Научная работа по теме "Системы массового обслуживания"

Научно - исследовательская работа по математике

на тему: «Системы массового обслуживания»

Содержание.

Введение.

Раздел 1. Основные виды систем массового обслуживания.

§ 1. Основные понятия теории массового обслуживания.

§ 2 Виды СМО .

Пункт 1.Одноканальная СМО с отказами.

Пункт 2 . Многоканальная СМО с отказами (задача Эрланга).

Пункт 3. Одноканальная СМО с неограниченной очередью.

Пункт 4. Многоканальная СМО с неограниченной очередью.

Пункт 5. СМО с фиксированным временем обслуживания.

Пункт 6. Одноканальная СМО с ограниченной очередью.

Пункт 7. Многоканальная СМО с ограниченной очередью.

Пункт 8. Замкнутая СМО.

Пункт 9. СМО с ограниченным временем ожидания.

Раздел 2. Исследовательское изучение различных систем массового обслуживания.

Пункт 1.Одноканальная СМО с отказами.

Пункт 2 . Многоканальная СМО с отказами (задача Эрланга).

Пункт 3. Одноканальная СМО с неограниченной очередью.

Пункт 4. Многоканальная СМО с неограниченной очередью.

Пункт 5. СМО с фиксированным временем обслуживания.

Пункт 6. Одноканальная СМО с ограниченной очередью.

Пункт 7. Многоканальная СМО с ограниченной очередью.

Пункт 8. Замкнутая СМО.

Пункт 9. СМО с ограниченным временем ожидания

Приложение.

Введение.

В настоящее время, когда многие предприятия и организации нацелены на оказание разнообразных услуг населению , возникает вопрос о изучении и исследовании систем массового обслуживания. Правильно и грамотно проведенное исследование позволяет оценить возможную линию организации обслуживания, выбрать наиболее эффективный способ выполнения заявок потребителей.

На данный момент теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях математические методы решения задач теории массового обслуживания.

Не ставя своей целью охватить огромное количество вопросов темы «Системы массового обслуживания», которые достаточно подробно освещены в различных учебниках по высшей математике и учебных пособиях, мы считаем необходимым остановиться на вероятностных оценках различных характеристик основных видов систем массового обслуживания.

Объектом нашего исследования являются различные виды систем массового обслуживания.

Предмет – вероятностные оценки различных характеристик видов систем массового обслуживания.

Задачи научного исследования:

1. На основе анализа учебной и научно-популярной литературы по теме «Системы массового обслуживания» показать особенности различных видов СМО.

2. Обосновать необходимость применения математических расчетов при организации работы на любом объекте в СМО.

3. Классифицировать основные виды СМО.

4. Провести исследование характеристик различных видов СМО и показать эффективность такого исследования.

Цель работы: определение содержания, видов, форм, методов исследования систем массового исследования.

Практическая значимость научной работы: проведенные исследования могут быть использованы для улучшения результатов работы различных видов систем массового обслуживания.

Актуальность темы: образовательное учреждение «Профессиональный лицей № 2» является системой массового обслуживания и готовит специалистов, которые будут предоставлять услуги населению, а следовательно, также работать в системе массового обслуживания.

Раздел 1. Основные виды систем массового обслуживания.

§ 1. Основные понятия теории массового обслуживания.

Теория массового обслуживания ( или теория очередей) имеет дело с процессами, для которых характерна следующая структура. В систему массового обслуживания ( СМО ) ( это могут быть линии связи , приёмные пункты, подъездные пути, технологические агрегаты, ремонтные бригады и т.д.) в случайные моменты времени поступают заявки( или требования). Заявки на обслуживание образуют входной поток. Если есть свободные каналы обслуживания, то требование выполняется. Если все каналы обслуживания заняты, то требование становиться в очередь по определённым правилам или без обслуживания покидает систему. Выполненные требования образуют выходной поток. В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения задач, в которых поток требований является простейшим с интенсивностью λ (среднее число требований, поступающих в единицу времени).

СМО состоит из определенного числа обслуживающих единиц- каналов обслуживания. Различают одноканальные СМО и многоканальные СМО.

Дисциплина очереди задает порядок прохождения заявки через очередь. Заявки из очереди могут выполняться в порядке поступления, с приоритетом, в случайном порядке и т.д. Очередь может быть конечной или бесконечной. СМО с очередями называют также СМО с ожиданием. Очереди могут ограничиваться по длине (по числу находящихся в ней заявок) или по времени ожидания обслуживания. В СМО с отказом в момент, когда заняты все обслуживающие каналы, получают отказ.

Время обслуживания требований в системе является случайной величиной и обычно описывается экспоненциальным (показательным) законом распределения ( то есть распределение длительности оставшейся части работ по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалось) с интенсивностью μ ( среднее число требований, выполняемых в единицу времени). Это обусловлено рядом причин:

1. отсутствует последствия;

2. простотой и удобством аналитических выражений;

3. именно так устроены многие реальные системы.

Формально показательное распределение времени обслуживания имеет вид: Рt =μe^-μt ( t ≥0) Тогда среднее время обслуживания одним каналом одного требования t обсл = 1/μ.

Коэффициент загрузки СМО ( среднее число каналов, которое должно быть для обслуживания в единицу времени всех поступающих требований) р = λ/μ.

§ 2 Виды СМО .

Пункт 1.Одноканальная СМО с отказами.

СМО содержит один обслуживающий канал. На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Образование очереди не допускается. Если заявка застала обслуживающий канал занятым, то она покидает систему. ^-

Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с периметром μ. Среднее время обслуживания одной заявки t _обсл = 1/ μ

Возможные состояния СМО S_о (канал свободен) и S₁ (канал занят).

