Научная работа Решение задач на проценты из второй части ЕГЭ по математике

• 1 слайд

  Решение задач на проценты из второй части ЕГЭ
  Получение универсальной формулы.
  
  МБОУ СОШ № 41
  Данилина М. Ю.
  Ручина Л. Г.
  

• 2 слайд

  
  
  Цель выступления - постараться найти такой способ решения задачи 19, который позволил бы существенно сэкономить время, затраченное на задание, и получить абсолютно правильный ответ и, как следствие, максимальный балл на экзамене (3 балла).
  
  

• 3 слайд

  Для этого необходимо:
  
  Найти такой способ решения задания на проценты.
  Доказать его справедливость.
  Проверить этот способ при решении заданий на проценты всех четырех типов( поиск размера выплаты, размера кредита, процентной ставки и количества выплат).
  Сравнить обычное решение задач с новым способом.
  

• 4 слайд

  31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6902000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами ( то есть за четыре года)?
  
  Решение:
  Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют a%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент
  b=1+0,01a.
  
  После первой выплаты сумма долга составит
  S1=Sb-X.
  
  

• 5 слайд

• 6 слайд

• 7 слайд

• 8 слайд

• 9 слайд

• 10 слайд

  Задача 2.
  31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9 282 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
  
  

• 11 слайд

  Обычный способ:
  9282000+0,1*9282000-X= 9282000+928200-X= 10210200-X - сумма, оставшаяся после первой выплаты.
  10210200-X +(10210200-X )*0,1-X=
  =10210200-X+1021020-0,1X-X=11231220-2,1X - сумма, оставшаяся после второй выплаты.
  11231220-2,1X+(11231220-2,1)*0,1-X=
  =11231220-2,1X+1123122-0,21X-X=12354342-3,31X -сумма, оставшаяся после третей выплаты.
  12354342-3,31X-(12354342-3,31X)*0,1-X=
  =12354342-3,31X+1235434,2-0,331X-X=13589776,2-4,641X –сумма после четвертой выплаты равная 0.
  13589776,2-4,641X=0
  4,641X=13589776,2
  X=13589776,2/4,641
  X=2928200 рублей.
  Ответ: 2928200 рублей.
  
  

• 12 слайд

  С помощью формулы:
  Sn= Sbn-X,
  И так как Алексей выплатит долг за 4 года, то n=4, тогда S4=0, b=1,1;
  
  
  
  
  

• 13 слайд

  Ответ: 2928200 рублей.
  Результаты обоих решений оказались одинаковыми.
  
  

• 14 слайд

  Задача 3
  31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга( то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платеж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
  
  

• 15 слайд

  Обычный способ:
  7007000+0,2*7007000-X= 8408400-X – сумма, оставшаяся после первой выплаты.
  8408400-X+(8408400-X)*0,2-X=8408400-X+1681680-0,2X-X=
  10090080-2,2X – сумма, оставшаяся после второй выплаты.
  Но если погасить кредит за два года, то
  10090080-2,2X1=0
  2,2X1=10090080
  X1=10090080/2,2
  X1=4586400 рублей- размер выплаты кредита, при условии, что он будет погашен за 2 года.
  
  

• 16 слайд

  10090080-2,2X+(10090080-2,2X)*0,2-X=
  =10090080-2,2X+2018016-0,44X-X=12108096-3,64X – сумма после третей выплаты равной 0.
  12108096-3,64X=0
  3,64X=12108096
  X=12108096/3,64
  X=3326400 рублей- размер выплаты кредита, при условии, что он будет погашен за 3 года.
  3*X-2*X1 - сэкономленные деньги, которые мог бы получить Тимофей, если бы смог погасить кредит за 2 года.
  3326400*3 -4586400*2= 9979200-9172800=806400 рублей- сэкономленные деньги, которые мог бы получить Тимофей, если бы смог погасить кредит за 2 года.
  Ответ: 806400 рублей.
  
  

• 17 слайд

  С помощью формулы:
  Sn= Sbn-X;
  И так как Тимофей выплатит долг за 3 года, то n=3, S3=0, b=1,2.
  
  

• 18 слайд

  X=3326400 рублей- размер выплаты кредита, при условии, что он будет погашен за 3 года.
  Также Тимофей мог погасить кредит за 2 года, тогда n=2, S2=0,b=1,2.
  
  

• 19 слайд

• 20 слайд

  X1=4586400 рублей- размер выплаты кредита, при условии, что он будет погашен за 2 года.
  3*X-2*X1 - сэкономленные деньги, которые мог бы получить Тимофей, если бы смог погасить кредит за 2 года.
  3326400*3 -4586400*2= 9979200-9172800=806400 рублей- сэкономленные деньги, которые мог бы получить Тимофей, если бы смог погасить кредит за 2 года.
  Ответ: 806400 рублей.
  Результаты обоих решений оказались одинаковыми.
  
  

• 21 слайд