Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Научные работы / Научная работа по теме "Основы математической статистики"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Научная работа по теме "Основы математической статистики"

библиотека
материалов


Содержание


1.1 Предмет основ математической статистики……….……………

6

1.2. Вариационный ряд и его характеристики основ математической статистики………………………..............................


8

2. Экспериментальная часть методом выборок в основах математической статистики ………………………………………………...


12

2.1. Выборочный метод и статистическое оценивание основ математической статистики …………………………………….…..


12

2.2. Понятие о проверке статистических гипотез в основах математической статистики………………………..………………....


17

Заключение……………………………………………………….…………..

22

Список использованной литературы………………………………………..

23


Введение


Математическая статистика - наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надежность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (например, оценить необходимый объем выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).

В теории вероятностей рассматриваются случайные величины с заданным распределением или случайные эксперименты, свойства которых целиком известны. Предмет теории вероятностей - свойства и взаимосвязи этих величин (распределений).

Но часто эксперимент представляет собой черный ящик, выдающий лишь некие результаты, по которым требуется сделать вывод о свойствах самого эксперимента. Наблюдатель имеет набор числовых (или их можно сделать числовыми) результатов, полученных повторением одного и того же случайного эксперимента в одинаковых условиях.

При этом возникают, например, следующие вопросы: Если мы наблюдаем одну случайную величину - как по набору ее значений в нескольких опытах сделать как можно более точный вывод о ее распределении?

Примером такой серии экспериментов может служить метод отбора (выбора) данных, набор экономических показателей или, наконец, последовательность гербов и решек при тысячекратном подбрасывании монеты.

Тема: «Основы математической статистики».

Цель исследования: систематизация, накопление и закрепление знаний о понятиях основ математической статистики.

Объект исследования: процесс теоретических и практических сведений по теме «Основы математической статистики».

Предмет исследования: что является изучением основ математической статистики.

Задачи исследования:

  1. Изучить предмет основ математической статистики.

  2. Рассмотреть вариационный ряд и его характеристики математической статистики.

  3. Раскрыть выборочный метод и статистическое оценивание основ математической статистики.

  4. Рассмотреть возможности проверки статистических гипотез по теме «Основы математической статистики».

Гипотеза исследования: «Основы математической статистики» будут эффективны при следующих условиях:

  1. Как можно проверить статистическую гипотезу темы «Основы математической статистики»

2. Повсеместное решение задачи с помощью выборочных данных по теме «Основы математической статистики».

Методы исследования: теоретический анализ педагогической литературы, научно-методической литературы, материалов научных исследований по заявленной теме, аналитическая и статическая обработка результатов опытно-практической работы.

Актуальность: все вышеприведенные факторы тематики работы на современном этапе, направленной на глубокое и всестороннее изучение основных понятий математической статистики.

Научная новизна: использование диаграмм и таблиц в задачах математической статистики для лучшей наглядности и понимания при решении.

Практическая значимость исследования: экспериментальный пример из статистической литературы, который решается методом постепенного отбора «выборок данных».

Краткое описание работы: Данная работа состоит из 23 листов, которая включает в себя 5 таблиц и 4 рисунка с графиками и диаграммами.


ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ


1. Теоретический материал математической статистики

1.1. Предмет основ математической статистики


Термин статистика употребляется чаще всего для обозначения двух понятий. Во-первых, статистикой называют набор количественных данных о некотором явлении, совокупности объектов и т.п. Эти данные называют статистическими.

Во-вторых, термином статистика объединяют совокупность методов исследования, основанных на анализе статистических данных.

В каждой области деятельности разработаны свои специфические статистические методы. Существует много разных статистик: социально-экономическая, демографическая, медицинская, юридическая, звёздная и ряд других. Поскольку всякая статистика оперирует с числами, то основой всех статистических методов является математика. Совокупность математических методов обработки, систематизации, анализа и использования статистических данных составляет предмет специальной науки – математической статистики. Именно математические методы в силу их объективности позволяют получать наиболее значимые результаты при обработке статистических данных. Глубина и достоверность этих результатов зависит как от мощности применяемых математических методов, так и от правильности их применения. Разумеется, достоверность результатов зависит также от доброкачественности статистического материала, который подвергается обработке.

Математическая статистика – раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей [1].

Математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей. Обе эти математические дисциплины изучают массовые случайные явления. Связующим звеном между ними являются предельные теоремы теории вероятностей. При этом теория вероятностей выводит из математической модели свойства реального процесса, а математическая статистика устанавливает свойства математической модели, исходя из данных наблюдений (говорят "из статистических данных").

Предметом математической статистики является изучение случайных величин (или случайных событий, процессов) по результатам наблюдений. Полученные в результате наблюдения (опыта, эксперимента) данные сначала надо каким-либо образом обработать: упорядочить, представить в удобном для обозрения и анализа виде. Это первая задача.

Затем, это уже вторая задача, оценить, хотя бы приблизительно, интересующие нас характеристики наблюдаемой случайной величины. Например, дать оценку неизвестной вероятности события, оценку неизвестной функции распределения, оценку математического ожидания, оценку дисперсии случайной величины, оценку параметров распределения, вид которого неизвестен, и т.д. [4]

Следующей, назовем ее условно третьей, задачей является проверка статистических гипотез, т.е. решение вопроса согласования результатов оценивания с опытными данными.

Одной из важнейших задач математической статистики является разработка методов, позволяющих по результатам обследования выборки делать обоснованные выводы о распределении признака изучаемых объектов по всей совокупности.


1.2. Вариационный ряд и его характеристики математической статистики.


Ряды распределения – это ряды абсолютных и относительных чисел, которые характеризуют распределение единиц совокупности по качественному (атрибутивному) или количественному признаку. Примером распределения совокупности по качественному признаку может быть распределение сотрудников милиции (офицеров) по специальному званию: полковников – 1, подполковников – 3, майоров – 8 … всего – 50 человек. Эта же совокупность может быть распределена по количественному признаку, скажем, по возрасту: моложе 20 лет – 2, 20-24 года – 18, 25-29 лет – 10 и т.д. В обоих примерах ряды распределения выражены в абсолютных числах. Последние в подобных случаях называются частотами ряда распределения. Они указывают, насколько части повторяется та или иная варианта (признак). Варианта "майор" имеет частоту 8, а варианта "20-24 года" – 18. [2]

Если значения качественных или количественных признаков выражены в относительных числах (например, в процентах к общему числу), то эти значения именуются частотами. В этом случае наши примеры выглядят так: полковников – 2 %, подполковников – 6, майоров – 16 … всего 100 %; моложе 20 лет – 4 %, 20-24 года – 18, 25-29 лет – 10 … всего 100 %.

Ряды распределения в таблицах, как правило, имеют и частоты (табл. 1).

Таблица 1

Распределение сотрудников милиции по званию и возрасту


Ряды распределения, построенные по количественному признаку (возраст, стаж, сроки расследования или рассмотрения дел, число судимостей и т.д.), называются вариационными рядами. Различия единиц совокупности (до 20 лет, 20-24 года, 25-29 лет и т.д.) количественного признака называется вариацией, а сам конкретный признак – вариантой. [3]

Вариация признаков может быть дискретной, или прерывной (20, 21, 22, 23, 24, 25 лет и т.д.), либо непрерывной (до 20 лет, 20-25, 25-30 лет и т.д.). При дискретной вариации величина количественного признака (варианты) может принимать вполне определенные значения, отличающиеся в нашем примере на 1 год (20,21,22 и т.д.). При непрерывной вариации величина количественного признака у единиц совокупности в определенном численном промежутке (интервале) мо­жет принимать любые значения, хоть сколько-нибудь отличающиеся друг от друга. Например, в интервале 20-25 лет возраст конкретных сотрудников может быть 20 лет и 2 дня, 21 год и 10 месяцев и т.д.

Вариационные ряды, построенные по дискретно варьирующим признакам, именуют дискретными вариационными рядами, а построенные по непрерывно варьирующим признакам (интервалам) – интервальными вариационными рядами. Вариационный ряд всегда состоит из двух основных граф (колонок) цифр.

В первой колонке указываются значения количественного признака в порядке возрастания. В нашем примере интервального вариационного ряда: до 20 лет, 20-24 года, 25-29 лет и т.д. При дискретной вариации 20, 21, 22, 23, 24, 25 лет. Эти значения количественного признака и называют вариантами. В статистической литературе этот термин иногда употребляется как существительное мужского рода (вариант, варианты), а иногда – как существительное женского рода (варианта, варианты).

Во второй колонке указываются числа единиц, которые свойствен­ны той или иной варианте. Их называют частотами, если они выраже­ны в абсолютных числах, т.е. сколько раз в изучаемой совокупности встречается та или иная варианта, или частостями, если они выражены в удельных весах или долях, т.е. в процентах или коэффициентах к итогу.

Интервальный вариационный ряд иногда строится с равными интервалами (20-24, 25-29 лет), а иногда с неравными (14-15, 16-18, 19-20, 21-25 лет) интервалами. В первом случае оба интервала равны 5 годам, а во втором случае – 2, 3, 5 годам. При построении интерваль­ного ряда с непрерывной вариацией верхняя граница каждого интер­вала обычно является нижней границей последующего (20-25, 25-30, 30-35 и т.д.), а в построении интервального ряда по дискретному при­знаку границы смежных интервалов не повторяются (1-5 дней, 6-10 дней, 11-15 дней и т.д.)

Статистический анализ вариационных рядов требует не только наличия единичных частот (частостей), но и накопленных частот (частостей). Накопленная частота для той или иной варианты представляет собой сумму частот всех предшествующих вариант (интервалов). В на­шем примере (табл. 1) для интервала 20-24 года накопленная частота будет равна: 2 + 18 = 20 человек, а накопленная частость 4 + 36 = 40 %, а для интервала 25-29 лет соответственно: 2 + 18 + 10 = 30 человек, или 4 + 36 + 20 = 60 %. Таким образом, от варианты к варианте (от интервала к интервалу) идет накопление (кумуляция) частот и частостей.

Вариационные ряды легко изображаются графически в виде полигона или гистограммы. Графическое изображение накопленных частот (частостей) воспроизводится в системе прямоугольных координат в виде кумуляты, или кумулятивной кривой. По оси ординат откладыва­ется величина накопленных частот, а по оси абсцисс – возрастающие значения количественного признака. Накопленные частоты и кумулята – это интегральные показатели плотности распределения в вариационном ряду.


2. Экспериментальная часть методом выборок в математической статистике


2.1. Выборочный метод и статистическое оценивание математической статистики


Методика выборочного наблюдения досконально разработана математической статистикой. Оно получило самое широкое признание и распространение в различных отраслях науки и практики как метод, во многих случаях замещающий сплошное изучение тех или иных явлений и процессов. Выборочный метод относительно прост, экономичен, оперативен, надежен и имеет вполне определимую точность.

Выборочные данные достаточно полно отражают особенности всей, или, как говорят статистики, генеральной, совокупности изучаемых явлений.

Теория выборочного наблюдения базируется на статистических закономерностях, которые формируются и обнаруживаются в массовых явлениях и процессах. Это свойство закономерностей получило название закона больших чисел. Математической основой закона больших чисел, да и статистической науки в целом, служит теория вероятностей.

Приведем экспериментальный пример распределения случайных величин, заимствованный из статистической литературы и приближенный к нашим проблемам. [5]

Были взяты 10 пачек по 10 карточек, пронумерованных от 1 до 10. Каждую пачку тщательно перемешали. После этого из каждой пачки по жребию было извлечено по одной карточке. Сумма номеров вынутых карточек составила 52. Карточки были возвращены в свои пачки, которые вновь перемешивались. При втором извлечении сумма номеров вынутых карточек составила 46. Подобные операции были проделаны 30 раз. Полученные данные: 52, 46, 72 и т.д. (табл. 2).

Таблица 2

Индивидуальные суммы при 30 извлечениях

На втором этапе эксперимент усложнялся: было сделано не по одному извлечению карточек из каждой пачки, а последовательно по 10 извлечений 30 раз, или 30 выборок. Сделав 10 извлечений по одной карточке из каждой пачки (извлекалась одна карта, возвращалась в пачку, пачка перемешивалась, и т.д.), подсчитав общую сумму номеров вынутых карточек (526) и разделив на 10, получили среднюю сумму 52,6. Так повторили 30 раз (табл. 3).

Таблица 3

Средние суммы из 10 извлечений в 30 выборках

При проведении третьего этапа эксперимента в каждую из таких 30 случайных выборок входило уже по 40 извлечений. Среднее число из первых 40 извлечений составило 54,6, из вторых – 51,6 и т.д. (табл. 4).

Таблица 4

Средние суммы из 40 извлечений в 30 выборках

Полученные эмпирические вероятности сравнивались с теоретической вероятностью. Последняя в данном примере равна средней сумме номеров десяти карточек в пачке, которая представляет собой как бы среднюю в исходной совокупности. Она равняется: hello_html_5f3a2442.gif. По значению отклонений от этой средней можно судить, насколько эмпирическая вероятность приближается к теоретической.

Размах колебаний индивидуальных сумм (указанных в табл. 2) был самым большим и равнялся 36. Это не что иное, как разность между максимальной и минимальной суммой (они в таблицах выделены и подчеркнуты). В табл. 2 максимальная сумма равнялась 72, минимальная 36 hello_html_6fcb8d55.gif. Отклонение этих показателей от средней (55) было наибольшим: hello_html_m62a6c612.gif и hello_html_340f891f.gif.

При выборках, состоящих каждая из 10 извлечений (см. табл. 3), размах колебаний уменьшился более чем вдвое, до 15,8 hello_html_mf1aced2.gif, а максимальные отклонения от средней составили: hello_html_71f87204.gif и hello_html_7c865e8a.gif.

В выборках, состоящих каждая из 40 извлечений, размах колеба­ний по сравнению с результатами первой части эксперимента умень­шился более чем в 6 раз, составив только 5,8 hello_html_5b22b62c.gif. Макси­мальные отклонения от средней равнялись при этом: hello_html_762ece52.gif и hello_html_mc02ed38.gif.

Эксперимент доказывает, что чем больше извлече­ний, тем их усредненные показатели плотнее группируются вокруг средней (теоретической вероятности) в исходной совокупности. То есть чем больше явлений изучено, тем надежнее полученные данные, тем точнее выявленные закономерности. Данный вывод – краеугольный ка­мень всех статистических выборочных исследований.

Теоретические основы выборочного метода были бы неполны­ми, если бы мы не коснулись законов распределения случайных величин, к которым подвел нас проведенный эксперимент. [6]

Поскольку за внешними случайными явлениями стоят скрытые за­коны, то данные, характеризующие эти явления, должны распределять­ся определенным образом. Исходя из закона больших чисел, чем боль­ше изученная совокупность случайных явлений, тем должно быть более упорядоченным распределение полученных данных. Обратимся к результатам различных этапов эксперимента. Из табл. 2-4 видно, что на первом этапе эксперимента при 30 индивидуальных извлечениях числовые значения вынутых карточек, имея большое рассеяние, все же группировались вокруг средней суммы, равной 55. На втором этапе при 30 выборках по 10 извлечений эта тенденция стала более явной, а на третьем этапе при 30 выборках по 40 извлечений – очевидной.

Представим данные табл. 4 в виде вариационного ряда, ранжиро­вав их от меньшего к большему по значению извлеченных карточек (табл. 5). Данные для простоты исчисления округлены до целых чисел.

Таблица 5

И

hello_html_210dc68d.png

Рис. 1

з табл. 5 видно, что с увеличением варьирующего признака (усредненной суммы значения карточек) частота извлечения этих сумм вначале увеличивается, а затем, после достижения мак­симального зна­чения (hello_html_5f99d7ff.gif), уменьшается. Налицо закономерность. Упорядочен­ность изменения частот в вариацион­ных рядах имену­ется законо­мерностью распределения. Данные табл. 5, изображенные графически в виде стол­биковой диаграммы, гистограммы или полигона распределения, пред­ставлены на рис. 1.

Гистограмма, или полигон распределения, представляет собой ломаную кривую, характеризующую фактическое распределение полученных данных. Она позволяет выявить лишь приближенную картину распределения всей (генеральной) совокупности.

2.2. Понятие о проверке статистических гипотез математической статистики.


Одна из часто встречающихся на практике задач, связанных с применением статистических методов, состоит в решении вопроса о том, должно ли на основании данной выборки быть принято или, напротив, отвергнуто некоторое предположение (гипотеза) относительно ге­неральной совокупности (случайной величины).

Процедура сопоставления высказанного предположения (гипотезы) с выборочными данными называется проверкой гипотез.

Задачи статистической проверки гипотез ставятся в следующем виде: относительно некоторой генеральной совокупности высказывается та или иная гипотеза Н. Из этой генеральной совокупности из­влекается выборка. Требуется указать правило, при помощи которого можно было бы по выборке решить вопрос о том, следует ли отклонить гипотезу Н или принять ее.

Следует отметить, что статистическими методами гипотезу можно только опровергнуть или не опровергнуть, но не доказать. Например, для проверки утверждения (гипотеза Н) автора, что "в рукописи нет ошибок", рецензент прочел (изучил) несколько страниц рукописи.

Если он обнаружил хотя бы одну ошибку, то гипотеза Н отвергается, в противном случае – не отвергается, говорят, что "результат проверки с гипотезой согласуется".

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки.

Под статистической гипотезой (или просто гипотезой) понимают всякое высказывание (предположение) о генеральной совокупности, проверяемое по выборке.

Статистические гипотезы делятся на гипотезы о параметрах распределения известного вида (это так называемые параметрические гипотезы) и гипотезы о виде неизвестного распределения (непараметрические гипотезы).

Одну из гипотез выделяют в качестве основной (или нулевой) и обозначают hello_html_5f706bd1.gif, а другую, являющуюся логическим отрицанием hello_html_5f706bd1.gif, т.е. противоположную hello_html_5f706bd1.gif в качестве конкурирующей (или альтернативной) гипотезы и обозначают hello_html_7fdb6e70.gif.

Гипотезу, однозначно фиксирующую распределение наблюдений, называют простой (в ней идет речь об одном значении параметра), в противном случае – сложной.

Имея две гипотезы hello_html_5f706bd1.gif и hello_html_7fdb6e70.gif, надо на основе выборки hello_html_m2b048112.gif принять либо основную гипотезу hello_html_5f706bd1.gif, либо конкурирующую hello_html_7fdb6e70.gif. [7]

Правило, по которому принимается решение принять или откло­нить гипотезу hello_html_5f706bd1.gif (соответственно, отклонить или принять hello_html_7fdb6e70.gif), назы­вается статистическим критерием (или просто критерием) проверки гипотезы hello_html_5f706bd1.gif.

Проверку гипотез осуществляют на основании результатов выбор­ки hello_html_m2b048112.gif, из которых формируют функцию выборки hello_html_154aba99.gif, называемой статистикой критерия.

Основной принцип проверки гипотез состоит в следующем. Множество возможных значений статистики критерия hello_html_m4fe916d8.gif разбивается на два непересекающихся подмножества: критическую область S, т.е. область отклонения гипотезы hello_html_5f706bd1.gif и область hello_html_m686668d7.gif принятия этой гипоте­зы. Если фактически наблюдаемое значение статистики критерия (т.е. значение критерия, вычисленное по выборке: hello_html_m7a7d8340.gif) попадает в критическую область S, то основная гипотеза hello_html_5f706bd1.gif отклоняет­ся и принимается альтернативная гипотеза hello_html_7fdb6e70.gif; если же hello_html_m36c99bfc.gif попадает в hello_html_m686668d7.gif, то принимается hello_html_5f706bd1.gif, а hello_html_7fdb6e70.gif отклоняется.

При проверке гипотезы может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается нулевая гипотеза hello_html_5f706bd1.gif, когда на самом деле она верна.

Ошибка второго рода состоит в том, что отвергается альтернатив­ная гипотеза hello_html_7fdb6e70.gif, когда она на самом деле верна.

Вероятность ошибки 1-го рода (обозначается через hello_html_2a103b01.gif) называется уровнем значимости критерия.

Очевидно, hello_html_62499ab8.gif. Чем меньше hello_html_2a103b01.gif, тем меньше вероятность отклонить верную гипотезу. Допустимую ошибку 1-го рода обычно за­дают заранее.

В одних случаях считается возможным пренебречь событиями, вероятность которых меньше 0,05 (hello_html_m49fa858f.gif означает, что в среднем в 5 случаях из 100 испытаний верная гипотеза будет отвергнута), в других случаях, когда речь идет, например, о разрушении сооружений, гибе­ли судна и т.п., нельзя пренебречь обстоятельствами, которые могут появиться с вероятностью, равной 0,001.

Обычно для hello_html_2a103b01.gif используются стандартные значения: hello_html_m49fa858f.gif; 0,01; 0,005; 0,001.

Вероятность ошибки 2-го рода обозначается через hello_html_6895c8f.gif, т.е. hello_html_1ac843c1.gif.

Величину hello_html_7329b06b.gif, т.е. вероятность недопущения ошибки 2-го рода (отвергнуть неверную гипотезу hello_html_5f706bd1.gif, принять верную hello_html_7fdb6e70.gif), называется мощностью критерия.

Очевидно, hello_html_m31ad415f.gif.

Чем больше мощность критерия, тем вероятность ошибки 2-го рода меньше, что, конечно, желательно (как и уменьшение hello_html_2a103b01.gif).

Последствия ошибок 1-го, 2-го рода могут быть совершенно различными: в одних случаях надо минимизировать hello_html_2a103b01.gif, в другом – hello_html_6895c8f.gif. Так, применительно к судебной системе, ошибка 1-го рода приводит к оправданию виновного, ошибка 2-го рода – осуждению невиновного.

Отметим, что одновременное уменьшение ошибок 1-го и 2-го рода возможно лишь при увеличении объема выборок. Поэтому обычно при заданном уровне значимости hello_html_2a103b01.gif отыскивается критерий с наибольшей мощностью. [8]

Frame2

Методика проверки гипотез сводится к следующему:

  1. Располагая выборкой hello_html_m2b048112.gif, формируют нулевую гипотезу hello_html_5f706bd1.gif и альтернативную hello_html_7fdb6e70.gif.

  2. В каждом конкретном случае подбирают статистику критерия hello_html_154aba99.gif.

  3. По статистике критерия hello_html_m4fe916d8.gif и уровню значимости hello_html_2a103b01.gif определяют критическую область S hello_html_m686668d7.gif). Для ее отыскания достаточно найти критическую точку hello_html_4c33e832.gif, т.е. границу (или квантиль), отделяющую область S от hello_html_m686668d7.gif.

Границы областей определяются, соответственно, из соотношений: hello_html_34dd1301.gif, для правосторонней критической области S (рис. 2); hello_html_m701f6e3e.gif, для левосторонней критической обла­сти S (рис. 3); hello_html_770c49f4.gif, для двусторонней критической области S (рис. 4).

Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку, удовлетворяющую приведен­ным выше соотношениям.

  1. Для полученной реализации выборки hello_html_m77f9cc86.gif подсчитывают значение критерия, т.е. hello_html_1dfe05c8.gif.

  2. Если hello_html_m68a42fa.gif (например, hello_html_m123d8844.gif для правосторонней области S), то нулевую гипотезу hello_html_5f706bd1.gif отвергают; если же hello_html_62c2216b.gif (hello_html_m9232307.gif), то нет оснований, чтобы отвергнуть гипотезу hello_html_5f706bd1.gif.



Заключение


Таким образом, при изучении основ математической статистики служит теория вероятностей. Она представляет собой раздел математики, изучающий закономерности, возникающие при взаимодействии большого числа случайных явлений.

Вероятность (частость) может быть теоретической и эмпирической. Теоретическая, или математическая, вероятность представляет собой отношение количества шансов, способствующих появлению изучаемого события, к количеству всех шансов. Отношение числа фактически наступивших явлений к общему числу возможных называется частостью или опытной (эмпирической) вероятностью.



Список использованных источников


  1. Боровков А.А., Математическая статистика. М.: Наука, 1994.

  2. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1995.

  3. Письменный Д.Т., Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Айрис-пресс, 2004.

  4. Пугачев B.C., Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие — 2-е изд., исправленное и дополненное — М.: Физматлит, 2002

  5. Роганов Е.А., Тихомиров Н.Б., Шелехов А.М. Математика и информатика. – М.: МГИУ, 2005.

  6. Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения. - М.: Мир, Т.2, 1984.

  7. http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title – проверка статистических гипотез.

  8. http://www.bourabai.ru/tpoi/hypothesis.htm - статистические гипотезы и их проверка.



Автор
Дата добавления 09.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров445
Номер материала ДБ-019504
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх