Научная работа учащихся по теме "Решение неравенств"

• 1 слайд

  Решение неравенств.
  Номинация «История математики».
  Руководитель: Демакова Ирина Павловна
  
  Авторы: Игумнова Ксения Андреевна
  Домашний адрес: 663300 Красноярский край,
  г. Норильск ул. Бегичева дом 27 кв. 44 дом. телефон [phone]
  Жмурко Оксана Ивановна
  Домашний адрес: 663300 Красноярский край,
  г. Норильск ул. Талнахская дом 46 кв. 42 дом. телефон [phone]
  
  учащиеся 10 «Г» класса МОУ «Лицей №1»
  

• 2 слайд

  
  
  Цель:
  Найти универсальный метод для решения иррациональных неравенств и неравенств, содержащих выражение под знаком модуля.
  
  Работа носит прикладной характер.
  
  

• 3 слайд

  Актуальность выбранной темы
  Основной причиной выбора данной темы стало затруднение в решении неравенств школьной программы. Оно состоит в том, что для каждого вида неравенства требуется знание конкретного метода решения, умение осуществить решение этим методом без ошибок, умение контролировать каждое действие и быть очень внимательным. Именно поэтому мы рассмотрели метод, который по праву можно назвать универсальным, так называемый «обобщенный метод интервалов», основанный на использовании математического анализа, а точнее, всего двух утверждений: теоремы о непрерывности элементарной функции и теоремы, известной в математике, как теорема Больцано-Коши.
  Основным достоинством данного метода является его алгоритмичность, а, следовательно, возможность осуществить последовательное самоконтролирование на каждом этапе решения.
  

• 4 слайд

  Больцано Бернард - чешский математик, философ и логик. Родился в Праге. В 1800 г. окончил философский, а в 1805 г. - теологический факультет Пражского университета с присвоением ученой степени доктора философии. В 1805-1820 гг. занимал кафедру истории религии в Пражском университете. За выступления против австрийского правительства отстранен от работы (1820 г.) и отдан под тайный надзор полиции, лишен права публичного выступления.
  При жизни Больцано напечатал анонимно только пять небольших математических сочинений и ряд философских трудов. Основная часть большого рукописного наследия Больцано чешские ученые исследовали после его смерти.
  Большой магматический труд Больцано "Учение о функциях", написанный в 1830 г., увидел свет только через сто лет. В нем, в частности, Больцано (за 30 лет до К.Вейерштрасса) строит непрерывную кривую, не имеющую касательной ни в одной точке. Больцано установил современное понятие сходимости рядов и за несколько лет до выхода в свет "Алгебраического анализа" О. Л. Коши пользовался критерием сходимости, именуемым обычно критерием Коши. Теорему о том, что всякое бесконечное множество чисел, заключенных в замкнутом интервале, имеет в нем по меньшей мере одну предельную точку, Больцано упоминает за много лет до того, как ее сформулировал К. Т. Вейерштрасс. Уточнив понятия предела и непрерывности, Больцано впервые строго доказал теорему о том, что непрерывная функция принимает любое промежуточное значение, лежащее между двумя ее разными значениями.
  БОЛЬЦАНО Бернард
  (Bolzano Bernhard)
  (5.10.1781 - 18.12.1848)
  
  

• 5 слайд

  Введение
  При исследовании метода интервалов можно прийти к выводу, что он основан на понятии непрерывности элементарной функции. Все функции, изучающиеся в школе, и известные широкому кругу учеников, абитуриентов и студентов являются элементарными.
  Элементарная функция – это функция, которая может быть получена из переменных и констант при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, деления, умножения и операций , где  - элементарные функции от одной переменной.
  Наиболее часто встречающиеся элементарные функции:
  целые алгебраические, многочлены,
  дробные алгебраические,
  степенные,
  показательные,
  логарифмические,
  тригонометрические,
  обратные тригонометрические,
  функции, содержащие модуль.
  

• 6 слайд

  Поэтапное решение неравенств методом интервалов
  Для того чтобы определить, где функция будет существовать, необходимо найти область допустимых значений функции (ОДЗ) или область определения функции (ООФ) или D(f). Это самый важный пункт в решении неравенства методом интервалов. Именно здесь возможна ошибка из-за невнимательности при решении другим способом, а метод интервалов позволяет ее избежать путем четкой направленности действий, т.е. должен выполнится один из шагов алгоритма - «найти ОДЗ».
  После нахождения ОДЗ вступает в силу другая теорема:
  «Любая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения».
  

• 7 слайд

  Второй этап
  Теперь необходимо найти нули функции, т.е. те точки, где функция не имеет знака. После этого вступает в действие теорема, выведенная учеными Б.Больцано (1781-1848) и О.Коши (1789-1857), которая гласит:
  
  «Если функция непрерывна на отрезке и значения ее на концах отрезка f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка такая, что ».
  
  По-другому ее можно сформулировать так:
  «Если функция непрерывна на некотором промежутке и не имеет на этом промежутке нулей, то на данном промежутке функция сохраняет свой знак».
  

• 8 слайд

  Третий этап
  Таким образом, мы можем найти решение неравенства путем определения знака функции на интервалах, разделенных промежутками и точками, не входящими в ОДЗ, а также точками, где значение функции равно нулю.
  
  Определить знак на промежутке можно путем подстановки контрольной точки, произвольно взятой из промежутка. Если знак на промежутке “+”, то значение функции на данном промежутке больше нуля, а если знак “-“, то меньше нуля.
  

• 9 слайд

  Выводы:
  В результате работы стало очевидно, что метод особенно хорош при решении неравенств, в которых содержится несколько выражений под знаком модуля, знаком корня.
  Для успешного овладения методом интервалов необходимо уметь решать три задачи:
  Устанавливать область определения функции, в том числе уметь решать системы неравенств.
  Решать различные уравнения.
  Вычислять и оценивать значения функции в точке.
  
  Далее приводятся примеры решенных неравенств, где решение не методом интервалов очень затруднительно.
  
  
  

• 10 слайд

  Неравенства, содержащие выражение под знаком модуля
  1.
  
  Вводим функцию:
  
  D(f) находим из условия существования дробей:
  

• 11 слайд

  
  
  непрерывна на
  
  по теореме: «любая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения».
  3) Находим нули функции, решая уравнение:
  

• 12 слайд

  4) Исследуем знаки функции, применяя теорему Больцано-Коши. Отмечаем на области определения функции ее нули и составляем таблицу знаков функции:
  
  Таблица знаков функции
  
  
  
  
  
  
  Определяем знаки на каждом из промежутков, на которые нули функции разбивают область определения функции.
  
  
  f(x)
  
  x
  К.т. -0,5
  -
  К.т. 0,5
  -
  К.т. 1,5
  +
  К.т. 3
  -
  
  -1
  
  0
  
  1
  
  2
  5
  К.т. -2
  +
  К.т 6
  +
  

• 13 слайд

  Так как на каждом из этих промежутков в отдельности выполняется условие теоремы Больцано - Коши (функция на данных промежутках непрерывна и не имеет нулей), следовательно, функция сохраняет на каждом из них свой знак “+” или “-“, который можно установить с помощью контрольной точки, взятой произвольно из каждого промежутка:
  Неравенства, содержащие выражение
  под знаком модуля
  

• 14 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  На основании теоремы Больцано - Коши делаем вывод: на
  
  
  Ответ:
  

• 15 слайд

  Неравенства, содержащие выражение
  под знаком модуля
  
  2.
  
  Вводим функцию:
  D(f) находим из условия существования дроби:
  
  
  Устанавливаем точки разрыва функции, решая уравнение:
  
  
  
  

• 16 слайд

  Неравенства, содержащие выражение
  под знаком модуля
  
  Точки разрыва функции: x=-2 и x=1
  непрерывна на по теореме: «любая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения».
  3) Находим нули функции, решая уравнение:
  
  (Смотри таблицу решения уравнения на следующем слайде)
  4) Исследуем знаки функции, применяя теорему Больцано-Коши. Отмечаем на области определения функции ее нули и составляем таблицу знаков функции:
  Таблица знаков функции
  
  
  
  х
  К.т. 0
  +
  
  -2
  
  1
  К.т. -3
  -
  К.т. 2
  -
  f(x)
  К.т. 0,5
  -
  

• 17 слайд

  ТАБЛИЦА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ С МОДУЛЕМ МЕТОДОМ ПРОМЕЖУТКОВ
  
  

• 18 слайд

  Неравенства, содержащие выражение
  под знаком модуля
  
  Определяем знаки на каждом из промежутков, на которые нули функции разбивают область определения функции. Так как на каждом из этих промежутков в отдельности выполняется условие теоремы Больцано-Коши (функция на данных промежутках непрерывна и не имеет нулей), следовательно, функция сохраняет на каждом из них свой знак “+” или “-“, который можно установить с помощью контрольной точки, взятой произвольно из этого промежутка:
  
  
  
  
  
  
  
  На основании теоремы Больцано-Коши делаем вывод: на
  Ответ:
  

• 19 слайд

  Чтобы решить неравенство, содержащее переменную под знаком модуля, надо освободиться от знака модуля, используя следующие эквивалентности:
  1.
  
  
  2.
  
  
  3.
  
  
  4.
  

• 20 слайд

  Неравенства, содержащие выражение под знаком корня или иррациональные неравенства
  1.
  
  1) Вводим функцию:
  
  
  2) D(f) находим из условия существования арифметического квадратного корня, решая систему неравенств:
  
  
  
  

• 21 слайд

  
  
  непрерывна на по теореме: «любая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения».
  3) Находим нули функции, решая уравнение:
  
  
  
  Неравенства, содержащие выражение под знаком корня или иррациональные неравенства
  

• 22 слайд

  4) Исследуем знаки функции, применяя теорему Больцано - Коши. Отмечаем на области определения функции ее нули и составляем таблицу знаков функции:
  Таблица знаков функции
  
  
  
  
  
  
  Определяем знаки на каждом из промежутков, на которые нули функции разбивают область определения функции. Так как на каждом из этих промежутков в отдельности выполняется условие теоремы Больцано - Коши (функция на данных промежутках непрерывна и не имеет нулей), следовательно, функция сохраняет на каждом из них свой знак “+” или “-“, который можно установить с помощью контрольной точки, взятой произвольно из каждого промежутка:
  
  х
  К.т. 0
  -
  
  -1
  
  0,5
  
  1
  
  2
  К.т. -2
  +
  К.т. 3
  +
  f(x)
  

• 23 слайд

  
  
  
  
  
  На основании теоремы Больцано - Коши делаем вывод: на (-;-1) и на (2;).
  Ответ:
  
  Неравенства, содержащие выражение под знаком
  корня или иррациональные неравенства
  

• 24 слайд

  Неравенства, содержащие выражение под знаком
  корня или иррациональные неравенства
  
  2.
  
  1) Вводим функцию:
  2) D(f) находим из условия существования арифметического квадратного корня
  
  
  
  
  непрерывна на по теореме: «любая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения».
  

• 25 слайд

  Неравенства, содержащие выражение под знаком
  корня или иррациональные неравенства
  3) Находим нули функции, решая уравнение:
  
  
  
  
  
  
  Исследуем знаки функции, применяя теорему Больцано-Коши. Отмечаю на области определения функции ее нули и составляю таблицу знаков функции:
  

• 26 слайд

  Неравенства, содержащие выражение под знаком
  корня или иррациональные неравенства
  Таблица знаков функции
  
  
  
  
  
  Определяем знаки на каждом из промежутков, на которые нули функции разбивают область определения функции. Так как на каждом из этих промежутков в отдельности выполняется условие теоремы Больцано-Коши (функция на данных промежутках непрерывна и не имеет нулей), следовательно, функция сохраняет на каждом из них свой знак “+” или “-“, который можно установить с помощью контрольной точки, взятой произвольно из каждого промежутка:
  
  К.т. 10
  -
  
  f(x)
  x
  6
  22
  
  
  К.т. 23
  +
  

• 27 слайд

  Неравенства, содержащие выражение под знаком
  корня или иррациональные неравенства
  
  
  
  На основании теоремы Больцано - Коши делаем вывод:
  на
  
  
  
  Ответ:
  
  

• 28 слайд

  Неравенства, содержащие выражение под знаком
  корня или иррациональные неравенства
  3.
  1) Вводим функцию:
  2) D(f) находим из условия существования арифметического квадратного корня:
  
  
  
  
  непрерывна на и на по теореме: «любая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения».
  
  
  

• 29 слайд

  Неравенства, содержащие выражение под знаком
  корня или иррациональные неравенства
  3) Находим нули функции, решая уравнение:
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  4) Исследуем знаки функции, применяя теорему Больцано - Коши. Отмечаем на области определения функции ее нули и составляю таблицу знаков функции:
  

• 30 слайд

  Неравенства, содержащие выражение под знаком
  корня или иррациональные неравенства
  Таблица знаков функции
  
  
  
  
  
  
  Определяем знаки на каждом из промежутков, на которые нули функции разбивают область определения функции. Так как на каждом из этих промежутков в отдельности выполняется условие теоремы Больцано - Коши (функция на данных промежутках непрерывна и не имеет нулей), следовательно, функция сохраняет на каждом из них свой знак “+” или “-“, который можно установить с помощью контрольной точки, взятой произвольно из каждого промежутка:
  
  х
  К.т. 3
  +
  
  0,5
  
  2
  f(x)
  К.т. 0
  -
  

• 31 слайд

  Неравенства, содержащие выражение под знаком
  корня или иррациональные неравенства
  
  
  
  На основании теоремы Больцано-Коши делаем вывод:
  на
  
  Ответ:
  

• 32 слайд

  Практическая значимость данной работы может служить:
  
  опорным материалом в подготовке учащихся 11 классов к итоговой аттестации по алгебре и началам анализа при решении неравенств;
  
  дополнительным источником для организации самостоятельного изучения метода интервалов при решении неравенств различного типа.
  
  

• 33 слайд

  Используемая литература:
  
  «Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В)». Москва, «Дрофа», 2000 год.
  «3000 конкурсных задач по математике». Москва, Айрис Пресс, Рольф, 1999г.
  «Энциклопедия для детей», том 11-«Математика», «Аванта+».
  «Курс математического анализа». С.М.Никольский, Москва, «Наука», 1973г.