Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Научные работы / Научная работа по математике "Первообразная и её свойства. Неопределённый интеграл, его свойства."
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Научная работа по математике "Первообразная и её свойства. Неопределённый интеграл, его свойства."

библиотека
материалов

Содержание

Введение……………………………………………………………………………2

  1. Первообразная и её свойства. Неопределённый интеграл, его свойства. Основные правила интегрирования………………………………………………………….3

  2. Замена переменной в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям. Циклический интеграл…………………………………………………………….5

  3. Интегрирование рациональных дробей…………………………………………..7

  4. Интегрирование тригонометрических функций…………………………………11

  5. Интегрирование иррациональностей…………………………………………….12

  6. Приближённое вычисление определённого интеграла…………………………14

  7. Определённый интеграл. Свойства определённого интеграла………………...16

  8. Вычисление площадей плоской области…………………………………………18

  9. Длина дуги кривой…………………………………………………………………21

  10. Несобственные интегралы……………………………………………………….24

Заключение………………………………………………………………………..27

Тест…………………………………………………………………………………28

Ключ к тесту……………………………………………………………………….67

Список используемой литературы………………………………………………71























Введение

Интегральное исчисление является важнейшим разделом математического анализа, его методы – одни из основных инструментов решения прикладных задач в математике, физике, экономике и других научных областей. Интегрирование – это настоящее искусство, ему можно научиться лишь глубоко изучив теорию и решив достаточное количество упражнений. Как раз освоение простейших приёмов, используемых в интегрировании, можно проверить с помощью решения тестовых заданий.

В курсовой работе по каждому из основных разделов интегрального исчисления приведены краткие теоретические сведения, позволяющие ответить на базовые теоретические вопросы и получить решения несложных практических задач. Пункты 1-10 содержат основные формулы, используемые при интегрировании неопределённых, определённых и несобственных интегралов, а также при вычислении некоторых геометрических величин.

Тест, включённый в текст курсовой работы, состоит из ста заданий, распределённых по темам и снабжённых решениями и четырьмя вариантами ответов. После тестовых заданий даётся ключ к тесту.























  1. Первообразная и её свойства. Неопределённый интеграл, его свойства. Основные правила интегрирования.



Эти понятия связаны с задачей отыскания функции по известной её производной.

Определение. Функция F(x) на данном промежутке X называется первообразной для функции f(x) (или интегралом для f(x))), если для всех x промежутка X функция f(x) является производной функции F(x), то есть hello_html_69726752.gif

Теорема. Если на промежутке X функция F(x) является первообразной для f(x), то и функция F(x)+С, где С=const, также будет первообразной для f(x).

Действительно, пусть F(x) – первообразная для f(x) и С=const. Составим функцию Ф(x)=f(x)+C. Её производная Ф’(x)=(F(x)+C)’=F’(x)+0=f(x), то есть, по определению, функция Ф(х)=F(x)+C является первообразной.

Операция отыскания первообразной называется интегрированием и обозначается hello_html_2183f6aa.gif (1)

где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, dx – дифференциал аргумента (указывающий, по какой переменной производится интегрирование).

Свойства неопределённого интеграла и простейшие правила интегрирования

  1. hello_html_79f5efc.gif

  2. hello_html_5df93e0a.gif

  3. (hello_html_528f8cd2.gif

  4. hello_html_m341737ac.gif

  5. hello_html_2e53e5eb.gif

  6. hello_html_7fa15eb3.gif

Последние три свойства относятся к правилам интегрирования.

Первые три свойства устанавливают связь операций дифференцирования и интегрирования как взаимообратных и взаимопроверяемых.

Таблица интегралов









































  1. Метод замены переменной (или подстановки)

Теорема. Если 1. функция x=φ(t) монотонна дифференцируема на (α, β),

2. функция f(x) непрерывна на [а, б], то

hello_html_maf72675.gif(1)

Доказательство. Продифференцируем (1) по x, используя: свойство 3 неопределённого интеграла и известные формулы дифференцирования сложной и обратной функции: hello_html_66c5ac36.gif , hello_html_m595bbeaa.gif

Тогда производная левой части формулы (1):

hello_html_6dd1e576.gif

Производная правой части:

hello_html_m609b6820.gif(t))hello_html_m196aea80.gif.

hello_html_m15399e73.gif

Интегрирование по частям

Пусть u(x), v(x) – функции, имеющие непрерывные производные.

Тогда hello_html_20930bb8.gif Используя свойства 2 и 5 неопределённого интеграла, интегрируем последнее равенство:

hello_html_m1e9916f4.gif(2)

(2) – формула интегрирования по частям.

Замечание 1. Разбивая подынтегральное выражение на множители u, dv необходимо придерживаться двух правил:

Интегрирование дифференциала не должно представлять трудностей;

Применение формулы должно привести к упрощению подынтегральной функции (приблизить её к табличному виду)

Замечание 2. Если аргументы функции и дифференциала не совпадают, то лучше предварительно упростить подынтегральное выражение.

Замечание 3. Для интегралов вида:

hello_html_38ed78ea.gif

(в частности, степенная функция xn ), f(x)=eax, sin ax, cos ax, ln x, arctg x, arcsin x, …, применяют интегрирование по частям, причем в большинстве случаев легко интегрируемые выражения: sin x dx, cos x dx, ex dx обозначают dv, а множитель при них P(x)=u; и наоборот, если f(x)=ln x, arcsin x, arctg x, то эту функцию обозначают u(x), а оставшуюся часть подынтегрального выражения – dv.

Замечание 4. А) Интегралы hello_html_1858058b.gifназываются циклическими, так как в процессе применения (2) подынтегральная функция принимает первоначальный вид.

Применим к первому из них формулу (2).

Обозначим:

hello_html_m630dce12.gif



hello_html_180ede2f.gif

hello_html_63e24cba.gif


,

, hello_html_49ef94a7.gif



hello_html_40f3fec2.gif








hello_html_527e22ec.gif




hello_html_m7f2f6b8c.gif

hello_html_63e24cba.gif

,



hello_html_31f93c19.gif

 = hello_html_m2380e5f4.gif

hello_html_m45e67e2d.gif.hello_html_m3524937f.gif (3)

б) По такому же принципу можно найти интеграл типа hello_html_m4e98febc.gif, где k целое число, k > 1 .



hello_html_4b0b629e.gif

hello_html_4eda12ba.gif


hello_html_8e2c8ef.gif,

hello_html_m8e9f9dd.gif

hello_html_m3ac1988c.gif

hello_html_m6193b52d.gif

Последний интеграл преобразуем в сумму интегралов:

hello_html_13292424.gif

В итоге имеем:

hello_html_m6b45684e.gif

.Получаем формулу, понижающую порядок k:

hello_html_2af73db1.gif(4)

Формула (4)  является так называемой  рекуррентной формулой, в которой последующий интеграл вычисляется через предыдущий.





























































  1. Интегрирование рациональных дробей

Определение.

Дробь hello_html_51501873.gif называется рациональной, если hello_html_2d8f3496.gifмногочлены целой степени.

hello_html_m16ac199e.gif

Причём если m<n, то дробь называется правильной.

Теорема 1. Уравнение hello_html_m30ff5ec8.gif имеет ровно n корней, действительных или комплексных (включая их кратность), причём каждый комплексный корень (a+bi) имеет сопряжённый (a-bi).

