Получите профессию

Няня

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Инфоурок › Алгебра ›Научные работы›Научная работа "Тригонометрические подстановки"

Научная работа "Тригонометрические подстановки"

Скачать материал



ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ..................................................................................................................... 3

ГЛАВА            1            ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ           ФУНКЦИИ            И

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ............................................................ 8

1.1 Радианная мера угла. Числовая окружность .................................................. 8

1.2 Тригонометрические функции ......................................................................... 11

1.2.1   Свойства функции 𝐟(𝛂) = 𝐜𝐨𝐬 𝛂 ................................................................... 14

1.2.2   Свойства функции 𝐟(𝛂) = 𝐬𝐢𝐧 𝛂 ................................................................... 16

1.2.3    Свойства функций 𝐟(𝛂) = 𝐭𝐠 𝛂 и 𝐟(𝛂) = 𝐜𝐭𝐠 𝛂 ........................................... 17

1.3 Основные тригонометрические формулы ..................................................... 19

1.3.1 Формулы приведения ..................................................................................... 19

1.3.2   Формулы сложения и вычитания аргументов ......................................... 21

1.3.3   Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени ........... 25

1.4 Виды тригонометрических уравнений и методы их решения ................... 26

1.4.1   Уравнение вида 𝐜𝐨𝐬𝐱 = 𝐚 ............................................................................... 26

1.4.2   Уравнение вида 𝐬𝐢𝐧𝐱 = 𝐚 ............................................................................... 30

1.4.3    Уравнения вида 𝐭𝐠𝐱 = 𝐚 и 𝐜𝐭𝐠𝐱 = 𝐚 ............................................................. 34

1.4.4   Метод вспомогательного аргумента ........................................................... 38

1.4.5    Замена переменной в тригонометрических уравнениях ........................ 40

1.4.6   Однородные тригонометрические уравнения .......................................... 42

1.5 Универсальная тригонометрическая подстановка ..................................... 44

1.6 Использование       тригонометрических     подстановок     при     решении

иррациональных уравнений ..................................................................................... 46

ГЛАВА 2 РАЗРАБОТКА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА «ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОДСТАНОВОК ПРИ РЕШЕНИИ

УРАВНЕНИЙ» ............................................................................................................. 52

2.1 Содержание и анализ учебников, вошедших в федеральный перечень .... 52

2.2 Тематическое планирование элективного курса ......................................... 55

2.3 Планы занятий элективного курса ................................................................... 59

2.4. Апробация элективного курса ........................................................................... 74

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ........................................................................................................... 77

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК .................................................................... 78

Приложение А .............................................................................................................. 81

Приложение Б .............................................................................................................. 81

 

           

ВВЕДЕНИЕ

Тригонометрия (от греч. «тригонон» - треугольник, «метрио» - измеряю) - это раздел математического анализа, который изучает свойства некоторого класса функций. 

По мнению учёных-историков, тригонометрия была разработана астрономами, затем её стали использовать в геодезии и в архитектуре. В настоящее время тригонометрия используется во всех науках. Впервые термин «тригонометрия», в качестве названия своей книги, употребил немецкий математик Бартоломеус Питискус в 1595 году.

При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись; при этом само обозначение рад (rad) часто опускается.

В геометрии для определения радианной меры угла используют единичную окружность с центром в вершине угла; тогда радианная мера угла равна длине дуги единичной окружности между сторонами угла.

В качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ) радиан был принят XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960 году одновременно с принятием системы СИ в целом. 

Первое использование радиана вместо углового градуса обычно приписывают Роджеру Котсу (XVIII век), который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной. Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например, Аль-Каши использовал единицу измерения, названную им «часть диаметра», которая равнялась 1/60 радиана.

Также им использовались и более мелкие производные единицы.

Термин «радиан» впервые появился в печати 5 июня 1873 года в экзаменационных билетах, составленных Джеймсом Томсоном из Университета Квинса в Белфасте. Томсон использовал термин не позднее 1871 года, в то время как Томас

Мьюр из Сент-Эндрюсского университета в 1869 году колебался в выборе между терминами «рад», «радиал» и «радиан». В 1874 году Мьюр, после консультаций с Джеймсом Томсоном, решил использовать термин «радиан».

Тригонометрические функции играют важную роль в математике и её приложениях. Они описывают связи между сторонами и углами треугольников. Тригонометрические функции и их использование в курсе геометрии позволяет рассматривать понятие функции как важнейшее понятие математики, связывая тем самым курсы алгебры и геометрии. Велико значение тригонометрических функций в формировании научного мировоззрения: с их помощью геометрические факты находят применение в практической деятельности, в частности при проведении различных измерительных работ на местности, они являются моделью многих периодических процессов (биение сердца, зависимость напряжения в металле от нагрузки на него).

Возрастным возможностям учащихся 8-9 классов более соответствует такая система изложения тригонометрических функций, при которой вначале рассматриваются тригонометрические функции острого угла, а затем уже осуществляется расширение области их определения. Такая система изложения тригонометрических функций наглядна, она позволяет сразу же формировать практические навыки школьников в использовании функций к решению прямоугольных треугольников, затем появляется необходимость расширения области определения тригонометрических функций, обусловленная решением любых треугольников. Такой подход позволяет сразу же активно использовать тригонометрические функции острого угла при доказательстве многих геометрических фактов, а это способствует формированию представления учащихся о тригонометрических функциях, как о важном инструменте изучения геометрии.

После изучения тригонометрических функций в курсе геометрии, учащиеся рассматривают значения функций на числовой окружности, а определения тригонометрических функций даётся через координатную плоскость. В различных учебниках определения имеют некоторые отличия, но так или иначе они сводятся к одному смыслу.

Зачастую решение тригонометрических задач приобретает автоматический характер и выполняется бездумно. В основном, затруднения у учащихся появляются из-за: ошибок в формулах или неправильном применении; невнимательности по отношению к области определения уравнения; незнании свойств тригонометрических функций.

Поскольку в материалах ЕГЭ тригонометрический материал (тождества, уравнения, неравенства) представлен достаточно широко, учителя математики не жалеют времени на то, что, по их мнению, особенно важно учащимся, – на отработку формул. 

Основная задача учителя математики – развитие ребенка, а не заполнение ячеек памяти формулами, а главное проработать с ними в выполнении примеров с использованием этих формул. 

Цель работы: разработка элективного курса по теме «Использование тригонометрических подстановок при решении уравнений».

Задачи:

1)                 Изучить теоретический материал по теме «Тригонометрические функции».

2)                 Рассмотреть тригонометрические функции и их свойства.

3)                 Рассмотреть основные тригонометрические формулы и их доказательства.

4)                 Рассмотреть методы решения тригонометрических уравнений и использование тригонометрических подстановок для решения иррациональных уравнений.

5)                 Разработать элективный курс по теме «Использование тригонометрических подстановок при решении уравнений».

Объект исследования: изучение тригонометрических функций в школьном курсе математики.

Предмет исследования: применение тригонометрических функций и тригонометрических подстановок при решении уравнений.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка и двух приложений.

Во введении описаны общие моменты тригонометрии, упомянуты геометрические определения тригонометрических функций, есть выдержки из исторических справок. Сформулированы цели и задачи работы, а также объект и предмет выпускной квалификационной работы. 

В первой главе даётся определение тригонометрических функций и доказываются основные тригонометрические формулы, которые используются для обоснования, рассмотренных методов решения тригонометрических уравнений. Были рассмотрены метод решения простейших тригонометрических уравнений – метод вспомогательного аргумента и уравнения, решаемые с помощью различных тригонометрических замен. Кроме этого, рассмотрены методы решения иррациональных уравнений с помощью тригонометрических подстановок.

Во второй главе проведён обзор изложения темы «Тригонометрия» некоторых школьных учебников, вошедших в федеральный перечень.Также во второй главе содержится разработанный элективный курс «Использование тригонометрических подстановок при решении уравнений» для обучающихся 10-11 классов и его тематической планирование с результатами апробации.

В заключении содержатся выводы по данной работе. Библиографический список содержит 33 источника. 

В приложении А содержится справка об апробации, предоставленная МБОУ СОШ №155. В приложении Б указаны задания входного контроля для элективного курса.

           

ГЛАВА 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ТРИГОНОМЕТ-

РИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

                1.1     Радианная мера угла. Числовая окружность

Определение 1. Радиан (в переводе с латинского – луч, радиус) – центральный угол, который опирается на дугу, равную радиусу окружности (рис. 1). 

В системе СИ является единицей измерений плоских углов.

 

Рисунок 1. Угол, величиной в 1 радиан

Определение 2. Радианная мера – угловая мера, в которой за единицу принимается угол в 1 радиан. То есть, радианная мера любого угла – это отношение этого угла к радиану.

В прямоугольной системе координат построим единичную окружность с центром в начале координат. Получившуюся окружность будем называть числовой (рис. 2).

 

Рисунок 2. Числовая окружность

Радиус числовой окружности равен единице, поскольку величина в 1 радиан не зависит от размера окружности, а, значит, при вычислении длины окружности по формуле 

𝑙 = 2𝜋𝑅,

длина окружности будет равна 2𝜋, то есть 2𝜋 = 360°.

 Исходя из данных рассуждений можно сделать вывод о зависимости радианной и градусной мере.

                                                        ,                                                      (1)

                                                      .                                                      (2)

На числовой окружности отметим точку 𝑃 – точка пересечения окружности и оси абсцисс. Отметим точку 𝑀 – полученную поворотом точки 𝑃 против часовой стрелки относительно начала координат и точку 𝑀1 полученную поворотом точки 𝑃 по часовой стрелке относительно начала координат (рис. 3). При этом:

•      если поворот выполняется против часовой стрелки – в положительном направлении окружности, то 𝛼 > 0;

•      если поворот выполняется по часовой стрелке –  в отрицательном направлении окружности, то 𝛼 < 0.

 

Рисунок 3. Поворот точки M и 𝑴𝟏

Совершив поворот точки 𝑀 на 2𝜋, можно заметить, что мы вернёмся в ту же точку. Точку 𝑀 единичной окружности назовем точкой, соответствующей углу 𝛼 , или, коротко, точкой 𝛼. Тогда точка 𝛼 единичной окружности совпадает с точками 𝛼 + 2𝜋𝑘, где 𝑘 – любое целое число (рис. 4).

 

Рисунок 4. Свойство числовой окружности

Представим вертикальную прямую, проходящую через точку 𝑃(1; 0) (рис.

5). Отметим на этой прямой точки . 

 

Рисунок 5. Числовая прямая

Вообразив, что данная прямая является нитью, намотаем её на окружность. Таким образом, каждой точке прямой ставится в соответствие некоторая точка окружности.

 

                1.2     Тригонометрические функции

Определение 3. На числовой окружности отмечена точка 𝑀(𝑥; 𝑦), полученная поворотом точки 𝑃(1; 0) вокруг начала координат на угол 𝛼 . Когда координату точки 𝑥 будем называть косинусом 𝛼, координату 𝑦 – синусом 𝛼 (рис. 6).

Обозначение

,

           

 

Рисунок 6. Определение синуса и косинуса

Поскольку на оси 𝑥 откладываются значения косинуса, то будем называть её осью синусов, а ось 𝑦 – осью синусов.

По определению 4 точка 𝑀 будет иметь координаты (cos α; sin α) (рис. 5).

Поскольку 𝑂𝑀 – радиус единичной окружности, то в 𝛥𝐴𝑂𝑀 по теореме Пифагора 𝑂𝑀2 = 𝐴𝑂2 + 𝐴𝑀2.

Тогда

                                                  cos2𝛼 + sin2𝛼 = 1.                                                 (3)

Равенство (3) называется основным тригонометрическим тождеством.

Исходя из геометрических определений в 𝛥𝐴𝑂𝑀 

,         AO = cos α,         𝐴𝑀 = sin α.

Эти рассуждения можно обобщить следующим образом.

Определение 4. Тангенсом угла 𝛼 называют отношение синуса угла 𝛼 к его косинусу. Котангенсом угла 𝛼 называют отношение косинуса угла 𝛼 к его синусу. То есть

                                                 .                                               

Исходя из определения тангенса и котангенса можно сделать вывод, что 

                                                    .                                      (4)

Докажем ещё две тригонометрические формулы, которые используются в школьном курсе математики.

Утверждение 1. При , справедливо равенство

                                                         .                                                   (5)

При 𝛼 ≠ 𝜋𝑛, где 𝑛 ∈ 𝑍, справедливо равенство

                                                         .                                                 (6)

Доказательство. Если cos 𝛼 ≠ 0, то получаем ограничение 

.

Тогда разделив обе части основного тригонометрического тождества на cos2𝛼, получим

.

Равенство (6) доказывается с помощью аналогичных рассуждений. Что и требовалось доказать. ◄

На тригонометрической окружности ось тангенсов проходит через точку 𝑃(1; 0) и располагается параллельно оси синусов, имея такое же направление. Ось котангенсов имеет направление оси косинусов, располагается параллельно ей и проходит через точку 𝑃(0; 1) (рис. 7).

Объяснением такого расположения осей служат следующие рассуждения.

Построим вертикальную касательную к числовой окружности в точке 𝐴(1; 0).

Продолжим луч 𝑂𝑀 до пересечения с касательной, обозначим точку пересечения

𝐸 (рис. 8). 

 

 

Из вышесказанного следует, что построенная вертикальная касательная является осью тангенсов.

 

Рисунок 7. Ось тангенсов и котангенсов

 

Рисунок 8. Ось тангенсов

На рисунке 9 изображен геометрическое обоснование расположения оси котангенсов. 

 

Рисунок 9. Ось котангенсов

Для определения значений тригонометрических функций различных углов пользуются таблицей значений тригонометрических функций основных аргументов (табл. 1). 

Таблица 1 –

 Таблица значений тригонометрических функций основных аргументов

𝛼

0

 

 

 

 

𝜋

 

2𝜋

sin 𝛼

0

 

 

 

1

0

–1

0

cos 𝛼

1

 

 

 

0

–1

0

1

tg 𝛼

0

 

1

 

несущ.

0

несущ.

0

ctg 𝛼

несущ.

√3

1

 

0

несущ.

0

несущ.

Данные значения получаются с помощью геометрических вычислений в равнобедренном прямоугольном треугольнике и треугольнике с углами 90 − 60 −

30.

 

 

1.2.1 Свойства функции 𝒇(𝜶) = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 

1)     Область определения функции, 𝐷(𝑓) = R. Поскольку каждая точка окружности соответствует бесконечному числу углов, отличающихся на 2𝜋𝑛, где 𝑛 ∈ 𝑍, то областью определения косинуса является вся числовая прямая.

2)     Область значений функции, 𝐸(𝑓) = [ – 1; 1]. Это следует из того, что окружность имеет радиус равный 1, то 𝑥 = cos 𝛼 ∈ [−1; 1]. 

3)     Функция является четной. Данное свойство можно рассмотреть на числовой окружности (рис. 10). Возьмём точки 𝛼 и – 𝛼. Не трудно понять, что

точки симметричны относительно оси 𝑂𝑥, значит,

cos(−𝛼) = cos 𝛼.

  

Рисунок 10. Чётность функции f(𝛼)=cos 𝛼

4)     Периодичность функции. Поскольку каждая точка единичной окружности соответствует углам 𝛼 + 2𝜋𝑛, где 𝑛 ∈ 𝑍, то   cos(𝛼 + 2𝜋𝑛) = cos 𝛼.

Следовательно, функция периодическая с периодом 2𝜋.

5)     Функция непрерывная.

6)     Промежутки монотонности функции. Функция убывает на отрезке 𝛼 ∈ [0; 𝜋], поскольку на данном отрезке угол 𝛼 увеличивается, а значение cos𝛼 уменьшается. На отрезке 𝛼 ∈ [𝜋; 2𝜋] функция возрастает, поскольку угол 𝛼 увеличивается и значение cos𝛼 увеличивается. Эти рассуждения представлены на рисунке 11.

 

Рисунок 11. Промежутки монотонности косинуса

В силу периодичности функции запишем промежутки монотонности как:

функция убывает на отрезках 𝛼 ∈ [2𝜋𝑛; 𝜋 + 2𝜋𝑛], 𝑛 ∈ 𝑍, функция возрастает на отрезках 𝛼 ∈ [𝜋 + 2𝜋𝑛; 2𝜋 + 2𝜋𝑛], 𝑛 ∈ 𝑍.

На рисунке 12 представлен график функции 𝑓(𝛼) = cos 𝛼, который называ-

ют косинусоидой.

 

Рисунок 12. График функции f(α)=cos α

В соответствии со свойствами функции косинус, график косинусоида является ограниченной сверху, симметричной относительно оси ординат, убывающей на отрезках 𝛼 ∈ [2𝜋𝑛; 𝜋 + 2𝜋𝑛], где 𝑛 ∈ 𝑍, и возрастающей на отрезках 𝛼 ∈ [𝜋 + 2𝜋𝑛; 2𝜋𝑛], где 𝑛 ∈ 𝑍. и повторяется на смежных отрезках длинной 2𝜋.

 

1.2.2 Свойства функции 𝒇(𝜶) = 𝐬𝐢𝐧 𝜶 

Для доказательств свойств функции 𝑓(𝛼) = sin 𝛼 используются аналогичные рассуждения, что и для доказательства свойств функции 𝑓(𝛼) = cos 𝛼.

1)                       Область определения функции. 𝐷(𝑓) = R.

2)                       Область значений функции. 𝐸(𝑓) = [−1; 1].

3)                       Функция нечетная. 

4)                       Периодичность функции. Функция периодическая с периодом 2𝜋, то есть при 𝑛 ∈ 𝑍 справедливо равенство  sin(𝛼 + 2𝜋𝑛) = sin 𝛼. 

5)                       Функция непрерывная.

6)                       Промежутки монотонности функции. Функция убывает на отрезках ,         где     𝑛 ∈ 𝑍 и        возрастает на      отрезках 

, где 𝑛 ∈ 𝑍.

 

На рисунке 13 представлен график функции 𝑓(𝛼) = sin 𝛼, который называ-

ют синусоидой.

 

Рисунок 13. График функции f(α)=sin α

В соответствии со свойствами функции синус, график синусоида является

ограниченной сверху, убывающей на отрезках , где 𝑛 ∈ 𝑍, и возрастающей на отрезках , где 𝑛 ∈ 𝑍, симметричной

относительно начала координат и повторяется на смежных отрезках длинной 2𝜋. 

 

 

1.2.3 Свойства функций 𝒇(𝜶) = 𝐭𝐠 𝜶 и 𝒇(𝜶) = 𝐜𝐭𝐠 𝜶 

1)     Область определения функций. Опираясь на неравенство знаменателя нулю получим, что

.

2)     Область значений функции.

𝐸(tg 𝛼) = 𝐸(ctg 𝛼) = R.

3)     Функции тангенс и котангенс нечетные, как отношение чётной и нечётной функции. Например, для тангенса получим, что

.

4)     Периодичность функции. Функции периодические с периодом 𝜋.

5)     Функция      tg 𝛼   непрерывна          и        возрастает         на     интервалах 

, где 𝑛 ∈ Z.

Рассмотрим интервалы , на которых значение угла

𝛼 увеличивается, как и значение tg 𝛼, значит, функция 𝑓(𝛼) = tg 𝛼 на каждом

из этих интервалов возрастает (рис. 14).

 

Рисунок 14. Промежутки монотонности тангенса

Аналогично показывается, что функция ctg 𝛼 непрерывна и убывает на интервалах 𝛼 ∈ (𝜋𝑛; 𝜋 + 𝜋𝑛), где 𝑛 ∈ Z.

На рисунке 15 представлен график функции 𝑓(𝛼) = tg 𝛼, который называют тангенсоидой. На рисунке 16 представлен график функции 𝑓(𝛼) = ctg 𝛼, кото-

рый называют котангенсоидой.

 

Рисунок 15. График функции f(α)=tg α

В соответствии со свойствами функции тангенс, график тангенсоида явля-

ется не ограниченной, возрастающей на отрезках , где 𝑛 ∈ Z, симметричной относительно начала координат и повторяется на смежных отрезках длинной 𝜋.  Периодичной. Также тангенсоида имеет вертикальные

асимптоты .

 

Рисунок 16. График функции f(α)=ctg α

В соответствии со свойствами функции котангенс, график котангенсоида является не ограниченной, убывающей на отрезках 𝛼 ∈ (𝜋𝑛; 𝜋 + 𝜋𝑛), где 𝑛 ∈ Z, симметричной относительно начала координат и повторяется на смежных отрезках длинной 𝜋. Также котангенсоида имеет вертикальные асимптоты 

𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ Z.

 

 

1.3 Основные тригонометрические формулы

В данном пункте выведем формулы, необходимые для решения тригонометрических уравнений, которые мы рассмотрим в последующих пунктах.

1.3.1 Формулы приведения

Если тригонометрическая функция имеет вид

          , (7) где 𝑛 – произвольное целое число, то выражение (7) всегда можно привести к более простому виду, при котором под знаком тригонометрической функции будет содержаться только аргумент 𝛼. 

Теорема 1 (Формулы приведения). Для любого значения 𝛼 из области определения соответствующей тригонометрической функции справедливы равенства

                   sin(𝛼 + 𝜋) = − sin 𝛼,    cos(𝛼 + 𝜋) = − cos 𝛼,

(8)

                       tg (𝛼 + 𝜋) = tg 𝛼,      ctg (𝛼 + 𝜋) = ctg 𝛼.

(9)

                                  ,                          (10)

                                 ,        .                         (11)

                                ,                        (12)

                                ,         .                       (13)

Доказательство. На единичной окружности отметим точку 𝐴, соответствующую углу 𝛼, и точку 𝐵 полученную с помощью поворота угла(рис. 17). 

 

Рисунок 17. Доказательство формул приведения

𝛥𝐴𝑂𝐶 = 𝛥𝐵𝑂𝐷 по гипотенузе и острому углу так, как ∠𝐴𝑂𝐶 = ∠𝐵𝑂𝐷 = 𝛼,

следовательно, 

|𝐵𝐷| = |𝐴𝐶|,     |𝑂𝐷| = |𝑂𝐶|.

Таким образом,

,

.

Для доказательства формул (11) используем определение 4.

Для того, чтобы доказать формулы, содержащие под знаком тригонометрической функции выражение (𝛼 + 𝜋), достаточно дважды применить формулы (9), (10). Если функция содержит выражение , применяем формулы (9), (10) трижды. Что и требовалось доказать. ◄

На практике, вместо запоминания формул приведения, используют мнемоническое правило: 

1)                Чтобы преобразовать функцию, аргумент которой имеет вид (𝜋𝑛 ± 𝛼), где 𝑛 ∈ 𝑍, необходимо сохранить наименование тригонометрической функции и поставить знак, который имеет эта функция в четверти после поворота 𝜋𝑛 в соответствующую сторону.

2)                Если тригонометрическая функция содержит аргумент вида , где 𝑛 – целое и нечётное, то функцию необходимо поменять на смежную ей (синус заменить на косинус, тангенс на котангенс и наоборот). При этом знак функция получает тот, который имеет начальная функция в четверти после поворота  в соответствующую сторону.

 

 

1.3.2 Формулы сложения и вычитания аргументов

Формулы сложения и вычитания аргументов являются одними и самых важных формул тригонометрии, поскольку с помощью этих формул без труда выводятся остальные тригонометрические формулы.

Теорема 2 (Синус суммы и разности). Для любых 𝛼 и 𝛽 справедливы формулы

                                  sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽,                                     

sin(𝛼 − 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽.

Доказательство. Для начала докажем формулу синус суммы. Построим угол 𝛼 и угол 𝛽 так, чтобы у них была общая сторона и проведём несколько дополнительных построений (рис. 18). Опустим перпендикуляр 𝐵𝐶. Проведём перпендикуляры 𝐵𝐻 к стороне 𝐴𝐹, 𝐻𝐸 к стороне 𝐴𝐶 и 𝐻𝐷 к стороне 𝐵𝐶.

 

Рисунок 18. Доказательство теоремы 2

                В     .     Заметим,     что      𝐵𝐶 = 𝐵𝐷 + 𝐷𝐶,     тогда 

. Поскольку 𝐶𝐷𝐻𝐸 – прямоугольник, то 𝐷𝐶 = 𝐻𝐸 и 

,

в получившимся выражении первую дробь умножим и разделим на 𝐵𝐻, а вторую дробь умножим и разделим на 𝐴𝐻. Получаем

                           .                         (14)

Обратимся к рисунку 18. Поскольку в 𝛥𝐴𝐶𝐹 

∠𝐴𝐹𝐶 = 90° − 𝛼,

то ∠𝐻𝐹𝐵 = ∠𝐴𝐹𝐶 = 90° − 𝛼 (как вертикальные).

Поскольку в 𝛥𝐵𝐻𝐹 ∠𝐹𝐵𝐻 = 𝛼, то в 𝛥𝐵𝐻𝐷

                                                       ,                                                     (15)

в 𝛥𝐴𝐵𝐻:

                                                        ,                                                     (16)

                                                       ,                                                     (17)

в :

                                                        .                                                     (18)

Вернёмся к выражению (14) и воспользуемся получившимися равенствами (15)(18). Получаем

.

Для доказательства формулы синус разности представим  как

 и воспользуемся формулой синус суммы. Тогда

.

Что и требовалось доказать. ◄

Теорема 3 (Косинус суммы и разности). Для любых справедливы формулы

          ,           .

Доказательство. Рассмотрим доказательство формулы косинус разности. На единичной окружности отложим два вектора  и  так, что точка  имеет ко-

ординаты , точка , а  (рис. 19). 

 

Рисунок 19. Векторы, рассматриваемые в теореме 3

Для построенных векторов запишем скалярное произведение

.

Поскольку радиус окружности равен 1, то получим, что

.

Запишем скалярное произведение с помощью координат векторов

.

Обобщив данные рассуждения, получаем, что

.

Докажем формулу косинус суммы.

 

.

Что и требовалось доказать. ◄

Формулы косинус суммы и разности можно доказать с помощью применения формул приведения и синуса суммы и разности и наоборот.

Теорема 4 (Тангенс\котангенс суммы и разности). Для любых значений  из области определения соответствующей тригонометрической функции

справедливы формулы

                                               ,                                                  

                                             .                                                

Доказательство. Докажем формулу тангенс суммы. Для этого используем определение тангенса и формулы синус и косинус суммы.

.

Поскольку , то в полученной дроби почленно разделим числитель и знаменатель на . Получим

.

Формулы тангенс разности и котангенс суммы и разности доказываются аналогично. Что и требовалось доказать. ◄

1.3.3 Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени

Из формул тригонометрических функций от суммы аргументов выводятся формулы тригонометрических функций от двойных аргументов, для чего достаточно положить 𝛼 = 𝛽.

Теорема 5 (Функции двойного аргумента). При любых значениях 𝛼 справедливы равенства  

                                               sin 2𝛼 = 2 cos 𝛼 sin 𝛼,

 

                                                    cos 2𝛼 = cos2𝛼 − sin2𝛼,

 

                                     cos 2𝛼 = 2cos2𝛼 − 1;  cos 2𝛼 = 1 − 2sin2𝛼,

(19)

При  выполняется равенство

                                                     ,                                                        

При , где 𝑛 ∈ 𝑍 справедлива формула

                                                    .                                                       

Доказательство. Для доказательства формул функций двойного аргумента представим 2𝛼 в виде (𝛼 + 𝛼) и используем формулы тригонометрических функций от суммы аргументов. Что и требовалось доказать. ◄

Формулы двойного аргументы приводят нас к формулам понижения степени.

Теорема 6 (Формулы понижения степени). При любых значениях 𝛼 справедливы формулы

                                    .                                  (20)

Если , то  

                                                    .                                                  (21)

Если 𝛼 ≠ 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍, то

          .   (22) Доказательство. Из формулы (19) выражаем sin2𝛼 и cos2α и получаем формулу (20). Тождества (21) и (22) получаются из отношения квадратов синуса и ко-

синуса из формулы (20). Что и требовалось доказать. ◄

 

1.4 Виды тригонометрических уравнений и методы их решения

         Простейшее тригонометрическое уравнение – это уравнение вида 

sin 𝑥 = 𝑎,      cos 𝑥 = 𝑎,

где 𝑎 ∈ [−1; 1] и уравнения вида

tg 𝑥 = 𝑎,     ctg 𝑥 = 𝑎,

где 𝑎 – любое действительное число.

1.4.1 Уравнение вида 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝒂

 На отрезке 𝑥 ∈ [0; 𝜋] функция 𝑦 = cos 𝑥 является монотонной, а значит уравнение cos 𝑥 = 𝑎, где 𝑎 ∈ [−1; 1] на заданном отрезке будет имеет единствен-

ное решение.

Определение 5. Если |𝑎| ≤ 1, то арккосинусом числа 𝒂 называется единственное решение уравнения cos 𝑥 = 𝑎 принадлежащее отрезку 𝑥 ∈ [0; 𝜋]. То

есть

           

.

Пример 1. Решите уравнение . 

                Рассмотрим    решение    данного    уравнения    на    числовой    окружности 

(см. рис. 20).

На рисунке 20 видно, что решением уравнения   на отрезке 

𝑥 ∈ [0; 𝜋] является серия корней 

.

 

Рисунок 20. Решение уравнения cos x=0.5

          По таблице 1 находим что , значит

.

Ответ: ◄

          Пример 2. Решите уравнение .

На числовой окружности построим прямую . Обозначим точки пересечения прямой и окружности как (рис. 21). Тогда 

 

или

.

 

Рисунок 21. Решение уравнения cos x=0.4.

Ответ:.◄

Таким образом, можно вывести формулу для решения уравнения cos 𝑥 = 𝑎.  cos 𝑥 = 𝑎  ⇔  𝑥 = ± arccos 𝑎 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍, |𝑎| ≤ 1. (23)

Пример 3. Решите уравнение .

                Ученики        часто        сразу        приступают        к        записи       формулы 

. Но перед подстановкой необходимо проверить , что

. Откуда следует, что уравнение  не имеет корней. 

Ответ: 𝑥 ∈ ∅.◄

Докажем специальное следствие из определения арккосинуса.

Утверждение 2. При 𝑎 ∈ [−1; 1] и 𝛼 ∈ [0; 𝜋] справедливы тождества

arccos(cos 𝛼) = 𝛼,      cos(arccos 𝑎) = 𝑎.

Доказательство. Пусть cos 𝛼 = 𝑡, тогда уравнение имеет единственное решение arccos 𝑡 = 𝛼,следовательно, при подстановке в начальное уравнение  arccos 𝑡 = 𝛼 обратит его в верное числовое равенство. То есть,

arccos(cos 𝛼) = 𝛼.

Пусть arccos𝑎 = 𝑝, а поскольку арккосинус – это единственное решение уравнения cos 𝑝 = 𝑎, таким образом,

cos(arccos 𝑎) = 𝑎.

Что и требовалось доказать. ◄

         Докажем одно из свойств арккосинуса.

Утверждение 3 (Свойство арккосинуса). При 𝑎 ∈ [−1; 1] справедливо равенство

                                          arccos(−𝑎) = 𝜋 − arccos(𝑎)                                             

Доказательство. Рассмотрим графическое решение уравнений cos 𝑥 = 𝑎 и  cos 𝑥 = −𝑎. Обозначим точки пересечения прямых 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = −𝑎 и окружности (рис. 22). Длина дуги 𝐵𝑃 − arccos𝑎 , длина дуги 𝐴𝑃 − arccos(−𝑎). Дуги 𝐴𝑀 и

𝐵𝑃 – симметричны относительно оси ординат, соответственно их длины равны, значит, 

arccos 𝑎 + arccos(−𝑎) = 𝐵𝑃 + 𝐴𝑃 = 𝑀𝑃 = 𝜋  

или

arccos(−𝑎) = 𝜋 − arccos(𝑎).

Что и требовалось доказать. ◄

 

Рисунок 22. Решение уравнений cos x=a и cos x=−a.

          Пример 4. Найдите значение выражения.

Используем формулы приведения и, учитывая, что косинус – функция чётная, получаем

.

Используя утверждение 2 и 3, получаем

.

𝜋

Ответ:    ◄

10

 При решении уравнения cos 𝑥 = 𝑎  не всегда используют формулу (23). Рассмотрим случаи, когда в уравнении значением 𝑎 является ±1 или 0. На тригонометрической окружности построим прямую 𝑥 = 1 (рис. 23). Построенная прямая имеет одну точку пересечения с окружностью, а значит уравнение cos 𝑥 = 1 имеет одну серию корней, тогда

cos 𝑥 = 1  ⇒   𝑥 = 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.

Для уравнения cos 𝑥 = −1  рассуждения аналогичны, значит,

cos 𝑥 = −1  ⇒   𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.

 

Рисунок 23. Частные случаи решения уравнения cos x=a

 Построим прямую 𝑥 = 0 (рис. 23). Построенная прямая имеет с окружностью две точки пересечения, отличающиеся на 𝜋, значит уравнение 

cos 𝑥 = 0  имеет две серии корней, тогда 

.

 

 

1.4.2 Уравнение вида 𝐬𝐢𝐧 𝒙 = 𝒂

На отрезке  функция 𝑦 = sin 𝑥 является монотонной, значит

уравнение sin 𝑥 = 𝑎 , где 𝑎 ∈ [−1; 1] на заданном промежутке будет иметь один

корень.

Определение 6. Если |𝑎| ≤ 1, то арксинусом числа 𝒂 называется единственное решение уравнения 𝑦 = sin 𝑥 принадлежащее отрезку . То есть

                                         .                                           

         Пример 5. Решите уравнение .

            На числовой окружности построим прямую . Обозначим точки пе-

ресечения прямой и окружности как 𝐴 и 𝐵 (рис. 24). Поскольку 𝐵𝑃 = 𝑀𝑃 − 𝐵𝐸,

. Тогда

 

 

Рисунок 24. Решение уравнения sin x=0,4

Ответ: ◄

          Рассуждения из примера 5 позволяют выразить формулы для решения уравнения sin 𝑥 = 𝑎, где |𝑎| ≤ 1.

                                                     (24)

которые можно представить в виде

 

                       sin 𝑥 = 𝑎  ⇔ 𝑥 = (−1)𝑛 arcsin 𝑎 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍, |𝑎| ≤ 1.

(25)

Докажем специальное следствие из определения арксинуса.

Утверждение 4. При  справедливы тождества

arcsin(sin 𝛼) = 𝛼,     sin(arcsin 𝑎) = 𝑎.

Доказательство. Пусть sin 𝛼 = 𝑡, тогда arcsin 𝑡 = 𝛼 является единственным решением этого уравнения, значит, при подстановке в начальное уравнение arcsin 𝑡 = 𝛼 обратит его в верное числовое равенство. То есть,

arcsin(sin 𝛼) = 𝛼.

Пусть arcsin 𝑎 = 𝑝, а это единственное решение уравнения sin 𝑝 = 𝑎, тогда, 

sin(arcsin 𝑎) = 𝑎.

Что и требовалось доказать. ◄

         Докажем свойство нечётности функции арккосинус.

Утверждение 5 (свойство арксинуса). При 𝑎 ∈ [−1; 1] и справедливо тождество  arcsin(−𝑎) = − arcsin(𝑎).  

Доказательство. Рассмотрим графическое решение уравнений sin 𝑥 = 𝑎 и  sin 𝑥 = −𝑎. Обозначим точки пересечения прямых и окружности (рис. 25). Длина дуги 𝐴𝑃 − arccos 𝑎 , длина дуги 𝐵𝑃 − arccos(−𝑎). Дуги AP и BP – равны по длине и противоположны по направлению, значит: 

𝐵𝑃 = −𝐴𝑃 или   arcsin(−𝑎) = − arcsin(𝑎).

Что и требовалось доказать. ◄

 

Рисунок 25. Решение уравнений sin x=a и sin x=−a.

Для решения уравнения sin 𝑥 = 𝑎, как и для уравнения с косинусом, также существуют частные случаи (рис. 26).

sin 𝑥 = 0  ⇒   𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍,

,

.

 

Рисунок 26. Частные случаи решения уравнения sin x=a

Пример 6. Решите уравнение .

Используем метод замены переменной, который состоит в том, что в уравнении вводится новая переменная, в результате чего оно становится более простым. В данном уравнении выполним замену 

,

тогда уравнение примет вид

sin 𝑡 = −1.

Уравнение свелось к простейшему. Для его решения воспользуемся частным случаем решения уравнения sin 𝑥 = 𝑎. Тогда

.

Вернёмся к замене

,

Учитывая, что , заметим, что , тогда 𝑛 ∈ 𝑁. Делаем вывод,

что

.

Ответ: . ◄

 

1.4.3 Уравнения вида 𝐭𝐠 𝒙 = 𝒂 и 𝐜𝐭𝐠 𝒙 = 𝒂

На отрезке  функция 𝑦 = tg 𝑥 является монотонной, значит

уравнение tg 𝑥 = 𝑎, где 𝑎 – действительное число на заданном промежутке будет иметь один корень.

Определение 7. Арктангенс 𝒂 – это такое число из интервала 

, тангенс которого равен 𝑎.

                                         .                                            

Пример 7. Решите уравнение tg 𝑥 = 3.

На оси тангенсов отметим точку, равную 3 (рис. 27). Соединим получившуюся точку с началом координат. Получаем два решения уравнения, отличающихся на 𝜋. Таким образом, решение уравнения можно представить в виде

tg 𝑥 = 3 ⇒ 𝑥 = arc tg 3 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.

 

 

Рисунок 27. Решение уравнение tg x=3

Ответ: 𝑥 = arc tg 3 + 𝜋𝑛: 𝑛 ∈ 𝑍. ◄

Пример 7 показывает, что если tg 𝑥 = 𝑎, где 𝑎 ∈ 𝑅 то

          𝑥 = arc tg 𝑎 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.          (26) На отрезке 𝑥 ∈ (0; 𝜋) функция 𝑦 = ctg 𝑥 является монотонной, значит уравнение ctg 𝑥 = 𝑎, где 𝑎 – действительное число на заданном промежутке будет иметь один корень.

Определение 8. Арккотангенс 𝒂 – это такое число из интервала  𝑥 ∈ (0; 𝜋), котангенс которого равен 𝑎.

                                         .                                             

Из аналогичных рассуждений получаем, что решением уравнения ctg 𝑥 = 𝑎 определяется по формуле

                                        𝑥 = arcctg 𝑎 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍, 𝑎 ∈ 𝑅.                                      (27)

Определение арктангенса и арккотангенса помогают сформулировать следующее утверждение.

Утверждение 6. При   справедливы тождества

                                     arctg(tg 𝛼) = 𝛼,     tg(arctg 𝑎) = 𝑎.                                   (28)

Если 𝑎 ∈ 𝑅 и 𝛼 ∈ (0; 𝜋) то

arcсtg(сtg 𝛼) = 𝛼,     сtg(arcсtg 𝑎) = 𝑎.

Пример 8. Найдите значение выражения .

Рассмотрим область значений слагаемых

,

таким образом,

.

Для нахождения значения выражения используем тождество (28) из утверждения 6 и преобразуем выражение

.

Найдём значение тангенса суммы используя формулу тангенс суммы и формулу (28)

.

Таким образом,

.

Ответ: ◄

Докажем свойство нечётности функций арктангенса и котангенса.

Утверждение 7 (Свойства арктангенса и арккотангенса). При любых значениях  справедливы тождества

                      ,     .

Доказательство. Пусть , тогда  – единственное решение этого уравнения. Если , то . Воспользуемся утверждением 6

и получим 

.

Поскольку , то можно сделать вывод, что 

.

Что и требовалось доказать. ◄

Утверждение 8. Для любых допустимых значений  справедливы формулы

                       ;                          

                                                           

                                                                

          ;       .     

                                                                              

Доказательство. Для доказательства формул будем руководствоваться геометрическими определениями тригонометрических функций. Для этого построим прямоугольный треугольник на числовой окружности (рис. 28).

 

Рисунок 28. Прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной единице

Пусть arccos 𝑎 = 𝛼 – единственное решение уравнения cos𝛼 = 𝑎. В 𝛥𝐴𝑂𝐵

. Поскольку 𝐴𝑂 = 1, то cos 𝛼 = 𝑂𝐵, следовательно, по теореме Пифа-

гора . Из чего следует, что . Значит, 

.

Отсюда следует, что 

,

значит,

.

Рассмотрим рисунок 29. Пусть arctg 𝑎 = 𝛼, тогда tg 𝛼 = 𝑎. В 𝛥𝐴𝑂𝐵 

. Поскольку 𝑂𝐵 = 1, то tg 𝛼 = 𝐴𝐵, значит 𝐴𝐵 = 𝑎. Тогда по т. Пифагора 

.

Поскольку . Значит,

.

Поскольку , то . Следовательно, 

.

Отсюда следует, что ,таким образом,

.

 

Рисунок 29. Прямоугольный треугольник с катетом, равным единице

Остальные формулы из утверждения доказываются аналогичными рассуждениями. Что и требовалось доказать. ◄

 

1.4.4 Метод вспомогательного аргумента

 Рассмотрим метод решения тригонометрических уравнений, который называется метод вспомогательного аргумента. Уравнения, которые решаются этим методом имеют вид 

 𝑎 sin 𝑥 + 𝑏cos 𝑥 = 𝑐,  (29) где 𝑎, 𝑏 ≠ 0, 𝑐 ∈ 𝑅.

Разделив обе части уравнения  приведём его к виду


                                     .                                  (30)

Поскольку

,

то точка с координатами  лежит на единичной окружности. Тогда

существует угол , для которого

,

 

Тогда уравнение (30) примет вид

.

Применив формулу синус суммы получим простейшее уравнение 

,

которое равносильно исходному. 

Пример 9. Решите уравнение .

Уравнение имеет вид уравнения (29). Разделив обе части уравнения на

,

получаем

.

Точка с координатами  на единичной окружности соответствует углу

, тогда исходное уравнение принимает вид

.

Уравнение свелось к простейшему, получаем корни

,

 

 

Ответ: ◄

.

Заметим, что рассматриваемые уравнение можно было решить и с помощью других способов решения, представленных в статье [31]

 

 

1.4.5 Замена переменной в тригонометрических уравнениях

Если уравнение зависит от одной функции, например, 𝑅(cos𝑥) = 0 или 𝑅(sin𝑥) = 0, то обозначим соответствующую функцию новой переменной, соответственно 𝑡 = cos 𝑥 или 𝑡 = sin 𝑥 ,получив, таким образом, алгебраическое уравнение. 

Если уравнение имеет вид 

                                                      𝑅(cos𝑥 ; sin 𝑥) = 0,                                                 (31)

и функция 𝑅 чётная по косинусам, то выполняется замена 𝑡 = sin 𝑥, где  𝑡 ∈ [−1; 1]. Если в уравнении (31) функция 𝑅 чётная по синусам, то выполняется замена 𝑡 = cos 𝑥, где 𝑡 ∈ [−1; 1].

Продемонстрируем указанные замены переменной в таких уравнениях.

Пример 10. Решите уравнение 4cos2𝑥 + 3 cos 𝑥 − 1 = 0.

Уравнение является квадратным, относительно функции косинуса. Учитывая область значений функции, выполним замену.

𝑡 = cos 𝑥,    где 𝑡 ∈ [−1; 1].

После подстановки получили обычное квадратное уравнение

4t2 + 3𝑡 − 1 = 0,

решая которое, получим корни

𝑡 = −1,

                                                                                                 [                 

𝑡 = 0,25.

Оба корня удовлетворяют условию 𝑡 ∈ [−1; 1], поэтому возвращаемся к замене и получаем совокупность простейших уравнений

 .

Ответ: ◄

.

Пример 11. Решите уравнение 6cos2𝑥 + 5 sin 𝑥 − 7 = 0.

Функция косинус имеет только чётную степень, следовательно, при помощи основного тригонометрического тождества мы можем выразить косинус через синус. Таким образом, в уравнении можно использовать замену  𝑡 = sin 𝑥, где 𝑡 ∈ [−1; 1].

Из основного тригонометрического тождества получаем, что

cos2𝑥 = 1 − t2.

Подставляем в уравнение и получаем обычное квадратное уравнение

 .

Возвращаемся к замене 

,

 

Ответ: ◄

.

          Пример 12. Решите уравнение 2cos4𝑥 + 7cos2𝑥 − 9 = 0.

Уравнение содержит только чётную степень косинуса, поэтому выполним замену

𝑡 = cos2𝑥,  при 𝑡 ∈ [0; 1].

Подставляем в уравнение и получаем

 .

Уравнение имеет только один корень, следовательно, возвращаемся к замене и получаем уравнение

 

Ответ: 𝑥 = 𝜋𝑛,   𝑛 ∈ 𝑍.◄

 

 

1.4.6 Однородные тригонометрические уравнения

Функция 𝑅(𝐴; 𝐵) называется однородной функцией степени 𝑛, если выполняется условие 

𝑅(𝑡𝐴; 𝑡𝐵) = 𝑡𝑛𝑅(𝐴; 𝐵).

Однородный многочлен степени 𝑛 имеет вид

𝑅(𝐴; 𝐵) = 𝑎0𝐴𝑛 + 𝑎1𝐴𝑛−1𝐵 + 𝑎2𝐴𝑛−2𝐵2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝐵𝑛,

где сумма степеней в каждом слагаемом равна 𝑛.

Уравнение вида 

𝑅(cos 𝑥 ; sin 𝑥) = 0

называют однородным тригонометрическим уравнением степени 𝑛, если 

𝑅(cos 𝑥 ; sin 𝑥) = 𝑎0 (sin 𝑎𝑥)𝑛 + 𝑎1 (sin 𝑎𝑥)𝑛−1 cos 𝑎𝑥 + 𝑎2(sin 𝑎𝑥)𝑛−2(cos𝑎𝑥)2

+ ⋯ + 𝑎𝑛−1 sin 𝑎𝑥 (cos𝑎𝑥)𝑛−1 + 𝑎𝑛(cos𝑎𝑥)𝑛,

где 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛 – действительные числа.  

Основной подход к решению однородного уравнения состоит в том, чтобы свести исходное уравнение к уравнению относительно тангенса, разделив левую и правую части уравнения на (cos𝑎𝑥)𝑛 ≠ 0.

Если в уравнении присутствуют однородные слагаемые, степень которых отличается на чётное число, то мы можем разделить всё уравнение на косинус максимальной степени однородности и снова получим тригонометрическое уравнение относительно тангенса.

Пример 13. Решите уравнение sin 𝑥 − 2 cos 𝑥 = 0.

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Заметив, что cos 𝑥 = 0 не является решением исходного уравнения, разделим обе части уравнения на cos 𝑥, тогда 

tg 𝑥 − 2 = 0   ⇒   tg 𝑥 = 2   ⇒    𝑥 = arctg2 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.

Ответ: arctg2 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.◄

Пример 14. Решите уравнение sin2𝑥 + sin 𝑥 cos 𝑥 − 2cos2𝑥 = 0.

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнение второй степени. Проверив, что cos 𝑥 = 0 не является решением исходного уравнения, тогда разделим уравнение на cos2𝑥. Получаем квадратное уравнение относительно функции тангенса 

tg2𝑥 + tg 𝑥 − 2 = 0.

Выполним замену 𝑡 = tg 𝑥, тогда

 .

Возвращаемся к замене 

 .

Ответ: ◄

.

 Пример 15. Решите уравнение 2sin2𝑥 + 2 sin 𝑥 ∙ cos 𝑥 + cos2𝑥 = 2,5.  Левая часть уравнения является однородным многочленом второй степени, правая – многочленом нулевой степени. Разность степеней является чётным числом, поэтому, поскольку cos𝑥 = 0 не является решением исходного уравнения,

разделим уравнение на cos2𝑥. Получаем уравнения вида

.

Используя равенство (5) уравнение примет вид

2tg2𝑥 + 2 tg 𝑥 + 1 = 2,5(1 + tg2𝑥).

Выполним замену: 𝑡 = tg 𝑥, тогда 

 

Возвращаемся к замене 

 

Ответ:  ◄


          Пример 16. Решите уравнение 2sin3𝑥 = cos 𝑥

Левая часть уравнения является однородным тригонометрическим выражением третьей степени, а правая – выражением первой степени. Поскольку степени уравнения отличаются на 2, то проверив, что cos 𝑥 = 0 не является решением ис-

ходного уравнения, разделим уравнение на cos3𝑥 . Получаем

.

Воспользуемся равенство (5) и выполним замену 𝑡 = tg 𝑥, тогда

2t3 = 1 + t2   ⇒    2t3 − t2 − 1 = 0   ⇒   (t − 1)(2t2 + t + 1) = 0.

Решив получившиеся уравнение, получаем единственный корень  𝑡 = 1 .

Возвращаемся к замене

.

Ответ: . ◄

 

1.5 Универсальная тригонометрическая подстановка

При решении тригонометрических уравнений можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку, которая позволяет преобразовать любое тригонометрическое уравнение к рациональному. Такая подстановка связана с заменой

.

Из формулы тангенса двойного аргумента следует, что

                                                .

Поскольку тангенс угла - это отношение катетов, то пусть 𝑎 = 2𝑡,     𝑏 = 1 − 𝑡2.

Тогда по теореме Пифагора найдём гипотенузу

.

Из геометрических определений получаем 

                                          ,     .                                              

Используя универсальную тригонометрическую подстановку, следует помнить, что 𝑥 ≠ 𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍, поэтому при решении уравнения мы должны прове-

рить, являются ли эти числа корнями исходного уравнения.

Пример 17. Решите уравнение 5 sin 2𝑥 − 5 cos2𝑥 = tg 𝑥 + 5 Перед решение уравнения найдём область определения уравнения.

.

Для того, чтобы свести уравнение к функции тангенса выполним замену 𝑡 = tg 𝑥.

Воспользуемся формулами универсальной тригонометрической подстановки, тогда

.

Подставив в уравнение получившиеся выражения получаем

 .

Возвращаемся к замене

 .

Ответ: ◄

.

  

1.6 Использование тригонометрических подстановок при решении

иррациональных уравнений

В большинстве случаев нам сложно представить, что если вместо неизвестного можно подставить тригонометрическую функцию при решении иррационального уравнения, то можно упростить решение исходного уравнения. Особенно данный метод вызывает затруднения у учащихся. Однако, в определённых случаях, данная подстановка может значительно облегчить решение. 

Тригонометрическая подстановка является одним из способов реализации метода замены переменной и используется в тех случаях, когда область определения исходного уравнения совпадает с областью значения тригонометрической функции или включается в эту область. Выбор той или иной функции при этом зависит от вида уравнения, неравенства, их систем или алгебраического выражения, которое требуется упростить.

Если из условия задачи следует, что допустимые значения переменной определяются неравенством |𝑥| ≤ 1, то удобны замены 𝑥 = sin 𝜑 или 𝑥 = cos 𝜑.

В первом случае достаточно рассмотреть , так как на этом промежутке непрерывная функция 𝑦 = sin 𝜑 возрастает, поэтому каждое свое значение принимает ровно в одной точке. Непрерывная функция 𝑦 = cos 𝜑 убывает на промежутке [0; 𝜋], поэтому также каждое свое значение принимает ровно в одной точке. Вот почему в случае замены 𝑥 = cos 𝜑., достаточно взять 𝜑 ∈ [0; 𝜋]. При-

чем какую из двух подстановок выбрать, зависит от конкретной ситуации. Рассмотрим некоторые иррациональные уравнения вида

,

,

,

,

которые решаются с помощью тригонометрических подстановок.

Пример 18. Решите уравнение .

Заметим, что 𝑥 ∈ [−1; 1], тогда можно выполнить замену

𝑥 = sin 𝑡, где .

Подставим замену в подкоренное выражение, тогда

.

На отрезке , косинус положительный, значит модуль при извлечении корня не понадобится. Подставляем в исходное уравнение замену, получаем уравнение вида 

sin 𝑡 + cos 𝑡 = 1.

Полученное уравнение решим с помощью метода вспомогательного аргумента. Тогда

 

Возвращаемся к замене. Поскольку  или , значит, 

 .

Ответ: 0; 1◄

Пример 19. Избавьтесь от иррациональности в уравнении.

Заметим, что 𝑥 ∈ [−2; 2], тогда можно выполнить замену

.

Выполнив замену, получаем

.

На отрезке , косинус положительный, значит, модуль при извлечении корня не понадобится. Получаем уравнение вида

,

которое решается методом введения параметра. ◄

          Пример 20. Решите уравнение .

Выполним замену

,   при , 

тогда

.

Поскольку на отрезка  тангенс имеет разные знаки, рассмотрим два промежутка:

1.     Если , то

 

Возвращаемся к замене. Поскольку , значит, 

.

2.     Если , то

 

Возвращаемся к замене. Поскольку , то уравнение корней не име-

ет.

Ответ: 1. ◄

Пример 21. Решите уравнение .

Заметим, что 𝑥 ∈ [0; 1], тогда можно выполнить замену

.

После подстановки замены в подкоренное выражение получаем

.

На отрезке , косинус положительный, значит, модуль при извлечении корня не понадобится. После подстановки получаем уравнение вида

.

 Правая часть уравнения является положительной, значит можно возвести уравнение в квадрат

sin2 𝑡 − cos 𝑡 = 1 − 2 sin 𝑡 + sin2 𝑡    ⇒    2 sin 𝑡 − cos 𝑡 = 1     ⇒

.

Введём угол, для которого    

,

тогда

sin(𝑡 − 𝛼) = sin 𝛼     ⇒   𝑡 − 𝛼 = 𝛼     ⇒   𝑡 = 2𝛼.

Из полученного решения получаем, что

.

Возвращаемся к замене

.

Ответ:◄

Пример 22. Решите уравнение .

Заметим, что |𝑥| ≤ 1, тогда применим подстановку 

.

После подстановки получаем уравнение вида 

cos 𝑡 = 3 sin 𝑡 − 4sin3𝑡.

Проверив, что cos𝑡 = 0 не является решением уравнения, приступаем к решению. В левой части уравнения находится многочлен первой степени, в правой – третьей, то есть степени отличаются на два. Разделив уравнение на cos3 𝑡, получаем уравнение вида

 

tg3𝑡 + tg2𝑡 − 3tg 𝑡 + 1 = 0,

Которое сводится к решению алгебраического уравнения третьей степени. ◄ Уравнение из примера 22 можно решить также с помощью формул преобразования разности тригонометрических функций в произведение, которые не рассматриваются в данной работе.

 

           

ГЛАВА 2 РАЗРАБОТКА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА «ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОДСТАНОВОК ПРИ РЕШЕНИИ

УРАВНЕНИЙ»

2.1 Содержание и анализ учебников, вошедших в федеральный перечень

Для обзора учебников курса Алгебры и начала математического по теме «Тригонометрические функции и тригонометрические уравнения» были выбраны учебники, входящие в федеральный перечень под редакцией следующих авторов: Ш. А. Алимов, А.Г. Мерзляк, А. Г. Мордкович, С.М. Никольский.

Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И. «Алгебра и начала анализа», учебник для 10-11 классов

Структура учебника. Данный учебник содержит в себе тринадцать глав, после каждой из которых автор дает упражнения на повторение изученного материала и задания для самостоятельного решения. Все представленные задания делятся на 3 части: базовые задачи, дополнительные и более сложные задачи, трудные задачи. В конце основного материала учебника имеются упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал анализа, задачи для внеклассной работы и краткие теоретические ведения по данному курсу. 

Место изучения тригонометрических функций. Алимов Ш. А. на тригонометрию отводит три главы. Первая глава посвящена изучению тригонометрических формул, затем рассматривается тема «Тригонометрические уравнения» в главе с таким же названием. Лишь в третьей главе рассматриваются тригонометрические функции и их свойства, а также обратные тригонометрические функции. Автор рассматривает единичную окружность, вводит понятие поворота точки вокруг начала координат на некоторый угол α, затем дает определение синуса, косинуса и тангенса угла. Также предлагаются к изучению формулы приведения, формулы двойного угла, суммы и разности синусов и косинусов, на основе чего вводится тема «Тригонометрические уравнения».

Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М. «Алгебра и начала ма-

тематического анализа», учебник для 10 классов

Структура учебника. Учебник содержит шесть глав, в конце учебника находится раздел «Упражнения для повторения курса алгебры начал анализа 10 класса», где можно закрепить знания после изучения каждой главы. В учебнике содержатся задания, разделяющиеся на 4 уровня сложности: простые задачи, задачи средней сложности, сложные задачи, задачи высокой сложности. Помимо того, есть задачи, которые рекомендуют для домашней или самостоятельной работы.

Место изучения тригонометрических функций. На изучение тригонометрии отведено две главы. Глава «Тригонометрические функции» включает понятие радианной меры, свойства и графики тригонометрических функций и тригонометрические формулы. Далее автор переходит к главе «Тригонометрические уравнения и неравенства», где представлены обратные тригонометрические функции, простейшие тригонометрические уравнения, метод замены переменной, метод разложения на множители и однородные тригонометрические уравнения.

Мордкович А. Г., «Алгебра и начала математического анализа», учебник для 10-11 классов.

Структура учебника. Учебное пособие состоит их двух частей: учебник и задачник. Учебник разбит на десять глав, после каждой из которых четко обозначены основные результаты изучения. Задачник содержит упражнения различных уровней сложности, начиная с самых простых, заканчивая заданиями профильного уровня.

Место изучения тригонометрических функций. Обучающиеся начинают с повторения, затем рассматривают тему «Числовая окружность», и тригонометрические функции. В главе «Тригонометрические уравнения» представлены обратные тригонометрические функции, методы решения тригонометрических уравнений: метод замены переменной, метод разложения на множители, однородные тригонометрические уравнения. Последняя глава изучения тригонометрии посвящена изучению тригонометрических формул. тригонометрические уравнения, преобразование тригонометрических выражений. Всего на изучение тригонометрии в данном учебнике отводится три главы. В материале 11 класса задания по тригонометрии встречаются в темах «Производная», «Первообразная и интеграл», «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств».

Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. «Алгебра и начала математического анализа», учебник для 10 классов.

Структура учебника. Учебник содержит 3 главы, разбитые на 14 больших параграфа. В конце учебника находятся задания на повторения курса 10 класса. При изучении темы можно увидеть разнообразные задания, но их недостаточно для отработки материала. В конце каждой главы присутствуют исторические сведения по представленному материалу.

Место изучения тригонометрических функций. Для изучения тригонометрии в данном учебнике представлена глава «Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции», состоящая из 5 параграфов. В первом параграфе рассматриваются понятия «радианная мера угла», «синус и косинус» и обратные тригонометрические функции. Второй параграф посвящён функциям тангенс и котангенс и обратным для них функциям. Следующие два параграфа рассказывают о тригонометрических формулах и тригонометрических функциях. В последнем параграфе показаны уравнения, решаемые методами замены переменной, однородные тригонометрические уравнения, метод замены переменной, а также решение тригонометрических неравенств.

Итог нашего обзора оформим в виде таблицы (табл. 2). Под основными тригонометрическими формулами будем подразумевать формулы приведения, формулы суммы и разносности аргументов тригонометрических функций, формулы двойных аргументов, понижения степени и преобразование сумм в произведения и наоборот.

 

 

 

Таблица 2 – Обзор учебников

ТЕМА

Алимов  Ш. А.

Мерзляк А.Г.

Мордкович 

А. Г.

Никольский С.М.

Графики триг. функций

+

+

+

+

Основные триг. формулы

+

+

+

+

Арк функции

+

+

+

+

Чётность\ нечётность

+

+

+

+

Основные тригонометрические уравнения

 

Разложение на множители

+

+

+

+

Метод замены переменной

+

+

+

+

Однородные уравнения

+

+

+

+

Вспомогательный угол

+

-

+

+

Универсальная подстановка

-

+

-

+

Под основными тригонометрическими формулами будем подразумевать формулы приведения, формулы суммы и разносности аргументов тригонометрических функций, формулы двойных аргументов, понижения степени и преобразование сумм в произведения и наоборот.

 

 

2.2 Тематическое планирование элективного курса

Проанализировав учебную литературу, было выявлено, что в некоторых учебниках не описаны не все методы решения тригонометрических уравнений. Следовательно, требуется создать элективный курс, который позволит решить какие-либо недостатки в изложении исследуемой темы и поможет расширить знания обучающихся. Программа элективного курса предназначена для обучающихся 10 и 11 классов. В курсе алгебры и начал анализа рассматриваются некоторые основные методы решения тригонометрических уравнений, в данном курсе представлено углубленное изучение школьного курса. 

Цели курса:

Образовательные:

•        расширение и углубление знаний по тригонометрии,

•        демонстрация методов решения тригонометрических уравнений,

•        обеспечение повторения, обобщение материала,

•        создание условий контроля (самоконтроля) усвоения знаний и уме-

ний,

•        эффективная математическая подготовка учащихся 10-11 классов.

Развивающие:

•        развитие логического мышления у обучающихся,

•        развитие мышления и речи, внимания и памяти,         расширение математического кругозора.

Воспитательные:

•        содействие воспитанию интереса к математике, активности, мобиль-

ности, умению общаться, общей культуре,

•        воспитание творческой личности, умеющей  интегрироваться в системе мировой математической культуры, Задачи: 

1)                 Закрепить знания по теме «Тригонометрические функции и тригонометрические уравнения.

2)                 Рассмотреть способы доказательства основных тригонометрических формул.

3)                 Рассмотреть методы решения тригонометрических уравнений.

4)                 Дать представление о методах решения иррациональных уравнений с помощью тригонометрических подстановок.

Составим тематический план разрабатываемого курса (табл. 3).

Таблица 3 – Тематический план элективного курса.

№

Тема урока

Количество часов

1

Тригонометрические функции

1

2

Основные тригонометрические формулы

3

3

Методы решения тригонометрических уравнений

8

4

Использование тригонометрических подстановок в иррациональных уравнениях

3

5

Контрольная работа

2

 

Итого:

17

Содержание курса.

1)                 Тригонометрические функции. Радианная мера угла, понятие синуса, косинуса, тангенса, котангенса на единичной окружности. Тригонометрические функции и их свойства.

2)                 Основные тригонометрические формулы. Тригонометрические тождества. Формулы приведения, формулы суммы и разности аргументов, формулы двойного угла, формулы понижения степени.

3)                 Методы решения тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические уравнения. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Метод разложения на множители. Метод введения параметра. Однородные тригонометрические уравнения. Универсальная тригонометрическая подстановка.

4)                 Использование тригонометрических подстановок в иррациональных уравнениях. Исследование области определения тригонометрических функций. Исследование области определения иррациональных уравнений. Тригонометрические подстановки в иррациональных уравнениях.

Курс ориентирован на расширение базового уровня знаний обучающихся по математике, дает возможность познакомиться с интересными вопросами тригонометрии, с весьма распространенными методами решения тригонометрических задач, проверить свои знания и умения в математике. 

Требования к математической подготовке обучающихся: 

1)                 знать тригонометрические формулы и уметь их применять для преобразования тригонометрических выражений; 

2)                 решать тригонометрические уравнения с использованием различных методов; 

3)                 логично и полно излагать решение, записывать ответ. 

Программа рассчитана на 17 часов. Курс может быть рассмотрен в 10 классе, после изучения соответствующих тем, или в 11 классе, при подготовке к единому государственному экзамену. Занятия проводятся 2 часа в неделю. Итоги реализации данной программы поводятся в форме практических и самостоятельных работ. Результатом предложенного курса должно быть успешное решение заданий ЕГЭ по теме «Тригонометрические уравнения» и сдача контрольной работы по итогу курса.

Планируемые результаты.  

1)    Обучающиеся знают основные понятия темы «Тригонометрические

функции и их использование», основные тригонометрические формулы, методы решения тригонометрических уравнений;

2)    обучающиеся умеют применять формулы при решении тригономет-

рических задач, решать тригонометрические уравнения несколькими методами;

3)    обучающиеся могут выстраивать логические цепочки и применяют их

при доказательствах формул.

           

2.3 Планы занятий элективного курса

Тема 1. Тригонометрические функции и их свойства. 

Количество часов: 1.

Тип урока: комбинированный, обобщение и систематизация знаний.

Цели урока: 

Образовательные:

•    проверить и обобщить знания и умения учащихся по теме «Тригонометрические функции»;

•    проверка умения выполнять преобразование тригонометрических выражений. 

Развивающие: 

•    развитие логического мышления; 

•    активизация мыслительной деятельности, познавательной активности;       развитие гибкости мышления. 

Воспитательные: 

•    воспитание аккуратности, трудолюбия; 

•    развитие общей культуры личности; 

•    способствование толерантному воспитанию учащихся. 

Ход урока: 

1.        Организационный этап. 

2.        Повторение материала по теме «Радианная мера угла». 

3.        Практическая часть по теме «Радианная мера угла».

4.        Повторение материала по теме «Тригонометрические функции». 

5.        Практическая часть по теме «Тригонометрические функции».

6.        Подведение итогов урока.

Организационный этап. Учитель приветствует детей, оглашает план занятия. 

Повторение материала по теме «Радианная мера угла». Излагается теоретический материал пункта 1.1.

Практическая часть по теме «Радианная мера угла». 

№1. Найдите координаты точки, полученной поворотом точки 𝑃(1; 0) на

угол (𝑘 – целое число): ;  

540°;   810°.

№2. На единичной окружности отложите угол: 70°;   513°;   3;   10.

№3. Найдите число 𝑥, где 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 и натуральное число 𝑘, такие, чтобы

выполнялось равенство 𝑎 = 𝑥 + 2𝜋𝑘, если: 𝑎 = 9,8𝜋;   ;   ;  

.

Повторение материала по теме «Тригонометрические функции». Излагается теоретический материал пункта 1.2.

Практическая часть по теме «Тригонометрические функции».

№4. Вычислите: .

№5. Сравните значение выражений: .

№6. Исследуйте функцию 𝑦 = 𝑥3 cos 𝑥  на чётность.

№7. Найдите область определения функции .

Подведение итогов урока. Ответить на вопросы:

•  Мы вспомнили …

•  Мы узнали …

•  Мы научились …

•  Нужно проработать …

Тема 2. Тригонометрические тождества. Формулы приведения.

Количество часов: 1.

Тип урока: комбинированный, обобщение и систематизация знаний.

Цели урока: 

Образовательные:

•  проверить и обобщить знания и умения учащихся по теме «Тригонометрические формулы»;

•  проверка умения выполнять арифметические действия с целыми и дробными числами;

•  проверка умения выполнять преобразование тригонометрических вы-

ражений. 

Развивающие: 

•  развитие логического мышления; 

•  активизация мыслительной деятельности, познавательной активности;       развитие гибкости мышления. 

Воспитательные: 

•  воспитание аккуратности, трудолюбия; 

•  развитие общей культуры личности; 

•  способствование толерантному воспитанию учащихся. 

Ход урока: 

1.        Организационный этап. 

2.        Практическая часть по теме «Тригонометрические тождества».

3.        Повторение материала по теме «Формулы приведения». 

4.        Практическая часть по теме «Формулы приведения».

5.        Подведение итогов урока.

Организационный этап. Учитель приветствует детей, оглашает план занятия. 

Практическая часть по теме «Тригонометрические тождества».

№1. Известно, что . Найдите значе-

ния четырёх основных тригонометрических функций угла 𝑥.

№2. Докажите тождество .

Повторение материала по теме «Формулы приведения». Излагается теоретический материал пункта 1.3.1.

Практическая часть по теме «Формулы приведения». 

№3. Вычислите .

№4. Вычислите .

№5. Упростите выражение .

Подведение итогов урока. Ответить на вопросы:

•        Мы вспомнили …

•        Мы узнали …

•        Мы научились …

•        Нужно проработать …

Тема 3. Формулы сложения и вычитания аргументов.

Количество часов: 1.

Тип урока: комбинированный, изучение нового материала, обобщение и систематизация знаний.

Цели урока: 

Образовательные:

•        проверить и обобщить знания и умения учащихся по теме «Тригонометрические формулы»;

•        проверка умения выполнять преобразование тригонометрических вы-

ражений. 

Развивающие: 

•        развитие логического мышления; 

•        активизация мыслительной деятельности, познавательной активности;  развитие гибкости мышления. 

Воспитательные: 

•        воспитание аккуратности, трудолюбия; 

•        развитие общей культуры личности; 

•        способствование толерантному воспитанию учащихся. 

Ход урока: 

1.        Организационный этап. 

2.        Теоретическая часть.

3.        Практическая часть.

4.        Подведение итогов урока.

Организационный этап. Учитель приветствует детей, оглашает план занятия. Отвечает на возникшие вопросы.

Теоретическая часть. Рассмотреть доказательство формул из пункта 1.3.2. 

Практическая часть. 

№1. Вычислите .

№2. Упростите выражение sin(𝛼 + 𝛽) ∙ sin(𝛼 − 𝛽) + cos2𝛼 + sin2𝛽.

№3. Докажите тождество tg 𝛼 ∙ tg 𝛽 + (tg 𝛼 + tg 𝛽) ∙ ctg (𝛼 + 𝛽) = 1.

Подведение итогов урока. Ответить на вопросы:

•        Мы вспомнили …

•        Мы узнали …

•        Мы научились …

•        Нужно проработать …

Тема 4. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени.

Количество часов: 1.

Тип урока: комбинированный, обобщение и систематизация знаний.

Цели урока: 

Образовательные:

•        проверить и обобщить знания и умения учащихся по теме «Тригонометрические формулы»;

•        проверка умения выполнять преобразование тригонометрических вы-

ражений. 

Развивающие: 

•        развитие логического мышления; 

•        активизация мыслительной деятельности, познавательной активности;  развитие гибкости мышления. 

Воспитательные: 

•        воспитание аккуратности, трудолюбия; 

•        развитие общей культуры личности; 

•        способствование толерантному воспитанию учащихся. 

Ход урока: 

1.        Организационный этап. 

2.        Теоретическая часть.

3.        Практическая часть.

4.        Подведение итогов урока.

Организационный этап. Учитель приветствует детей, оглашает план занятия. Отвечает на возникшие вопросы.

Теоретическая часть. Рассмотреть доказательство формул из пункта 1.3.3. 

Практическая часть. 

№1. Вычислите .

№2. Известно, что . Найдите tg (𝜋 + 4𝛼).

№3. Упростите выражение.

№4. Докажите тождество .

№5. Докажите тождество .

№6. Докажите тождество .

Подведение итогов урока. Ответить на вопросы:

•        Мы вспомнили …

•        Мы узнали …

•        Мы научились …

•        Нужно проработать …

Тема 5. Простейшие тригонометрические уравнения.

Количество часов: 2.

Тип уроков: комбинированный, обобщение и систематизация знаний.

Цели уроков: 

Образовательные:

•        Проверить усвоение материала прошлых уроков, путём проведения

самостоятельной работы;

•        обобщить знания и умения учащихся по теме «Тригонометрические

уравнения»;

•        проверка умения выполнять преобразование тригонометрических вы-

ражений. 

Развивающие: 

•        развитие логического мышления; 

•        активизация мыслительной деятельности, познавательной активности;  развитие гибкости мышления. 

Воспитательные: 

•        воспитание аккуратности, трудолюбия; 

•        развитие общей культуры личности; 

•        способствование толерантному воспитанию учащихся. 

Ход уроков: 

1.        Организационный этап. 

2.        Самостоятельная работа по теме «Тригонометрические формулы».

3.        Теоретическая часть.

4.        Практическая часть.

5.        Подведение итогов урока.

Организационный этап. Учитель приветствует детей, оглашает план занятия. Отвечает на возникшие вопросы.

Самостоятельная работа. 

1 вариант

2 вариант

1. Найдите значение 𝑥 и выразите его в радианах, если 90° < 𝑥 < 180° и

sin 57° + sin 41° = 2 sin 𝑥 ∙ cos 8°

cos 62° − cos 18° = −2 sin 𝑥 ∙ sin 22°

2. Докажите тождество

 

 

 

Теоретическая часть. Рассмотреть теоретический материал из пункта

1.4.1.-1.4.3. 

Практическая часть. 

№1. Решите уравнение.

№2. Найдите значение выражения.

№3. Решите уравнение .

№4. Решите уравнение .

№5. Найдите значение выражения.

                №6.             Определите             количество             корней            уравнения 

, принадлежащих отрезку [−𝜋; 𝜋].

Теоретическая часть. Рассмотреть утверждение 8 из пункта 1.4.3. 

№7. Вычислите значение выражения .

№8. Решите уравнение 4cos2𝑥 + 3 cos 𝑥 − 1 = 0.

№9. Решите уравнение 6cos2𝑥 + 5 sin 𝑥 − 7 = 0.

№10. Решите уравнение 2cos4𝑥 + 7cos2𝑥 − 9 = 0.

№11. Решите уравнение .

№12. Решите уравнение .

Подведение итогов уроков. Ответить на вопросы:

•        Мы вспомнили …

•        Мы узнали …

•        Мы научились …

•        Нужно проработать …

Тема 6. Решение уравнений с помощью метода введения параметра.

Количество часов: 2.

Тип уроков: комбинированный, изучение нового материала, обобщение и систематизация знаний.

Цели уроков: 

Образовательные:

•        проверить и обобщить знания и умения учащихся по теме «Тригоно-

метрические уравнения»;

•        проверка умения выполнять преобразование тригонометрических вы-

ражений. 

Развивающие: 

•        развитие логического мышления; 

•        активизация мыслительной деятельности, познавательной активности;  развитие гибкости мышления. 

Воспитательные: 

•        воспитание аккуратности, трудолюбия; 

•        развитие общей культуры личности; 

•        способствование толерантному воспитанию учащихся. 

Ход уроков: 

1.        Организационный этап. 

2.        Теоретическая часть.

3.        Практическая часть.

4.        Подведение итогов урока.

Организационный этап. Учитель приветствует детей, оглашает план занятия. Отвечает на возникшие вопросы.

Теоретическая часть. Рассмотреть материал из пункта 1.4.4.

Практическая часть. 

№1. Решите уравнение √3 sin 𝑥 − cos 𝑥 = 1.

№2. Оцените значение выражения, используя метод вспомогательного угла  5 cos 2𝛼 + 12 sin 2𝛼.

№3. Решите уравнение √3 cos 𝑥 − sin 𝑥 = −1.

№4. Решите уравнение 3 cos 𝑥 + 5 sin 𝑥 = 4.

№5. Решите уравнение cos 3𝑥 + 4sin3𝑥 + 4 cos 𝑥 = 5.

№6. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции 𝑦 = sin 𝑥 + cos 𝑥

№7. Решите уравнение 2 sin 𝑥 − 3 cos 𝑥 = 2.

№8. Решите уравнение 7 cos 𝑥 + 5 sin 𝑥 = 6.

№9. Оцените значение выражения, используя метод вспомогательного угла  cos 2𝛼 + sin 2𝛼.

№10. Оцените значение выражения, используя метод вспомогательного угла  7 sin 𝛼 − 24 cos 𝛼.

Подведение итогов уроков. Ответить на вопросы:

•        Мы вспомнили …

•        Мы узнали …

•        Мы научились …

•        Нужно проработать …

Тема 7. Однородные тригонометрические уравнения.

Количество часов: 2.

Тип уроков: комбинированный, обобщение и систематизация знаний.

Цели уроков: 

Образовательные:

•        проверить и обобщить знания и умения учащихся по теме «Тригоно-

метрические уравнения»;

•        проверка умения выполнять преобразование тригонометрических вы-

ражений. 

Развивающие: 

•        развитие логического мышления; 

•        активизация мыслительной деятельности, познавательной активности;  развитие гибкости мышления. 

Воспитательные: 

•        воспитание аккуратности, трудолюбия; 

•        развитие общей культуры личности; 

•        способствование толерантному воспитанию учащихся. 

Ход уроков: 

1.        Организационный этап. 

2.        Теоретическая часть.

3.        Практическая часть.

4.        Подведение итогов урока.

Организационный этап. Учитель приветствует детей, оглашает план занятия. Отвечает на возникшие вопросы.

Теоретическая часть. Рассмотреть материал пункта 1.4.6.

Практическая часть. 

№1. Решите уравнение sin 𝑥 − 2 cos 𝑥 = 0.

№2. Решите уравнение sin2𝑥 + sin 𝑥 cos 𝑥 − 2cos2𝑥 = 0.

№3. Решите уравнение 2sin2𝑥 + 2 sin 𝑥 ∙ cos 𝑥 + cos2𝑥 = 2,5.

№4. Решите уравнение 2sin3𝑥 = cos 𝑥.

№5. Решите уравнение.

№6. Решите уравнение 2sin2𝑥 − √3 sin 2𝑥 = 0.

№7. Решите уравнение sin 2𝑥 + 2cos2𝑥 + cos 2𝑥 = 0.

№8. Решите уравнение.

№9. Решите уравнение 15cos𝑥 = 3cos𝑥 ∙ 5sin 𝑥.

№10. Решите уравнение 6sin2𝑥 − 3 sin 𝑥 ∙ cos 𝑥 − cos2𝑥 = 1.

Подведение итогов уроков. Ответить на вопросы:

•        Мы вспомнили …

•        Мы узнали …

•        Мы научились …

•        Нужно проработать …

Тема 8. Универсальная тригонометрическая подстановка.

Количество часов: 2.

Тип уроков: комбинированный, изучение нового материала, обобщение и систематизация знаний.

Цели уроков: 

Образовательные:

•        проверить и обобщить знания и умения учащихся по теме «Тригоно-

метрические уравнения»;

•        проверка умения выполнять преобразование тригонометрических вы-

ражений. 

Развивающие: 

•        развитие логического мышления; 

•        активизация мыслительной деятельности, познавательной активности;  развитие гибкости мышления. 

Воспитательные: 

•        воспитание аккуратности, трудолюбия; 

•        развитие общей культуры личности; 

•        способствование толерантному воспитанию учащихся. 

Ход уроков: 

1.        Организационный этап. 

2.        Теоретическая часть.

3.        Практическая часть.

4.        Подведение итогов урока.

Организационный этап. Учитель приветствует детей, оглашает план занятия. Отвечает на возникшие вопросы.

Теоретическая часть. Рассмотреть материал пункта 1.5.

Практическая часть. 

№1. Решите уравнение 5 sin 2𝑥 − 5 cos 2𝑥 = tg 𝑥 + 5

№2. Найдите значение выражения , если sin 𝛼 + cos 𝛼 = 0,2.  

№3. Найдите значение выражения , если .

№4. Решите уравнение sin 2𝑥 + tg x = 2.

№5. Решите уравнение 6 + 6 cos 𝑥 + 5 sin 𝑥 ∙ cos𝑥 = 0.

№6. Решите уравнение tg 2𝑥 = 2 cos 2𝑥 ∙ ctg 𝑥.

№7. Решите уравнение 2 sin 𝑥 + 3 cos 𝑥 + 3 = 0.

Подведение итогов уроков. Ответить на вопросы:

•        Мы вспомнили …

•        Мы узнали …

•        Мы научились …

•        Нужно проработать …

Тема 9. Применение тригонометрических подстановок при решении иррациональных уравнений.

Количество часов: 3.

Тип уроков: комбинированный, изучение нового материала, обобщение и систематизация знаний.

Цели уроков: 

Образовательные:

•        проверить и обобщить знания и умения учащихся по теме «Тригоно-

метрические уравнения»;

•        проверка умения выполнять преобразование тригонометрических вы-

ражений. 

Развивающие: 

•        развитие логического мышления; 

•        активизация мыслительной деятельности, познавательной активности;  развитие гибкости мышления. 

Воспитательные: 

•        воспитание аккуратности, трудолюбия; 

•        развитие общей культуры личности; 

•        способствование толерантному воспитанию учащихся. 

Ход уроков: 

1.        Организационный этап. 

2.        Теоретическая часть.

3.        Практическая часть.

4.        Подведение итогов урока.

Организационный этап. Учитель приветствует детей, оглашает план занятия. Отвечает на возникшие вопросы.

Теоретическая часть. Рассмотреть материал пункта 1.6.

Практическая часть. 

№1. Решите уравнение .

№2. Избавьтесь от иррациональности в уравнении.

№3. Решите уравнение.

№4. Решите уравнение.

№5. Решите уравнение .

№6. Решите уравнение.

№7. Решите уравнение.

№8. Решите уравнение.

Подведение итогов уроков. Ответить на вопросы:

•  Мы вспомнили …

•  Мы узнали …

•  Мы научились …

•  Нужно проработать … Итоговая контрольная работа.

Количество часов: 2.

Тип уроков: урок контроля знаний.

Цели уроков: 

Образовательные:

•  проверить и знания и умения учащихся по теме «Использование тригонометрических функций при решении уравнений»;

•  проверка умения выполнять преобразование тригонометрических вы-

ражений. 

Развивающие: 

•  развитие логического мышления; 

•  активизация мыслительной деятельности, познавательной активности;          развитие гибкости мышления. 

Воспитательные: 

•  воспитание аккуратности, трудолюбия; 

•  развитие общей культуры личности; 

•  способствование толерантному воспитанию учащихся. 

Ход уроков: 

1.        Организационный этап. 

2.        Практическая часть.

3.        Подведение итогов курса.

Контрольная работа.

1.     Упростить выражение

1)    1 + ctg2𝑥

2)    sin(𝛼 − 𝛽)

3)    cos(𝛼 + 𝛽)

4)    cos(arccos 𝑎)

2.     Доказать, что 1)

2).

3)

3.     Найдите значение выражения

1)

2).

4.     Решите уравнение 1)

2).

Подведение итогов курса. В формате беседы узнать о плюсах и минусах курса у обучающихся.

 

 

2.4. Апробация элективного курса

Апробация элективного курса проходила в МБОУ «СОШ №155» г. Новосибирска (Приложение 1) на занятиях по спецкурсу «Подготовка к ЕГЭ». Перед началом проведения занятий курса был проведён входной контроль, содержащий 4 этапа (Приложение 2). 

Результаты входного контроля.

1   этап – работа с формулами.

Количество участников: 11 человек.

Распределение баллов:

0б. – 0 уч.,

1б. – 0 уч.,

2б. – 3 уч.,

3б. – 7 уч.,

4б. – 1 уч., 5б. – 0 уч..

2   этап – доказательство формул.

Количество участников: 11 человек.

Распределение баллов:

0б. – 4 уч.,

1б. – 7 уч.,

2б. – 0 уч., 3б. – 0 уч..

3   этап – вычисления по формулам.

Количество участников: 11 человек.

Распределение баллов:

0б. – 0 уч.,

1б. – 0 уч.,

2б. – 2 уч.,

3б. – 1 уч.,

4б. – 4 уч.,

5б. – 2 уч., 6б. – 2 уч..

4   этап – решение уравнений.

Количество участников: 11 человек.

Распределение баллов:

0б. – 1 уч.,

1б. – 3 уч.,

2б. – 4 уч., 3б. – 3 уч..

Типичные ошибки:

1)    ошибка в знаке формулы,

2)    отсутствие логического мышления для доказательства формулы,

3)    не знание некоторых формул, 4) вычислительные ошибки.

Вывод: Обучающиеся не имеют представление о выводе тригонометрических формул, вследствие чего, не знают, где их можно применить.

После проведения разработанного элективного курса была проведена итоговая контрольная работа, представленная в пункте 2.3. Её результаты таковы:

1   этап – работа с формулами.

Количество участников: 11 человек.

Распределение баллов:

0б. – 0 уч.,

1б. – 0 уч.,

2б. – 0 уч.,

3б. – 2 уч., 4б. – 9 уч..

2   этап – доказательство формул.

Количество участников: 11 человек.

Распределение баллов:

0б. – 0 уч.,

1б. – 1 уч.,

2б. – 3 уч., 3б. – 7 уч..

3   этап – вычисление по формулам.

Количество участников: 11 человек.

Распределение баллов:

0б. – 0 уч.,

1б. – 0 уч.,

2б. – 11 уч..

4   этап – решение уравнений.

Количество участников: 11 человек.

Распределение баллов:

0б. – 1 уч.,

1б. – 8 уч., 2б. – 2 уч..

Типичные ошибки:

1)    ошибка в знаке формулы,

2)    при получении ответа не учитывалась область допустимых значений.

Вывод: обучающиеся охотно берутся за выполнение заданий. Улучшилось знание формул, появилось понимание действий, в решениях чётко прослеживается логика.

 

 

           

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Согласно цели и задачам, поставленным в начале работы, была изучена учебно-методическая и математическая литература по теме «Тригонометрические функции». В работе рассмотрены тригонометрические функции и их свойства, основные тригонометрические формулы и их доказательства, методы решения тригонометрических уравнений и использование тригонометрических подстановок для решения иррациональных уравнений.

Был проведен обзор четырёх разных учебников, из которых сложно выбрать наиболее эффективный. В процессе были выявлены достоинства и недостатки каждого, а также рассмотрены методы изучения данной темы, показаны роль и место темы в системе математических знаний обучающихся.

Разработан и апробирован элективный курс по теме «Использование тригонометрических подстановок при решении уравнений». Данный материал может быть использован в практике работы учителя в 10 и 11 классах и при подготовке учеников к единому государственному экзамену. 

Апробация курса показала, что он способствует более глубокому усвоению темы «Тригонометрические уравнения», вследствие чего, приведет к успешной сдаче единого государственного экзамена. Таким образом, задачи данной исследовательской работы решены, цель – разработка элективного курса по теме «Использование тригонометрических подстановок при решении уравнений» – достигнута. Представленные материалы могут быть использованы в качестве методического пособия как учителями, так и школьниками, готовящимися к поступлению в высшие учебные заведения.

 

           

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

                1)         Алексеев А. Тригонометрические подстановки // Квант. 1995. №2. С.

40 - 42.

2)                 Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов. М.: Просвещение, 2016. 464 с.

3)                 Андронов И.К., Окунев А.К. Курс тригонометрии, развиваемый на основе реальных задач. 1967. 648 c.

4)                 Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов. М.: Просвещение, 1992. 351 с.

5)                 Бескин Н.М. Вопросы тригонометрии и её преподавания. М.: Просвящение, 1950. 140 с.

6)                 Вахитова И.А. Специальные тексты по английскому языку: Для студентов физико- математического факультета. Уфа. 2005. 84 с.

7)                 Горнштейн П.И. Тригонометрия помогает алгебре. // Квант. 1989. №5 С. 68-70.

8)                 Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. М.: ИЛЕКСА, 2018. 224 с.

9)                 Задания дополнительных вступительных испытаний за 2020 год [Электронный ресурс]. URL: http://cpk.msu.ru/entrance/2020. (Дата обращения:

01.06.2021).

10)            Звавич В.И., Пигарев Б.П. Тригонометрические уравнения // Математика в школе. № 3. С.18-27.

11)            Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов. М.: Просвещение, 2018. 387 с.

12)            Крамор В.С. Тригонометрические функции. М.: Просвещение, 1983.

159 с.

13)            Литвиненко В.Н.: Практикум по элементарной математике: Алгебра.

Тригонометрия. М.: Просвещение, 1991. 78 с. 

14)            Мордкович А.Г. Краткое справочное пособие по школьному курсу математики. М.: Новая школа, 1994. 154с.

15)            Лященко Е.И. Методические рекомендации по формированию ведущих понятий курса математики. Ленинград, 1988. 72 с.

16)            Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М. Алгебра и начала математического анализа: учебник для 10 класса. Углубленное изучение. М.: Вентана-граф, 2021. 478 с.

17)            Мирошин В. Отбор корней в тригонометрических уравнениях. // Математика. Приложение к газете «Первое сентября». № 17, 2006.

18)            Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. Часть 1: учебник для 10-11 классов. М.: Мнемозина, 2013. 400 с.

19)            Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. Часть 2: учебник для 10-11 классов (базовый уровень). М.: Мнемозина, 20213. 271 с.

20)            Мордкович А.Г. Беседы с учителем. М.: ООО “Издательский дом “ОНИКС 21 век”: ООО “Издательство “Мир и Образование”, 2005”. 238 с.

21)            Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов. М.: Просвещение, 2009. 430 с.

22)            Орлова Т. Решение однородных тригонометрических уравнений: Конкурс “Я иду на урок” // Математика. Приложение к газете «Первое сентября». №48, 1999.

23)            Погорелов А.И., Сборник задач по тригонометрии. М.: Учпедгиз,

1949. 96 с.

                24)        Пичурин Л.Ф. О тригонометрии и не только о ней. М. Просвещение,

1985. 79 с.

25)Пушкина Е.Н. English for Mathematicians and Information Technologies Learners. Английский для студентов, изучающих математику и информационные технологии: учебно-методическое пособие [Электронный ресурс]. 

ННГУ, 2019. 88 с.

26)Раббот, Ж. Тригонометрические функции // Квант. 1972. №5. С. 36-38.

27)Сдам ГИА: решу ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам. [Электронный ресурс]. URL: https://ege.sdamgia.ru/. (Дата обращения

02.06.2021).

28)Ященко И.В. ЕГЭ 2021. Математика. Профильный уровень. 14 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий. М.: Издательство «Экзамен», 2021. 71 с.

29)Шаталов В.Ф. Методические рекомендации для работы с опорными сигналами по тригонометрии. М.: Новая школа, 1993. 258 с. 

30)Шаталов В.Ф. Учебные задания для учащихся по курсу тригонометрии. М.: Новая школа, 1993. 356 с.

31)Штейнгарц Л.А. Уравнение sin 𝑥 + cos 𝑥 = 1 и восемнадцать способов

его решения // Математика в школе. 2021. №1. С. 71-80.

32)Carl B. Boyer. A history of mathematics. P.: John Wiley & Sons,  1991. 740 c.

33)V.V. Konev. Mathematics, Preparatory Course - Trigonometry and Geometry. 2018. 140 с.

 

 

 

 

           

Приложение А

 


 

 

 

Приложение Б Входной контроль.

Задание 1. Упростите выражение.

1)    1 + tg2𝑥,

2)    sin 2𝑥,

3)    tg 𝑥 ∙ ctg 𝑥, 4) sin(𝛼 + 𝛽),

5) cos(𝛼 − 𝛽).

Задание 2. Докажите, что

1)    ,

2)    sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 ∙ cos 𝑥,

3)    cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽.

Задание 3. Вычислите.

1)    ,

2)    ,

3)    ,

4)    ,

5)    sin 𝛼, если cos 𝛼 = 0,6 и 𝜋 < 𝛼 < 2𝜋,

6)    .

Задание 4. Решите уравнение

1)    ,

2)    tg2𝑥 + (1 + √3)tg 𝑥 + √3 = 0,

3)    6sin2𝑥 − 3 sin 𝑥 ∙ cos 𝑥 − cos2𝑥 = 1.

Просмотрено: 0%
поделиться в vk поделиться в одноклассниках поделиться в майлру
Просмотрено: 0%
Скачать материал
поделиться в vk поделиться в одноклассниках поделиться в майлру
Скачать материал "Научная работа "Тригонометрические подстановки""
Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Менеджер бизнес-процессов

Получите профессию

Бухгалтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 661 168 материалов в базе

Найти материалы
Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 22.09.2022 1070
    • PDF 2.6 мбайт
    • 15 скачиваний
    • Оцените материал:

  • Настоящий материал опубликован пользователем Горлова Дарья Дмитриевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал

  • Автор материала

    Горлова Дарья Дмитриевна
    Горлова Дарья Дмитриевна
    • На сайте: 3 года и 4 месяца
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 3605
    • Всего материалов: 7

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Технолог-калькулятор общественного питания

Технолог-калькулятор общественного питания

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к сдаче ЕГЭ по математике в условиях реализации ФГОС СОО

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 188 человек из 55 регионов
  • Этот курс уже прошли 1 699 человек

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Учитель математики

300/600 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 1251 человек из 84 регионов
  • Этот курс уже прошли 3 801 человек

Курс повышения квалификации

Методические и практические аспекты развития пространственного мышления школьников на уроках математики

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 44 человека из 27 регионов
  • Этот курс уже прошли 124 человека

Мини-курс

Физическая культура и спорт: методика, педагогика, психология

10 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе
  • Этот курс уже прошли 13 человек

Мини-курс

Мастерство влияния и успешных переговоров

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 33 человека из 19 регионов

Мини-курс

Эволюция и современное состояние искусства

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе