Научная работа по математике на тему "Лента Мебиуса - загадка современности"

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №28 г. Пензы

имени Василия Осиповича Ключевского

 «Лента Мёбиуса – загадка современности»

Выполнил:

 Гафаров Батыр Ринатович,

 учащийся 7А класса МБОУ СОШ №28

 Научный руководитель:

 Чепыжова Лариса Константиновна,

 учитель   математики

высшей категории

Пенза,2017

Лист Мёбиуса – символ математики, Что служит высшей мудрости венцом… Он полон неосознанной романтики: В нем бесконечность свернута кольцом. В нем – простота, и вместе с нею – сложность, Что недоступна даже мудрецам: Здесь на глазах преобразилась плоскость В поверхность без начала и конца. Здесь нет пределов, нет ограничений, Стремись вперед и открывай миры, Почувствуй силу новых ощущений, Прими познанья высшего дары…

Лента Мёбиуса – загадка современности

Введение

В этом учебном году мы впервые, вместо привычной для нас математики, стали изучать такие предметы, как геометрия и алгебра. Недавно мы  узнали, что математика имеет еще один очень интересный раздел – топология. Топология – это раздел математики, изучающий фигуры, которые сохраняют свои свойства при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание¹. Нам стало интересно, как выглядят эти загадочные фигуры, так мы узнали о существовании ленты Мебиуса.

 Существуют научные знания и явления, которые привносят в обыденность нашей жизни тайну и загадку. Лента Мёбиуса относится к ним в полной мере. Современная математика замечательно описывает при помощи формул все ее свойства и особенности. А вот обычные люди, слабо разбирающиеся в топонимике и других геометрических премудростях, практически ежедневно сталкиваются с предметами, изготовленными по ее образу и подобию, даже не подозревая об этом. Что это такое? Лента Мёбиуса, которую также называют петлей, поверхностью или листом, – это объект изучения такой топологии. Удивительной и неповторимой особенностью такой ленты является то, что она имеет всего одну сторону и край.

¹Энциклопедия Кольера, электронный ресурс http://www.slovopedia.com/14/210/1019731.html

Лист  Мёбиуса является топологическим, то есть непрерывным объектом с простейшей односторонней поверхностью с границей в обычном Евклидовом пространстве (3-мерном), где возможно из одной точки такой поверхности, не пересекая края, попасть в любую другую¹.   Хотя лист Мёбиуса был открыт ещё в XΙX веке, он был актуален и в XX веке. Интерес к листу Мёбиуса не угас и в наши дни.  Удивительные свойства листа Мёбиуса использовались и используются в технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в оформлении ювелирных изделий, бижутерии и даже в кулинарии. Он вдохновляет на творчество многих писателей и художников. Нас очень заинтересовала и заинтриговала эта тема.

 Актуальность исследования заключается в том, что в  наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений необычных фигур. Лист Мёбиуса востребован, его применение развивается, и свойства не до конца изучены. Его ценность состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета.

Актуальность данной тематики предопределило выбор темы  научной работы. Мы предполагаем, что лист Мёбиуса, как топологическая фигура, обладает действительно неожиданными свойствами.  И наше исследование связано с решением творческой, исследовательской задачи в области математики.

Цель исследования: исследование поверхности ленты Мебиуса.

Гипотеза: если мы исследуем поверхность ленты Мебиуса, то определим её свойства и практическое  применение.

Объект исследования: лента Мёбиуса.

Предмет исследования:  свойства ленты Мёбиуса.

Задачи:

-        познакомиться с историей появления ленты Мебиуса;

-        выявить и исследовать свойства ленты Мебиуса;

-        установить области применения ленты Мебиуса.

Методы исследования: анализ литературы по данной теме; сравнение (свойств обычного кольца и ленты Мёбиуса); обобщение; моделирование.

¹С.Бударина  «Лента Мёбиуса - загадка современности»  «ECONET» / Интересные / 2015

Практическая значимость исследования определяется тем, что исследованные  и  описанные  материалы  могут  быть  использованы  на   факультативных  и кружковых занятиях  по  математике. Материал работы будет полезен любителям математики для расширения математического кругозора.

Научная новизна  исследования заключается  в изучении и подробном описании свойств ленты Мёбиуса.

Метапредметный характер исследовательской работы обусловлен повышенным вниманием к изучению  листа  Мёбиуса в математике, физике, астрономии, архитектуре, литературе и т.д.

Глава I. Открытие, породившее топологию

Раздел 1.1. А. Ф. Мёбиус и его открытие. Историческая справка

Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал Август Фердинанд Мёбиус (1790–1868), ученик "короля математиков" Гаусса, немецкий геометр Лейпцигского университета. Первоначально Мёбиус был астрономом. Он ввел аналитические методы исследования, установил понятие проективного преобразования и существование односторонних поверхностей. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мёбиуса¹.

В 26 лет Мёбиус стал профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили.

Как – то раз в доме на пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мёбиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.

Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: “Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!” Идея пришла ему в голову, когда служанка неправильно сшила ленту.

Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома.

Лента вдохновила на подвиги ни одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса.

¹Д.Я. Стройк «Краткий очерк истории математики» пер.с нем. и доп.  И.П. Погребысского, 1969 Математика

Лист Мёбиуса – это топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем.   Сама топология началась именно с листа Мёбиуса.

  Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг, который почти в тоже время, что и его коллега, предложил в качестве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам перекрученную ленту.

Топология (от греч. τόπος — место) — часть геометрии, изучающая в самом общем виде явление непрерывности, а также свойства обобщенных геометрических объектов. Топология  является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если  их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях. Примером топологических объектов являются: буквы И и Н, тонкие длинные воздушные шарики.

Раздел  1.2. Топология как наука

Сама топология, можно сказать, началась именно с листа Мёбиуса. Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета, кото­рый — почти в то же время, что и его лейпцигский коллега, предложил в ка­честве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам единожды перекрученную ленту в 1858 году¹. Еще одним интересным фактом является то, что оба этих ученых в разное время являлись учениками одного и того же великого математика — Иоганна Карла Фридриха Гаусса. Так, вплоть до 1858 года считалось, что любая поверхность обязана иметь две стороны. Однако Иоганн Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мебиус открыли геометрический объект, у которого была всего одна сторона, и описывают его свойства. Лента была названа в честь Мебиуса, а вот отцом-основателем «резиновой геометрии» топологи считают Листинга и его труд «Предварительные исследования по топологии».

Топология — сравнительно молодой и очень важный раздел математики. Головокружительный взлёт этого раздела науки стал одним из самых неожиданных явлений в развитии математики ХХ века. Известный французский математик Андре Вейль сказал, что за душу каждого математика борются ангел топологии и дьявол абстрактной алгебры, выразив этим, во-первых, необычайное изящество и красоту топологии и, во-вторых, то, что вся современная математика представляет собой причудливое переплетение идей топологии и алгебры. А за последнее время топология всё более проникает в физику, химию, биологию².

Топология (по-другому - "геометрия положения") - это раздел геометрии, изучающий свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях, не допускающих разрывов и склеивания. Удивительные свойства листа Мёбиуса - он имеет один край, одну сторону, - не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология.

В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины).

¹ «Геометрия как искусство» http://pictoris.ru

² О.А.Старова «Грани математики», Математика 2013

С точки зрения топологии баранка и кружка - это одно и то же. Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар - разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

Сама топология, можно сказать началась именно с листа Мёбиуса. Слово это придумал Иоган Бенедикт Листинг.

Наука эта молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. А что же его интересует? Самые общие свойства фигур, которые не изменяются ни при каких преобразованиях, если только не случается катастрофы – «взрыва» фигуры. Поэтому иногда топологию называют «геометрией непрерывности».

Она известна и под именем «резиновая геометрия», потому что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму, следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии, например, стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко  безразлично. В  мире «резиновой геометрии¹» нельзя измерять расстояния и углы, так как все может сжиматься и растягиваться произвольным образом. Есть только два запрета. Фигуры нельзя резать и склеивать. Существует ли геометрия в таком мире? Да, и называется. Такая геометрия – “Топология”.

Раздел 2. Секреты листа (ленты) Мёбиуса

Раздел 2.1.Что такое  лист  Мёбиуса?

Лист Мебиуса - это простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. Всякая замкнутая поверхность, лежащая в трёхмерном пространстве, разделяет его на две части - ограниченную «внутренность» и неограниченную «внешность», подобно тому, как замкнутая кривая разделяет плоскость на две части.

Самое же удивительное, пожалуй, то, что её можно сделать своими руками, и это совсем несложно. Надо лишь взять полоску бумаги и для ясности обозначим углы с одной стороны ленты А и В, а с другой – А¹ и В¹. Далее склеить её концы, предварительно повернув один из них на 180⁰. И тогда в ваших руках окажется лист, или лента Мёбиуса.

¹М. Гарднер, «Математические чудеса и тайны», Москва “Наука” 1982.

Раздел 2.2. Свойства листа  Мёбиуса

  Какими же свойствами она обладает лента Мёбиуса?
1. Односторонность

 Возьмем карандаш и начнем закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре мы вернемся в то место, откуда начали. Закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь мы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели. Получится ли  закрасить перекрученную ленту в два цвета – одним с внутренней стороны, а другим с внешней? Нет, это не удастся.  Потому как поверхность ленты Мёбиуса - односторонняя. Такое вот любопытное свойство!

Что же из этого свойства следует? А следуют удивительные превращения ленты, если разрезать ее вдоль. При разрезании точно посередине, мы получили большое  перекрученное кольцо. А вот если разрезать ленту на расстоянии 1/3 ее ширины от края, то получаются два кольца - но! - одно большое и сцепленное с ним маленькое. Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль посередине, то получаются  переплетенные два кольца - одинаковых по размеру, но разных по ширине¹.

Другие интересные комбинации лент могут быть получены из лент Мёбиуса с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с двумя полуоборотами, то получится два одинаковых кольца, сцепленных между собой. Если разрезать ленту с тремя полуоборотами, последовательно два раза, то получится четыре кольца, сцепленных между собой. Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами. Чудеса?..

2. Непрерывность

 На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом не придётся переходить через край «ленты». Разрывов нет – непрерывность полная.

3. Связность

Если квадрат разрезать бритвой от стороны к стороне, то он  распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы располовинить кольцо, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат– односвязен, кольцо и оправа от очков – двусвязны, а всяческие решётки, диски с отверстиями и подобные сложные фигуры – многосвязны. Ну, а  лист Мёбиуса? Конечно двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту. Если перекрутить ленту на два оборота, то лист становится односвязным. Три оборота – связность снова равна двум. Связность принято оценивать числом Бетти, названным так в честь известного итальянского математика и физика.

4. Ориентированность – свойство, отсутствующее у листа Мебиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мебиуса, то тогда он вернулся бы в исходную точку, но превратился бы в своё зеркальное отражение.

 5. «Хроматический номер». Он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Хроматический номер листа Мебиуса равен шести.

¹Г.Штейнгауз «Математический калейдоскоп», М. «Наука» гл.ред. физико-матем. лит-ры 1981

Раздел 2.3.  Применение листа Мёбиуса

Удивительные свойства листа Мёбиуса применялись и используются сейчас в технике, физике, оптике. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников.

Любопытно, что лист Мебиуса и сейчас продолжает будоражить умы изобретателей. Во многих странах мира запатентованы на его основе удивительные механизмы.

1)    В технике

Кинолента

В 1923году выдан патент №1442632 знаменитому американскому изобретателю Ли де Форс, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон – это лента Мёбиуса

 Кассета  ( Приложение 1.1)

Шлифовальная лента

В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин  получил авторское свидетельство №236278 на бесконечную шлифовальную ленту, работающими обеими своими сторонами. Он предложил натянуть сделанную из специального материала ленту Мёбиуса на два вращающих ролика и покрыть ее крупинками твердого абразива. Такая лента служит в двое больше обычной.(Приложение 1.2)

Ленточный конвейер в виде ленты Мебиуса может работать дольше, он  равномерно изнашивается с двух сторон. (Приложение 1.3)

Матричный принтер

Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.  (Приложение 1.4)

Силовая конструкция

Силовая конструкция (квадратная), мешалка (большая круглая), винты, испытывающиеся на модели судна (два маленьких круглых).  (Приложение 1.5)

2) В архитектуре

Аттракцион “Американские горки” напоминает форму листа Мебиуса.

В Москве находятся самые большие в мире горки такого вида. (Приложение 1.6)

Книжная полка Infinity: Дизайнер Джобс Келевий сломал форму, когда разрабатывал свой книжный  шкаф Инфинити. Используя знак бесконечности и что-то похожее на ленту Мебиуса, в полке Инфинити дизайнер воплотил физическое представление о бесконечности. Это значит, что если вы прочитали все книги этой полки, считайте, что вы постигли всю бесконечность литературы. (Приложение 1.7)

Грандиозная библиотека в Казахстане

Компания BIG Architects представила невероятный проект новой библиотеки, который будет служить в качестве многофункционального культурного центра Астаны, Казахстан. Названная в честь Нурсултана Назарбаева, первого президента республики Казахстан, новая библиотека будет охватывать не только книги, но и пространство и время. Проект включает 4 архетипа – круг, ротонда, арка и юрта –  которые сливаются в форму листа Мёбиуса. В процессе проектирования BIG так же применяла высокотехнологическое моделирование для вычислений теплового воздействия на оболочку здания и максимального затенения. (Приложение 1.8.)

Само по себе здание сложное сопоставление различных идей и концепций. Оно образует спиральную окружность вокруг крепкого вертикального стержня, который позволяет посетителям библиотеки передвигаться между этажами. Изгибы здания образуют лист Мёбиуса, таким образом, внутреннее пространство переходит  во внешнее и обратно. Подобным образом стены переходят в крышу, а крыша трансформируется обратно в стены. Естественный свет проникает во внутренние коридоры сквозь геометрические отверстия во внешней оболочке, создавая прекрасно освещённые пространства, идеальные для чтения.

Недавно построенный в Лондоне Олимпийский велодром имеет контуры, которые можно назвать вариацией на тему листа Мебиуса (Приложение 1.9).

 В Китае построят мост в виде ленты Мебиуса (Приложение 1.10)

В китайской провинции Хунань появится огромный пешеходный мост в виде ленты Мебиуса. Его проектировщики, голландское архитектурное бюро Next, утверждают, что ничего подобного в мире еще не было.

Мост будет возведен над рекой в Мейкси-Лейк - китайском "городе будущего", сообщает Fox News. Это экспериментальный проект, который пока находится в стадии конструкции. Предполагается, что Мейкси-Лейк станет идеальной зеленой зоной с экологичными зданиями и оживленным деловым районом. Город построен на множестве искусственных рек, над одной из которых и появится мост.

По словам архитекторов из Next, на создание проекта их вдохновила не только лента Мебиуса, но и старинная китайская живопись, где часто встречается орнамент из узлов. Мост будет построен из стали, выкрашенной в красный цвет, и составит 24 метра в высоту и 150 метров в длину. У него будет несколько уровней на разных высотах, переходящих друг в друга. Несмотря на свою экзотичность, мост должен стать очень практичным и удобным для прогулок. Работа должна завершиться к 2016 году

3) Скульптура

Лист Мебиуса служил вдохновением для скульптур, и для графического искусства.

В Москве, на Комсомольском проспекте около кинотеатра “Горизонт» находится памятник “Ленте Мёбиуса”. Памятник был установлен в 1997 году (Приложение 1.11)

В городе Минске в скверике около научной библиотеки имени Якуба Коласа сооружён памятник ленте Мёбиуса как символ бесконечности познания окружающего мира. Памятник ленте Мёбиуса в Минске представляет собой изящную металлическую ленту, закреплённую на массивном основании в виде камня-валуна. Вершину конструкции венчает отполированный до зеркального блеска шар. (Приложение 1.12)

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. (Приложение 1.13)

  
         Целую серию скульптур в виде листа Мебиуса создал скульптор Макс Билл. (Приложение 1.14)

Лист Мёбиуса в искусстве служит вдохновением для скульптур и для графического искусства. Мауриц Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил ему работы. Одна из известных, показывает муравьёв, ползающих по поверхности листа Мёбиуса-«Лента Мёбиуса-II». Замкнутая кольцеобразная полоса на первый взгляд имеет две поверхности-внешнюю и внутреннюю. Вы видите, как 9 красных муравьёв один за другим ползут по той и по другой. Тем не менее это полоса с односторонней поверхностью. (Приложение 1.15.)

4) Шарф Мёбиуса

Интересная вещь шарф Мёбиуса появившаяся в гардеробах 21 века. Шарф Мёбиуса можно сделать самому связав концы шарфа, перекрутив на один оборот. (Приложение 1.16.)

5) Символ математики

Лист Мёбиуса считают символом современной математики, так как именно он дал толчок новым математическим исследованиям. Лист Мёбиуса  часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета (Приложение 1.17.)

6) Лист Мёбиуса в физике и астрономии

Физики утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах листа Мебиуса, в частности, отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой…правильно, зеркального своего двойника.

Существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в тот же самый лист Мёбиуса, согласно теории относительности, чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Эта теория полностью подтверждает предположение, что космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта, это подтверждает неограниченность и конечность Вселенной.

7) Лист Мёбиуса в литературе

Лента Мебиуса также распространена в художественной литературе и дорожных развязках (Приложение 1.18). Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно – фантастические рассказы предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. В рассказе автора А.Дж. Дейча «Лист Мёбиуса», бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в лист Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда.

Наталья Юрьевна Иванова посвятила стихотворение «Лист Мёбиуса» необычайному топологическому объекту.

Лист Мебиуса – символ математики,

Что служит высшей мудрости венцом…

Он полон неосознанной романтики:

В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,

Что недоступно даже мудрецам:

Здесь на глазах преобразилась плоскость

В поверхность без начала и конца.

Как о порог, об этот ноль споткнешься.

Но как бы, ни был прежний путь тернист,

Вновь выбирай (и ты не ошибешься!)

Путь в бесконечность – Мёбиуса лист.

8) В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса (Приложение 1.19).

9) В цирке

Лист Мёбиуса понравился не только математикам, но и фокусникам.  (Приложение1.20)

Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

10) В трёхмерном пространстве существует аналог листа Мёбиуса - бутылка Клейна. (Приложение1.21)
         

11) В оформлении ювелирных изделий. (Приложение1.22)

Раздел 2.4. Ленты Мёбиуса в природе

Как зарождаются ленты Мебиуса, наверняка можно наблюдать где-то в природе. Где может происходить вращение по кругу с заворотом во внутрь?

Возможно, это водовороты, образованные при слиянии двух рек, одной стремительной, а другой тихой. Медленное течение тормозит быстрее, вода заворачивается по кругу и уходит вглубь. Это место очень опасное, человека, попавшего в такую воронку, может затянуть на глубину. Смерчи, ураганы и тайфуны – это пересечение ветров. Тогда возможно и такое: встретятся две линии магнитных потоков и образуют магнитную систему в форме вращающегося диска. Если на него падают лучи Солнца, он воспринимается, как летающая тарелка. Эти магнитные волчки могут катиться по поверхности, подпрыгивать, раскачиваться, проникать вглубь, подниматься вверх и улетать в Космос, они то и могут оставлять рисунки на полях. Если в такой путешествующий магнитный клубок врежется самолет, у него могут отказать приборы. Бермудские треугольники, путешествующие по океану, Черные Дыры в Космосе – все это те же пространственные магниты.

Человек – это тоже вихрь, стоящий на пересечении двух направлений: вертикальной линии взаимодействия между Землей и другими планетами и горизонтальной линии вращения Земли. Выходит, что и любой предмет – это разновидность одной и той же организации¹.

¹ Н.Никифорова, А.Устинов. «Лист Мёбиуса» //. Журнал. Математика в школе № 3 / 2007 г. С.31

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом  ленты Мёбиуса, и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того – такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти: спираль замыкается сама на себя, и происходит самоуничтожение.

Создаваемые системы в пространстве далеко не всегда имеют правильную форму. Их могут заворачивать не только два пересекающихся направления. Здесь может происходить нечто более сложное, мудреная конфигурация предмета определяет совокупность составляющих его систем.

Система «летящих чисел» – когда по дате строительства дома, по его расположению относительно частей света можно установить зоны положительной и отрицательной энергии. Определяются области помещения, где идет восхождение энергии, и районы, где она направлена вниз. Вычисляются периоды, когда одна энергия переходит в другую, то есть когда происходит разворачивание ленты Мебиуса. По дате рождения человека можно определить его удачные и неудачные дни, строятся гороскопы. Можно так же просчитать, находится ли жилище в гармонии с его обитателем¹.

Если у человека есть сердце, то Сердце есть и у Вселенной. Кровеносная система устроена таким образом, что путь любой клетки крови обязательно проходит через сердце. Сердце должно быть соединено с каждой точкой своей системы лентой Мёбиуса.

Почему она названа лентой, ведь через точку может проходить только линия? Но тогда мы не сможем наблюдать, как эта замкнутая линия разворачивается. Лента – это линия, но обладающая свойствами плоскости. Что же производит разворачивание этой ленты на сто восемьдесят градусов? Вращательное движение. То самое движение, которое запущено во всей Вселенной: вращает Луну вокруг Земли, Землю вокруг Солнца, электрон вокруг ядра атома и т.д.

Любое поступательное перемещение должно всегда быть вращательным – это движение по ленте Мёбиуса большого радиуса. Любая лента Мёбиуса тоже в свою очередь вращается относительно определенной оси.

1 Т. Полосова « Ленты Мёбиуса в Природе» http://www.proza.ru/2012/10/03/135 

Глава II. Практическая часть.

Проведение и описание экспериментов. 

Объекты:  простое кольцо и лента Мебиуса

Эксперимент 1.

Взять кисточку и закрасить кольца в каком-нибудь направлении.

Объект	Результат
Обычное кольцо	Одна сторона закрашена, другая – нет.
Лента Мёбиуса	Закрашенной оказалась вся лента целиком!

Вывод: Односторонность. У листа Мёбиуса – всего одна сторона.

Эксперимент 2.

Поставить точку на одной стороне каждого кольца и чертить непрерывную линию вдоль него, пока не придешь снова в отмеченную точку.

Объект	Результат
Обычное кольцо	Линия проходит вдоль кольца по одной стороне, сходясь в точке начала.
Лента Мёбиуса	Непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке.

Эксперимент 3.

Закрасить непрерывной линией только один край колец

Объект	Результат
Обычное кольцо	Один край кольца закрашен, второй край нет.
Лента Мебиуса	Линия края получилась непрерывно закрашена на всем кольце

Эксперимент 4.

На внутренней поверхности стоит некто Х, а по внешней идет в любую сторону некто Y.

Объект	Результат
Обычное кольцо	Х и Y никогда не встретятся, не пересекая края.
Лента Мебиуса	Х и Y встретятся, не пересекая края в любом случае

Вывод: Непрерывность. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся переползать через край “ленты”. Разрывов нет – непрерывность полная.

Если на внутреннюю сторону простого кольца посадить паука, а на внутреннюю сторону муху и разрешить им ползать как угодно, запретив лишь переползать через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи. А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук бегает быстрее!¹

Эксперимент 5.

Разрезать кольца вдоль пополам, по линии параллельной краям.

Объект	Результат
Обычное кольцо	Получилось два кольца, уже чем исходное, причем длина окружности каждого будет такой же, как длина окружности первоначально взятого.
Лента Мебиуса	Получилось одно кольцо в виде восьмёрки.

Эксперимент 6.

Разрежь кольцо вдоль, отступив от края на 1/3 ширины кольца.

Объект	Результат
Обычное кольцо	Получилось 2 кольца одно уже, другое шире.
Лента Мёбиуса	Получилось два сцепленных  друг с другом кольца, одно маленькое – другое большое.

Вывод: Связность. Лист Мёбиуса двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.

Существуют еще два свойства листа Мебиуса:

Ориентированность – свойство отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился в своё зеркальное отражение.

 «Хроматический номер» - максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.

Так же были проведены эксперименты с разрезанием ленты Мёбиуса

№ опыта	Описание опыта	Результат
1	Простое кольцо разрезали по середине вдоль.	Получили два простых кольца, такой же длины, шириной в два раза уже, с двумя границами.
2	Ленту Мёбиуса разрезали по середине вдоль.	Получили 1 кольцо, длина которого в два раза больше, ширина в два раза уже, перекручено на 1 полный оборот, с одной границей.
3	Лента Мёбиуса шириной 5см разрезали вдоль на расстоянии 1см от края.	Получили два сцепленных друг с другом кольца: 1) лента Мёбиуса  - длина = длине исходного, ширина 4см  ; 2) ширина 1см, длина в два раза больше исходного перекручена на два полных оборота,  с двумя границами.
4	Лента Мёбиуса шириной 5см  разрезали вдоль на расстоянии 2см от края.	Получили два сцепленных друг с другом кольца: 1) кольцо – лента Мёбиуса шириной 3см,  длина = длине исходного; 2) кольцо -  ширина 2см, в два раза длиннее исходного перекрученного на два полных оборота, с двумя границами.
5	Лента Мёбиуса шириной 5см, разрезали вдоль на расстоянии 3см, от края.	Получила два сцепленных друг с другом кольца:1) кольцо – лента Мёбиуса шириной 2см такой же длины; 2) кольцо – шириной 3см длина его в два раза больше исходного перекручена на два полных оборота.
6	Лента Мёбиуса шириной 5см. разрезали вдоль на расстоянии 4см, от края.	Получили два сцепленных друг с другом кольца: 1) кольцо - лента Мёбиуса 1см длина = длине исходного; 2) кольцо шириной 4 см, длина в два раза больше исходного, перекручена на два полных оборота, с двумя границами.
7	На обеих сторонах бумажной ленты провели две пунктирные линии, на равном расстоянии друг от друга, склеили лента  Мёбиуса, разрезали вдоль пунктирных линий.	Получили два сцепленных друг с другом кольца: 1) кольцо -  в два  раза длиннее исходного, ширина в три раза меньше; исходного, два раза перекрученное; 2) кольцо - лента Мёбиуса длина = длине исходного, ширина в три раза меньше исходного, с двумя границами.

 Проанализировали табличные данные и заметили, что результаты зависят от чётности числа полосок, на которые разрезали лист Мёбиуса.

Выводы по проведённым экспериментам:

Лист Мёбиуса имеет один край.

Лист Мёбиуса имеет одну сторону.

Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, он не изменяет своих свойств, пока её не разрезают. Не разрывают и не склеивают.

При разрезании листа Мёбиуса на чётное число полосок получаются только большие сцеплённые кольца, число которых в 2 раза меньше числа полосок.

В топологии ленты Мёбиуса есть один известный фокус, имеющий непосредственное отношение к многослойному устройству природы и к схеме (3+2+1 = 6 = 2×3). Если концы ленты при склейке перевернуть не как обычно, на один «антипараллельный» полуоборот, а на три (3) таких полуоборота, то в результате получится вот что. Когда такую ленту после склейки разрезают по осевой линии пополам (2), а затем аккуратно ее расправляют, то в итоге получается цельная конфигурация (1), именуемая трилистный узел.

Заключение

Лист Мёбиуса - самая первая из односторонних поверхностей, положившая начало целому направлению в геометрии. По-прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей, художников.

В ходе работы было дано определение, что такое «Лист Мёбиуса» и были изучены его свойства и область применения. В ходе исследования и изучения научной и практической литературы были сделаны следующие выводы о свойствах листа Мёбиуса:

1.      Лист Мёбиуса имеет один край, одну сторону.

2.      Лист Мёбиуса – топологический объект. Как и любая топологическая фигура, он не меняет своих свойств, пока его не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.

3.      Один край и одна сторона листа Мёбиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.

4.      Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в технике,  физике,  живописи,  архитектуре, в оформлении ювелирных изделий и бижутерии и  в изучении свойств Вселенной.

5.      Лента Мебиуса вдохновляет многих художников на создание известных скульптур и картин. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников.

6.      Чудесные свойства ленты порождают множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также множество фантастических рассказов.

Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики

В ходе данного исследования была найдена и переработана разнообразная информация, посвященная объекту исследования: справочная литература, источники сети Интернет.

Таким образом, наша гипотеза подтверждается, что если мы исследуем свойства ленты Мёбиуса, мы исследуем ее практическое применение.

Опыты с лентой Мёбиуса не исчерпаны. Они бесконечны и  интересны. Выбранная нами тема  доказала увлекательность такой науки как математика.

Литература

1.      Бударина  С. «Лента Мёбиуса - загадка современности»  «ECONET» / Интересные / 2015

2.      Стройк Д.Я. «Краткий очерк истории математики» пер.с нем. и доп.  И.П. Погребысского, 1969 Математика

3.       Никифорова Н.,.Устинов А. «Лист Мёбиуса» //. Журнал. Математика в школе № 3 / 2007 г. С.31.

4.      .Штейнгауз Г. «Математический калейдоскоп», М. «Наука» гл.ред. физико-матем. лит-ры 1981

Интернет-ресурсы

1.      Энциклопедия Кольера, электронный ресурс  http://www.slovopedia.com/14/210/1019731.html

2.      https://kniganews.org/2015/02/04/weh8b/

3.      http://pandia.ru/text/77/387/98066.php «Секреты листа Мёбиуса»

4.      http://www.proza.ru/2012/10/03/135  Т. Полосова «Ленты Мёбиуса в Природе»

Приложение 1

 1. Кинолента

 1. Кассетная лента

 2. Шлифовальная лента

3. Ленточный конвейер

4. Матричный принтер

   5. Винт гребной

5.      Мешалка миксера

    6. Американские горки в Москве

 7. Книжная полка «Инфинити»

8.Библиотека в Казахстане

9. Олимпийский велодром в Лондоне 2012

 10. Мост в Китае

11. В Москве, на Комсомольском проспекте около кинотеатра “Горизонт» находится памятник “Ленте Мёбиуса”.

12.В городе Минске в скверике около научной библиотеки имени Якуба Коласа сооружён памятник «ленте Мёбиуса».

13.У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка.

14. Скульптор Макс Билл

15. Скульптор Мауриц Эшер

16. Шарф Мёбиуса

17. Символ современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета.

18.Артур Кларк «Стена Темноты»

А.Дж. Дейч «Лист Мёбиуса»

                                                                                20. Цирк

19. Памятная марка. Бразилия

21. Бутылка Клейна

 

22. Оформление ювелирных украшений