Теорема 2. Каждый целый многочлен с вещественными коэффициентами разлагается, и притом единственным образом, на вещественные множители

hello_html_70ef5602.gif

где hello_html_68b58702.gifкратность действительных корней hello_html_29a2394.gif,

hello_html_m6facd6fe.gifкратность комплексных корней,

hello_html_m74785713.gif

Паре сопряжённых комплексных корней hello_html_21f869af.gif соответствует квадратный трёхчлен hello_html_m72c1f701.gif

Теорема 3. Каждая правильная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простых дробей вида

hello_html_5b46a262.gif

Проинтегрируем каждую из простых дробей:

hello_html_2ebd73b.gif

hello_html_2b14a2c7.gif

hello_html_m135e8081.gif

hello_html_517345c1.gif

Последние два интеграла предварительно преобразуем: в знаменателе выделим полный квадрат:

hello_html_2f1ee289.gif

(по условию знаменатель не имеет действительных корней - hello_html_me973eb1.gif

hello_html_m758fa5e2.gif).

Положим: hello_html_m5a3069c1.gif

hello_html_2a81d8f7.gif

hello_html_m76dfd195.gif

hello_html_2960965a.gif

hello_html_m41841d2e.gifИтак, правильная рациональная дробь может быть представлена в виде:

hello_html_m4f612653.gif

hello_html_4743f46c.gif(1)

Линейному множителю в знаменателе соответствует одночлен в числителе, квадратному множителю в знаменателе – двучлен в числителе.

Числа hello_html_m13715a25.gifнаходим методом неопределённых коэффициентов. В правой части равенства все дроби приводим к общему знаменателю – это Q(x). Остаётся приравнять числители левой и правой частей, но так как это многочлены, то надо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях. Получим систему линейных уравнений, которая всегда совместна и определена.

Правила интегрирования рациональных дробей

  1. Установить: дробь рациональная, правильная или неправильная. Если неправильная – выделить целую часть.

  2. Найти корни знаменателя и записать его в виде произведения множителей (по теореме 2).

  3. Правильную дробь разложить на сумму простых дробей:

Вид знаменателя: hello_html_m7e52cba3.png, число простых дробей p, вид дробей:

hello_html_18ccbfc5.png

Вид знаменателя: hello_html_m5c8ccb48.png, число простых дробей l, вид дробей:

hello_html_16434ef6.png

  1. Найти коэффициенты.

  2. Проинтегрировать.



























  1. Интегрирование тригонометрических функций

R(sin x, cos x)

Универсальная подстановка hello_html_m186daab0.gif сводит рациональную функцию R(sin x, cos x) к рациональной дроби, интегрирование которой рассмотрено в предыдущем пункте.

Выведем формулы для замены sin x, cos x:

hello_html_1a6ec98d.gif

Заменяем числитель и знаменатель на hello_html_m7abb9a6f.gif

hello_html_74d9bcf0.gif
hello_html_m68bf3ca0.gif

Из подстановки явно выделим x:

hello_html_m512ba727.gif

hello_html_28ebe769.gif





















  1. Интегрирование иррациональностей



hello_html_m75e36460.gifгде R – рациональная функция своих аргументов,

hello_html_m5d8b71d7.gifцелые числа.

Подстановка hello_html_m39cb7beb.gif - общий знаменатель всех дробей hello_html_m38fdd7b4.gif рационализирует подынтегральную функцию.

hello_html_77486788.gif

Пусть q – общий знаменатель всех дробей hello_html_m38fdd7b4.gif тогда подстановка hello_html_m6d7f7f1c.gif рационализирует подынтегральную функцию.

hello_html_7337411d.gifрациональные числа.

Подынтегральное выражение носит название дифференциального бинома и интегрируется в конечном видом только в трёх случаях – если целым оказывается одно из чисел: p, hello_html_m2a57bbe0.gif

Эти случаи интегрируемости были известны ещё Ньютону, но только в середине 19 века Чебышев установил замечательный факт, что других случаев интегрируемости в конечном виде для биномиальных дифференциалов не существует.

Замечание. В некоторых частных видах иррациональных функций, содержащих квадратные корни из суммы или разности квадратов, удобно использовать тригонометрические функции:

hello_html_273e3b84.gif



hello_html_7723a7af.gif

hello_html_2b5e307.gif

hello_html_3fc7a7b5.gif



















































  1. Приближенное вычисление определённого интеграла

1. Формула прямоугольников.

Разделим отрезок hello_html_m10b58c5c.gif точками hello_html_45d6e85f.gif на nравных частей. Длина каждого отрезка hello_html_m1b0c4e6c.gif Построим прямоугольники с основаниями hello_html_m39ebaf4d.gif и высотой hello_html_22462407.gif

hello_html_9a97f5.png







Тогда площадь криволинейной трапеции приближённо будет равна сумме площадей построенных прямоугольников

hello_html_m7b6e859.gif

  1. Формула трапеции

Разделим отрезок hello_html_m10b58c5c.gif точками hello_html_45d6e85f.gif на n равных частей и построим трапеции, заменив дугу кривой хордой, с основаниями hello_html_6ae3fea2.gif

Высоты у них равны hello_html_m91a11cd.gif. Площадь каждой трапеции вычисляется по известной формуле (полусумму оснований умножить на высоту).

hello_html_74c3e732.gif

hello_html_mb76e93a.gif

Искомая площадь приближённо равна сумме площадей построенных трапеций:

hello_html_m52693396.gif

hello_html_69c5c015.gif

hello_html_m272c957d.gif(1)

Это и есть формула трапеций.

hello_html_m1aa7d337.png









  1. Параболическая формула или формула Симпсона

hello_html_m7c8940ba.gifhello_html_m665a7474.gif(2)

(n-чётное число).

Формула (2) чаще других используется для приближённых вычислений, так как даёт более точный ответ при тех же затратах труда. Точность можно улучшать, увеличивая число делений.

Формулу (2) иногда записывают в несколько ином виде (для чётного числа разбиений n=2k):

hello_html_1f1b9a0c.gif



hello_html_m28f0a0e.gif













  1. Определённый интеграл

Свойства определённого интеграла

1.hello_html_m64e9fa06.gif

2. hello_html_5f0cb012.gif

3. hello_html_4d6029f8.gif

4. hello_html_a337f04.gif

5. hello_html_59513cfa.gif

6. hello_html_73feebe0.gif

7.hello_html_m3dc1a70d.gif

8. hello_html_3fd2bf70.gif

9. Теорема об оценке определённого интеграла.

Если функция f(x) непрерывна на hello_html_m10b58c5c.gif, m и M соответственно её наименьшее и наибольшее значения на hello_html_m10b58c5c.gif, то

hello_html_6d95e0cd.gif.

  1. Теорема о среднем.

  2. Если функция f(x) непрерывна на hello_html_m10b58c5c.gif,то найдётся точка hello_html_m44c17818.gif такая, что hello_html_m45c7a925.gif

11.Пусть hello_html_18233369.gif. Рассмотрим определённый интеграл как функцию верхнего пhello_html_26c04d18.pngредела hello_html_m25cd50cf.gif

Геометрически это переменная площадь:











Теорема.

Производная от определённого интеграла с переменным верхним пределом по переменному пределу равна подынтегральной функции hello_html_m19f4cf3b.gif

12.Основная формула интегрального исчисления или теорема Ньютона-Лейбница.

hello_html_m363a0f51.gif

Замена переменной в определённом интеграле

Пусть f(x) непрерывна на hello_html_m10b58c5c.gif и функция hello_html_m586c35a5.gif монотонна и дифференцируема на (a, b), причём hello_html_m36381b8e.gif Тогда hello_html_m4760f2ca.gif



Интегрирование по частям в определённом интеграле

Пусть u(x), v(x) дифференцируемы и интегрируемы на hello_html_m10b58c5c.gif. Тогда

hello_html_m423110be.gif(2)































  1. Вычисление площадей с помощью определённого интеграла в декартовой системе координат

Рассмотрим различные варианты расположения областей.

1.Пусть криволинейная трапеция ограничена кривой hello_html_m4e8f9c37.gif осью Ox и прямыми x=a, x=b. Её площадь равна: hello_html_m4ff7f913.gif

hello_html_m7e9aa9fe.png









2.Пусть hello_html_m631c6e4d.gif конечное число раз меняет знак на отрезке hello_html_7391736d.gif. По свойству 6 интеграл по всему отрезку hello_html_m10b58c5c.gif равен сумме интегралов по составляющим отрезкам. Площадь равна сумме абсолютных величин интегралов по каждому из отрезков, то есть hello_html_daec602.gif.

hello_html_1fa2cbab.png









3.Площадь фигуры, ограниченной кривыми hello_html_1db32da0.gif и прямыми x=a, x=b, находим по формуле:

hello_html_m6f4c725f.gif

hello_html_4048e67d.png







4.Площадь трапеции, основанием которой является ось ординат , удобнее вычислять по формуле

hello_html_m158d0433.gifhello_html_m3892a28c.pngdy













5. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме:

hello_html_1d4e145d.gif(2)

Данные параметрические уравнения определяют некоторую функцию y=f(x) на отрезке hello_html_m10b58c5c.gif и, следовательно, можно воспользоваться основной формулой

hello_html_m451cc243.gif

Перейдём в этом интеграле к переменной t по формулам (2):

hello_html_m48c6f762.gif

Найдём пределы изменения новой переменной: если hello_html_m34357261.gif то переменная t изменяется от hello_html_729d30ee.gifпри условии, что hello_html_m9ea176f.gif

Выполнив указанную подстановку, получим формулу для вычисления площади криволинейной трипеции, ограниченной параметрически заданной кривой:

hello_html_m18805f97.png











hello_html_m1da20ecf.gif(3)

























































  1. Длина дуги кривой

Длина дуги кривой в прямоугольных координатах

Найдём длину дуги АВ кривой hello_html_40946e87.gif, где А(а,f(a)), Bhello_html_m3f89bf21.png(b,f(b)).















Длиной дуги называется предел, к которому стремится длина вписанной ломаной линии при условии, что число звеньев неограниченно возрастает и длина наибольшего из них стремится к нулю.

hello_html_m7099568d.gifдлина звена Мi-1Mi ломаной АВ.

Рассмотрим незамкнутую дугу АВ, заданную уравнением y=f(x).

Пусть f(x) и hello_html_74629257.gifнепрерывны на hello_html_a628838.gif. Разобьём дугу АВ на n частей произвольным образом точками

hello_html_6940527.gif

Длина i-того звена hello_html_m6dcbca96.gif равна длине вектора hello_html_24471bec.gif.

hello_html_m7c2ca4aa.gif

По теореме Лагранжа на отрезке hello_html_57a5913a.gif существует такая точка hello_html_m6a76106a.gifчто hello_html_2f78acbe.gif то есть hello_html_m3bb96357.gif

Просуммировав все hello_html_m6dcbca96.gif, получим приближённое значение длины дуги АВ:

hello_html_45d094ff.gif

Перейдя к пределу при hello_html_m75ede278.gif и hello_html_24746397.gif, получим точное значение длины дуги.

hello_html_m6fb40b9a.gif

В правой части равенства предел интегральной суммы существует в силу непрерывности функции f(x) и её производной и не зависит от способа разбиения дуги на части.

hello_html_2d3c9cec.gif

Длина дуги кривой, заданной параметрически

Пусть теперь кривая АВ задана параметрическими уравнениями

hello_html_m1c9c4705.gif(*)

Где функции hello_html_32ad3c08.gif непрерывны вместе со своими производными, причём hello_html_m32a3fac3.gif

Преобразуем формулу hello_html_2d3c9cec.gif, выполнив замену переменной по уравнениям (*).

Пусть hello_html_e99c5f.gif

hello_html_m370f9207.gif

Отсюда следует формула для вычисления длины дуги, заданной параметрически:

hello_html_m11ceff9f.gif

Длина дуги кривой в полярной системе координат

Пусть уравнение кривой задано в полярной системе координат: hello_html_2ab92e5.gif

Преобразуем формулу hello_html_m11ceff9f.gif, рассматривая угол hello_html_m4ef7215e.gif в качестве параметра. Воспользуемся обычными формулами перехода от декартовых координат к полярным:

hello_html_ad4d29d.gif

Получили формулу для вычисления длины дуги кривой в полярной системе координат.













































  1. Несобственные интегралы

Понятие определённого интеграла определено для конечного интервала и непрерывной на нём функции. Распространим это понятие на случаи бесконечного интервала интегрирования и разрывной функции.

Интеграл с бесконечными пределами

Пусть функция f(x)определена и непрерывна при всех значениях hello_html_mbfdfab2.gif.

Рассмотрим интеграл hello_html_65f7c142.gif Он имеет смысл при любом b>a .При изменении b интеграл изменяется, являясь непрерывной функцией . Пусть hello_html_m344aefe.gif.

Определение. Несобственным интегралом от функции f(x) в интервале hello_html_731ac81b.gif называется предел интеграла hello_html_723ef968.gif при hello_html_m344aefe.gif:

hello_html_78cf8187.gif

Если данный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует или равен бесконечности, то расходящимся.

Аналогично определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов.

hello_html_m56605174.gif

f(x) непрерывна hello_html_m3426d3ac.gif.

hello_html_4d6786d8.gif(*)

f(x) непрерывна hello_html_3e1b335d.gif, с – любая точка оси Ох.

Замечание. В равенстве (*) интеграл, стоящий слева, сходится только тогда, когда сходятся (существуют) оба интеграла в правой части равенства.

Геометрический смысл сходящегося несобственного интеграла

hello_html_517cfef0.png



Если hello_html_m3de63c6a.gif, то hello_html_723ef968.gif выражает площадь области, ограниченной кривой y=f(x) и прямыми y=0 (ось Ох), x=a, x=b. Поэтому естественно считать, что hello_html_69a4f910.gif выражает площадь трапеции с бесконечно большим основанием, заключённой между линиями y=0, x=a и y=f(x).

Расходящийся несобственный интеграл не имеет какого-либо геометрического смысла.

Иногда бывает достаточно установить, сходится данный интеграл или расходится, и оценить его значение, не вычисляя самого значения. Для этого можно воспользоваться теоремой:

Теорема.

Пусть для всех x (hello_html_2f423b04.gif) выполняется неравенство hello_html_4cd281c.gif.

Тогда

1. если hello_html_69a4f910.gifрасходится, то расходится и hello_html_m3db58c59.gif;

2. если hello_html_m3db58c59.gif сходится, то сходится и hello_html_69a4f910.gif, при этом hello_html_69a4f910.gifhello_html_3813d461.gifhello_html_m3db58c59.gif;

3. если hello_html_m75a3abd5.gif то интегралы hello_html_69a4f910.gif и hello_html_m3db58c59.gif

(Либо оба сходятся, либо оба расходятся.)

Несобственные интегралы с бесконечными пределами называют несобственными интегралами I рода.

Интегралы от разрывных функций

Пусть функция y=f(x) для всех значений hello_html_4dab867c.gif, но при x=b претерпевает бесконечный разрыв. Обычное определение интеграла в этом случае теряет смысл.

Определение. Несобственным интегралом от функции f(x), непрерывной при hello_html_569d57c5.gifи неограниченной при hello_html_5b4d15be.gif, называется предел интеграла hello_html_m2fd3267d.gif при hello_html_m6675be7f.gif

hello_html_m4506fa85.gif

Если данный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует или бесконечен, то расходящимся.

Аналогично если функция f(x) претерпевает бесконечный разрыв при x=a, то

hello_html_2c2c953d.gif

Если же функция имеет бесконечный разрыв в какой-нибудь точке с (a<c<b), то

hello_html_7a434a15.gif, причём a и b стремится к нулю независимо друг от друга.

Для определения сходимости несобственных интегралов от разрывных функций полезно воспользоваться следующей теоремой.

Теорема.

Если на отрезке hello_html_a628838.gif функции f(x) и hello_html_m4c4066d7.gifимеют единственную особенность в точке b, причём во всех точках этого отрезка выполняются неравенства hello_html_m1fa13515.gif то

1. если hello_html_m41b72738.gifсходится, то сходится и hello_html_723ef968.gif;

2. если hello_html_723ef968.gif расходится, то hello_html_m41b72738.gif тоже расходится.

Несобственные интегралы от разрывных функций называются несобственными интегралами II рода.

hello_html_m53ec0965.png







Геометрическая интерпретация сходящегося несобственного интеграла II рода – это площадь криволинейной трапеции с бесконечно большой высотой.





Заключение

В работе рассмотрены вопросы теории интегрального исчисления функции одной переменной, такие как первообразная и её свойства, неопределённый интеграл и его свойства, замена переменной в определённом интеграле, интегрирование по частям, циклический интеграл, интегрирование рациональных дробей, интегрирование тригонометрических функций, интегрирование иррациональностей, приближённое вычисление определённого интеграла, определённый интеграл и его свойства, вычисление площадей плоской области, длина дуги кривой, несобственные интегралы. Составлены и решены тестовые задания по этим темам, причём задания 1-5, 9-17, 27, 29, 43, 58-59 – метод замены переменной и основные свойства неопределённого интеграла; задания 6-8, 18, 23-24 – метод интегрирования по частям; задания 25-26, 28, 41-42, 44 – интегрирование рациональных дробей; задания 30, 46-57 – интегрирование тригонометрических функций; задание 60 – использование стандартной формулы дифференциального бинома; задания 61-66, 86-88 – вычисление определённого интеграла; задания 79-81 – вычисление площади с помощью определённого интеграла; задания 82-84 – вычисление длины дуги; задание 85 – вычисление объёма шара; задания 31-40 – теоретические вопросы по темам: первообразная и её свойства, неопределённый интеграл, его свойства, основные правила интегрирования, замена переменной в неопределённом интеграле, интегрирование по частям, циклический интеграл; задания 67-78 – теоретические вопросы по темам: приближённые методы, определённый интеграл, задачи, приводящие к понятию определённого интеграла: о площади трапеции, свойства определённого интеграла, задания 89-100 – теоретические вопросы по темам: вычисление площадей с помощью определённого интеграла в декартовой системе координат, вычисление длины дуги, вычисление объёма методом параллельных сечений, объём тела вращения, несобственные интегралы.

Предполагается, что все задания имеют базовый уровень сложности.



Тесты

Первообразная и её свойства. Неопределённый интеграл, его свойства. Основные правила интегрирования.

Замена переменной в неопределённом интеграле, интегрирование по частям. Циклический интеграл.

1. hello_html_772080a9.gif

a)hello_html_4685cbb0.gif b) hello_html_655b6d1b.gif

c) hello_html_m648a6fc6.gif d) hello_html_3fde689d.gif

Решение задачи 1.

Интегрируем, используя свойства:

hello_html_379e7ac8.gif

hello_html_m307a3927.gif

2. hello_html_m1f444a43.gif

a) hello_html_m1122d4fc.gif b) hello_html_a62c1bc.gif

c) hello_html_m7b07943a.gif d) hello_html_m129be3b9.gif

Решение задачи 2.

Интегрируем методом замены: 6hello_html_2566d3f8.gif

hello_html_57cbb6f4.gif

3. hello_html_5b3168e4.gif

a) hello_html_570691d3.gif b) hello_html_m2eb71095.gif

c) hello_html_289b6ab4.gif d) hello_html_26504886.gif

Решение задачи 3.

Используем подстановку: hello_html_m550691d8.gif, hello_html_3e52e7e6.gif

hello_html_3bc4348f.gif

4. hello_html_m52f1556a.gif

a)hello_html_12a9b087.gif b)hello_html_1ccef131.gif c) hello_html_12a9b087.gif d)hello_html_m26ee8e00.gif

Решение задачи 4.

hello_html_m52f1556a.gif=hello_html_2ac63ec8.gif

5.hello_html_461f28ff.gif

a) hello_html_4d8073c6.gif b) hello_html_59ae4d65.gif c)hello_html_51b81354.gif d)hello_html_175f2d9.gif

Решение задачи 5.

hello_html_4d235bd8.gif

hello_html_m382d2bbb.gifhello_html_59ae4d65.gif

6.hello_html_m46c27729.gif

a)- hello_html_232d3a50.gif b)hello_html_5fe52eab.gif c)hello_html_3b110cf9.gif d)hello_html_m17cd0294.gif

Решение задачи 6.

Пусть u=x, dv=hello_html_m5feb648.gifdx => du=dx, hello_html_22d81f66.gif

hello_html_653946db.gif

7.hello_html_m567518b4.gif

a) hello_html_m3829ee54.gif b)hello_html_m388ebc11.gif

c)hello_html_m48c7b8c7.gif d)hello_html_23d7ce8.gif

Решение задачи 7.

u=arcsinhello_html_1c7feb11.gif , dv=dxhello_html_18cabf72.gifv=x

hello_html_m35369bf1.gif

= hello_html_m3829ee54.gif

8.hello_html_1f7d7986.gif

a) hello_html_m59ece12d.gif

b) hello_html_762b6958.gif

c) hello_html_m26cddb91.gif

d) hello_html_m25baf734.gif

Решение задачи 8.

Пусть u=hello_html_m1b6477ba.gif, du=hello_html_6eafe3ee.gif, dv=(x-6)dx => v=hello_html_m6519faa2.gif =>

hello_html_1f7d7986.gif=hello_html_m38fc304f.gif

9.hello_html_2c503267.gif

a)hello_html_m543ed92b.gif b)hello_html_m12ffd574.gif c)hello_html_m1b3718a1.gif d)hello_html_5e36d133.gif

Решение задачи 9.

hello_html_m77fed2e.gif

10.hello_html_7c1da979.gif

a)hello_html_59529678.gif b)hello_html_43f625d7.gif

c)hello_html_m262bc228.gif d)hello_html_m63e1e935.gif

Решение задачи 10.

В знаменателе присутствует квадратный трёхчлен. Выделяем полный квадрат:

hello_html_m46005c6d.gif

hello_html_m6a6d7c00.gif

11.hello_html_53d5339f.gif

a) hello_html_7d9ee509.gif b)hello_html_6335f767.gif

c)hello_html_m5610cffc.gif d)hello_html_799d71e.gif

Решение задачи 11.

Замена:hello_html_602a2b65.gif

12.Чему равен интеграл hello_html_109c38e7.gif?

a)hello_html_m23747463.gif b) hello_html_m45640623.gif c)sinx+c d)sinx+c

Решение задачи 12.

hello_html_45e13c6.gif

13.Чему равен интеграл hello_html_m12020fda.gif?

a) hello_html_66dd4572.gifb) hello_html_m6cd23a27.gifc) hello_html_m314fc6f2.gifd) hello_html_6a36a989.gif

Решение задачи 13.

hello_html_m2e4eb3f4.gif

14.Чему равен интеграл hello_html_m41dc3790.gif?

a)hello_html_3c62ad03.gif b) hello_html_m100ea670.gif c) hello_html_56017547.gif d) hello_html_1952f934.gif

Решение задачи 14.

hello_html_m2057d7f.gif

15.Чему равен интеграл hello_html_m633c03fa.gif?

a)hello_html_2de6339c.gif b) hello_html_m30a93fc.gif c) hello_html_17bc2a5c.gif d) hello_html_17bc2a5c.gif

Решение задачи 15.

hello_html_m5b56235d.gifhello_html_17bc2a5c.gif

16.Чему равен интеграл hello_html_m18eadaf5.gif?

a)hello_html_2757a40.gif b) hello_html_1308386e.gif c) hello_html_1d287064.gif d) hello_html_2fc61b9f.gif



Решение задачи 16.

hello_html_m18eadaf5.gif=hello_html_10cd5a9f.gifhello_html_1d287064.gif

17.Чему равен интеграл hello_html_b346ed5.gif?

a)hello_html_m5be0738c.gif b) hello_html_m5e9c6886.gif c) hello_html_m75d3cbfa.gif d) hello_html_7a84c9cb.gif

Решение задачи 17.

hello_html_m42166f2c.gif

18.Чему равен интеграл hello_html_5693f6b5.gif?

a)hello_html_26ed5c06.gif b) hello_html_538a43ff.gif c) hello_html_m10dd0e42.gif d) hello_html_7ffcc59d.gif

Решение задачи 18.

hello_html_m2ce7f34.gifhello_html_26ed5c06.gif

19. Чему равен интеграл hello_html_c774bca.gif?

a)hello_html_7f2cee32.gif b) hello_html_m34043d37.gif c) hello_html_3bc9762d.gif d) hello_html_m536f89f1.gif

Решение задачи 19.

hello_html_52ebf097.gifhello_html_m536f89f1.gif

20. Чему равен интеграл hello_html_5ce093d2.gif?

a) hello_html_66dd4572.gifb) hello_html_m6cd23a27.gifc) hello_html_692eb4e9.gifd) hello_html_6bb4ffde.gif

Решение задачи 20.

hello_html_14a0a94e.gif

21.Чему равен интеграл hello_html_m4b8c0cd4.gif?

a)hello_html_2e9b3eac.gif

b) hello_html_1de1fde4.gif

c) hello_html_m2dd9c731.gif

d) hello_html_4851916e.gif

Решение задачи 21.

hello_html_m50caa49c.gif

22.Чему равен интеграл hello_html_m6dd6828f.gif?

a)hello_html_m2cc06d48.gif

b) hello_html_1d91c247.gif

c) hello_html_m27ac6aac.gif

d) hello_html_m40bef6e5.gif

Решение задачи 22.

Пусть k=1, k+1=2, a=3:

hello_html_m35002671.gif

Последний интеграл табличный: hello_html_639bcee3.gif

hello_html_m48db7b3d.gif

23.Чему равен интеграл hello_html_m6f50275e.gif?

a)hello_html_4eac9db6.gif

b) hello_html_m654be6b5.gif

c) hello_html_m27f72e0f.gif

d) hello_html_m3c5ecb1.gif

Решение задачи 23.

hello_html_5198bb7d.gif

24.Чему равен интеграл hello_html_21323607.gif?

a)hello_html_m74f1e3d8.gif

b) hello_html_48440512.gif

c) hello_html_m61018dc.gif

d) hello_html_5f739402.gif

Решение задачи 24.

hello_html_51c7bdea.gif

25.Чему равен неопределённый интеграл hello_html_1744dd0.gif?

a)hello_html_4ae59c48.gif

b) hello_html_m6deeae38.gif

c)hello_html_m7717a619.gif

d) hello_html_23ae6576.gif

Решение задачи 25.

hello_html_15db33e5.gif

26.Чему равен интеграл hello_html_m1d166f1b.gifhello_html_m53d4ecad.gif?

a)hello_html_74210aa9.gif

b) hello_html_1df5171a.gif

c) hello_html_58dcb9d0.gif

d) hello_html_37a6c437.gif

Решение задачи 26.

hello_html_3ba8cede.gif

27.Чему равен интеграл hello_html_m13e763c0.gif?

a) hello_html_aac5302.gif

b) hello_html_3a7695cb.gif

c) hello_html_m1962d186.gif

d) hello_html_m217326e3.gif

Решение задачи 27.

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m5319adda.gif

28.Чему равна первообразная hello_html_m67f28b29.gif?

a)hello_html_2f19c446.gif c) hello_html_1d73aff5.gif

b) hello_html_61389a0b.gif d) hello_html_m34139f0a.gif

Решение задачи 28.

hello_html_22d6bcc6.gif

29.Чему равна первообразная hello_html_5358cba1.gif?

a)hello_html_m61815f63.gif

b) hello_html_3d7880ea.gif

c) hello_html_4040f58f.gif

d) hello_html_303254ee.gif

Решение задачи 29.

hello_html_3306dc68.gif

30.Чему равна первообразная hello_html_m5dc61238.gif?

a)hello_html_4a58cb71.gif

b) hello_html_5eb38db7.gif

c) hello_html_674a40.gif

d) hello_html_1d06e2a4.gif

Решение задачи 30.

hello_html_m6491e8c5.gif













Теория

31. Какая из ниже приведённых формул относится к формуле интегрирования по частям?

a)hello_html_m66a782f7.gif b)hello_html_m2fb74cd1.gif

c) hello_html_3b6a90ce.gif c)hello_html_m766fbc4e.gif

32. Чему равен интеграл: hello_html_m2c9315f8.gif ?

a)hello_html_m65909529.gif b)hello_html_m59ad5fc7.gif c)hello_html_511eaba6.gif d )x+c

33. Чему равен интеграл hello_html_m6e578c37.gif?

a) sinx+c b)cosx+c c)-sinx d)cosx

34.Закончите теорему: «Если 1. функция x=φ(t) монотонна дифференцируема на (α, β), 2. функция f(x) непрерывна на [а, б], то….»

a)hello_html_66a2e6f5.gif

b)hello_html_395606f0.gif

c)hello_html_m3fe0ef44.gif

d)hello_html_3a623f8d.gif

35. Интегралы вида hello_html_mf8e9cb1.gifназываются:

a) рекуррентными b) циклическими с) определёнными в) неопределёнными

36.Интегралы у которых в процессе применения формулы hello_html_62ac710.gif

подынтегральная функция принимает первоначальный вид называются:

a) рекуррентными b) циклическими с) определёнными в) неопределёнными

37.Формула в которой последующий интеграл вычисляется через предыдущий называется:

a) рекуррентной b) циклической с) определённой в) неопределённой

38. Какая из ниже приведённых формул является рекуррентной:


hello_html_m5e991f84.gif

hello_html_7bfb71b6.gif
c)hello_html_m7cce53f5.gif

hello_html_m75d9f35e.gif

hello_html_m2369c2d3.gif

hello_html_f3511a6.gifпонижает порядок k

hello_html_17940868.gifпорядок k

hello_html_m78b50479.gif

d) нет правильного ответа

39.Чему равен интеграл hello_html_1ab426d3.gif?

a)hello_html_5a38ac68.gif c)hello_html_13a71a16.gif

40. Операция отыскания первообразной называется:

a) интегрированием b)дифференцированием

с) a) и b) верно в) нет правильного ответа













































Рациональные дроби. Тригонометрические функции. Иррациональности

41.hello_html_7e6b2ada.gifdx

a)hello_html_m4dc24981.gif

b)hello_html_7d887b29.gif

c)hello_html_5e2a9e00.gif

d)hello_html_79c9ba08.gif

Решение задачи 41.

f(x) – неправильная рациональная дробь.

hello_html_14c4c611.pnghello_html_37c91e35.png;


hello_html_5000492f.gif , hello_html_m5986934c.gif



hello_html_m126c1c16.gif

hello_html_79dcd061.gif=>A=2, B=3, C=0.

hello_html_m4429d25c.gif

hello_html_m755e9a1a.gif

hello_html_54f674ed.gif

42. hello_html_75bbb606.gif

a)hello_html_7fa29024.gif

b)hello_html_m4f09f55c.gif

c)hello_html_3e66548b.gif

d)нет правильного ответа

Решение задачи 42.

F(x) – правильная рациональная дробь. Корни знаменателя: x=0, x=2, x=-2.

hello_html_2096c84d.gif; hello_html_m309d4a47.gif

hello_html_dd8ac3.gif

x3: A+C+D=0,

x2: B+2C-2D=1, => hello_html_m32335296.gif

x1: -4A=6,

x0: -4B=-12

Подставив корни hello_html_66765f78.gif в уравнение (*), найдём С и D: hello_html_2f33410.gif

hello_html_6205787.gif

hello_html_75bbb606.gif=hello_html_m2c939a5f.gif.

43.Чему равен интеграл hello_html_65dfbb8b.gif?

a) hello_html_m1b24f112.gif

b) hello_html_m25b869d4.gif

c) hello_html_17cdc11.gif

d) hello_html_m653623ed.gif

Решение задачи 43.

hello_html_1bf67700.gif

44.Чему равен интеграл hello_html_m52396af2.gif?

a)hello_html_m197b0e64.gif

b) hello_html_2b7863ca.gif

c) hello_html_7e362231.gif

d) hello_html_m161ee1f7.gif

Решение задачи 44.

Дробь рациональная, неправильная. Делим hello_html_m2ba18b89.gif (уголком):

Получаем hello_html_m2f270df4.gif

Последняя дробь правильная, её знаменатель имеет корни:

hello_html_mc83a7bd.gif

Приводим правую часть равенства к общему знаменателю и приравниваем числители левой и правой дробей:

hello_html_6531fc6a.gif

hello_html_74d90d21.gif

Можно найти коэффициенты, не составляя системы, а подставляя корни знаменателя в равенство (*):

hello_html_107aae2a.gif

Вернёмся к исходному интегралу: hello_html_55ef0890.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_649f60d.gif

45.hello_html_m1f914d36.gif

a)hello_html_m1a6c9b47.gif b)hello_html_2e91bdb0.gif

c)hello_html_m3123a3e8.gif d) нет правильного ответа

Решение задачи 45.

hello_html_m40b9e47c.gif

46.hello_html_316d67b.gif

a)hello_html_m26b73d62.gif b)hello_html_6948bf2f.gif

c)hello_html_10a9065f.gif c)нет правильного ответа

Решение задачи 46.

Используем формулу: hello_html_350221a9.gif

hello_html_m74e6ae4d.gif

47.hello_html_m25cd55f0.gif

a)hello_html_30ba3ef7.gif

b)hello_html_m16587302.gif

c)hello_html_m748ee22f.gif

d)нет правильного ответа.

Решение задачи 47.

Выполняем подстановку: hello_html_26bc33f7.gif

hello_html_m2c7dc08b.gif

Правильную рациональную дробь разлагаем на сумму простых дробей:

hello_html_mad38e70.gif

hello_html_m2e5ee615.gif

hello_html_m729c7ead.gif

hello_html_m17ae79a8.gif

48.hello_html_md6db91.gif

a)hello_html_ea2a535.gif b)hello_html_m24abac7c.gif

c)hello_html_m242700e2.gif d)hello_html_5bc3bbd.gif

Решение задачи 48.

hello_html_31626ed7.gif

hello_html_2a51d005.gif

49.hello_html_11c4e875.gif

a) hello_html_720086d8.gif b)hello_html_m109f7817.gif

c) hello_html_m13d6f439.gif d ) hello_html_e18b5a9.gif

Решение задачи 49.

hello_html_3ad00966.gif

hello_html_m13decdc0.gif

hello_html_m3d41193.gif

50.Чему равен интеграл hello_html_74c14f0e.gif?

a)hello_html_m2c6713d0.gif

b) hello_html_4784ae80.gif

c) hello_html_m6e1933d3.gif

d) hello_html_m529790b6.gif

Решение задачи 50.

hello_html_m2033b708.gif

51.Чему равен интеграл hello_html_m3099664c.gif?

a)hello_html_f81131b.gif

b) hello_html_m427c002d.gif

c) hello_html_mb0cf62d.gif

d) hello_html_21d88ebb.gif

Решение задачи 51.

hello_html_m3316ca20.gif52.Чему равен интеграл hello_html_m34e7dfcf.gif?

a)hello_html_7386734d.gif

b)hello_html_m706554b.gif

c) hello_html_mcd0cedb.gif

d) hello_html_m53b78a70.gif

Решение задачи 52.

hello_html_me51039e.gifhello_html_7386734d.gifhello_html_m3952463c.gif

53.Чему равен интеграл hello_html_m9158275.gif?

a)hello_html_m2ddd6070.gif

b) hello_html_543647f.gif

c)hello_html_4b4129aa.gif

d) hello_html_m3ff5bc66.gif

Решение задачи 53.

hello_html_1305f853.gifhello_html_44bc869f.gifhello_html_543647f.gif

54. Чему равен интеграл hello_html_38e06d80.gif?

a)hello_html_6d14dd1b.gif

b) hello_html_m2a82f1f0.gif

c) hello_html_m4cd448dc.gif

d) hello_html_m4bb94318.gif

Решение задачи 54.

hello_html_m7f58b0f9.gif

55. Чему равен интеграл hello_html_22b7039.gif?

a)hello_html_6d6ebe3b.gif

b) hello_html_1769077a.gif

c) hello_html_1b92078d.gif

d) hello_html_6baef567.gif

Решение задачи 55.

hello_html_m38735dc8.gif

56. hello_html_m5be7c22b.gif

a)hello_html_m2dbd8861.gif b)hello_html_m63e885c0.gif

c)hello_html_m7d25b7a7.gif d)hello_html_m2de52604.gif

Решение задачи 56.

hello_html_56f64d9d.gif

57.hello_html_m49fa2aa3.gif

a)hello_html_m5e6f2d8a.gif b)hello_html_5e699aad.gif

c)hello_html_m131e317a.gif d)нет правильного ответа

Решение задачи 57.

hello_html_m22996198.gif

hello_html_m78477288.gif

hello_html_341e0d41.gif

hello_html_m206b3474.gif

58.hello_html_m46b69c57.gif

a)hello_html_m51e25be9.gif

b)hello_html_76f31ab9.gif

c)hello_html_7d3c8c51.gif

d)нет правильного ответа

Решение задачи 58.

hello_html_m7d74ff2f.gif



hello_html_223bf812.gif

hello_html_42da02cb.png

59.hello_html_m79543765.gif

a)hello_html_b5d1c21.gif

b)hello_html_m40adb192.gif

c)hello_html_m4d1f63fc.gif

d)нет правильного ответа

Решение задачи 59.

hello_html_m7df93e0.gif

hello_html_m435a8e11.gif

Корни знаменателя: hello_html_m7428f763.gif

hello_html_m63a5dfdb.gif

hello_html_m26794f68.gif

hello_html_697397b0.gif

hello_html_m5e072e13.gif

hello_html_d1e5708.gif

hello_html_m17e0155a.gif

hello_html_m78c903e5.gif

hello_html_m61fa98df.gif

hello_html_1a17543f.gif

60. Чему равен интеграл hello_html_638f9c10.gif?

a)hello_html_m2ec9b9ff.gif

b) hello_html_m1b083fb3.gif

c)hello_html_7b6d6552.gif

d) hello_html_66286108.gif

Решение задачи 60.

Запишем стандартную форму дифференциального бинома:

hello_html_m3adf227f.gif

hello_html_657416ab.gif

hello_html_17902461.gif











































Приближённые методы. Определённый интеграл.

Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла: о площади трапеции.

Свойства определённого интеграла.



  1. hello_html_m6934946e.gif

a)hello_html_2c2ddce.gif b)hello_html_3abe2b0f.gif c)hello_html_7c0e0996.gif d)hello_html_m66adf3a.gif

Решение задачи 61.

Функция hello_html_m5b1d825b.gif непрерывна всюду. Преобразуем её:

hello_html_m51938515.gif

Вычисляем определённый интеграл:

hello_html_m36a46841.gif



  1. hello_html_cc15576.gif

a)hello_html_89c7d7f.gif b)hello_html_m7af81bbf.gif c)hello_html_m328834f2.gif d)hello_html_md2c5ede.gif

Решение задачи 62.

Функция hello_html_m4082e625.gif непрерывна всюду.

Вычисляем определённый интеграл, понижая порядок функции по формулам: hello_html_m6f71a00e.gif:

hello_html_mc143bd1.gif

  1. hello_html_52012b2e.gif

hello_html_m71aae975.gifb)hello_html_m2ad577dc.gif c)hello_html_m779b4be4.gif d)hello_html_m779b4be4.gif

Решение задачи 63.

Функция hello_html_m7238377e.gif непрерывна на промежутке интегрирования.

Делаем замену: hello_html_m178a4f3.gif

Пределы интегрирования: если х=0, t=0, если x=ln2, hello_html_4f39472c.gif

Вычисляем определённый интеграл:

hello_html_m51f71259.gif

Получили неправильную рациональную дробь. Для выделения целой части применим искусственный приём: добавим единицу и вычтем единицу в числителе, а затем поделим почленно числитель на знаменатель:

hello_html_73c4dd7a.gif

hello_html_4cdc0167.gif

a)10 b)-5 c)-10 d)5

Решение задачи 64.

hello_html_m15880719.gif

hello_html_m1be256e2.gif

a)hello_html_29d3f83c.gif b)hello_html_7d98fee1.gif c)hello_html_m287165a5.gif d)hello_html_10d031d6.gif

Решение задачи 65.

hello_html_m6cf177fd.gif

hello_html_26f91886.gif

66. Найти интеграл используя замену переменной: hello_html_m159100e3.gif

a)- hello_html_4531d903.gif b)hello_html_247bd417.gif c)hello_html_3f1ec1ec.gif d)hello_html_m19a987f1.gif

Решение задачи 66.

hello_html_m40a0814a.gif



hello_html_647b0e1e.gif

hello_html_m18603062.gif



































Теория

67. Чему равна площадь криволинейной трапеции приближённо?

a) сумме площадей построенных прямоугольников;

b) сумме площадей построенных трапеций;

c)разности площадей построенных прямоугольников;

d) разности площадей построенных трапеций.

68.Какая из ниже приведённых формул является формулой для нахождения площади криволинейной трапеции?

a)hello_html_m36d6ce5c.gif

b)hello_html_4042c055.gif

c) hello_html_m272c957d.gif

d)
hello_html_1f1b9a0c.gif



hello_html_m28f0a0e.gif

69. Как называется ниже приведённая формула?

hello_html_1f1b9a0c.gif



hello_html_m58e690ad.gif

  1. Формулой Симпсона

  2. Формулой трапеции

  3. Формулой прямоугольников

  4. Нет правильного ответа

70. Закончите теорему:

Производная от определённого интеграла с переменным верхним пределом по переменному пределу равна подынтегральной функции …. .

  1. hello_html_7c55fc5a.gif

  2. hello_html_696b04f.gif

  3. hello_html_m6c0648af.gif

  4. Нет правильного ответа

71. Какая из ниже приведённых формул относится к формуле интегрирования по частям в определённом интеграле:

a) hello_html_m9d9f99d.gif

b)hello_html_61a28ed9.gif

c)hello_html_m32e97078.gif

d)hello_html_m653428cc.gif

72. Чему равен интеграл hello_html_1505a633.gif

a) a-b b)0 c)b-a d)x

73.Как называется ниже приведённая теорема?

Если функция f(x) непрерывна на hello_html_m10b58c5c.gif, m и M соответственно её наименьшее и наибольшее значения на hello_html_m10b58c5c.gif, то

hello_html_6d95e0cd.gif.

a)Теорема о среднем

b) Теорема об оценке определённого интеграла

с)Основная формула интегрального исчисления

d)Теорема Ньютона-Лейбница

74.Чему равен интеграл hello_html_399e8d16.gif

a)0 b)1 c)a-b d)-f(x)

75. Как называется ниже приведённая теорема?

Если функция f(x) непрерывна hello_html_m10b58c5c.gif,то найдётся точка hello_html_28cebd58.gif такая что hello_html_m45c7a925.gif

a)Теорема о среднем

b) Теорема об оценке определённого интеграла

с)Основная формула интегрального исчисления

d)Теорема Ньютона-Лейбница

76. Формула Ньютона-Лейбница служит для вычисления:

a) неопределённых интегралов

b) определённых интегралов

с) неопределённых и определённых интегралов

d)нет правильного ответа

77.hello_html_m75d6fbf5.gif

a)hello_html_6f612052.gif

b)hello_html_m134ddfcb.gif

c)hello_html_m104bb87.gif

d)hello_html_58803c30.gif

78.Теорема hello_html_6bf48fc3.gif называется

a)Теорема о среднем

b) Теорема об оценке определённого интеграла

с)Основная формула интегрального исчисления

d)Теорема Ньютона-Лейбница







Вычисление площадей с помощью определённого интеграла в декартовой системе координат.

Вычисление длины дуги.

Вычисление объёма методом параллельных сечений. Объём тела вращения.

Несобственные интеграла.



  1. Чему равна площадь фигуры, ограниченной синусоидой hello_html_m5f90e04e.gifи центральной ветвью тангенсоиды hello_html_968a3c2.gifhello_html_m118cc3ea.gif

hello_html_m307915af.png











a)hello_html_m461d7f40.gif b)ln2 c)lne d)hello_html_m3ab66fbf.gif

Решение задач 79.

Фигура, ограниченная заданными кривыми, состит из двух «лепестков», симметричных относительно начала координат, поэтому можно найти площадь одного лепестка и результат удвоить. Площадь области OmBn найдём как разность площадей трапеций OmBb и OnBb. Найдём точки пересечения линий, решив систему уравнений:

hello_html_m20fb43e0.gif

hello_html_308d494.gif

Учитывая условия задачи, выбираем: hello_html_m4bcbef89.gif

Итак: hello_html_m1c2e78bf.gif

hello_html_c42e9a.gif

hello_html_m6ba970f6.gif.

80.Чему равна площадь области, ограниченной эллипсом hello_html_66dfc71c.gif?

а)hello_html_75747bf9.gif b)hello_html_m557367ec.gif c)hello_html_70be3445.gif d)hello_html_m768152fc.gif

Решение задачи 80.

В силу симметрии области достаточно найти площадь четвёртой части области, например, расположенную в первой четверти. Полученную величину затем умножить на 4.

Для вычисления площади удобнее уравнение эллипса представить в параметрической форме

hello_html_m4ecf94ad.gif(в первой четверти hello_html_m7ec75cee.gif

Пределы интегрирования для переменной t:

hello_html_m490a9297.gif

hello_html_7245308c.gif

Итак:

hello_html_17d76f7e.gif

hello_html_m56e7fc9c.gif

81.Чему равна площадь, ограниченной петлёй декартова листа



hello_html_m2331a3de.gifhello_html_6401ce2b.png





a)hello_html_5886be21.gif b) -hello_html_5886be21.gif c) hello_html_m5dd8946b.gif d) hello_html_7aa7082f.gif

Решение задачи 81.

Запишем уравнение кривой в полярной системе координат, используя формулы перехода hello_html_7d301e2f.gif

hello_html_m6c30e2be.gif

- уравнение кривой в полярных координатах.

Кривая симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла y=x (замена переменных х на у и у на х не изменяет уравнения), поэтому найдём площадь половины лепестка и результат удвоим. Если радиус-вектор описывает дугу ОmB, угол φ изменяется от 0 до hello_html_5a1dc688.gif.

hello_html_4bbce684.gif

(Разделим числитель и знаменатель на hello_html_6c64d3cc.gif)=

hello_html_m358b8329.gif

Замена переменной

hello_html_39d0a744.gifhello_html_m3a89dc91.gifновые пределы hello_html_2fa8e029.gif

hello_html_m80cadf5.gif

82.Чему равна длина дуги полукубической параболы hello_html_m31102d8.gifзаключённой между точками О(о,о) и А(5, hello_html_34346be1.gif).

a)hello_html_692f825a.gif b) -hello_html_692f825a.gif c) hello_html_m6be7bce3.gif d) hello_html_m195847ae.gif

Решение задачи 82.

hello_html_m14153a5e.gif83. Чему равна длина дуги астроиды hello_html_1d26544e.gif

ahello_html_m18868bb9.png)6a b)-6a b)0 c)-3a







Решение задачи 83.

Воспользуемся симметрией кривой и найдём длину дуги, расположенной в первой четверти, затем умножим на 4 полученную величину:

hello_html_m59a06e83.gif

hello_html_64c7e205.gif

84.Чему равна длина кривой hello_html_47ecaaf6.gifпри изменении угла hello_html_m4ef7215e.gifот 0 доhello_html_m6cb75f00.gif?

a)hello_html_5eacfb51.gif b)-hello_html_5eacfb51.gif c) hello_html_20f17d65.gif d)-hello_html_5eacfb51.gif

Решение задачи 84.

hello_html_m622d1676.gif

85.Чему равен объём шара радиуса r?

hello_html_m3e665929.png



a)hello_html_5df2b271.gif b) hello_html_m1d600c36.gif c) hello_html_m1dba6932.gif d) hello_html_45648377.gif

Решение задачи 85.

Будем рассматривать шар как тело, образованное вращением полуокружности hello_html_29dab0b8.gif вокруг оси Ох.

Центр окружности – в начале координат, следовательно, a=-r, b=r.

Для вычисления объёма шара воспользуемся формулой

hello_html_551e72e9.gif

Используем чётность функции на симметричном интервале:

hello_html_m33106b3f.gif

86.Чему равен интеграл hello_html_m651cbd4b.gif?

a)hello_html_1f257954.gif b)0 c)hello_html_4fd45fec.gif d) hello_html_3f0dc136.gif

Решение задачи 86.

hello_html_m69756bff.gif

87.Чему равен интеграл hello_html_55bdc536.gif?

a)hello_html_m62eac1ed.gif b) hello_html_6225a6fd.gif c)0 d)нет правильного ответа

Решение задачи 87.

В точке x=0 функция hello_html_186b8ee1.gifтерпит бесконечный разрыв.

hello_html_m6cc01d0a.gif

88.Чему равен интеграл hello_html_m7c82b60b.gif?

a)hello_html_722ce853.gif b) hello_html_m4c1ecb43.gif c)0 d)hello_html_m62eac1ed.gif

Решение задачи 88.

Интеграл несобственный 1-го рода, функция – правильная рациональная дробь – определена на бесконечном интервале. Разложим дробь на сумму простых дробей, применив искусственный приём.

hello_html_5a8ed6a5.gif























































Теория

89.Предел, к которому стремится длина вписанной ломаной линии при условии, что число звеньев неограниченно возрастает и длина наибольшего из них стремится к нулю это:

a) длина дуги

b) длина кривой

с) длина ломанной

d) Нет правильного ответа

90.hello_html_m756e6da4.gif - это формула для вычисления:

a) длины дуги, заданной параметрически;

b) длина дуги кривой в полярной системе координат;

с) длина дуги кривой в прямоугольных координатах;

d) длина дуги

91.hello_html_335480dc.gif это формула для вычисления:

a) длины дуги, заданной параметрически;

b) длина дуги кривой в полярной системе координат;

с) длина дуги кривой в прямоугольных координатах;

d) длина дуги

92.hello_html_2d3c9cec.gif

a) длины дуги, заданной параметрически;

b) длина дуги кривой в полярной системе координат;

с) длина дуги кривой в прямоугольных координатах;

d) длина дуги

93.Вставьте в определение недостающее слово:

Несобственным интегралом от функции f(x) в интервале hello_html_m310076dc.gif называется … интеграла hello_html_723ef968.gif при hello_html_m344aefe.gif: hello_html_m5804b2c1.gif.

a)предел

b)интеграл

с)несобственный интеграл

d)собственный интеграл

94.Несобственные интегралы с бесконечными пределами называют несобственными интегралами:

a) II рода

b) I рода

с) III рода

d) нет правильного ответа

95. Какая из ниже перечисленных формул относится к формуле для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной параметрически заданной кривой?

a)hello_html_m5261adf8.gif

b) hello_html_3597f477.gif

c) hello_html_mcb1de1c.gif

d) hello_html_m4acb08df.gif

96.Формула для отыскания площади криволинейного сектора:

a)hello_html_m7d87183a.gif

b)hello_html_45368054.gif

c) hello_html_779797f8.gif

d) hello_html_464ebacb.gif

97.Вставьте недостающее слово:

Криволинейным сектором называется область, ограниченная лучами hello_html_m29d1ac6b.gif

и линией hello_html_m2ed30df8.gif, которую любой луч, исходящий из полюса, пересекает не более чем … .

  1. в одной точке;

  2. в двух точках;

  3. в трёх точках

  4. в четырёх точках.

98.hello_html_6f5c93ac.gif - это формула для вычисления:

a) площади фигуры, ограниченной кривыми hello_html_337abf44.gif и прямыми x=a, x=b;

b)площадь трапеции, основанием которой является ось ординат;

с)площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме;

d)площадь криволинейного сектора в полярной системе координат.

99.Какая из ниже перечисленных формул является формулой для определения несобственного интеграла от функции f(x)?

a)hello_html_749936c9.gif

b) hello_html_17134b55.gif

c) hello_html_550e43a3.gif

d) hello_html_m1a2cda9e.gif

100.Геометрическая интерпретация сходящегося несобственного интеграла 2-го рода это:

a) площадь криволинейной трапеции с бесконечно малой высотой;

b) площадь прямоугольной трапеции;

c) площадь криволинейной трапеции с бесконечно большой высотой;

в) площадь равнобедренной трапеции.

































Ключ к тесту

1-a

2-a

3-a

4-a

5-b

6-a

7-a

8-b

9-a

10-c

11-a

12-a

13-c

14-a

15-d

16-c

17-b

18-a

19-d

20-c

21-a

22-a

23-a

24-a

25-a

26-a

27-b

28-b

29-a

30-b

31-c

32-b

33-a

34-b

35-a

36-c

37-a

38-a

39-a

41-a

42-a

43-b

44-b

45-b

46-a

47-a

48-b

49-a

50-a

51-a

52-a

53-a

54-a

55-a

58-a

59-a

60-а

61-a

62-а

63-a

64-a

65-а

66-b

67-a

68-в

69-a

70-a

71-b

72-c

73-b

74-c

75-a

76-b

77-d

78-a

79-a

80-a

81-a

82-a

83-a

84-a

85-b

86-c

87-b

88-a

89-a

90-a

91-c

92-a

93-b

94-b

95-a

96-b

97-a

98-b

99-a

100-c













































Список используемой литературы

  1. Бугров Я.С. Никольский СМ. Высшая математика: Дифференциаль­ное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1984. 432 с.

  2. Зорин В.А. Математический анализ: В 2 т. Т. 1. М.: Наука, 1981. 544 с; Т. 2. М.: Наука, 1984. 640 с.

  3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2 т. Т. 1. М.: Наука, 1982. 616 с; Т. 2. М.: Наука, 1980. 448 с.

  4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: В 3 т. М.: Высш. шк., 1988. Т. 1. 712 с; Т. 2. 576 с; Т. 3. 352 с.

  5. Уваров В.Б. Математический анализ. М.: Высш. шк., 1984. 288 с.

  6. Шилов Г.Е. Математический анализ: Функции одного переменного: В 2 т. Т. 1. М: Наука, 1969. 528с.














91



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 28.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров129
Номер материала ДБ-398007
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх