целую часть от дробной, была введена точка, которая поныне сохраняется в этой роли в США, Англии и некоторых других странах. Запятая,

как и точка, в качестве разделительного знака была предложена в 1616-1617 годах знаменитым английским математиком Джоном Непером. Десятичную запятую применял и немецкий астроном И.Кеплер. Как десятичная система счисления, так и десятичные дроби пробивали себе дорогу в упорной борьбе со старыми шестидесятеричными дробями. Однако благодаря своим большим преимуществам и достоинствам десятичной системы в целом десятичные дроби завоевали себе всё больше места. Развитие промышленности и торговли, науки и техники требовали всё более громоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей легче было выполнять. Окончательно шестидесятеричные дроби были вытеснены десятичными только в XVIII веке. В России учение о

десятичных дробях впервые изложил в своей «Арифметике» Леонтий Магницкий. Широчайшее применение десятичные дроби получили в XIX веке, после введения тесно связанной с ними метрической системы мер и весов.

в сельском хозяйстве и промышленности нашей страны, в науке и во всех отраслях народного хозяйства десятичные дроби и частный их вид, проценты, применяются намного чаще, чем обыкновенные дроби.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                  

 

 

 

 

 

 

                                                                   -12-

                                                       Литература:

 

1.Г.И.Глейзер «История математики в школе» М., Просвещение, 1981 год;

 

2. В.И Вавилов «Теория чисел», М., Наука, 1990 год;

 

3. Д.И.Костриков, М.И.Костриков «Избранные вопросы алгебры», М., Просвещение, 1996 год;

 

4. Д.И.Потанин «За страницами учебника математики», М., Просвещение,

1996 год;

 

5. Статья «Рациональные числа», журнал «Математика в школе», №4, 2006 год.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                            -13-