Нас интересуют следующие показатели эффективности работы СМО:

1. абсолютная пропускная способность А (среднее число заявок, которое СМО может обслужить в единицу времени);

2. относительная пропускная способность Q (отношение среднего числа обслуживаемых в единицу времени заявок к среднему числу поступивших за это время заявок);

3. вероятность отказа р_отк (вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной).

Пункт 2 . Многоканальная СМО с отказами (задача Эрланга).

СМО содержит п обслуживающих каналов. На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Образование очереди не допускается. Если заявка застала все обслуживающие каналы занятыми, то она покидает систему. Если в момент поступления требования имеется свободный канал, то он немедленно приступает к обслуживанию поступившего требования. Каждый канал может одновременно обслуживать только одно требование. Все каналы функционируют независимо.

Время обслуживание заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ. Среднее время обслуживания одной заявки tобсл =1/μ

Возможные состояния СМО S0 (все каналы свободны), S1 (один канал занят, остальные свободны), S2 ( два канала заняты, остальные свободны),…Sn ( все каналы заняты).

Приведенная интенсивность потока заявок ( интенсивность нагрузки канала) p=λ/μ/

Нас интересуют следующие показатели эффективности работы СМО:

1. абсолютная пропускная способность А ( среднее число заявок, которое СМО может обслужить в единицу времени);

2. относительная пропускная способность Q ( отношение среднего числа обслуживающих в единицу времени заявок к среднему числу поступивших за это время заявок);

3. вероятность отказа ротк (вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной);

4. ро (вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны);

5. рk (вероятность того, что в системе k требований);

6. среднее число свободных от обслуживания каналов No;

7. коэффициент простоя каналов Кпр;

8. среднее число занятых обслуживанием каналов Nзан;

9. коэффициент загрузки каналов Кзан.

Для снижения вероятности отказа нужно увеличить число каналов обслуживания.

Пункт 3. Одноканальная СМО с неограниченной очередью.

СМО содержит один обслуживающий канал. На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Если заявка застала обслуживающий канал занятым, то она встает в очередь и ожидает начала обслуживания.

Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ. Среднее время обслуживания одной заявки t _обсл = 1/μ.

Возможные состояния СМО Sо (канал свободен), S1 (канал занят, очереди нет), S2 (канал занят, в очереди одна заявка), S3 (канал занят, в очереди две заявки) и т.д.

Пункт 4. Многоканальная СМО с неограниченной очередью.

СМО содержит п обслуживающих каналов. На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Если в момент поступления требования имеется свободный канал, то он немедленно приступает к обслуживанию поступившего требования. Каждый канал может одновременно обслуживать только одно требование. Все каналы функционируют независимо. Если заявка застала все обслуживающие каналы занятыми, то она встает в очередь и ожидает начала обслуживания.

Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ. Среднее время обслуживания одной заявки t _обсл = 1/μ.

Возможные состояния СМО S0 (все каналы свободны), S1 (один канал занят, остальные свободны), S2 ( два канала заняты, остальные свободны), Sп (все каналы заняты), Sп+1 ( все каналы заняты, в очереди одна заявка), Sп+2 (все каналы заняты, в очереди две заявки) и т.д.

Пункт 5. СМО с фиксированным временем обслуживания.

Некоторые СМО имеют постоянное, а не экспоненциальное распределение времени обслуживания. В таких системах заявки обслуживаются в течение фиксированного периода времени t _обсл.

На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивность выходного потока μ= 1/tобсл. Каковы параметры системы? Ограничимся рассмотрением одноканальной СМО.

Средняя длина очереди L оч = λ²

2μ(μ – λ)

Среднее время ожидания в очереди Точ = Lоч/λ

Среднее число заявок в системе Lсист = Lоч +λ/μ

Среднее время пребывание заявки в системе Тсист= Lсист/λ = (Lоч + λ/μ)/λ = Lоч/ λ + ( λ/μ)/λ = Точ +1/μ= Точ + tобсл

Пункт 6. Одноканальная СМО с ограниченной очередью.

СМО содержит один обслуживающий канал. На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Если заявка застала обслуживающий канал занятым, то она встает в очередь и ожидает начала обслуживания. Число мест в очереди ограничено и равно m. Если заявка застала обслуживающий канал занятым и в очереди нет свободных мест, то она покидает систему необслуженной.

Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ. Среднее время облуживания одной заявки tобсл = 1/μ

Возможные состояния СМО Sо ( канал свободен), S1 (канал занят, очереди нет), S1+1 (канал занят, в очереди одна заявка), S1+2 (канал занят , в очереди две заявки),.. S1+m (канал занят, в очереди m заявок).

Пункт 7. Многоканальная СМО с ограниченной очередью.

СМО содержит n обслуживающих каналов. На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Если в момент поступления требования имеется свободный канал, то он немедленно приступает к обслуживанию поступившего требования. Каждый канал может одновременно обслуживать только одно требование. Все каналы функционируют независимо. Если заявка застала все обслуживающие каналы занятыми, то она встает в очередь в ожидании начала обслуживания. Число мест в очереди ограничено и равно m. Если заявка застала все обслуживающие каналы занятыми и в очереди нет свободных мест, то она покидает систему необслуженной.

Время обслуживании заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ. Среднее время обслуживания одной заявки tобсл = 1/μ.

Возможные состояния СМО Sо ( все каналы свободны), S1 (один канал занят, остальные свободны), S2 (два канала заняты, остальные свободны), …,Sп (все каналы заняты , в очереди одна заявка), S1+п (все каналы заняты, в очереди две заявки),…, Sn+m (все каналы занят, в очереди m заявок)

Пункт 8. Замкнутая СМО.

СМО содержит п обслуживающих каналов. На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Если в момент поступления требования имеется свободный канал, то он немедленно приступает к обслуживанию поступившего требования. Каждый канал может одновременно обслуживать только одно требование. Все каналы функционируют независимо. Если заявка застала все обслуживающие каналы занятыми, то она встает в очередь и ожидает начала обслуживания. Требования на обслуживания поступают от m обслуживаемых объектов, то есть поток поступающих требований ограничен.

Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ. Среднее время обслуживания одной заявки tобсл = 1/μ..

Существует взаимосвязь между длиной очереди и темпом поступления заявок: чем длиннее очередь на обслуживание, тем ниже темп поступления новых заявок.

Пункт 9. СМО с ограниченным временем ожидания.

Очень часто встречаются СМО с нетерпеливыми заявками. Такие заявки могут уйти из очереди, если время ожидания превышает некоторую величину. Например, срочные сообщения теряют смысл, если не поступят на обслуживание в течение определенного времени.

Предполагается, что заявка может находиться в очереди случайное время, которое подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром v, то есть v – среднее количество требований, покидающих очередь в единицу времени, вызванное появлением в очереди одного требования.

Среднее время ожидания в очереди tожидания=1/v

СМО содержит п обслуживающих каналов. На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Если в момент поступления требования имеется свободный канал, то он немедленно приступает к обслуживанию поступившего требования. Каждый канал может одновременно обслуживать только одно требование. Все каналы функционируют независимо. Если заявка застала все обслуживающие каналы занятыми, то она встает в очередь в ожидании начала обслуживания.

Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ. Среднее время обслуживания одной заявки tобсл = 1/μ..

Возможные состояния СМО Sо ( все каналы свободны), S1 (один канал занят, остальные свободны), S2 (два канала заняты, остальные свободны), …,Sп (все каналы заняты , ), S1+п (все каналы заняты, в очереди одна заявка),…, Sn+2 (все каналы заняты, в очереди две заявки) и т.д.

Раздел 2. Исследовательское изучение различных систем массового обслуживания.

Пункт 1. Одноканальная СМО с отказами.

Задача 1. Одноканальная телефонная линия. Заявка-вызов, поступившая в момент, когда линия занята, получает отказ. Простейший поток заявок поступает с интенсивностью λ = 50 звонков/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения.Средняя продолжительность разговора = 3 мин. Определим показатели эффективности работы СМО.

Решение: Данная телефонная линия- это одноканальная СМО с отказами. Время обслуживания = 3 мин. = 3/60 ч = 0,05 ч. Тогда интенсивность обслуживания μ = 1/= 1/0,05 = 20 звонков/ч.

Пусть p – предельная вероятность состояния S(канал свободен). Пусть p – предельная вероятность состояния S(канал занят). Тогда p= p= =2,5 p.

Так как p+ p=1, то 1= p+ 2,5 p = 3,5 p. Отсюда p= 1/3,5 = 0,286.

Тогда p= 2,5 p=0,714.

Вероятность отказа p- это вероятность того, что линия занята, то есть предельная вероятность состояния S. Поэтому p= p= 0,714.

Относительная пропускная способность Q = 1 - p= 1- 0,714 = 0,286. Это вероятность того, что заявка будет обслужена.

Абсолютная пропускная способность А = λ·Q = 50·0,286 = 14,3 звонка/ч, то есть в среднем в час СМО обслуживает 14,3 звонка.

Мы видим, что номинальная пропускная способность телефонной линии μ = 20 звонков /ч отличается от абсолютной пропускной способности А = 14,3 звонка/ч из-за случайного характера потока звонков и случайности времени обслуживания.

Задача 2. Одноканальная телефонная линия. Заявка-вызов, поступившая в момент, когда линия занята, получает отказ. Простейший поток заявок поступает с интенсивностью λ = 60 звонков/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения.Средняя продолжительность разговора = 2,5 мин. Определим показатели эффективности работы СМО.

Решение: Данная телефонная линия- это одноканальная СМО с отказами. Время обслуживания = 2,5 мин. = 2,5/60 ч = 1/24 ч. Тогда интенсивность обслуживания μ = 1/= 24 звонка/ч.

Пусть p – предельная вероятность состояния S(канал свободен). Пусть p – предельная вероятность состояния S(канал занят). Тогда p= p= =2,5 p.

Так как p+ p=1, то 1= p+ 2,5 p = 3,5 p. Отсюда p= 1/3,5 = 0,286.

Тогда p= 2,5 p=0,714.

Вероятность отказа p- это вероятность того, что линия занята, то есть предельная вероятность состояния S. Поэтому p= p= 0,714.

Относительная пропускная способность Q = 1 - p= 1- 0,714 = 0,286. Это вероятность того, что заявка будет обслужена.

Абсолютная пропускная способность А = λ·Q = 60·0,286 = 17,16 звонков/ч, то есть в среднем в час СМО обслуживает 17,16 звонка.

Мы видим, что номинальная пропускная способность телефонной линии μ = 24 звонка /ч отличается от абсолютной пропускной способности А = 17,16 звонка/ч из-за случайного характера потока звонков и случайности времени обслуживания.

Пункт 2. Многоканальная СМО с отказами.

Задача 1. Трехканальная телефонная линия. Заявка-вызов, поступившая в момент, когда все n = 3 канала заняты, получает отказ. Простейший поток заявок поступает с интенсивностью λ = 60 звонков/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения.Средняя продолжительность разговора = 3 мин. Определим показатели эффективности работы СМО.

Решение: Данная телефонная линия- это многоканальная СМО с отказами. Время обслуживания = 3 мин. = 3/60 ч = 0,05 ч. Тогда интенсивность обслуживания μ = 1/= 1/0,05 = 20 звонков/ч. Приведенная интенсивность потока заявок ρ = λ/μ =60/20 = 3.

Пусть p – предельная вероятность состояния S( все каналы свободны). Пусть p – предельная вероятность состояния S( один канал занят). Тогда p= λ/μ ·p= ρ· p=3p. Аналогично p= λ/(2μ) p= ρ/2· p=3/2·3 p= 4,5p ; p= λ/(3μ) ·p= ρ/3· p=3/3·4,5p= 4,5p.

Так как p+ p+ p+ p =1, то 1= p+ 3p+4,5p+4,5p = 13p. Отсюда p= 1/13 = 0,077 (вероятность того ,что все обслуживающие каналы свободны). Тогда p= 3 p=0,231, p= 4,5 p= 0,346, p= 4,5p= 0,346 . Мы нашли вероятности того, что в системе к требований , к = 0,1,2,3.

Вероятность отказа p- это вероятность того, что все каналы заняты, то есть предельная вероятность состояния S. Поэтому p= p= 0,346.

Относительная пропускная способность Q = 1 - p= 1- 0,346 = 0,654. Это вероятность того, что заявка будет обслужена.

Абсолютная пропускная способность А = λ·Q = 60·0,654 = 39,24 звонка/ч, то есть в среднем в час СМО обслуживает 39,24 звонка.

Среднее число свободных от обслуживания каналов N есть математическое ожидание числа свободных каналов, то есть число свободных каналов в каждом состоянии надо умножить на предельную вероятность этого состояния и полученные произведения сложить: N= 3· p+2 ·p+1· p+ 0· p= 3·0,077 + 2·0,231 + 1·0,346 = 1,039.

Коэффициент простоя каналов К= N/n = 1,039/3 = 0,346.

Среднее число занятых обслуживанием каналов N= А/ μ = (λ·Q)/ μ = ρQ =

= 3·0,654 = 1,962. Мы видим ,что из-за ошибок округления n = N+ + N= 1,039 + 1,962 = 3,001.

Коэффициент загрузки каналов К = N/ n = 1,962/3 = 0,654.

Задача 2. Трехканальная телефонная линия. Заявка-вызов, поступившая в момент, когда все n = 3 канала заняты, получает отказ. Простейший поток заявок поступает с интенсивностью λ = 50 звонков/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения.Средняя продолжительность разговора = 2,5 мин. Определим показатели эффективности работы СМО.

Решение: Данная телефонная линия- это многоканальная СМО с отказами. Время обслуживания = 2,5 мин. = 2,5/60 ч = 1/24 ч. Тогда интенсивность обслуживания μ = 1/= 1/0,04 = 24 звонков/ч. Приведенная интенсивность потока заявок ρ = λ/μ =50/24 = 2,1.

Пусть p – предельная вероятность состояния S( все каналы свободны). Пусть p – предельная вероятность состояния S( один канал занят). Тогда p= λ/μ ·p= ρ· p=2,1p. Аналогично p= λ/(2μ) p= ρ/2· p=2,1/2·2,1 p= 2,2p ; p= λ/(3μ) ·p= ρ/3· p=2,1/3·2,2p= 1,5p.

Так как p+ p+ p+ p =1, то 1= p+ 2,1p+2,2p+1,5p = 6,8p. Отсюда p= 1/6,8 = 0,147 (вероятность того ,что все обслуживающие каналы свободны). Тогда p= 2,1 p=0,309 , p= 2,2 p= 0,323 , p= 1,5p= 0,221 . Мы нашли вероятности того, что в системе к требований , к = 0,1,2,3.

Вероятность отказа p- это вероятность того, что все каналы заняты, то есть предельная вероятность состояния S. Поэтому p= p= 0,221.

Относительная пропускная способность Q = 1 - p= 1- 0,221 = 0,779. Это вероятность того, что заявка будет обслужена.

Абсолютная пропускная способность А = λ·Q = 50·0,779 = 38,95 звонка/ч, то есть в среднем в час СМО обслуживает 38,95 звонка.

Среднее число свободных от обслуживания каналов N есть математическое ожидание числа свободных каналов, то есть число свободных каналов в каждом состоянии надо умножить на предельную вероятность этого состояния и полученные произведения сложить: N= 3· p+2 ·p+1· p+ 0· p= 3·0,147 + 2·0,309 + 1·0,323 = 1,382.

Коэффициент простоя каналов К= N/n = 1,382/3 = 0,466.

Среднее число занятых обслуживанием каналов N= А/ μ = (λ·Q)/ μ = ρQ =

= 2,1·0,779 = 1,636. Мы видим ,что из-за ошибок округления n = N+ + N= 1,382 + 1,636 = 3,018.

Коэффициент загрузки каналов К = N/ n = 1,636/3 = 0,545.

Пункт 3 . Одноканальная СМО с неограниченной очередью.

Задача №1. Магазин с одним продавцом. Предполагается, что простейший поток покупателей поступает с интенсивностью λ = 20 человек/ч. Время обслуживания заявки - случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 25 человек/ч. Определим:

1) среднее время пребывания покупателя в очереди;

2) среднюю длину очереди;

3) среднее число покупателей в магазине;

4) среднее время пребывания покупателя в магазине;

5) вероятность того ,что в магазине не окажется покупателей;

6) вероятность того , что в магазине окажется ровно 4 покупателя.

Решение: Данный магазин – одноканальная СМО с неограниченной очередью. Так как ρ = λ/μ =20/25 = 0,8 < 1, то существуют предельные вероятности.

Вероятность того, что в магазине не окажется покупателей, равна p= 1 - ρ = 1 – 0,8 = 0,2.

Вероятность того , что в магазине окажется ровно 4 покупателя, равна p= =ρ· p = 0,8·0,2 = 0,082.

Средняя длина очереди L== = 3,2.

Среднее время пребывания покупателя в очереди T = L/λ = 3,2/20 = 0,16 ч = 0,16 ·60 мин = 9,6 мин.

Среднее число покупателей в магазине L= = 0,8/(1 – 0,8) = 4.

Среднее время пребывания покупателя в магазине T= L/ λ = 4/20 = 0,2 ч = 0,2·60 мин = 12 мин.

Задача № 2. Магазин с одним продавцом. Предполагается, что простейший поток покупателей поступает с интенсивностью λ = 10 человек/ч. Время обслуживания заявки - случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 15 человек/ч. Определим:

1) среднее время пребывания покупателя в очереди;

2) среднюю длину очереди;

3) среднее число покупателей в магазине;

4) среднее время пребывания покупателя в магазине;

5) вероятность того ,что в магазине не окажется покупателей;

6) вероятность того , что в магазине окажется ровно 4 покупателя.

Решение: Данный магазин – одноканальная СМО с неограниченной очередью. Так как ρ = λ/μ =10/15 = 0,66 < 1, то существуют предельные вероятности.

Вероятность того, что в магазине не окажется покупателей, равна p= 1 - ρ = 1 – 0,66 = 0,34.

Вероятность того , что в магазине окажется ровно 4 покупателя, равна p= =ρ· p = 0,66·0,34 = 0,065.

Средняя длина очереди L== = 1,281.

Среднее время пребывания покупателя в очереди T = L/λ = 1,281/10 = 0,128 ч = 0,128 ·60 мин = 7,68 мин.

Среднее число покупателей в магазине L= = 0,66/(1 – 0,66) = 1,941.

Среднее время пребывания покупателя в магазине T= L/ λ = 1,941/10 = 0,194 ч = 0,194·60 мин = 11,64 мин.

Задача № 3. Буфет лицея с одним продавцом. Предполагается, что простейший поток покупателей поступает с интенсивностью λ = 26 человек/ч. Время обслуживания заявки - случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 30 человек/ч. Определим:

1) среднее время пребывания покупателя в очереди;

2) среднюю длину очереди;

3) среднее число покупателей в буфете;

4) вероятность того ,что в буфете не окажется покупателей;

5) вероятность того , что в буфете окажется ровно 4 покупателя.

Решение: Данный буфет – одноканальная СМО с неограниченной очередью. Так как ρ = λ/μ =26/30 = 0,87 < 1, то существуют предельные вероятности.

Вероятность того, что в буфете не окажется покупателей, равна p= 1 - ρ = 1 – 0,87 = 0,13.

Вероятность того , что в очереди в буфете окажется ровно 4 покупателя, равна p= =ρ· p = 0,87·0,13 = 0,074.

Средняя длина очереди L== = 5,822.

Среднее время пребывания покупателя в очереди T = L/λ = 5,822/26 = 0,224 ч = 0,224 ·60 мин = 13,44 мин.

Среднее число покупателей в буфете L= = 0,87/(1 – 0,87) = 6,69.

Пункт 4 . Многоканальная СМО с неограниченной очередью.

Задача №1. Магазин с двумя продавцами. Предполагается, что простейший поток покупателей поступает с интенсивностью λ = 20 человек/ч. Время обслуживания заявки - случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 25 человек/ч. Определим:

1) среднее время пребывания покупателя в очереди;

2) среднюю длину очереди;

3) среднее число покупателей в магазине;

4) среднее время пребывания покупателя в магазине;

5) вероятность того ,что в магазине не окажется покупателей;

6) вероятность того , что в магазине окажется ровно 4 покупателя.

Решение: Данный магазин – двухканальная СМО с неограниченной очередью. Так как ρ = λ/μ =20/25 = 0,8 ; ρ/2 = λ/2μ =20/50 = 0,4 < 1, то существуют предельные вероятности.

Вероятность того, что в магазине не окажется покупателей, равна p= == =0,429.

Вероятность того , что в магазине окажется ровно 4 покупателя (то есть 2 покупателя обслуживаются и еще 2 покупателя в очереди), равна p= p =p==0,022.

Средняя длина очереди L= p= ·0,429 = 0,153.

Среднее время пребывания покупателя в очереди T = L/λ = 0,153/20 = 0,008 ч = 0,008 ·60 мин = 0,48 мин.

Среднее число покупателей в магазине L= L+ ρ = 0,153 + 0,8 = 0,953.

Среднее время пребывания покупателя в магазине T= L/ λ = 0,953/20 = 0,048 ч = 0,048·60 мин = 2,88 мин.

Задача № 2. Магазин с двумя продавцами. Предполагается, что простейший поток покупателей поступает с интенсивностью λ = 10 человек/ч. Время обслуживания заявки - случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 15 человек/ч. Определим:

1) среднее время пребывания покупателя в очереди;

2) среднюю длину очереди;

3) среднее число покупателей в магазине;

4) среднее время пребывания покупателя в магазине;

5) вероятность того ,что в магазине не окажется покупателей;

6) вероятность того , что в магазине окажется ровно 4 покупателя.

Решение: Данный магазин – двухканальная СМО с неограниченной очередью. Так как ρ = λ/μ =10/15 = 0,67 ; ρ/2 = λ/2μ =10/30 = 0,33 < 1, то существуют предельные вероятности.

Вероятность того, что в магазине не окажется покупателей, равна p= == =0,498.

Вероятность того , что в магазине окажется ровно 4 покупателя (то есть 2 покупателя обслуживаются и еще 2 покупателя в очереди), равна p= p =p==0,025.

Средняя длина очереди L= p= ·0,498 = 0,085.

Среднее время пребывания покупателя в очереди T = L/λ = 0,085/10 = 0,0085 ч = 0,0085 ·60 мин = 0,51 мин.

Среднее число покупателей в магазине L= L+ ρ = 0,085 + 0,67 = 0,755.

Среднее время пребывания покупателя в магазине T= L/ λ = 0,755/10 = 0,0755 ч = 0,0755·60 мин = 4,53 мин.

Задача № 3. Буфет бассейна с двумя продавцами. Предполагается, что простейший поток покупателей поступает с интенсивностью λ = 70 человек/ч. Время обслуживания заявки - случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 75 человек/ч. Определим:

1) среднее время пребывания покупателя в очереди;

2) среднюю длину очереди;

3) среднее число покупателей в буфете;

4) среднее время пребывания покупателя в буфете;

5) вероятность того ,что в буфете не окажется покупателей;

6) вероятность того , что в буфете окажется ровно 4 покупателя.

Решение: Данный буфет – двухканальная СМО с неограниченной очередью. Так как ρ = λ/μ =70/7510/15 = 0,9367 ; ρ/2 = λ/2μ =70/15010/30 = 0,4733 < 1, то существуют предельные вероятности.

Вероятность того, что в буфете магазине не окажется покупателей, равна p= == =0,365498.

Вероятность того , что в буфете магазине окажется ровно 4 покупателя (то есть 2 покупателя обслуживаются и еще 2 покупателя в очереди), равна p= p =p==0,068025.

Средняя длина очереди L= p= ·0,365498 = 0,256085.

Среднее время пребывания покупателя в очереди T = L/λ = 0,256/70085/10 = 0,00370085 ч = 0,00370085 ·60 мин = 0,22251 мин.

Среднее число покупателей в магазине L= L+ ρ = 0,256085 + 0,93 = 1,18667 = 0,755.

Среднее время пребывания покупателя в магазине T= L/ λ = 1,186/70 = 0,01690,755/10 = 0,0755 ч = 0,01690755·60 мин = 1,024,53 мин.

Пункт 5 . СМО с фиксированным временем обслуживания.

Задача № 1. На склад для разгрузки поступает простейший поток грузовиков с интенсивностью λ = 6 грузовиков в час. Разгрузка одного грузовика занимает t = 6 мин = 0,1 ч. Найдем параметры этой одноканальной СМО с фиксированным временем обслуживания.

Решение: Здесь μ = 1/ t= 1/0,1 = 10 грузовиков /ч.

Средняя длина очереди L= = = 0,45 грузовика.

Среднее время ожидания в очереди T = L/λ = 0,45/6 = 0,075 ч = 0,075 ·60 мин = 4,5 мин.

Среднее число грузовиков в системе L= L+ λ/μ = 0,45 + 6/10 = 1,05.

Среднее время пребывания грузовика на складе T= T+ t = 4,5 мин + 6 мин = 10,5 мин.

Задача № 2. На склад для разгрузки поступает простейший поток грузовиков с интенсивностью λ = 3 грузовика в час. Разгрузка одного грузовика занимает t = 15 мин = 0,25 ч. Найдем параметры этой одноканальной СМО с фиксированным временем обслуживания.

Решение: Здесь μ = 1/ t= 1/0,25 = 4 грузовика /ч.

Средняя длина очереди L= = = 1,125 грузовика.

Среднее время ожидания в очереди T = L/λ = 1,125/3 = 0,375 ч = 0,375 ·60 мин = 22,5 мин.

Среднее число грузовиков в системе L= L+ λ/μ = 1,125 + 3/4 = 1,875.

Среднее время пребывания грузовика на складе T= T+ t = 22,5 мин + 15 мин = 37,5 мин.

Пункт 6 . Одноканальная СМО с ограниченной очередью.

Задача № 1. Автозаправочная станция имеет n = 1 бензоколонку с площадкой, допускающей пребывание в очереди на заправку не более двух автомашин одновременно. Если в очереди находятся m = 2 автомашины, то очередная прибывшая автомашина проезжает мимо автозаправочной станции. Предполагается , что простейший поток автомашин поступает на станцию с интенсивностью λ = 10 автомашин/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 12 автомашин/ч. Определить параметры системы.

Решение: Данная автозаправочная станция – это одноканальная СМО с ограниченной очередью. Положим ρ = λ/μ = 10/12 = 5/6 . Вероятность того, что на станции нет автомашин ( предельная вероятность состояния Ѕ), равна

p = = = 0,322.

Пусть p - предельная вероятность состояния S.Тогда p= λ/μ ·p= =ρ· p= (5/6)·0,322 = 0,268.

Аналогично p= λ/μ ·p= ρ· p= (5/6)·0,268 = 0,224. Вероятность отказа p=

= p= λ/μ ·p= ρ· p= (5/6)·0,224 = 0,186.

Относительная пропускная способность Q = 1 - p= 1- 0,186 = 0,814. Это вероятность того, что заявка будет обслужена.

Абсолютная пропускная способность А = λ·Q = 10·0,814 = 8,14 автомашин/ч.

Среднее число заявок в очереди L= ρ²= (5/6)² = 0,596 автомашины.

Отсюда среднее время пребывания заявки в очереди T = L/λ = 0,596/10 = 0,0596 ч = 0,0596 ·60 мин = 3,576 мин.

Среднее число автомашин под обслуживанием (среднее число занятых каналов) L= 1- p= 1- 0,322 = 0,678. Тогда среднее число автомашин на станции L = L + L= 0,596 + 0,678 = 1,274 автомашины.

Отсюда среднее время пребывания заявки в системе T= L/ λ = 1,274/10 = 0,1274 ч = 0,1274·60 мин = 7,644 мин. В T входят время обслуживания автомашины и время в очереди.

Задача № 2. Автозаправочная станция имеет n = 1 бензоколонку с площадкой, допускающей пребывание в очереди на заправку не более трех автомашин одновременно. Если в очереди находятся m = 3 автомашины, то очередная прибывшая автомашина проезжает мимо автозаправочной станции. Предполагается , что простейший поток автомашин поступает на станцию с интенсивностью λ = 8 автомашин/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 10 автомашин/ч. Определить параметры системы.

Решение: Данная автозаправочная станция – это одноканальная СМО с ограниченной очередью. Положим ρ = λ/μ = 8/10 = 4/5 . Вероятность того, что на станции нет автомашин ( предельная вероятность состояния Ѕ), равна

p = = = 0,297.

Пусть p - предельная вероятность состояния S.Тогда p= λ/μ ·p= =ρ· p= (4/5)·0,297 = 0,238.

Аналогично p= λ/μ ·p= ρ· p= (4/5)·0,238 = 0,190, p= λ/μ ·p= ρ· p= (4/5)·0,190 = 0,152. Вероятность отказа p= p= λ/μ ·p= ρ· p= (4/5)·0,152 = 0,122.

Относительная пропускная способность Q = 1 - p= 1- 0,122 = 0,878. Это вероятность того, что заявка будет обслужена.

Абсолютная пропускная способность А = λ·Q = 8·0,878 = 7,024 автомашин/ч.

Среднее число заявок в очереди L= ρ²= (4/5)² = 0,861 автомашины.

Отсюда среднее время пребывания заявки в очереди T = L/λ = 0,861/8 = 0,108 ч = 0,108 ·60 мин = 6,48 мин.

Среднее число автомашин под обслуживанием (среднее число занятых каналов) L= 1- p= 1- 0,297 = 0,703. Тогда среднее число автомашин на станции L = L + L= 0,861 + 0,703 = 1,564 автомашины.

Отсюда среднее время пребывания заявки в системе T= L/ λ = 1,564/8 = 0,1955 ч = 0,1955·60 мин = 11,73 мин. В T входят время обслуживания автомашины и время в очереди.

Пункт 7 .Многоканальная СМО с ограниченной очередью.

Задача № 1. Автозаправочная станция имеет n = 2 бензоколонки с площадкой, допускающей пребывание в очереди на заправку не более трех автомашин одновременно. Если в очереди находятся m = 3 автомашины, то очередная прибывшая автомашина проезжает мимо автозаправочной станции. Предполагается , что простейший поток автомашин поступает на станцию с интенсивностью λ = 10 автомашин/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 12 автомашин/ч. Определить параметры системы.

Решение: Данная автозаправочная станция – это многоканальная СМО с ограниченной очередью. Положим ρ = λ/μ = 10/12 = 5/6 = 0,833 . Вероятность того, что на станции нет автомашин ( предельная вероятность состояния Ѕ), равна p.

Пусть p - предельная вероятность состояния S.Тогда p= λ/μ ·p= =ρ· p=0,833 p.

Аналогично p= λ/2μ ·p= ρ/2· p= (5/6)/2·0,833 p = 0,347 p.

p= λ/2μ ·p= ρ/2· p= (5/6)/2·0,347 p = 0,145 p, p= λ/2μ · p= ρ/2· p= (5/6)/2·0,145 p = 0,060 p, p= λ/2μ · p= ρ/2· p= (5/6)/2·0,060 p = 0,025 p. Так как 1 = p+ p+ p+ p+ p+ p, то 1 = p+ 0,833 p+ 0,347 p+ 0,145 p+ 0,060 p+ 0,025 p= 2,41 p.

Отсюда p= 1/2,41 = 0,415, p= 0,833 p= 0,833·0,415 = 0,346, p= 0,347 p = 0,144, p= 0,145 p= 0,060, p=0,060 p= 0,025, p= 0,025 p= 0,010 .

Вероятность отказа p= p= 0,010 (обе бензоколонки заняты, в очереди нет свободных мест).

Вероятность того ,что обе бензоколонки заняты, равна p= p= = 0,239.

Относительная пропускная способность Q = 1 - p= 1- 0,01 = 0,99. Это вероятность того, что заявка будет обслужена.

Абсолютная пропускная способность А = λ·Q = 10·0,99 = 9,9 автомашин/ч.

Среднее число свободных от обслуживания каналов N= 2· p+ 1· p= 0,830 + 0,346 = 1,176.

Среднее число заявок в очереди L= = = 0,141 автомашины.

Среднее число автомашин под обслуживанием (среднее число занятых каналов) L= = Тогда среднее число автомашин на станции L = L + L= 0,141 + 0,824 = 0,965 автомашины.

Пункт 8 . Замкнутая СМО.

Задача №1. Бригада ремонтников из n = 2 человек обслуживает m = 4 станка. Предполагается, что поломки станков образуют простейший поток заявок с интенсивностью λ = 0,1 раз/ч. Время ремонта каждого станка есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 0,5 станка/ч. Определим параметры системы.

Решение: Это замкнутая СМО. Приведенная интенсивность потока заявок ρ = λ/μ = 0,1/0,5 = 0,2. Так как число возможных состояний конечно, существуют предельные вероятности. Вероятность того,что все станки исправны ( предельная вероятность состояния S), равна p.

Пусть p - предельная вероятность состояния S.Тогда p= 4λ/μ ·p =4ρ· p=4·0,2 p = 0,8 p.

Аналогично p=3λ/2μ ·p= 1,5ρ· p= 1,5· 0,2·0,8 p = 0,24 p.

p= 2λ/2μ ·p= ρ· p= 0,2·0,24 p = 0,048 p; p=λ/2μ ·p= 0,5ρ· p= 0,5·0,2·0,048 p = 0,0048 p. Так как 1 = p+ p+ p+ p+ p, то 1 = p+ 0,8 p+ 0,24 p+ 0,048 p+ 0,0048 p= 2,0928 p.

Отсюда p= 1/2,0928 = 0,478, p= 0,8 p= 0,8·0,478 = 0,382, p= 0,24 p = 0,115, p= 0,048 p= 0,023, p= 0,0048 p= 0,002.

Средняя длина очереди L=1· p+2 · p= 0,027.

Среднее число заявок в системе L= 1· p+2 · p+ 3· p+ 4 · p= 1·0,382 + 2·0,115 + 3·0,023 + 4·0,002 = 0,689.

Среднее число свободных от обслуживания ремонтников N= 2· p+/ 1· p= 2·0,478 + 1·0,382 = 1,338.

Пункт 9 . СМО с ограниченным временем ожидания.

Задача № 1. В пункте химчистки имеется n = 2 аппарата для чистки. Поток посетителей предполагается простейшим с интенсивностью λ = 5 человек /ч. Время обслуживания каждого посетителя есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 4 человека / ч. Среднее число посетителей, покидающих очередь, не дождавшись обслуживания , равно ν = 3 человека / ч. Определим предельные вероятности этой СМО . среднюю длину очереди, среднее число заявок в системе, абсолютную и относительную пропускные способности , среднее число занятых аппаратов.

Решение: Данная химчистка – это многоканальная СМО с ограниченным временем ожидания.

Вероятность того,что оба аппарата свободны (предельная вероятность состояния Ѕ), равна p.

Пусть p - предельная вероятность состояния S.Тогда p= λ/μ ·p= =5/4 p= 1,25 p.

Аналогично p= λ/2μ ·p= (5/(2·4))·1,25 p = 0,781 p.

p= λ/(2μ+ ν) ·p= (5/(2·4+3))·0,781 p = 0,355 p.

p= λ/(2μ+2ν) ·p= (5/(2·4+2·3))·0,355 p = 0,127 p.

p= λ/(2μ+3ν) ·p= (5/(2·4+3·3))·0,127 p = 0,037 p.

p= λ/(2μ+4ν) ·p= (5/(2·4+4·3))·0,037 p = 0,009 p.

p= λ/(2μ+5ν) ·p= (5/(2·4+5·3))·0,009 p = 0,002 p.

p= λ/(2μ+6ν) ·p= (5/(2·4+6·3))·0,002 p = 0,000 p.

Поэтому 1 = p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p= p+ 1,25 p+ 0,781 p+ 0,355 p+ 0,127 p+ 0,037 p+ 0,009 p+ 0,002 p = 3,561 p.

Отсюда p= 1/3,561 = 0,281, p= 1,25 p= 0,351, p= 0,781 p = 0,219, p= 0,355 p= 0,100,

p= 0,127 p = 0,036, p= 0,037 p= 0,010,

p= 0,009 p= 0,003, p= 0,002 p=0,000.

Остальные предельные вероятности пологаются равными нулю.

Средняя длина очереди – это математическое ожидание числа посетителей, находящихся в очереди: L= 1·p+ 2·p+3·p+4·p= 1·0,100 +2·0,036 + 3·0,010 + 4·0,003 = 0,214.

Среднее число заявок в системе – это математическое ожидание числа заявок в системе: L= 0· p+1·p+2·p+3·p+4·p+5·p+6·p= 1·0,351 + 2·0,219 + 3·0,100 +4·0,036 + 5·0,010 + 6·0,003 = 1,301.

Некоторые посетители, не дождавшись обслуживания , уходят из очереди с интенсивностью ν. Поэтому без обслуживания систему покидают в среднем ν Lчеловек/ч, то есть из λ посетителей будет обслужено лишь A = λ- ν L= 5- 3·1,301 = 1,097 человек/ч. Это абсолютная пропускная способность. Относительная пропускная способность Q = A / λ = 1,097/5 = 0,2194.

Среднее число занятых аппаратов N= A / μ = 1,097/4 = 0,274.

Заключение.

Объем задач, которые относятся к теории массового обслуживания, достаточно велик: это и исследование эксплутационных признаков комплекса станков, решение вопроса о количестве контролирующих автоматов (например, в метро), проектирование оборудования для телефонных линий и ЭВМ, проектирование портовых причалов, посадочных полос аэропортов и другие. Но нас, в рамках изучаемой профессии, более интересовали задачи, имеющие коммерческую направленность. Например, если аппарат продавщиц может в среднем за час обслужить100 посетителей,а в среднем в течение 1 часа в магазине бывает не больше 95 посетителей, то можно сделать вывод: очередей не будет. Но на самом деле, вероятность того,что в очереди окажется больше 4 покупателей равна 0,47 (47%)! Более того, в этом случае имеем любопытный факт: увеличение числа продавцов на 10 % снижает вероятность появления длинной очереди в два раза!

Подводя итог всему вышесказанному, можно сделать следующие выводы:

1. На основе анализа учебной и научно-популярной литературы по теме «Системы массового обслуживания» мы показали особенности различных видов СМО.

2. Обосновали необходимость применения математических расчетов при организации работы на любом объекте в СМО.

3. Классифицировали основные виды СМО.

4. Провели исследование характеристик различных видов СМО и показали эффективность такого исследования.

Список литературы.

1. Просветов Г.И. Математические модели в экономике: Учебно-методическое пособие. – М.: Издательство РДЛ, 2005.

2. Глухов В.В., Медников М.Д.,КоробкоС.Б. Экономико-математические методы и модели в менеджменте.- СПб.:Издательство СПбГТУ,2000.

3. Исследование операции в экономике / Под ред. Н.Ш. Кремера.- М.: ЮНИТИ,1997.

4. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. – М.: ИНФРА –М,1999.

5. Кузнецов А.В.,СаковичВ.А.,Холод Н.И. Высшая математика: Математическое программирование.- Мн.: Вышэйшая школа,2001.

6. Малыхин В.И. Математика в экономике. – М.: ИНФРА-М, 1999.

7. Просветов Г.И. Математика в экономике: Задачи и решения. – М.: Издательство РДЛ,2004.

8. Чеканский А.Н.,Фролова Н.Л. Теория спроса,предложения и рыночных структур.- М.: ТЕИС,1999.

9. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие/ Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М,2003.

10. Дядченко Г.Г. Задачи, примеры, упражнения по предмету «Закономерности окружающего мира»,8 класс.Учебное пособие.М.: Авангард,1995.