1000

Научная статья на тему: "Дифференциальные уравнения, математическая физика и численные мотоды их решения"

Предпросмотр материала:

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Актюбинский региональный государственный университет

 им. К. Жубанова

 

Кафедра фундаментальной и прикладной математики

 

РЕФЕРАТ

 

по дисциплине: «Дифференциальные уравнения, математическая физика и численные методы их решения»

 

на тему: «Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и их физическое содержание»

 

 

 

 Преподаватель:                                                           Абдикаликова Г.А.                                                                            

 Магистр:                                                                     Мақсұт Т.Ә.

 

 

 

 

 

 

Актобе, 2014

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Краевая задача для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

Заключение

Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

В теории дифференциальных уравнений, начальные и граничные условия — дополнение к основному дифференциальному уравнению (обыкновенному или в частных производных), задающее его поведение в начальный момент времени или на границе рассматриваемой области соответственно.

Обычно дифференциальное уравнение имеет не одно решение, а целое их семейство. Начальные и граничные условия позволяют выбрать из него одно, соответствующее реальному физическому процессу или явлению. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказана теорема существования и единственности решения задачи с начальным условием (т. н. задачи Коши). Для уравнений в частных производных получены некоторые теоремы существования и единственности решений для определенных классов начальных и краевых задач.

Задачи математической физики описывают реальные физические процессы, а потому их постановка должна удовлетворять следующим естественным требованиям:

1.    Решение должно существовать в каком-либо классе функций;

2.    Решение должно быть единственным в каком-либо классе функций;

3.    Решение должно непрерывно зависеть от данных (начальных и граничных условий, свободного члена, коэффициентов и т. д.).

Требование непрерывной зависимости решения обусловливается тем обстоятельством, что физические данные, как правило, определяются из эксперимента приближенно, и поэтому нужно быть уверенным в том, что решение задачи в рамках выбранной математической модели не будет существенно зависеть от погрешности измерений.

 

 

 

 

 

 

 

 

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДУ

Задачу определения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным граничным условиям, будем называть краевой задачей.

Краевые задачи часто возникают в науке и технике (иногда могут встречаться в ходе решения других задач).

Хотя отличие между задачей Коши и задачами, в которых граничные условия заданы в двух или нескольких точках, может показаться незначительным, они  существенно различаются по своей трудности.

Краевая задача - часто встречающаяся в математической физике задача, в которой из класса функций, определенных в данной области, требуется найти функцию, удовлетворяющую на границе (крае) этой области заданным условиям.

К краевым задачам для дифференциальных уравнений сводятся многие математические и физические задачи.

Задача определения состояния статического равновесия закрепленного в граничных сечениях упругого стержня с коэффициентом упругости  под действием внешней силы  сводится к краевой задаче

                               (1)

Аналогично для амплитуды  установившихся гармонических колебаний частоты  получим краевую задачу

    (2)

Здесь   — плотность стержня. В случае задания величины смещения граничных сечений или задания действующих на граничные сечения внешних сил однородные граничные условия следует заменить на неоднородные условия вида

           или                                               (3)

К краевой задаче для системы дифференциальных уравнений второго порядка

                                                                              (4)

сводится задача определения траектории материальной точки массы , выходящей в начальный момент   из заданной точки  и попадающей в момент в точку  

В дальнейшем будут рассматриваться краевые задачи на отрезке  оси х для линейных дифференциальных уравнений второго порядка

                                                                (5)

где  — непрерывные функции на. Введем функцию

                                                                                            (6)

и заметим, что

                                                   (7)

Умножая (5) на р(х) получим

                                                  (8)

где , а через L[y] мы обозначали дифференциальный оператор в левой части (8). Из проведенных рассмотрений следует, что без ограничения общности рассмотрение краевых задач для общего линейного дифференциального уравнения второго порядка (5) может быть сведено к изучению краевых задач для уравнения (8). Краевые задачи для уравнения (8), как правило, рассматриваются линейными граничными условиями вида

                                                                               (9)

где  — заданные числа, некоторые из них могут

быть равны нулю, причем . Если , то соответствующее граничное условие обычно называется условием первого рода; если — условием второго рода, если  одновременно отличны от нуля — условием третьего рода.

Физическая интерпретация условий первого рода — поведение искомой величины на границе:

·         Температура, если рассматривается уравнение теплопроводности

·         Поле скорости, если рассматривается уравнение Стокса

·         Магнитное поле или электрическое поле, если рассматривается некоторое уравнение, получаемое из уравнений Максвелла (тогда краевые условия называют магнитными или электрическими краевыми условиями, соответственно).

Для уравнений различных процессов вторые краевые задачи, в отличие от первых, задаются и интерпретируются по разному, например:

·         Для уравнения теплопроводности интерпретируется как тепловой поток на границе области.

·         Для уравнений, получаемых из уравнений Максвелла интерпретируется как магнитное поле на границе. Такие условия называются магнитными краевыми условиями.

 

Краевые задачи, в которых правая часть уравнения не равна нулю, будем называть неоднородными краевыми задачами.

Краевые задачи для однородного уравнения с однородными граничными условиями будем называть однородными краевыми задачами.

Очевидно, что однородная краевая задача, например, задача всегда имеет тождественно равное нулю, так называемое тривиальное решение у(х) = 0.

Заключение

В данной работе были рассмотрены краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и их физическое содержание. Прежде всего, я выяснила понятие краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Далее изучила постановку краевых задач. Выделила краевые задачи первого, второго и третьего рода, и изучила физический смысл условий краевых задач.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.     Курс высшей математики и математической физики (вып. 7) - Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А. Г. - Дифференциальные уравнения

2.     Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для вузов. В 2 –х т. Т.П: - М.: Интеграл – Пресс, 2002.

 

3.      Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения  (Вся высшая математика в задачах). – М.:УРСС, 2002.

 

 

 

 

0%

Научная статья на тему: "Дифференциальные уравнения, математическая физика и численные мотоды их решения"

    DOCX

31.05.2017

1548

16

Файл будет скачан в формате:

    DOCX

Автор материала

Maksut Tansholpan Abikyzy

Maksut Tansholpan Abikyzy

  • На сайте: 9 лет и 8 месяцев
  • Всего просмотров: 12356
  • Подписчики: 0
  • Всего материалов: 5
  • 12356
    просмотров
  • 5
    материалов
  • 0
    подписчиков

Настоящий материал опубликован пользователем Maksut Tansholpan Abikyzy.
Инфоурок является информационным посредником. Всю ответственность за опубликованные материалы несут пользователи, загрузившие материал на сайт. Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете на материал.

ИИ для создания материалов

Создавайте материалы с ИИ

Если готовые материалы не подошли — помогут нейросети

Конспекты, тесты, презентации, рабочие листы и другие материалы по ФГОС — под ваш урок, класс и цели занятия за пару минут.

Попробовать бесплатно

Выберите инструмент

~150

Нейросети могут ошибаться. Обязательно проверяйте ответы.

Курсы по теме

Перейти в каталог курсов

Мини-курсы по теме

Перейти в каталог мини-курсов

Найдите подходящий для Вас курс

Найдите подходящий для Вас курс

В каталоге 7 450 курсов по разным направлениям

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы: