Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Научная работа по теме "Системы массового обслуживания"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Научная работа по теме "Системы массового обслуживания"

библиотека
материалов


Научно - исследовательская работа по математике

на тему: «Системы массового обслуживания»


Содержание.

Введение.

Раздел 1. Основные виды систем массового обслуживания.

§ 1. Основные понятия теории массового обслуживания.

§ 2 Виды СМО .

Пункт 1.Одноканальная СМО с отказами.

Пункт 2 . Многоканальная СМО с отказами (задача Эрланга).

Пункт 3. Одноканальная СМО с неограниченной очередью.

Пункт 4. Многоканальная СМО с неограниченной очередью.

Пункт 5. СМО с фиксированным временем обслуживания.

Пункт 6. Одноканальная СМО с ограниченной очередью.

Пункт 7. Многоканальная СМО с ограниченной очередью.

Пункт 8. Замкнутая СМО.

Пункт 9. СМО с ограниченным временем ожидания.


Раздел 2. Исследовательское изучение различных систем массового обслуживания.

Пункт 1.Одноканальная СМО с отказами.

Пункт 2 . Многоканальная СМО с отказами (задача Эрланга).

Пункт 3. Одноканальная СМО с неограниченной очередью.

Пункт 4. Многоканальная СМО с неограниченной очередью.

Пункт 5. СМО с фиксированным временем обслуживания.

Пункт 6. Одноканальная СМО с ограниченной очередью.

Пункт 7. Многоканальная СМО с ограниченной очередью.

Пункт 8. Замкнутая СМО.

Пункт 9. СМО с ограниченным временем ожидания

Приложение.












Введение.


В настоящее время, когда многие предприятия и организации нацелены на оказание разнообразных услуг населению , возникает вопрос о изучении и исследовании систем массового обслуживания. Правильно и грамотно проведенное исследование позволяет оценить возможную линию организации обслуживания, выбрать наиболее эффективный способ выполнения заявок потребителей.

На данный момент теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях математические методы решения задач теории массового обслуживания.

Не ставя своей целью охватить огромное количество вопросов темы «Системы массового обслуживания», которые достаточно подробно освещены в различных учебниках по высшей математике и учебных пособиях, мы считаем необходимым остановиться на вероятностных оценках различных характеристик основных видов систем массового обслуживания.

Объектом нашего исследования являются различные виды систем массового обслуживания.

Предмет – вероятностные оценки различных характеристик видов систем массового обслуживания.

Задачи научного исследования:

1. На основе анализа учебной и научно-популярной литературы по теме «Системы массового обслуживания» показать особенности различных видов СМО.

2. Обосновать необходимость применения математических расчетов при организации работы на любом объекте в СМО.

3. Классифицировать основные виды СМО.

4. Провести исследование характеристик различных видов СМО и показать эффективность такого исследования.

Цель работы: определение содержания, видов, форм, методов исследования систем массового исследования.

Практическая значимость научной работы: проведенные исследования могут быть использованы для улучшения результатов работы различных видов систем массового обслуживания.

Актуальность темы: образовательное учреждение «Профессиональный лицей № 2» является системой массового обслуживания и готовит специалистов, которые будут предоставлять услуги населению, а следовательно, также работать в системе массового обслуживания.







Раздел 1. Основные виды систем массового обслуживания.


§ 1. Основные понятия теории массового обслуживания.


Теория массового обслуживания ( или теория очередей) имеет дело с процессами, для которых характерна следующая структура. В систему массового обслуживания ( СМО ) ( это могут быть линии связи , приёмные пункты, подъездные пути, технологические агрегаты, ремонтные бригады и т.д.) в случайные моменты времени поступают заявки( или требования). Заявки на обслуживание образуют входной поток. Если есть свободные каналы обслуживания, то требование выполняется. Если все каналы обслуживания заняты, то требование становиться в очередь по определённым правилам или без обслуживания покидает систему. Выполненные требования образуют выходной поток. В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения задач, в которых поток требований является простейшим с интенсивностью λ (среднее число требований, поступающих в единицу времени).

СМО состоит из определенного числа обслуживающих единиц- каналов обслуживания. Различают одноканальные СМО и многоканальные СМО.

Дисциплина очереди задает порядок прохождения заявки через очередь. Заявки из очереди могут выполняться в порядке поступления, с приоритетом, в случайном порядке и т.д. Очередь может быть конечной или бесконечной. СМО с очередями называют также СМО с ожиданием. Очереди могут ограничиваться по длине (по числу находящихся в ней заявок) или по времени ожидания обслуживания. В СМО с отказом в момент, когда заняты все обслуживающие каналы, получают отказ.

Время обслуживания требований в системе является случайной величиной и обычно описывается экспоненциальным (показательным) законом распределения ( то есть распределение длительности оставшейся части работ по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалось) с интенсивностью μ ( среднее число требований, выполняемых в единицу времени). Это обусловлено рядом причин:

  1. отсутствует последствия;

  2. простотой и удобством аналитических выражений;

  3. именно так устроены многие реальные системы.

Формально показательное распределение времени обслуживания имеет вид: Рt et ( t ≥0) Тогда среднее время обслуживания одним каналом одного требования t обсл = 1/μ.

Коэффициент загрузки СМО ( среднее число каналов, которое должно быть для обслуживания в единицу времени всех поступающих требований) р = λ/μ.



§ 2 Виды СМО .


Пункт 1.Одноканальная СМО с отказами.


СМО содержит один обслуживающий канал. На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Образование очереди не допускается. Если заявка застала обслуживающий канал занятым, то она покидает систему. -

Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с периметром μ. Среднее время обслуживания одной заявки t обсл = 1/ μ

Возможные состояния СМО Sо (канал свободен) и S1 (канал занят).

Нас интересуют следующие показатели эффективности работы СМО:

  1. абсолютная пропускная способность А (среднее число заявок, которое СМО может обслужить в единицу времени);

  2. относительная пропускная способность Q (отношение среднего числа обслуживаемых в единицу времени заявок к среднему числу поступивших за это время заявок);

  3. вероятность отказа ротк (вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной).


Пункт 2 . Многоканальная СМО с отказами (задача Эрланга).


СМО содержит п обслуживающих каналов. На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Образование очереди не допускается. Если заявка застала все обслуживающие каналы занятыми, то она покидает систему. Если в момент поступления требования имеется свободный канал, то он немедленно приступает к обслуживанию поступившего требования. Каждый канал может одновременно обслуживать только одно требование. Все каналы функционируют независимо.

Время обслуживание заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ. Среднее время обслуживания одной заявки tобсл =1/μ

Возможные состояния СМО S0 (все каналы свободны), S1 (один канал занят, остальные свободны), S2 ( два канала заняты, остальные свободны),…Sn ( все каналы заняты).

Приведенная интенсивность потока заявок ( интенсивность нагрузки канала) p=λ/μ/

Нас интересуют следующие показатели эффективности работы СМО:

  1. абсолютная пропускная способность А ( среднее число заявок, которое СМО может обслужить в единицу времени);

  2. относительная пропускная способность Q ( отношение среднего числа обслуживающих в единицу времени заявок к среднему числу поступивших за это время заявок);

  3. вероятность отказа ротк (вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной);

  4. ро (вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны);

  5. рk (вероятность того, что в системе k требований);

  6. среднее число свободных от обслуживания каналов No;

  7. коэффициент простоя каналов Кпр;

  8. среднее число занятых обслуживанием каналов Nзан;

  9. коэффициент загрузки каналов Кзан.


Для снижения вероятности отказа нужно увеличить число каналов обслуживания.


Пункт 3. Одноканальная СМО с неограниченной очередью.

СМО содержит один обслуживающий канал. На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Если заявка застала обслуживающий канал занятым, то она встает в очередь и ожидает начала обслуживания.

Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ. Среднее время обслуживания одной заявки t обсл = 1/μ.

Возможные состояния СМО Sо (канал свободен), S1 (канал занят, очереди нет), S2 (канал занят, в очереди одна заявка), S3 (канал занят, в очереди две заявки) и т.д.



Пункт 4. Многоканальная СМО с неограниченной очередью.

СМО содержит п обслуживающих каналов. На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Если в момент поступления требования имеется свободный канал, то он немедленно приступает к обслуживанию поступившего требования. Каждый канал может одновременно обслуживать только одно требование. Все каналы функционируют независимо. Если заявка застала все обслуживающие каналы занятыми, то она встает в очередь и ожидает начала обслуживания.

Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ. Среднее время обслуживания одной заявки t обсл = 1/μ.

Возможные состояния СМО S0 (все каналы свободны), S1 (один канал занят, остальные свободны), S2 ( два канала заняты, остальные свободны), Sп (все каналы заняты), Sп+1 ( все каналы заняты, в очереди одна заявка), Sп+2 (все каналы заняты, в очереди две заявки) и т.д.


Пункт 5. СМО с фиксированным временем обслуживания.

Некоторые СМО имеют постоянное, а не экспоненциальное распределение времени обслуживания. В таких системах заявки обслуживаются в течение фиксированного периода времени t обсл.

На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивность выходного потока μ= 1/tобсл. Каковы параметры системы? Ограничимся рассмотрением одноканальной СМО.

Средняя длина очереди L оч = λ2

2μ(μ – λ)

Среднее время ожидания в очереди Точ = Lоч

Среднее число заявок в системе Lсист = Lоч +λ/μ

Среднее время пребывание заявки в системе Тсист= Lсист/λ = (Lоч + λ/μ)/λ = Lоч/ λ + ( λ/μ)/λ = Точ +1/μ= Точ + tобсл



Пункт 6. Одноканальная СМО с ограниченной очередью.

СМО содержит один обслуживающий канал. На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Если заявка застала обслуживающий канал занятым, то она встает в очередь и ожидает начала обслуживания. Число мест в очереди ограничено и равно m. Если заявка застала обслуживающий канал занятым и в очереди нет свободных мест, то она покидает систему необслуженной.

Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ. Среднее время облуживания одной заявки tобсл = 1/μ

Возможные состояния СМО Sо ( канал свободен), S1 (канал занят, очереди нет), S1+1 (канал занят, в очереди одна заявка), S1+2 (канал занят , в очереди две заявки),.. S1+m (канал занят, в очереди m заявок).


Пункт 7. Многоканальная СМО с ограниченной очередью.

СМО содержит n обслуживающих каналов. На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Если в момент поступления требования имеется свободный канал, то он немедленно приступает к обслуживанию поступившего требования. Каждый канал может одновременно обслуживать только одно требование. Все каналы функционируют независимо. Если заявка застала все обслуживающие каналы занятыми, то она встает в очередь в ожидании начала обслуживания. Число мест в очереди ограничено и равно m. Если заявка застала все обслуживающие каналы занятыми и в очереди нет свободных мест, то она покидает систему необслуженной.

Время обслуживании заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ. Среднее время обслуживания одной заявки tобсл = 1/μ.

Возможные состояния СМО Sо ( все каналы свободны), S1 (один канал занят, остальные свободны), S2 (два канала заняты, остальные свободны), …,Sп (все каналы заняты , в очереди одна заявка), S1+п (все каналы заняты, в очереди две заявки),…, Sn+m (все каналы занят, в очереди m заявок)


Пункт 8. Замкнутая СМО.

СМО содержит п обслуживающих каналов. На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Если в момент поступления требования имеется свободный канал, то он немедленно приступает к обслуживанию поступившего требования. Каждый канал может одновременно обслуживать только одно требование. Все каналы функционируют независимо. Если заявка застала все обслуживающие каналы занятыми, то она встает в очередь и ожидает начала обслуживания. Требования на обслуживания поступают от m обслуживаемых объектов, то есть поток поступающих требований ограничен.

Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ. Среднее время обслуживания одной заявки tобсл = 1/μ..

Существует взаимосвязь между длиной очереди и темпом поступления заявок: чем длиннее очередь на обслуживание, тем ниже темп поступления новых заявок.


Пункт 9. СМО с ограниченным временем ожидания.

Очень часто встречаются СМО с нетерпеливыми заявками. Такие заявки могут уйти из очереди, если время ожидания превышает некоторую величину. Например, срочные сообщения теряют смысл, если не поступят на обслуживание в течение определенного времени.

Предполагается, что заявка может находиться в очереди случайное время, которое подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром v, то есть v – среднее количество требований, покидающих очередь в единицу времени, вызванное появлением в очереди одного требования.

Среднее время ожидания в очереди tожидания=1/v

СМО содержит п обслуживающих каналов. На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Если в момент поступления требования имеется свободный канал, то он немедленно приступает к обслуживанию поступившего требования. Каждый канал может одновременно обслуживать только одно требование. Все каналы функционируют независимо. Если заявка застала все обслуживающие каналы занятыми, то она встает в очередь в ожидании начала обслуживания.

Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ. Среднее время обслуживания одной заявки tобсл = 1/μ..

Возможные состояния СМО Sо ( все каналы свободны), S1 (один канал занят, остальные свободны), S2 (два канала заняты, остальные свободны), …,Sп (все каналы заняты , ), S1+п (все каналы заняты, в очереди одна заявка),…, Sn+2 (все каналы заняты, в очереди две заявки) и т.д.





Раздел 2. Исследовательское изучение различных систем массового обслуживания.


Пункт 1. Одноканальная СМО с отказами.


Задача 1. Одноканальная телефонная линия. Заявка-вызов, поступившая в момент, когда линия занята, получает отказ. Простейший поток заявок поступает с интенсивностью λ = 50 звонков/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения.Средняя продолжительность разговора hello_html_m38e5cdf9.gif= 3 мин. Определим показатели эффективности работы СМО.


Решение: Данная телефонная линия- это одноканальная СМО с отказами. Время обслуживания hello_html_m38e5cdf9.gif= 3 мин. = 3/60 ч = 0,05 ч. Тогда интенсивность обслуживания μ = 1/hello_html_m38e5cdf9.gif= 1/0,05 = 20 звонков/ч.

Пусть phello_html_7cec0eee.gif – предельная вероятность состояния Shello_html_7cec0eee.gif(канал свободен). Пусть phello_html_m34745add.gif – предельная вероятность состояния Shello_html_m34745add.gif(канал занят). Тогда phello_html_m34745add.gif= hello_html_4eeb62f6.gif phello_html_7cec0eee.gif= =2,5 phello_html_7cec0eee.gif.

Так как phello_html_7cec0eee.gif+ phello_html_m34745add.gif=1, то 1= phello_html_7cec0eee.gif+ 2,5 phello_html_7cec0eee.gif = 3,5 phello_html_7cec0eee.gif. Отсюда phello_html_7cec0eee.gif= 1/3,5 = 0,286.

Тогда phello_html_m34745add.gif= 2,5 phello_html_7cec0eee.gif=0,714.

Вероятность отказа phello_html_m74c69677.gif- это вероятность того, что линия занята, то есть предельная вероятность состояния Shello_html_m34745add.gif. Поэтому phello_html_m74c69677.gif= phello_html_m34745add.gif= 0,714.

Относительная пропускная способность Q = 1 - phello_html_m74c69677.gif= 1- 0,714 = 0,286. Это вероятность того, что заявка будет обслужена.

Абсолютная пропускная способность А = λ·Q = 50·0,286 = 14,3 звонка/ч, то есть в среднем в час СМО обслуживает 14,3 звонка.hello_html_m53d4ecad.gif

Мы видим, что номинальная пропускная способность телефонной линии μ = 20 звонков /ч отличается от абсолютной пропускной способности А = 14,3 звонка/ч из-за случайного характера потока звонков и случайности времени обслуживания.


Задача 2. Одноканальная телефонная линия. Заявка-вызов, поступившая в момент, когда линия занята, получает отказ. Простейший поток заявок поступает с интенсивностью λ = 60 звонков/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения.Средняя продолжительность разговора hello_html_m38e5cdf9.gif= 2,5 мин. Определим показатели эффективности работы СМО.


Решение: Данная телефонная линия- это одноканальная СМО с отказами. Время обслуживания hello_html_m38e5cdf9.gif= 2,5 мин. = 2,5/60 ч = 1/24 ч. Тогда интенсивность обслуживания μ = 1/hello_html_m38e5cdf9.gif= 24 звонка/ч.

Пусть phello_html_7cec0eee.gif – предельная вероятность состояния Shello_html_7cec0eee.gif(канал свободен). Пусть phello_html_m34745add.gif – предельная вероятность состояния Shello_html_m34745add.gif(канал занят). Тогда phello_html_m34745add.gif= hello_html_1b2d7a4e.gif phello_html_7cec0eee.gif= =2,5 phello_html_7cec0eee.gif.

Так как phello_html_7cec0eee.gif+ phello_html_m34745add.gif=1, то 1= phello_html_7cec0eee.gif+ 2,5 phello_html_7cec0eee.gif = 3,5 phello_html_7cec0eee.gif. Отсюда phello_html_7cec0eee.gif= 1/3,5 = 0,286.

Тогда phello_html_m34745add.gif= 2,5 phello_html_7cec0eee.gif=0,714.

Вероятность отказа phello_html_m74c69677.gif- это вероятность того, что линия занята, то есть предельная вероятность состояния Shello_html_m34745add.gif. Поэтому phello_html_m74c69677.gif= phello_html_m34745add.gif= 0,714.

Относительная пропускная способность Q = 1 - phello_html_m74c69677.gif= 1- 0,714 = 0,286. Это вероятность того, что заявка будет обслужена.

Абсолютная пропускная способность А = λ·Q = 60·0,286 = 17,16 звонков/ч, то есть в среднем в час СМО обслуживает 17,16 звонка.hello_html_m53d4ecad.gif

Мы видим, что номинальная пропускная способность телефонной линии μ = 24 звонка /ч отличается от абсолютной пропускной способности А = 17,16 звонка/ч из-за случайного характера потока звонков и случайности времени обслуживания.


Пункт 2. Многоканальная СМО с отказами.


Задача 1. Трехканальная телефонная линия. Заявка-вызов, поступившая в момент, когда все n = 3 канала заняты, получает отказ. Простейший поток заявок поступает с интенсивностью λ = 60 звонков/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения.Средняя продолжительность разговора hello_html_m38e5cdf9.gif= 3 мин. Определим показатели эффективности работы СМО.


Решение: Данная телефонная линия- это многоканальная СМО с отказами. Время обслуживания hello_html_m38e5cdf9.gif= 3 мин. = 3/60 ч = 0,05 ч. Тогда интенсивность обслуживания μ = 1/hello_html_m38e5cdf9.gif= 1/0,05 = 20 звонков/ч. Приведенная интенсивность потока заявок ρ = λ/μ =60/20 = 3.

Пусть phello_html_7cec0eee.gif – предельная вероятность состояния Shello_html_7cec0eee.gif( все каналы свободны). Пусть phello_html_m34745add.gif – предельная вероятность состояния Shello_html_m34745add.gif( один канал занят). Тогда phello_html_m34745add.gif= λ/μ ·phello_html_7cec0eee.gif= ρ· phello_html_7cec0eee.gif=3phello_html_7cec0eee.gif. Аналогично phello_html_m4bcd60e4.gif= λ/(2μ) phello_html_m34745add.gif= ρ/2· phello_html_m34745add.gif=3/2·3 phello_html_7cec0eee.gif= 4,5phello_html_7cec0eee.gif ; phello_html_593ecfc6.gifhello_html_m53d4ecad.gif= λ/(3μ) ·phello_html_m4bcd60e4.gif= ρ/3· phello_html_m4bcd60e4.gif=3/3·4,5phello_html_7cec0eee.gif= 4,5phello_html_7cec0eee.gif.

Так как phello_html_7cec0eee.gif+ phello_html_m34745add.gif+ phello_html_m4bcd60e4.gif+ phello_html_593ecfc6.gif =1, то 1= phello_html_7cec0eee.gif+ 3phello_html_7cec0eee.gif+4,5phello_html_7cec0eee.gif+4,5phello_html_7cec0eee.gif = 13phello_html_7cec0eee.gif. Отсюда phello_html_7cec0eee.gif= 1/13 = 0,077 (вероятность того ,что все обслуживающие каналы свободны). Тогда phello_html_m34745add.gif= 3 phello_html_7cec0eee.gif=0,231, phello_html_m4bcd60e4.gif= 4,5 phello_html_7cec0eee.gif= 0,346, phello_html_593ecfc6.gif= 4,5phello_html_7cec0eee.gif= 0,346 . Мы нашли вероятности того, что в системе к требований , к = 0,1,2,3.

Вероятность отказа phello_html_m74c69677.gif- это вероятность того, что все каналы заняты, то есть предельная вероятность состояния Shello_html_593ecfc6.gif. Поэтому phello_html_m74c69677.gif= phello_html_593ecfc6.gif= 0,346.

Относительная пропускная способность Q = 1 - phello_html_m74c69677.gif= 1- 0,346 = 0,654. Это вероятность того, что заявка будет обслужена.

Абсолютная пропускная способность А = λ·Q = 60·0,654 = 39,24 звонка/ч, то есть в среднем в час СМО обслуживает 39,24 звонка.hello_html_m53d4ecad.gif

Среднее число свободных от обслуживания каналов Nhello_html_7cec0eee.gif есть математическое ожидание числа свободных каналов, то есть число свободных каналов в каждом состоянии надо умножить на предельную вероятность этого состояния и полученные произведения сложить: Nhello_html_7cec0eee.gif= 3· phello_html_7cec0eee.gif+2 ·phello_html_m34745add.gif+1· phello_html_m4bcd60e4.gif+ 0· phello_html_593ecfc6.gif= 3·0,077 + 2·0,231 + 1·0,346 = 1,039.

Коэффициент простоя каналов Кhello_html_m38f42a52.gif= Nhello_html_7cec0eee.gif/n = 1,039/3 = 0,346.

Среднее число занятых обслуживанием каналов Nhello_html_d42ba78.gif= А/ μ = (λ·Q)/ μ = ρQ =

= 3·0,654 = 1,962. Мы видим ,что из-за ошибок округления n = Nhello_html_7cec0eee.gif+ + Nhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_d42ba78.gif= 1,039 + 1,962 = 3,001.

Коэффициент загрузки каналов Кhello_html_d42ba78.gif = Nhello_html_d42ba78.gif/ n = 1,962/3 = 0,654.


Задача 2. Трехканальная телефонная линия. Заявка-вызов, поступившая в момент, когда все n = 3 канала заняты, получает отказ. Простейший поток заявок поступает с интенсивностью λ = 50 звонков/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения.Средняя продолжительность разговора hello_html_m38e5cdf9.gif= 2,5 мин. Определим показатели эффективности работы СМО.


Решение: Данная телефонная линия- это многоканальная СМО с отказами. Время обслуживания hello_html_m38e5cdf9.gif= 2,5 мин. = 2,5/60 ч = 1/24 ч. Тогда интенсивность обслуживания μ = 1/hello_html_m38e5cdf9.gif= 1/0,04 = 24 звонков/ч. Приведенная интенсивность потока заявок ρ = λ/μ =50/24 = 2,1.

Пусть phello_html_7cec0eee.gif – предельная вероятность состояния Shello_html_7cec0eee.gif( все каналы свободны). Пусть phello_html_m34745add.gif – предельная вероятность состояния Shello_html_m34745add.gif( один канал занят). Тогда phello_html_m34745add.gif= λ/μ ·phello_html_7cec0eee.gif= ρ· phello_html_7cec0eee.gif=2,1phello_html_7cec0eee.gif. Аналогично phello_html_m4bcd60e4.gif= λ/(2μ) phello_html_m34745add.gif= ρ/2· phello_html_m34745add.gif=2,1/2·2,1 phello_html_7cec0eee.gif= 2,2phello_html_7cec0eee.gif ; phello_html_593ecfc6.gifhello_html_m53d4ecad.gif= λ/(3μ) ·phello_html_m4bcd60e4.gif= ρ/3· phello_html_m4bcd60e4.gif=2,1/3·2,2phello_html_7cec0eee.gif= 1,5phello_html_7cec0eee.gif.

Так как phello_html_7cec0eee.gif+ phello_html_m34745add.gif+ phello_html_m4bcd60e4.gif+ phello_html_593ecfc6.gif =1, то 1= phello_html_7cec0eee.gif+ 2,1phello_html_7cec0eee.gif+2,2phello_html_7cec0eee.gif+1,5phello_html_7cec0eee.gif = 6,8phello_html_7cec0eee.gif. Отсюда phello_html_7cec0eee.gif= 1/6,8 = 0,147 (вероятность того ,что все обслуживающие каналы свободны). Тогда phello_html_m34745add.gif= 2,1 phello_html_7cec0eee.gif=0,309 , phello_html_m4bcd60e4.gif= 2,2 phello_html_7cec0eee.gif= 0,323 , phello_html_593ecfc6.gif= 1,5phello_html_7cec0eee.gif= 0,221 . Мы нашли вероятности того, что в системе к требований , к = 0,1,2,3.

Вероятность отказа phello_html_m74c69677.gif- это вероятность того, что все каналы заняты, то есть предельная вероятность состояния Shello_html_593ecfc6.gif. Поэтому phello_html_m74c69677.gif= phello_html_593ecfc6.gif= 0,221.

Относительная пропускная способность Q = 1 - phello_html_m74c69677.gif= 1- 0,221 = 0,779. Это вероятность того, что заявка будет обслужена.

Абсолютная пропускная способность А = λ·Q = 50·0,779 = 38,95 звонка/ч, то есть в среднем в час СМО обслуживает 38,95 звонка.hello_html_m53d4ecad.gif

Среднее число свободных от обслуживания каналов Nhello_html_7cec0eee.gif есть математическое ожидание числа свободных каналов, то есть число свободных каналов в каждом состоянии надо умножить на предельную вероятность этого состояния и полученные произведения сложить: Nhello_html_7cec0eee.gif= 3· phello_html_7cec0eee.gif+2 ·phello_html_m34745add.gif+1· phello_html_m4bcd60e4.gif+ 0· phello_html_593ecfc6.gif= 3·0,147 + 2·0,309 + 1·0,323 = 1,382.

Коэффициент простоя каналов Кhello_html_m38f42a52.gif= Nhello_html_7cec0eee.gif/n = 1,382/3 = 0,466.

Среднее число занятых обслуживанием каналов Nhello_html_d42ba78.gif= А/ μ = (λ·Q)/ μ = ρQ =

= 2,1·0,779 = 1,636. Мы видим ,что из-за ошибок округления n = Nhello_html_7cec0eee.gif+ + Nhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_d42ba78.gif= 1,382 + 1,636 = 3,018.

Коэффициент загрузки каналов Кhello_html_d42ba78.gif = Nhello_html_d42ba78.gif/ n = 1,636/3 = 0,545.


Пункт 3 . Одноканальная СМО с неограниченной очередью.


Задача №1. Магазин с одним продавцом. Предполагается, что простейший поток покупателей поступает с интенсивностью λ = 20 человек/ч. Время обслуживания заявки - случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 25 человек/ч. Определим:

1) среднее время пребывания покупателя в очереди;

2) среднюю длину очереди;

3) среднее число покупателей в магазине;

4) среднее время пребывания покупателя в магазине;

5) вероятность того ,что в магазине не окажется покупателей;

6) вероятность того , что в магазине окажется ровно 4 покупателя.


Решение: Данный магазин – одноканальная СМО с неограниченной очередью. Так как ρ = λ/μ =20/25 = 0,8 < 1, то существуют предельные вероятности.

Вероятность того, что в магазине не окажется покупателей, равна phello_html_7cec0eee.gif= 1 - ρ = 1 – 0,8 = 0,2.

Вероятность того , что в магазине окажется ровно 4 покупателя, равна phello_html_m2d087c03.gif= =ρhello_html_297a2b59.gif· phello_html_7cec0eee.gif = 0,8hello_html_297a2b59.gif·0,2 = 0,082.

Средняя длина очереди Lhello_html_66274424.gif=hello_html_mc05b1dc.gif= hello_html_m212f0fdb.gif= 3,2.

Среднее время пребывания покупателя в очереди Thello_html_66274424.gif = Lhello_html_66274424.gif/λ = 3,2/20 = 0,16 ч = 0,16 ·60 мин = 9,6 мин.

Среднее число покупателей в магазине Lhello_html_m1a859d71.gif= hello_html_m78edf281.gif= 0,8/(1 – 0,8) = 4.

Среднее время пребывания покупателя в магазине Thello_html_m1a859d71.gif= Lhello_html_m1a859d71.gif/ λ = 4/20 = 0,2 ч = 0,2·60 мин = 12 мин.

Задача № 2. Магазин с одним продавцом. Предполагается, что простейший поток покупателей поступает с интенсивностью λ = 10 человек/ч. Время обслуживания заявки - случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 15 человек/ч. Определим:

1) среднее время пребывания покупателя в очереди;

2) среднюю длину очереди;

3) среднее число покупателей в магазине;

4) среднее время пребывания покупателя в магазине;

5) вероятность того ,что в магазине не окажется покупателей;

6) вероятность того , что в магазине окажется ровно 4 покупателя.


Решение: Данный магазин – одноканальная СМО с неограниченной очередью. Так как ρ = λ/μ =10/15 = 0,66 < 1, то существуют предельные вероятности.

Вероятность того, что в магазине не окажется покупателей, равна phello_html_7cec0eee.gif= 1 - ρ = 1 – 0,66 = 0,34.

Вероятность того , что в магазине окажется ровно 4 покупателя, равна phello_html_m2d087c03.gif= =ρhello_html_297a2b59.gif· phello_html_7cec0eee.gif = 0,66hello_html_297a2b59.gif·0,34 = 0,065.

Средняя длина очереди Lhello_html_66274424.gif=hello_html_mc05b1dc.gif= hello_html_m283ab7ba.gif= 1,281.

Среднее время пребывания покупателя в очереди Thello_html_66274424.gif = Lhello_html_66274424.gif/λ = 1,281/10 = 0,128 ч = 0,128 ·60 мин = 7,68 мин.

Среднее число покупателей в магазине Lhello_html_m1a859d71.gif= hello_html_m78edf281.gif= 0,66/(1 – 0,66) = 1,941.

Среднее время пребывания покупателя в магазине Thello_html_m1a859d71.gif= Lhello_html_m1a859d71.gif/ λ = 1,941/10 = 0,194 ч = 0,194·60 мин = 11,64 мин.


Задача № 3. Буфет лицея с одним продавцом. Предполагается, что простейший поток покупателей поступает с интенсивностью λ = 26 человек/ч. Время обслуживания заявки - случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 30 человек/ч. Определим:

1) среднее время пребывания покупателя в очереди;

2) среднюю длину очереди;

3) среднее число покупателей в буфете;

4) вероятность того ,что в буфете не окажется покупателей;

5) вероятность того , что в буфете окажется ровно 4 покупателя.


Решение: Данный буфет – одноканальная СМО с неограниченной очередью. Так как ρ = λ/μ =26/30 = 0,87 < 1, то существуют предельные вероятности.

Вероятность того, что в буфете не окажется покупателей, равна phello_html_7cec0eee.gif= 1 - ρ = 1 – 0,87 = 0,13.

Вероятность того , что в очереди в буфете окажется ровно 4 покупателя, равна phello_html_m2d087c03.gif= =ρhello_html_297a2b59.gif· phello_html_7cec0eee.gif = 0,87hello_html_297a2b59.gif·0,13 = 0,074.

Средняя длина очереди Lhello_html_66274424.gif=hello_html_mc05b1dc.gif= hello_html_m1b971921.gif= 5,822.

Среднее время пребывания покупателя в очереди Thello_html_66274424.gif = Lhello_html_66274424.gif/λ = 5,822/26 = 0,224 ч = 0,224 ·60 мин = 13,44 мин.

Среднее число покупателей в буфете Lhello_html_m1a859d71.gif= hello_html_m78edf281.gif= 0,87/(1 – 0,87) = 6,69.


Пункт 4 . Многоканальная СМО с неограниченной очередью.


Задача №1. Магазин с двумя продавцами. Предполагается, что простейший поток покупателей поступает с интенсивностью λ = 20 человек/ч. Время обслуживания заявки - случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 25 человек/ч. Определим:

1) среднее время пребывания покупателя в очереди;

2) среднюю длину очереди;

3) среднее число покупателей в магазине;

4) среднее время пребывания покупателя в магазине;

5) вероятность того ,что в магазине не окажется покупателей;

6) вероятность того , что в магазине окажется ровно 4 покупателя.


Решение: Данный магазин – двухканальная СМО с неограниченной очередью. Так как ρ = λ/μ =20/25 = 0,8 ; ρ/2 = λ/2μ =20/50 = 0,4 < 1, то существуют предельные вероятности.

Вероятность того, что в магазине не окажется покупателей, равна phello_html_7cec0eee.gif= =hello_html_m2399891a.gif= hello_html_m624ea4f2.gif=0,429.

Вероятность того , что в магазине окажется ровно 4 покупателя (то есть 2 покупателя обслуживаются и еще 2 покупателя в очереди), равна phello_html_5339c84c.gif=hello_html_m3890b39b.gif phello_html_7cec0eee.gif =phello_html_mb5eb799.gif=hello_html_m793e60c8.gif=0,022.

Средняя длина очереди Lhello_html_66274424.gif=hello_html_4522fdcb.gif phello_html_7cec0eee.gif= hello_html_m9a7805d.gif·0,429 = 0,153.

Среднее время пребывания покупателя в очереди Thello_html_66274424.gif = Lhello_html_66274424.gif/λ = 0,153/20 = 0,008 ч = 0,008 ·60 мин = 0,48 мин.

Среднее число покупателей в магазине Lhello_html_m1a859d71.gif= Lhello_html_66274424.gif+ ρ = 0,153 + 0,8 = 0,953.

Среднее время пребывания покупателя в магазине Thello_html_m1a859d71.gif= Lhello_html_m1a859d71.gif/ λ = 0,953/20 = 0,048 ч = 0,048·60 мин = 2,88 мин.



Задача № 2. Магазин с двумя продавцами. Предполагается, что простейший поток покупателей поступает с интенсивностью λ = 10 человек/ч. Время обслуживания заявки - случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 15 человек/ч. Определим:

1) среднее время пребывания покупателя в очереди;

2) среднюю длину очереди;

3) среднее число покупателей в магазине;

4) среднее время пребывания покупателя в магазине;

5) вероятность того ,что в магазине не окажется покупателей;

6) вероятность того , что в магазине окажется ровно 4 покупателя.


Решение: Данный магазин – двухканальная СМО с неограниченной очередью. Так как ρ = λ/μ =10/15 = 0,67 ; ρ/2 = λ/2μ =10/30 = 0,33 < 1, то существуют предельные вероятности.

Вероятность того, что в магазине не окажется покупателей, равна phello_html_7cec0eee.gif= =hello_html_m2399891a.gif= hello_html_m570d12a5.gif=0,498.

Вероятность того , что в магазине окажется ровно 4 покупателя (то есть 2 покупателя обслуживаются и еще 2 покупателя в очереди), равна phello_html_5339c84c.gif=hello_html_m3890b39b.gif phello_html_7cec0eee.gif =phello_html_mb5eb799.gif=hello_html_m62b251b3.gif=0,025.

Средняя длина очереди Lhello_html_66274424.gif=hello_html_4522fdcb.gif phello_html_7cec0eee.gif= hello_html_m2003cb97.gif·0,498 = 0,085.

Среднее время пребывания покупателя в очереди Thello_html_66274424.gif = Lhello_html_66274424.gif/λ = 0,085/10 = 0,0085 ч = 0,0085 ·60 мин = 0,51 мин.

Среднее число покупателей в магазине Lhello_html_m1a859d71.gif= Lhello_html_66274424.gif+ ρ = 0,085 + 0,67 = 0,755.

Среднее время пребывания покупателя в магазине Thello_html_m1a859d71.gif= Lhello_html_m1a859d71.gif/ λ = 0,755/10 = 0,0755 ч = 0,0755·60 мин = 4,53 мин.


Задача № 3. Буфет бассейна с двумя продавцами. Предполагается, что простейший поток покупателей поступает с интенсивностью λ = 70 человек/ч. Время обслуживания заявки - случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 75 человек/ч. Определим:

1) среднее время пребывания покупателя в очереди;

2) среднюю длину очереди;

3) среднее число покупателей в буфете;

4) среднее время пребывания покупателя в буфете;

5) вероятность того ,что в буфете не окажется покупателей;

6) вероятность того , что в буфете окажется ровно 4 покупателя.


Решение: Данный буфет – двухканальная СМО с неограниченной очередью. Так как ρ = λ/μ =70/7510/15 = 0,9367 ; ρ/2 = λ/2μ =70/15010/30 = 0,4733 < 1, то существуют предельные вероятности.

Вероятность того, что в буфете магазине не окажется покупателей, равна phello_html_7cec0eee.gif= =hello_html_m2399891a.gif= hello_html_7a4f20d6.gifhello_html_m570d12a5.gif=0,365498.

Вероятность того , что в буфете магазине окажется ровно 4 покупателя (то есть 2 покупателя обслуживаются и еще 2 покупателя в очереди), равна phello_html_5339c84c.gif=hello_html_m3890b39b.gif phello_html_7cec0eee.gif =phello_html_mb5eb799.gif=hello_html_5a1c6eb1.gifhello_html_m62b251b3.gif=0,068025.

Средняя длина очереди Lhello_html_66274424.gif=hello_html_4522fdcb.gif phello_html_7cec0eee.gif= hello_html_m6cbce158.gifhello_html_m2003cb97.gif·0,365498 = 0,256085.

Среднее время пребывания покупателя в очереди Thello_html_66274424.gif = Lhello_html_66274424.gif/λ = 0,256/70085/10 = 0,00370085 ч = 0,00370085 ·60 мин = 0,22251 мин.

Среднее число покупателей в магазине Lhello_html_m1a859d71.gif= Lhello_html_66274424.gif+ ρ = 0,256085 + 0,93 = 1,18667 = 0,755.

Среднее время пребывания покупателя в магазине Thello_html_m1a859d71.gif= Lhello_html_m1a859d71.gif/ λ = 1,186/70 = 0,01690,755/10 = 0,0755 ч = 0,01690755·60 мин = 1,024,53 мин.


Пункт 5 . СМО с фиксированным временем обслуживания.


Задача № 1. На склад для разгрузки поступает простейший поток грузовиков с интенсивностью λ = 6 грузовиков в час. Разгрузка одного грузовика занимает thello_html_m62269e2.gif = 6 мин = 0,1 ч. Найдем параметры этой одноканальной СМО с фиксированным временем обслуживания.


Решение: Здесь μ = 1/ thello_html_m62269e2.gif= 1/0,1 = 10 грузовиков /ч.

Средняя длина очереди Lhello_html_66274424.gif=hello_html_m14300133.gif = hello_html_132b7b64.gif= 0,45 грузовика.

Среднее время ожидания в очереди Thello_html_66274424.gif = Lhello_html_66274424.gif/λ = 0,45/6 = 0,075 ч = 0,075 ·60 мин = 4,5 мин.

Среднее число грузовиков в системе Lhello_html_m1a859d71.gif= Lhello_html_66274424.gif+ λ/μ = 0,45 + 6/10 = 1,05.

Среднее время пребывания грузовика на складе Thello_html_m1a859d71.gif= Thello_html_66274424.gif+ thello_html_m62269e2.gif = 4,5 мин + 6 мин = 10,5 мин.


Задача № 2. На склад для разгрузки поступает простейший поток грузовиков с интенсивностью λ = 3 грузовика в час. Разгрузка одного грузовика занимает thello_html_m62269e2.gif = 15 мин = 0,25 ч. Найдем параметры этой одноканальной СМО с фиксированным временем обслуживания.


Решение: Здесь μ = 1/ thello_html_m62269e2.gif= 1/0,25 = 4 грузовика /ч.

Средняя длина очереди Lhello_html_66274424.gif=hello_html_m14300133.gif = hello_html_m251d10b6.gif= 1,125 грузовика.

Среднее время ожидания в очереди Thello_html_66274424.gif = Lhello_html_66274424.gif/λ = 1,125/3 = 0,375 ч = 0,375 ·60 мин = 22,5 мин.

Среднее число грузовиков в системе Lhello_html_m1a859d71.gif= Lhello_html_66274424.gif+ λ/μ = 1,125 + 3/4 = 1,875.

Среднее время пребывания грузовика на складе Thello_html_m1a859d71.gif= Thello_html_66274424.gif+ thello_html_m62269e2.gif = 22,5 мин + 15 мин = 37,5 мин.


Пункт 6 . Одноканальная СМО с ограниченной очередью.


Задача № 1. Автозаправочная станция имеет n = 1 бензоколонку с площадкой, допускающей пребывание в очереди на заправку не более двух автомашин одновременно. Если в очереди находятся m = 2 автомашины, то очередная прибывшая автомашина проезжает мимо автозаправочной станции. Предполагается , что простейший поток автомашин поступает на станцию с интенсивностью λ = 10 автомашин/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 12 автомашин/ч. Определить параметры системы.


Решение: Данная автозаправочная станция – это одноканальная СМО с ограниченной очередью. Положим ρ = λ/μ = 10/12 = 5/6 . Вероятность того, что на станции нет автомашин ( предельная вероятность состояния Ѕhello_html_7cec0eee.gif), равна

phello_html_7cec0eee.gif = hello_html_afabc5d.gif= hello_html_m362c65ef.gif= 0,322.

Пусть phello_html_m34745add.gif - предельная вероятность состояния Shello_html_m34745add.gif.Тогда phello_html_m34745add.gif= λ/μ ·phello_html_7cec0eee.gif= =ρ· phello_html_7cec0eee.gif= (5/6)·0,322 = 0,268.

Аналогично phello_html_m6ff5326a.gif= λ/μ ·phello_html_m34745add.gif= ρ· phello_html_m34745add.gif= (5/6)·0,268 = 0,224. Вероятность отказа phello_html_487ae4ae.gif=

= phello_html_m2091b9a.gif= λ/μ ·phello_html_m4bcd60e4.gif= ρ· phello_html_m4bcd60e4.gif= (5/6)·0,224 = 0,186.

Относительная пропускная способность Q = 1 - phello_html_m74c69677.gif= 1- 0,186 = 0,814. Это вероятность того, что заявка будет обслужена.

Абсолютная пропускная способность А = λ·Q = 10·0,814 = 8,14 автомашин/ч.hello_html_m53d4ecad.gif

Среднее число заявок в очереди Lhello_html_66274424.gif= ρ²hello_html_m88044e2.gif= (5/6)²hello_html_27319645.gif = 0,596 автомашины.

Отсюда среднее время пребывания заявки в очереди Thello_html_66274424.gif = Lhello_html_66274424.gif/λ = 0,596/10 = 0,0596 ч = 0,0596 ·60 мин = 3,576 мин.

Среднее число автомашин под обслуживанием (среднее число занятых каналов) Lhello_html_m62269e2.gif= 1- phello_html_7cec0eee.gif= 1- 0,322 = 0,678. Тогда среднее число автомашин на станции Lhello_html_m1a859d71.gif = L hello_html_66274424.gif+ Lhello_html_m62269e2.gif= 0,596 + 0,678 = 1,274 автомашины.

Отсюда среднее время пребывания заявки в системе Thello_html_m1a859d71.gif= Lhello_html_m1a859d71.gif/ λ = 1,274/10 = 0,1274 ч = 0,1274·60 мин = 7,644 мин. В Thello_html_m1a859d71.gif входят время обслуживания автомашины и время в очереди.

Задача № 2. Автозаправочная станция имеет n = 1 бензоколонку с площадкой, допускающей пребывание в очереди на заправку не более трех автомашин одновременно. Если в очереди находятся m = 3 автомашины, то очередная прибывшая автомашина проезжает мимо автозаправочной станции. Предполагается , что простейший поток автомашин поступает на станцию с интенсивностью λ = 8 автомашин/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 10 автомашин/ч. Определить параметры системы.


Решение: Данная автозаправочная станция – это одноканальная СМО с ограниченной очередью. Положим ρ = λ/μ = 8/10 = 4/5 . Вероятность того, что на станции нет автомашин ( предельная вероятность состояния Ѕhello_html_7cec0eee.gif), равна

phello_html_7cec0eee.gif = hello_html_afabc5d.gif= hello_html_57fbecad.gif= 0,297.

Пусть phello_html_m34745add.gif - предельная вероятность состояния Shello_html_m34745add.gif.Тогда phello_html_m34745add.gif= λ/μ ·phello_html_7cec0eee.gif= =ρ· phello_html_7cec0eee.gif= (4/5)·0,297 = 0,238.

Аналогично phello_html_m6ff5326a.gif= λ/μ ·phello_html_m34745add.gif= ρ· phello_html_m34745add.gif= (4/5)·0,238 = 0,190, phello_html_m2091b9a.gif= λ/μ ·phello_html_m4bcd60e4.gif= ρ· phello_html_m4bcd60e4.gif= (4/5)·0,190 = 0,152. Вероятность отказа phello_html_487ae4ae.gif= phello_html_m197800cd.gif= λ/μ ·phello_html_593ecfc6.gif= ρ· phello_html_593ecfc6.gif= (4/5)·0,152 = 0,122.

Относительная пропускная способность Q = 1 - phello_html_m74c69677.gif= 1- 0,122 = 0,878. Это вероятность того, что заявка будет обслужена.

Абсолютная пропускная способность А = λ·Q = 8·0,878 = 7,024 автомашин/ч.hello_html_m53d4ecad.gif

Среднее число заявок в очереди Lhello_html_66274424.gif= ρ²hello_html_m88044e2.gif= (4/5)²hello_html_m1780590b.gif = 0,861 автомашины.

Отсюда среднее время пребывания заявки в очереди Thello_html_66274424.gif = Lhello_html_66274424.gif/λ = 0,861/8 = 0,108 ч = 0,108 ·60 мин = 6,48 мин.

Среднее число автомашин под обслуживанием (среднее число занятых каналов) Lhello_html_m62269e2.gif= 1- phello_html_7cec0eee.gif= 1- 0,297 = 0,703. Тогда среднее число автомашин на станции Lhello_html_m1a859d71.gif = L hello_html_66274424.gif+ Lhello_html_m62269e2.gif= 0,861 + 0,703 = 1,564 автомашины.

Отсюда среднее время пребывания заявки в системе Thello_html_m1a859d71.gif= Lhello_html_m1a859d71.gif/ λ = 1,564/8 = 0,1955 ч = 0,1955·60 мин = 11,73 мин. В Thello_html_m1a859d71.gif входят время обслуживания автомашины и время в очереди.


Пункт 7 .Многоканальная СМО с ограниченной очередью.


Задача № 1. Автозаправочная станция имеет n = 2 бензоколонки с площадкой, допускающей пребывание в очереди на заправку не более трех автомашин одновременно. Если в очереди находятся m = 3 автомашины, то очередная прибывшая автомашина проезжает мимо автозаправочной станции. Предполагается , что простейший поток автомашин поступает на станцию с интенсивностью λ = 10 автомашин/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 12 автомашин/ч. Определить параметры системы.


Решение: Данная автозаправочная станция – это многоканальная СМО с ограниченной очередью. Положим ρ = λ/μ = 10/12 = 5/6 = 0,833 . Вероятность того, что на станции нет автомашин ( предельная вероятность состояния Ѕhello_html_7cec0eee.gif), равна phello_html_7cec0eee.gif.

Пусть phello_html_m34745add.gif - предельная вероятность состояния Shello_html_m34745add.gif.Тогда phello_html_m34745add.gif= λ/μ ·phello_html_7cec0eee.gif= =ρ· phello_html_7cec0eee.gif=0,833 phello_html_7cec0eee.gif.

Аналогично phello_html_m4bcd60e4.gif= λ/2μ ·phello_html_m34745add.gif= ρ/2· phello_html_m34745add.gif= (5/6)/2·0,833 phello_html_7cec0eee.gif = 0,347 phello_html_7cec0eee.gif.

phello_html_mad5feb5.gif= λ/2μ ·phello_html_m4bcd60e4.gif= ρ/2· phello_html_m4bcd60e4.gif= (5/6)/2·0,347 phello_html_7cec0eee.gif = 0,145 phello_html_7cec0eee.gif, phello_html_mb5eb799.gif= λ/2μ · phello_html_mad5feb5.gif= ρ/2· phello_html_mad5feb5.gif= (5/6)/2·0,145 phello_html_7cec0eee.gif = 0,060 phello_html_7cec0eee.gif, phello_html_59037e08.gif= λ/2μ · phello_html_mb5eb799.gif= ρ/2· phello_html_mb5eb799.gif= (5/6)/2·0,060 phello_html_7cec0eee.gif = 0,025 phello_html_7cec0eee.gif. Так как 1 = phello_html_7cec0eee.gif+ phello_html_m34745add.gif+ phello_html_m4bcd60e4.gif+ phello_html_mad5feb5.gif+ phello_html_mb5eb799.gif+ phello_html_59037e08.gif, то 1 = phello_html_7cec0eee.gif+ 0,833 phello_html_7cec0eee.gif+ 0,347 phello_html_7cec0eee.gif+ 0,145 phello_html_7cec0eee.gif+ 0,060 phello_html_7cec0eee.gif+ 0,025 phello_html_7cec0eee.gif= 2,41 phello_html_7cec0eee.gif.

Отсюда phello_html_7cec0eee.gif= 1/2,41 = 0,415, phello_html_m34745add.gif= 0,833 phello_html_7cec0eee.gif= 0,833·0,415 = 0,346, phello_html_m4bcd60e4.gif= 0,347 phello_html_7cec0eee.gif = 0,144, phello_html_mad5feb5.gif= 0,145 phello_html_7cec0eee.gif= 0,060, phello_html_mb5eb799.gif=0,060 phello_html_7cec0eee.gif= 0,025, phello_html_59037e08.gif= 0,025 phello_html_7cec0eee.gif= 0,010 .

Вероятность отказа phello_html_487ae4ae.gif= phello_html_59037e08.gif= 0,010 (обе бензоколонки заняты, в очереди нет свободных мест).

Вероятность того ,что обе бензоколонки заняты, равна phello_html_d42ba78.gif= hello_html_28b60450.gif phello_html_7cec0eee.gif= hello_html_4bd0419a.gif= 0,239.

Относительная пропускная способность Q = 1 - phello_html_m74c69677.gif= 1- 0,01 = 0,99. Это вероятность того, что заявка будет обслужена.

Абсолютная пропускная способность А = λ·Q = 10·0,99 = 9,9 автомашин/ч.hello_html_m53d4ecad.gif

Среднее число свободных от обслуживания каналов Nhello_html_7cec0eee.gif= 2· phello_html_7cec0eee.gif+ 1· phello_html_m34745add.gif= 0,830 + 0,346 = 1,176.

Среднее число заявок в очереди Lhello_html_66274424.gif= hello_html_m6ba4fd3d.gif= hello_html_509b5244.gif = 0,141 автомашины.

Среднее число автомашин под обслуживанием (среднее число занятых каналов) Lhello_html_m62269e2.gif= hello_html_m6756f911.gif= hello_html_4212be21.gif Тогда среднее число автомашин на станции Lhello_html_m1a859d71.gif = L hello_html_66274424.gif+ Lhello_html_m62269e2.gif= 0,141 + 0,824 = 0,965 автомашины.


Пункт 8 . Замкнутая СМО.


Задача №1. Бригада ремонтников из n = 2 человек обслуживает m = 4 станка. Предполагается, что поломки станков образуют простейший поток заявок с интенсивностью λ = 0,1 раз/ч. Время ремонта каждого станка есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 0,5 станка/ч. Определим параметры системы.


Решение: Это замкнутая СМО. Приведенная интенсивность потока заявок ρ = λ/μ = 0,1/0,5 = 0,2. Так как число возможных состояний конечно, существуют предельные вероятности. Вероятность того,что все станки исправны ( предельная вероятность состояния Shello_html_7cec0eee.gif), равна phello_html_7cec0eee.gif.

Пусть phello_html_m34745add.gif - предельная вероятность состояния Shello_html_m34745add.gif.Тогда phello_html_m34745add.gif= 4λ/μ ·phello_html_7cec0eee.gif =4ρ· phello_html_7cec0eee.gif=4·0,2 phello_html_7cec0eee.gif = 0,8 phello_html_7cec0eee.gif.

Аналогично phello_html_m4bcd60e4.gif=3λ/2μ ·phello_html_m34745add.gif= 1,5ρ· phello_html_m34745add.gif= 1,5· 0,2·0,8 phello_html_7cec0eee.gif = 0,24 phello_html_7cec0eee.gif.

phello_html_593ecfc6.gif= 2λ/2μ ·phello_html_m4bcd60e4.gif= ρ· phello_html_m4bcd60e4.gif= 0,2·0,24 phello_html_7cec0eee.gif = 0,048 phello_html_7cec0eee.gif; phello_html_m2d087c03.gif=λ/2μ ·phello_html_593ecfc6.gif= 0,5ρ· phello_html_593ecfc6.gif= 0,5·0,2·0,048 phello_html_7cec0eee.gif = 0,0048 phello_html_7cec0eee.gif. Так как 1 = phello_html_7cec0eee.gif+ phello_html_m34745add.gif+ phello_html_m4bcd60e4.gif+ phello_html_593ecfc6.gif+ phello_html_m2d087c03.gif, то 1 = phello_html_7cec0eee.gif+ 0,8 phello_html_7cec0eee.gif+ 0,24 phello_html_7cec0eee.gif+ 0,048 phello_html_7cec0eee.gif+ 0,0048 phello_html_7cec0eee.gif= 2,0928 phello_html_7cec0eee.gif.

Отсюда phello_html_7cec0eee.gif= 1/2,0928 = 0,478, phello_html_m34745add.gif= 0,8 phello_html_7cec0eee.gif= 0,8·0,478 = 0,382, phello_html_m4bcd60e4.gif= 0,24 phello_html_7cec0eee.gif = 0,115, phello_html_593ecfc6.gif= 0,048 phello_html_7cec0eee.gif= 0,023, phello_html_m2d087c03.gif= 0,0048 phello_html_7cec0eee.gif= 0,002.

Средняя длина очереди Lhello_html_66274424.gif=1· phello_html_593ecfc6.gif+2 · phello_html_m2d087c03.gif= 0,027.

Среднее число заявок в системе Lhello_html_m1a859d71.gif= 1· phello_html_m34745add.gif+2 · phello_html_m4bcd60e4.gif+ 3· phello_html_593ecfc6.gif+ 4 · phello_html_m2d087c03.gif= 1·0,382 + 2·0,115 + 3·0,023 + 4·0,002 = 0,689.

Среднее число свободных от обслуживания ремонтников Nhello_html_7cec0eee.gif= 2· phello_html_7cec0eee.gif+/ 1· phello_html_m34745add.gif= 2·0,478 + 1·0,382 = 1,338.



Пункт 9 . СМО с ограниченным временем ожидания.


Задача № 1. В пункте химчистки имеется n = 2 аппарата для чистки. Поток посетителей предполагается простейшим с интенсивностью λ = 5 человек /ч. Время обслуживания каждого посетителя есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 4 человека / ч. Среднее число посетителей, покидающих очередь, не дождавшись обслуживания , равно ν = 3 человека / ч. Определим предельные вероятности этой СМО . среднюю длину очереди, среднее число заявок в системе, абсолютную и относительную пропускные способности , среднее число занятых аппаратов.


Решение: Данная химчистка – это многоканальная СМО с ограниченным временем ожидания.

Вероятность того,что оба аппарата свободны (предельная вероятность состояния Ѕhello_html_7cec0eee.gif), равна phello_html_7cec0eee.gif.

Пусть phello_html_m34745add.gif - предельная вероятность состояния Shello_html_m34745add.gif.Тогда phello_html_m34745add.gif= λ/μ ·phello_html_7cec0eee.gif= =5/4 phello_html_7cec0eee.gif= 1,25 phello_html_7cec0eee.gif.

Аналогично phello_html_m4bcd60e4.gif= λ/2μ ·phello_html_m34745add.gif= (5/(2·4))·1,25 phello_html_7cec0eee.gif = 0,781 phello_html_7cec0eee.gif.

phello_html_593ecfc6.gif= λ/(2μ+ ν) ·phello_html_m4bcd60e4.gif= (5/(2·4+3))·0,781 phello_html_7cec0eee.gif = 0,355 phello_html_7cec0eee.gif.

phello_html_m2d087c03.gif= λ/(2μ+2ν) ·phello_html_593ecfc6.gif= (5/(2·4+2·3))·0,355 phello_html_7cec0eee.gif = 0,127 phello_html_7cec0eee.gif.

phello_html_3ffbd327.gif= λ/(2μ+3ν) ·phello_html_m2d087c03.gif= (5/(2·4+3·3))·0,127 phello_html_7cec0eee.gif = 0,037 phello_html_7cec0eee.gif.

phello_html_1a29120f.gif= λ/(2μ+4ν) ·phello_html_3ffbd327.gif= (5/(2·4+4·3))·0,037 phello_html_7cec0eee.gif = 0,009 phello_html_7cec0eee.gif.

phello_html_6216552e.gif= λ/(2μ+5ν) ·phello_html_1a29120f.gif= (5/(2·4+5·3))·0,009 phello_html_7cec0eee.gif = 0,002 phello_html_7cec0eee.gif.

phello_html_7ce52ee5.gif= λ/(2μ+6ν) ·phello_html_6216552e.gif= (5/(2·4+6·3))·0,002 phello_html_7cec0eee.gif = 0,000 phello_html_7cec0eee.gif.

Поэтому 1 = phello_html_7cec0eee.gif+ phello_html_m34745add.gif+ phello_html_m4bcd60e4.gif+ phello_html_593ecfc6.gif+ phello_html_m2d087c03.gif+ phello_html_3ffbd327.gif+ phello_html_1a29120f.gif+ phello_html_6216552e.gif= phello_html_7cec0eee.gif+ 1,25 phello_html_7cec0eee.gif+ 0,781 phello_html_7cec0eee.gif+ 0,355 phello_html_7cec0eee.gif+ 0,127 phello_html_7cec0eee.gif+ 0,037 phello_html_7cec0eee.gif+ 0,009 phello_html_7cec0eee.gif+ 0,002 phello_html_7cec0eee.gif = 3,561 phello_html_7cec0eee.gif.

Отсюда phello_html_7cec0eee.gif= 1/3,561 = 0,281, phello_html_m34745add.gif= 1,25 phello_html_7cec0eee.gif= 0,351, phello_html_m4bcd60e4.gif= 0,781 phello_html_7cec0eee.gif = 0,219, phello_html_593ecfc6.gif= 0,355 phello_html_7cec0eee.gif= 0,100,

phello_html_m2d087c03.gif= 0,127 phello_html_7cec0eee.gif = 0,036, phello_html_3ffbd327.gif= 0,037 phello_html_7cec0eee.gif= 0,010,

phello_html_1a29120f.gif= 0,009 phello_html_7cec0eee.gif= 0,003, phello_html_6216552e.gif= 0,002 phello_html_7cec0eee.gif=0,000.

Остальные предельные вероятности пологаются равными нулю.

Средняя длина очереди – это математическое ожидание числа посетителей, находящихся в очереди: Lhello_html_66274424.gif= 1·phello_html_593ecfc6.gif+ 2·phello_html_m2d087c03.gif+3·phello_html_3ffbd327.gif+4·phello_html_1a29120f.gif= 1·0,100 +2·0,036 + 3·0,010 + 4·0,003 = 0,214.

Среднее число заявок в системе – это математическое ожидание числа заявок в системе: Lhello_html_m1a859d71.gif= 0· phello_html_7cec0eee.gif+1·phello_html_m34745add.gif+2·phello_html_m4bcd60e4.gif+3·phello_html_593ecfc6.gif+4·phello_html_m2d087c03.gif+5·phello_html_3ffbd327.gif+6·phello_html_1a29120f.gif= 1·0,351 + 2·0,219 + 3·0,100 +4·0,036 + 5·0,010 + 6·0,003 = 1,301.

Некоторые посетители, не дождавшись обслуживания , уходят из очереди с интенсивностью ν. Поэтому без обслуживания систему покидают в среднем ν Lhello_html_m1a859d71.gifчеловек/ч, то есть из λ посетителей будет обслужено лишь A = λ- ν Lhello_html_m1a859d71.gif= 5- 3·1,301 = 1,097 человек/ч. Это абсолютная пропускная способность. Относительная пропускная способность Q = A / λ = 1,097/5 = 0,2194.hello_html_m53d4ecad.gif

Среднее число занятых аппаратов Nhello_html_d42ba78.gif= A / μ = 1,097/4 = 0,274.

Заключение.

Объем задач, которые относятся к теории массового обслуживания, достаточно велик: это и исследование эксплутационных признаков комплекса станков, решение вопроса о количестве контролирующих автоматов (например, в метро), проектирование оборудования для телефонных линий и ЭВМ, проектирование портовых причалов, посадочных полос аэропортов и другие. Но нас, в рамках изучаемой профессии, более интересовали задачи, имеющие коммерческую направленность. Например, если аппарат продавщиц может в среднем за час обслужить100 посетителей,а в среднем в течение 1 часа в магазине бывает не больше 95 посетителей, то можно сделать вывод: очередей не будет. Но на самом деле, вероятность того,что в очереди окажется больше 4 покупателей равна 0,47 (47%)! Более того, в этом случае имеем любопытный факт: увеличение числа продавцов на 10 % снижает вероятность появления длинной очереди в два раза!

Подводя итог всему вышесказанному, можно сделать следующие выводы:

1. На основе анализа учебной и научно-популярной литературы по теме «Системы массового обслуживания» мы показали особенности различных видов СМО.

2. Обосновали необходимость применения математических расчетов при организации работы на любом объекте в СМО.

3. Классифицировали основные виды СМО.

4. Провели исследование характеристик различных видов СМО и показали эффективность такого исследования.






















Список литературы.

1. Просветов Г.И. Математические модели в экономике: Учебно-методическое пособие. – М.: Издательство РДЛ, 2005.

2. Глухов В.В., Медников М.Д.,КоробкоС.Б. Экономико-математические методы и модели в менеджменте.- СПб.:Издательство СПбГТУ,2000.

3. Исследование операции в экономике / Под ред. Н.Ш. Кремера.- М.: ЮНИТИ,1997.

4. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. – М.: ИНФРА –М,1999.

5. Кузнецов А.В.,СаковичВ.А.,Холод Н.И. Высшая математика: Математическое программирование.- Мн.: Вышэйшая школа,2001.

6. Малыхин В.И. Математика в экономике. – М.: ИНФРА-М, 1999.

7. Просветов Г.И. Математика в экономике: Задачи и решения. – М.: Издательство РДЛ,2004.

8. Чеканский А.Н.,Фролова Н.Л. Теория спроса,предложения и рыночных структур.- М.: ТЕИС,1999.

9. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие/ Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М,2003.

10. Дядченко Г.Г. Задачи, примеры, упражнения по предмету «Закономерности окружающего мира»,8 класс.Учебное пособие.М.: Авангард,1995.



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

В настоящее время, когда многие предприятия и организации нацелены на оказание разнообразных услуг населению , возникает вопрос о изучении и исследовании систем массового обслуживания. Правильно и грамотно проведенное исследование позволяет оценить возможную линию организации обслуживания, выбрать наиболее эффективный способ выполнения заявок потребителей.

На данный момент теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях математические методы решения задач теории массового обслуживания.

 

Не ставя своей целью охватить огромное количество вопросов темы «Системы массового обслуживания», которые достаточно подробно освещены в различных учебниках по высшей математике и учебных пособиях, мы считаем необходимым остановиться на вероятностных оценках различных характеристик основных видов систем массового обслуживания.

Автор
Дата добавления 25.02.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров2435
Номер материала 410569
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх