Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Научные работы / Научная работа по математике "Выпуклые соединения многогранника Иванова, правильной пятиугольной пирамиды и их правильногранных сечений", 10класс"

Научная работа по математике "Выпуклые соединения многогранника Иванова, правильной пятиугольной пирамиды и их правильногранных сечений", 10класс"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


«НАУЧНОЕ ОБЩЕСТВО УЧАЩИХСЯ»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №72

с углубленным изучением отдельных предметов»




ВЫПУКЛЫЕ СОЕДИНЕНИЯ МНОГОГРАННИКА ИВАНОВА Q5, ПРАВИЛЬНОГРАННОЙ ПЯТИУГОЛЬНОЙ ПИРАМИДЫ М3 

И ИХ ПРАВИЛЬНОГРАННЫХ СЕЧЕНИЙ



Автор:

Томсон Евгений Сергеевич, 10 класс

Руководитель:

Солдатова Елена Аркадьевна,

учитель математики МБОУ СОШ №72

Научный руководитель:

Тимофеенко Алексей Викторович,

КГПУ им. Астафьева, профессор кафедры алгебры геометрии и МП, доцент, д-р физ.-мат.н.



КРАСНОЯРСК 2014

Содержание



Краткая аннотация …………………………………………….…..…....3

Введение …………………………………………………………….…. 4

Модели правильногранников …………………………….…………. 7

Заключение ……………………………………………………..……. 11

Литература ………………………………………………………..….. 12

Приложение ………………………………………………………….. 13

Краткая аннотация



Цель исследовательской работы: получить новые выпуклые многогранники путем соединения двадцатидвухгранников Иванова Q5, правильногранных пятиугольных пирамид М3 и их паркетных сечений [4]. Причём число каждого из этих тел в соединении может быть любым, включая ноль. Паркетным многоугольником называется выпуклый многоугольник, составленный из правильных многоугольников.

Знакомство с работами В.А.Залгаллера (1967, 2008) и

А.В. Тимофеенко (2008--2011), электронными атласами многогранников дало представление о том как получить все выпуклые соединения по граням тел Q5 и М3.

В процессе моделирования найден ряд неизвестных ранее выпуклых многогранников с паркетными гранями. Оказалось, двадцатидвухгранник Иванова Q5 и правильногранная пирамида M3 с пятиугольным основанием имеют ровно восемь общих выпуклых соединений и их сечений плоскостью по паркетным многоугольникам. Их грани состоят из правильных и паркетных многоугольников, и удовлетворяют более слабым условиям, чем тела из указанных выше работ.

Введение



Несколько лет назад доказана теорема о том, что кроме призм и антипризм существует ровно 186 выпуклых правильногранников без фиктивных вершин, из которых 78 обладают фиктивными рёбрами [1,3], причем каждый из них построен в виде компьютерной модели [4,5].

Правильногранником называется такой многогранник, что каждая его грань составлена из одного или нескольких правильных многоугольников, причём любая вершина каждого из этих многоугольников является и вершиной самого многогранника. Совокупность эскизов построенных многогранников находится в атласе многогранников [4].

Каждый из упомянутых выше 186 многогранников либо рассекаются плоскостью на два правильногранника, либо такой плоскости не существует. В первом случае многогранники называются составными и не составными – во втором несоставные тела найдены к 1973 г. Кроме призм и антипризм существуют только 34 несоставных многогранника (см. ссылку [1,3]).В настоящей работе нам потребуются такие многогранники: правильногранная пирамида с пятиугольным основанием (1рис.) и двадцатидвухгранник Иванова (2рис.). В данной работе эти тела будем обозначать М3 и Q5 соответственно.

Многоугольники, изображенные в рис. 1 относятся к паркетным. В работе [6] изображены еще 14 паркетных многоугольников. Некоторые вершины правильных многоугольников, из которых составлен паркетный многоугольник, лежит либо внутри ребра или грани и называется фиктивным.

Теорема.  Пусть многогранники Q5 и M3 обладают единичными рёбрами. Тогда, соединяя одинаковыми гранями многогранник и рассекая эти многогранники плоскостью, можно получить только следующие выпуклые многогранники c паркетными гранями:

1)М3 + М3,

2)Q5 + M3,

3)Q5 + M3 + M3,

4)Q5+M3-M3',

5) Q5 + M3 – M3'+ M3,

6) Q5+M3-M3' + M3-M3'.

где знаки "+" и “-“ обозначают, что приписанный справа от каждого из них многогранник соединяется или отсекается от записанного слева многогранника соответственно.

С помощью конструктора, описанного в журнале «Квант» [2], были созданы материализованные модели правильногранников с помощью различных рассечений по ребрам и соединений по плоскостям и получены новые многогранники, доказана теорема.

Перед доказательством теоремы изучим симметрии тел Q5 и M3, т. е. движения, совмещающие каждый из них с собой. Многогранник Q5 имеет только один поворот на 180°, совмещающий его с собой и ещё две нетождественные симметрии:

  • Отражение от плоскости,

  • Композиция отражения и поворота.

Вместе с тождественной симметрией три эти преобразования относительно операции последовательного выполнения (композиции) образуют группу Клейна.

Далее рассматривался многогранник М3. Существует только одна вершина, через которую проходит ось поворота, совмещающего М3 с собой. Следовательно, повороты вокруг этой оси на углы, кратные 72 градусам и есть все повороты, совмещающие с собой эту пирамиду. Вместе с операцией композиция они образуют циклическую группу пятого порядка. Для каждой плоскости, проходящей через названную ось и боковое ребро, можно определить зеркальную симметрию. Всего получилось 10 симметрий, которые вместе с операцией последовательного их выполнения образуют группу диэдра.

Зная, каковы все симметрии тел Q5 и M3, выделем те грани каждого из них, действуя на которые симметриями, можно пучить остальные грани. Для пирамиды такими гранями будут основание и одна боковая грань. А у 22-гранника Иванова таких граней больше. Они изображены на фотографии.

Приведём значение терминов, употребляемых в настоящей работе.

Многоугольник — это геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломаная, имеющая больше двух углов. Многогранник – часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников, соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого смежным), причем, вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины – вершинами многогранника. Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней.

В настоящей работе рассматривались как выпуклые, так и невыпуклые многогранники. Но для доказательства теоремы использовались только выпуклые многогранники с гранями из правильных многоугольников.

Симметрия — преобразование пространства, сохраняющий расстояние между двумя любыми точками, совмещающее многогранник с собой.

Если существует ось поворота, совмещающая с собой многогранник, то она проходит или через его вершину, или середину ребра, или середину плоскости.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

Модели правильногранников

Выпуклые многогранники были собраны по технологии, предложенной в статье Ю. Матиясевича в научно-популярном журнале «Квант» [2]. Сборка правильных многогранников не вызвала затруднений. Изготовлены правильные многоугольники – грани многогранников.

Рассматриваются только выпуклые многогранники, каждая грань которых либо правильный, либо составленный из правильных многоугольников с единичными ребрами многоугольник. Вершины и ребра этих многоугольников разделены на истинные и фиктивные. Фиктивное ребро соединяет расположенные в одной грани правильные многоугольники, а фиктивная вершина лежит внутри грани или внутри ребра.

Доказательство теоремы

Рассмотрим подробнее многогранники Q5 и М3. В многограннике Q5 найдем оси поворотов, совмещающие его с собой.

Собственные симметрии:

  • Вершины: Вершин, через которых проходит ось поворота, совмещающая пятиугольные грани многогранника Q5 с собой, нет.

  • Середины граней: рассматривались середины граней многогранника Q5. Нет таких граней, через середины которых проходила бы ось поворота.

  • Середины ребер: рассматривались ребра многогранника. Любое ребро, соединяющее при повороте грани с разным числом сторон не рассматривались, т. к. они подойдут по условию только при тождественном повороте. Были найдены ребра, соединяющие одинаковые грани. Пара таких ребер, находящихся напротив друг друга, заключенные между двух треугольников, подходят, как середины ребер, через которые проходит ось поворота, совмещающая при повороте многогранник с собой.

Из вышесказанного следует, что существует только один поворот, совмещающий многогранник с собой нетождественным поворотом (180°). Других поворотов не существует.

Несобственные симметрии:

  • Отражение от плоскости;

  • Поворот на 180°;

  • Композиция: отражение + поворот на 180°.

Таким образом, для многогранника Q5 была найдена группа нетождественных поворотов, совмещающих многогранник с собой.

Рассмотрим многогранник М3. Два многогранника М3 можно соединить только по пятиугольной грани, то есть возможно получить единственное соединение: М3 + М3.

Собственные повороты:

  • Вершины: Существует единственная вершина М3, через которую проходит ось поворота.

  • Середины ребер: Ребра, через середины которых приходит ось симметрии, отсутствуют.

  • Середины граней: Грани, через середину которых проходит ось симметрии, также отсутствуют.

Несобственные повороты

Симметрии:

  • Зеркальная симметрия;

  • Поворот на 90°;

  • Поворот на 180°;

  • Композиция (симметрия + поворот)

Тела Q5 и M3.

1) Двусоставные объединения тел M3, Q5.

Рассматривались выпуклые соединения многогранников Q5 и М3. При этом были получены следующие соединения:

М3 + М3 (приложение, рис.3)

Q5 + M3,

т. е. многогранник Q5 имеет с точностью до симметрии единственную пятиугольную грань, к которой присоединяется пятиугольная пирамида M3 с пятиугольным основанием, (приложение, рис.2)

2) Сечения двусоставных тел.

Вершина пирамиды M3 многогранника Q5 + M3 становится вершиной основания такой же пирамиды, которую назовём М3'. Теперь отсекаем M3' от Q5+M3 и получаем многогранник 

S1=Q5+M3-M3'

3) Трехсоставные соединения тел M3, Q5, S1.

Получившийся многогранник (S1) допускает присоединения еще одной пирамиды с пятиугольным основанием. Отсюда получаем следующее соединение:

Q5 + M3 – M3' + М3, или S1 + M3.

При дальнейшем рассмотрении многогранника Q5 было отмечено, что данное тело имеет две пятиугольные поверхности, которые допускали бы присоединения пятиугольной пирамиды без потери выпуклости, причем длина ребер соединений не превосходила бы двух. Следовательно, можно получить следующее соединение:

Q5 + M3 + M3.

Далее представляется возможным отсечение получившихся пирамид с пятиугольным основанием:

Q5+M3+M3 -M3';

Q5+M3-M3' +М-M3'

Таким образом, получен конечный список выпуклых соединений многогранников Q5 и М3.  

Простые соединения:

М3 + М3;

Q+ M3;

Q5 + M3 + M3;

S1 + M3.

Соединения с сечениями:

Q5+M3-M3'= S1;

Q5 + M3 – M3'+ М3;

Q5+M3 -M3' +М3-M3'


Поставленная теорема доказана. Двадцатидвухгранник Иванова Q5 и правильногранная пирамида с пятиугольным основанием M3 имеют ровно восемь выпуклых соединений.

Заключение



Созданы ранее неизвестные выпуклые многогранники с правильными гранями, полученные в результате моделирования новых выпуклых тел путем соединения многогранников по плоскостям. Сконструированные материализованные модели доказывают поставленные теоремы.

Литература:



  1. Гурин А. М., Залгаллер В. А. К истории изучения выпуклых многогранников с правильными гранями и гранями, составленными из правильных, Труды Математического Общества Санкт-Петербурга, 2008, 215-294.

  2. Матиясевич Ю. В. Модели многогранников// Квант, № 1 (1978), 8-17.3.

  3. А.В.Тимофеенко К перечню выпуклых правильногранников// Современные проблемы математики и механики. Том VI. Математика. Выпуск 3. К 100-летию со дня рождения Н.В.Ефимова, Издательство Московского университета, 2011, с.1 55-170.

  4. Robert Tupelo. Convex regular-faced polyhedra with conditional edges 

http://tupelo-schneck.org/polyhedra/

  1. Weisstein, Eric W. Johnson Solid

http://mathworld.wolfram.com/JohnsonSolid.html:

http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/J13_600.gif

  1. А.В.Тимофеенко http://www.mathnet.ru/links/08316fcd37e8b1c0b3963b9890a8d1f4/cheb84.pdf

  2. Ю.А.Пряхин http://www.mathnet.ru/links/99d405c6e0bfe0ab79590d90693285fa/znsl2750.pdf

Приложение



hello_html_52522070.jpg

Рис. 1. M3

hello_html_m65f7d561.jpg

Рис. 3. М3 + М3

hello_html_467700dc.jpghello_html_m3529694c.jpghello_html_6dbe1865.jpg

Рис. 2. Q5

hello_html_782ba67f.jpghello_html_m41338baf.jpg

Рис.4 Q5 + M3

hello_html_m262d079c.jpg

Рис.5 Q5 + M3 + M3




Автор
Дата добавления 20.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров174
Номер материала ДВ-470736
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх