МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ 

КРАСНОДАРСКОГО КРАЯ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ КРАСНОДАРСКОГО КРАЯ 

«КРАСНОДАРСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

ГЕОМЕТРИЯ В САДОВО-ПАРКОВОМ И ЛАНДШАФТНОМ

СТРОИТЕЛЬСТВЕ

Автор работы: Шишкин Илья Романович

Руководитель: Андрюхина Марина Ильинична

Краснодар, 2023 г.

СОДЕРЖАНИЕ

№        РАЗДЕЛЫ        п/п

1          ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………... 3

2         ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ                                                                                            

           2.1. ПРОЕКТИРОВАНИЕ …………………………………...…………………...     6

           2.2. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ЧАСТЬ…………………………………………      8

3             ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………… 19

4             ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………...................... 25

5             ПРИЛОЖЕНИЕ 1…………………………………………………………………   26

6         ПРИЛОЖЕНИЕ 2…………………………………………………………………     27

1. ВВЕДЕНИЕ

Геометрия глубоко проникла во многие сферы нашей жизни, и тесно связана с нашей непосредственной сферой деятельности – садово-парковым и ландшафтным строительством. 

Каждый мечтает о своём идеальном, прекрасном саде. А с чего начинается моделирование любого пространства? Конечно же, с использования простейших геометрических фигур и применения математических понятий. Ставя первую точку на плане и проводя первую линию, мы приступаем к сдаче зачё-

та на знание элементарных правил одной из древнейших математических наук – геометрии.

 Когда встает вопрос о том, как распланировать земельный участок и расположить на его пространстве различные строения и насаждения встает вопрос о пространственных формах и размерах предметов и площадей, их

сочетании в единое целое, чтобы создать некую объемную композицию, гармоничное единство самых разных предметов. 

Для хорошего ландшафтного дизайна земельного участка нужна взаимосвязь пространства, (плоскостей и объемов), выражаемая объемнопространственной композицией и основанная на общих законах гармонии и красоты. В зависимости от геометрического вида формы, ее величины и фактуры, положении в пространстве, цвета и освещенности составляется план относительного расположения предметов по их форме, по их свойствам, которые и представляют собой средства композиции. 

Несколько лет назад появилась достаточно устойчивая тенденция – городские жители стали стремительно переезжать из мегаполисов на природу. Люди предпочитают приобретать или строить загородные дома или неболь-

шие коттеджи. По данным финансового института развития в жилищной сфере «ДОМ.РФ» на 2022 год 64% россиян проживают в многоквартирных домах, 30% – в индивидуальном жилье, к которому относятся частные дома, таунхаусы, коттеджи в коттеджном поселке. При этом почти 75% россиян мечтают жить в частном доме, следует из совместного опроса «ДОМ.РФ» и ВЦИОМ – Всероссийского центра общественного мнения. 

 По данным агентства недвижимости «Аякс» самыми популярными объектами на рынке земельных участков города Краснодара у покупателей по-прежнему являются участки под ИЖС и НСТ, их доли в структуре спроса составили 47,26 % и 34,83% соответственно.

Вместе с потребностью россиян в индивидуальном жилье, благоустройстве парковых и придомовых зон, растет востребованность специалистов садово-паркового и ландшафтного строительства, грамотных, умеющих применять на практике профессиональные и научные знания, в частности знания математики и ее раздела – геометрии. В этом заключается актуальность представленной работы.

 В основу работы легла идея спроектировать пространство приусадебного участка, изучить свойства фигур, их размеров и взаимного расположения. В работе рассмотрены задачи, связанные с треугольником и его свойствами, объединенные общей тематикой. 

Цель работы – создать проект приусадебного участка, рассмотреть взаимное расположение отдельных его элементов, изучить их свойства, опираясь на известные факты планиметрии.

Цель работы определила группы задач:

− спроектировать приусадебный участок;

− определить группу рассматриваемых объектов и возможности их взаимного расположения;

− перевести постановку задачи на язык геометрии;

− сформулировать и доказать ряд свойств, характеризующих взаимное расположение рассматриваемых объектов.

Объектом исследования является группа элементов, рассматриваемых в совокупности как треугольник, а предметом исследования являются свойства, характеризующие взаимное расположение рассматриваемых элементов. 

В ходе работы использовались методы исследования:

− поиск, изучение и анализ информации;

− моделирование;

− доказательство; − обобщение.

Представленная работа является научно-исследовательской – работа содержит доказательства свойств геометрических фигур, опираясь на теоретические сведения планиметрии. Особенность данной работы заключается в том, что она содержит элементы проектирования.

2.   ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1. Проектирование.

Для создания гармоничного комфортного пространства необходимы знания моделей, геометрических пропорций, свойств различных фигур, их размеров и взаимного расположения.

В садовом искусстве приоритетными геометрическими формами являются квадрат и круг, или же их части (Приложение 1). Точка и линия, круг и квадрат выражают противоположные принципы бытия. По китайской символической традиции небо считалось круглым (отсюда название Китая – Поднебесная), а земля квадратной. В основе исламской храмовой архитектуры лежала идея квадрата, с которым связывали убежище праведников в иранской мифологии. Круг же служил обозначением космического пространства.

Главным аспектом в ландшафтном строительстве, даже, можно сказать, целью является воздействие на человека. То есть любые ландшафтные композиции должны быть построены таким образом, чтобы был положительный эффект воздействия на человека. Поэтому в основу многих динамичных композиций положен треугольник (Приложение 2).

Главное правило треугольника универсально: не брать исходные компоненты в равных долях. Это практически означает то, что треугольники должны быть по возможности разносторонними и не прямоугольными. Если вдруг один из углов окажется прямым, то один компонент может заслонить другой, и на этом направлении целостная группа не будет видна. Зная это правило, можно красиво посадить любую группу из трех элементов: пусть это будут гортензии или туи, или любые три куста или дерева. Такая группа будет красиво смотреться, то есть положительно воздействовать на человека.  

Рассмотрим проект приусадебного участка, при создании которого использовалось правило треугольника (Рис. 1). Участок разбит на три основных

зоны: садовую, спортивно-игровую и центральную. По периметру центральной зоны располагаются объекты: жилой дом, хозблок, беседка, бассейн, ландшафтные композиции, а на территории центральной зоны располагается зона отдыха и разбиты цветочные клумбы.

Нарисуем схему участка, и зададим условия расположения представленных на схеме объектов (Рис. 2).

Будем считать стационарными объекты (1) – жилой дом, (2), (3) – ландшафтные композиции, образующие центральную зону домовладения в форме треугольника. Положение бассейна – объект (4) будем считать произвольным на отрезке между объектами (2) и (3). Объект (5) – хозблок, расположенный на отрезке между объектами (1) и (3), а объект (6) – беседка, рас-

положенная на отрезке между объектами (1) и (2) Положение объектов (5) и (6)  определены в зависимости от положения объекта (4) – бассейна, поскольку располагаются на кротчайшем расстоянии от бассейна. 

От расположения объекта (4) зависит разбиение центральной зоны (1)(2)-(3) и конфигурация его частей. Реализация проекта требует решения следующих задач: рассчитать количество стройматериалов – песка, гравия и плитки для укладки дорожек, количество семян и удобрений для разбиения газонов, рассчитать количество рассады цветов для оформления клумб и т.д. При этом должны учитываться факторы, позволяющие сделать проект более экономичным – учесть затраты на земляные работы, работы по укладке дорожек, стоимость строительных материалов, расходы на покупку рассады и др. 

Решение этих задач требует расчетов, связанных с измерением длин и площадей фигур, составляющих центральную зону, а это связано с исследованием свойств фигур. Потребуется знание основ геометрии и методов доказательств.

Изучим ситуацию с математической точки зрения. Для этого сформулируем задачу на языке математики и приступим к исследовательской части работы.

2.2. Исследовательская часть.

 Рассмотрим центральную зону (1)-(2)-(3) как треугольник АВС (остроугольный или прямоугольный) соответственно (рис.1). Рассмотрим объект (4) – бассейн, как точку Х, принадлежащую стороне ВС. Положение бассейна –

точки Х произвольно на отрезке ВС. Далее рассмотрим объект (5) – хозблок, как точку М, а объект (6) – беседку, как точку N. По проекту положение объектов (5) – точки М и (6) – точки N определены в зависимости от положения объекта (4) – точки Х, поскольку располагаются на кротчайшем расстоянии от бассейна. Следовательно, точки М и N – проекции точки Х на стороны АС и АВ соответственно, т. е. ХМ ⊥ АС, ХN ⊥ АВ.  

Свойства отрезка МN и величин, связанных с данным треугольником, зависят от расположения точки Х на отрезке ВС.

Исследуем свойства отрезка, концы которого совпадают с проекциями точки Х на две стороны треугольника, когда эта точка движется по третьей его стороне.

Для этого рассмотрим случаи, когда:

1)    Положение точки Х на стороне треугольника произвольно.

2)    Точка Х совпадает с серединой стороны треугольника.

3)    Точка Х совпадает с основанием высоты, проведенной к стороне треугольника;

4)    Точка Х совпадает с точкой пересечения биссектрисы треугольника.

Большинство рассмотренных задач имеют как необходимое, так и достаточное условия. Но в некоторых задачах доказывается одно из них (или необходимость, или достаточность), если доказательство второго условия отличается только логической последовательностью и не требует использования новых фактов.

1) Положение точки Х на стороне треугольника произвольно.

Задача 1.1. Докажем, что МN = АХ ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛼, где 𝛼 = ∠ВАС.

Доказательство. По условию ХМ ⊥ АС, ХN ⊥ АВ, сумма противоположных углов четырехугольника АМХN равна 180°, следовательно, вокруг четырехугольника АМХN можно описать окружность (рис. 2). 

Обозначим радиус описанной окружности через R. Очевидно, что АХ = 2R (гипотенуза прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, проходит через центр окружности). Пусть α = ∠ВАС, тогда из треугольника АМN по теореме синусов имеем:

МN

 = 2R; МN = 2R ∙ sin α;  sin α

МN = АХ ∙ sin α. (1)

Задача 1.2. Докажем, что треугольник АВС равнобедренный (АВ = АС) тогда и только тогда, когда длина отрезка ХМ + ХN равна длине высоты треугольника АВС, опущенной на сторону АВ или АС.

Докажем необходимость. Пусть АВ = АС = b, ВС = а (рис. 3). Обозначим ВХ = m, CX = n, ∠ABC = ∠ACB = β; обозначим через h длину высоты ВР треугольника, проведенной из вершины В. Тогда ХМ = n sin β, ХN = m sin β.

Имеем соотношение:

ХМ + ХN = n sinβ + m sin β = (n + m) sinβ = а ∙ sin β.

С другой стороны, из треугольника ВРС имеем:  h = а ∙ sin β.

Следовательно, ХМ + ХN = h.

Докажем достаточность. Пусть АВ = с, АС = b. Обозначим через

S_ABС, S_ABX, S_ACX площади треугольников АВС, АВХ и АСХ соответственно. 

Пусть ХМ + ХN = h. 

Очевидно, что S_ABX + S_AСX = S_ABС, тогда b ∙ ХМ + с ∙ ХN = b ∙ h. 

Так как ХМ = h – ХN, то b (h – ХN) + с ∙ ХN = b ∙ h:  b ∙ h – b ∙ ХN + с ∙ ХN = b ∙ h; b ∙ ХN = с ∙ ХN, т.е. b = с.

Задача 1.3. Докажем, что в остроугольном треугольнике АВС отрезок МN параллелен стороне ВС тогда и только тогда, когда точка Х есть пересечение отрезка ВС с диаметром АD окружности, описанной около треугольника АВС.

Докажем достаточность. Пусть точка Х принадлежит отрезку АD – диаметру окружности, описанной около треугольника АВС (рис.4). Вписанные углы DCВ и DАВ равны как опирающиеся на одну и ту же дугу DB.

По условию AD – диаметр окружности, следовательно, ∠DСА = 90°. Из условия следует так же, что ∠ХМА = ∠ХNA = 90°. 

Опишем окружность вокруг четырехугольника ХМАN. Углы ХМN и ХАN равны как опирающиеся на одну и ту же дугу ХN.

Получим: ∠NМА = 90° – ∠ХМN, ∠ВСА = 90° – ∠DСВ. Так как ∠DСB = ∠DAB, то ∠ВСА = 90° – ∠DАВ = 90° – ∠ХAN = 90° – ∠ХМN. Следовательно, ∠ВСА = ∠NМА. 

Так как углы ВСА и NМА – соответствующие углы, образованные прямыми МN и ВС и секущей АС, то отрезки МN и ВС параллельны.

Докажем необходимость. Пусть МN ∥ ВС. Опишем около треугольника АВС окружность с центром О. Продолжим отрезок АХ до пересечения с окружностью в точке D. 

Треугольники АNM и АВС гомотетичны (∠А – общий, ∠ВСА = ∠NМА). В гомотетичных окружностях, описанных около этих треугольников, отрезки АХ и АD – диаметры, а значит, центр окружности, описанной около треугольника АВС, принадлежит отрезку АХ.

Задача 1.4. Докажем, что площадь S остроугольного треугольника

АВС вычисляется по формуле

S = 0,5 МN ∙ АF,  (2)

Где АF – хорда окружности, описанной около треугольника АВС, причем отрезки АF и МN перпендикулярны.  

Доказательство. Докажем сначала подобие треугольников САХ и FАВ (рис. 5). Заметим, что ∠ХСА = ∠ВFА. Чтобы найти еще одну пару равных углов, опишем около четырехугольника АNХМ окружность. ∠МАХ = ∠МNХ – как вписанные, опирающиеся на одну дугу, а ∠FАВ = ∠МNХ – как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Значит, ∠МАХ = ∠FАВ и подобие треугольников доказано. Из подобия следует, что ^АВ = ^AX или АВ ∙ АС = АХ ∙ АF. 

                                                                                  АF       AC

Обозначим α = ∠ВАС, тогда 0,5 АВ ∙ АС ∙ sin α = 0,5 АХ ∙ АF ∙ sin α. По формуле (1) АХ ∙ sin α = МN, значит S = 0,5 МN ∙ АF.

2) Точка Х совпадает с серединой стороны треугольника.

Задача 2.1. Докажем, что из всех треугольников ХМN наибольшую площадь имеет тот, у которого точка Х совпадает с точкой М₁ – серединой стороны ВС.

Доказательство. Введем обозначения S_x – площадь треугольника ХМN, ВХ = х, ХС = а – х (а – длина стороны ВС), α = ∠ВАС, γ = ∠АСВ, β =

∠АВС (рис. 6). Тогда

S_x = 0,5 ХМ ∙ ХN ∙ sin(180° − α) = 0,5 (а – х) sin γ ∙ х sin β ∙ sin α = 0,5 х (а – х) sin α ∙ sin γ ∙ sin β.

Поскольку х + (а – х) = а, то наибольшая площадь будет при х = а – х, т.е. х = 0,5а. 

Замечание. Данный факт легко доказывается с помощью производной:

если число можно представить в виде суммы двух слагаемых, то произведение этих чисел будет наибольшем в случае, когда слагаемые равны. 

Для дальнейших рассуждений обозначим найденную площадь через Q.

Задача 2.2. Докажем, что если точка Х совпадает с серединой отрезка ВС точкой М₁, то площадь Q треугольника М₁МN вычисляется по формуле

Q  

где S – площадь треугольника АВС, 𝛼 = ВАС.

Доказательство. Обозначим через h_b и h_c длины высот треугольника, проведенных из вершин В и С, через b – длину стороны АС,  = ВАС (рис.

7). Тогда 

Q .

Так как отрезки М₁М и h_b перпендикулярны стороне АС, то они лежат на параллельных прямых. По условию М₁ – середина СВ, следовательно, по теореме Фалеса М₁М =  h_b. Аналогично рассуждая, получим М₁N =  h_c. Тогда

Q  h_b h_c .

Из треугольника САС высота h_c = АС   = b  . Тогда

Q .

Задача 2.3. Докажем, что если точка Х совпадает с серединой отрезка ВС точкой М₁, то площадь треугольника М₁МN не превышает  S, где S – площадь треугольника АВС, а наибольшего значения площадь треугольника М₁МN достигает в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом А.

Доказательство. По формуле , но   1, по-

этому S_М1М_N  (рис. 6). Если  = ВАС = 90°, то sin α = 1 и S_М1М_N  =  S,

т.е. площадь треугольника М₁МN достигает своего наибольшего значения.

3) Точка Х совпадает с основанием высоты, проведенной к стороне треугольника.

Задача 3.1. Докажем, что наименьшим отрезок МN будет в том и только в том случае, когда точка Х совпадает с точкой Н основанием высоты АН. 

Докажем необходимость. Опираемся на рассуждения, приведенные в задаче 1.1. В соотношении МN = АХ ∙ sin α значение sin α постоянно для данного треугольника. Значит, длина отрезка МN зависит от длины отрезка АХ, которая будет наименьшей, когда АХ ⊥ ВС. 

Задача 3.2. Докажем, что точка Х совпадает с основанием высоты

АН треугольника АВС тогда и только тогда, когда МN = ^𝑆, где S – площадь

𝑅

треугольника АВС, R – радиус описанной около треугольника АВС окружности.

Докажем необходимость. Пусть точка Х совпадает с точкой Н, α = ∠ВАС. Отрезок АН является общей гипотенузой прямоугольных треугольников АМН и АNH, поэтому АН является диаметром окружности, описанной около четырехугольника АМНN. 

Обозначим АН = h_𝑎 (рис.  8). Тогда, по формуле (1), МN = h_𝑎 sin α. 

Обозначим CB = a, тогда S  a, или h_𝑎 = ²_𝑎^S. 

По теореме синусов имеем  ^𝑎 = 2R или sin α = ^𝑎 . 

                                                                                           sin α                                               2R

                   Тогда МN = ^S.  (4)

                                                   𝑎      2R       R

Докажем достаточность. Пусть МN = ^S. Из формулы (1) следует, что  R

                                                                                МN                                      S             2S

АХ = sin α, или АХ = R sin α = 𝑎 = h_𝑎,

а это значит, что точка Х совпадает с точкой Н.

Задача 3.3. Докажем, что для совпадения точек Х и Н, где Н - основание высоты АН треугольника АВС, необходимо и достаточно, чтобы ∠АМN = ∠АВС.

Докажем необходимость. Пусть точка Х совпадает с точкой Н. Обозначим величину угла АМN через γ (рис. 9). Опишем окружность вокруг четырехугольника АМНN. Углы АМN и АНN равны как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу, т.е. ∠АМN = ∠АНN = γ, или ∠АХN = γ. 

Тогда ∠NНВ = 90° – γ. В треугольнике ВНN угол при вершине N прямой, тогда ∠АВС = ∠ ВNH – ∠ NHB = 90° – (90° – γ) = γ. Следовательно, ∠АМN = ∠АВС.

Докажем достаточность. Считаем, что ∠АМN = γ и ∠АВС = γ, тогда ∠NХВ = 90° – γ. Выше было доказано, что ∠АХN = γ. Из последних двух равенств следует, что ∠АХВ = 90°, а значит, точка Х совпадает с точкой Н.

Задача 3.4. Докажем, что для совпадения точек Х и Н, где Н - основание высоты АН треугольника АВС, необходимо и достаточно, чтобы точки В, С, М, N принадлежали одной окружности.

Докажем необходимость. Пусть точки Х и Н совпадают. В предыдущей задаче было показано, что ∠АМN = ∠АВС = γ (рис. 9). В таком случае ∠СМN + ∠NВС = 180° – γ + γ = 180°. Это значит, что вокруг выпуклого четырехугольника ВСМN можно описать окружность.

Докажем достаточность. Пусть точки В, С, М, N принадлежат одной окружности. 

Введем новое обозначение: ∠ХМN = φ (рис. 9). Тогда 90° + φ + γ = 180° и, значит, φ + γ = 90°. В треугольнике АХВ имеем ∠АХВ + φ + γ = 180°.

Отсюда ∠АХВ = 90°, т.е. точки Х и Н совпадают.

Задача 3.5. Пусть точка Х совпадает с основанием высоты АН треугольника АВС. Докажем, что отрезок МN делит площадь S треугольника АВС пополам тогда и только тогда, когда центр О окружности, описанной около треугольника АВС, принадлежит этому отрезку.

Докажем необходимость. Пусть площадь треугольника АМN равна  S и равна  МN ∙ АК, где АК – высота треугольника АМN (рис. 10).  Тогда МN ∙ АК = S.

Учитывая формулу (4) МN = ^S, имеем ^S ∙ АК = S, откуда АК = R, зна-

                                                                                                 R                       R

чит, центр О совпадает с точкой К, а значит принадлежит отрезку МN. 

Докажем достаточность. Пусть точка О принадлежит отрезку МN. Опираясь на задачи 3.3. и 3.4. несложно показать, что если точки Х и Н совпадают, то отрезки МN и ОА перпендикулярны. Пусть АF диаметр окружности. ∠АВF = 90°, т.к. опирается на диаметр, ∠АНС = 90°,  ∠АСВ = ∠АFВ как опирающиеся на дугу АВ, следовательно, треугольники АНС и АВF подобны по двум углам. Из подобия следует равенство углов САВ и ВАF, а значит справедливо равенство ∠МАО = ∠ВАН = 𝜑.

В треугольнике МАО сумма углов  ∠МАО + ∠ОМА = 𝜑 + 𝛾 = 90°, а значит ∠АОМ = 90°.

В таком случае, используя формулу (4) получим:

                                                                 SAMN = 12 MN 2    R             2              .

Задача 3.6. Пусть точки Х и Н совпадают, где Н - основание высоты

АН треугольника АВС, а R – радиус окружности, описанной около треугольника АВС. Докажем, что отрезок МN делит площадь S треугольника АВС пополам тогда и только тогда, когда АН = R.

Докажем достаточность. Пусть S_AMN  S. В задаче 3.3. доказано, что ∠АМN = ∠АВС, следовательно, треугольники АМN и АВС подобны по двум углам (∠А – общий) (рис. 10). Получим равенства

                                                                                            SАМN              h2              1

                                                                                                       =      ₂ = ,

                                                                                                S           AH          2

где h – высота треугольника АМN. Воспользовавшись результатом предыдущей задачи, получим h = OA = R. Значит, ^R2₂ = ¹. Откуда АН = R.

                                                                                                                       AH          2

4) Точка Х совпадает с точкой пересечения биссектрисы треугольника.

Задача 4.1.  Пусть АН – высота треугольника АВС, а точка L – пересечение биссектрисы угла ВАС и стороны В. Докажем, что точка Х совпадает с точкой L тогда и только тогда, когда ∠МНА = ∠NНА.

Докажем необходимость. Пусть точки Х и L совпадают. Опишем около четырехугольника АМLN окружность, ∠AML = ∠ ANL = 90°; ∠МAH + ∠ MLN = 180°. 

Прямой угол АНL опирается на диаметр АL, следовательно точка Н принадлежит окружности, описанной около четырехугольника АМLN, (рис.

11). 

В прямоугольных треугольниках АМL и АNL углы МАL и NАL равны, так как по условию АL – биссектриса угла ВАС. Следовательно, равны углы МLА и NLА, а значит, равны дуги АМ и АN. Из этого следует, что ∠МНА = ∠ NНА.

Задача 4.2. Пусть точка Х совпадает с точкой L, где точка L – пересечение биссектрисы угла ВАС и стороны ВС, и точка J – центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Докажем, что точка J принадлежит отрезку МN в том и только в том случае, когда выполняется равенство:

𝛼

= a,

где 𝛼 = ∠ВАС, а = ВС, р – полупериметр треугольника АВС.

Докажем необходимость. Пусть точка J является пересечением отрезков МN и АL (рис. 12). Прямоугольные треугольники АМL и АNL равны по гипотенузе и острому углу, значит МL = LN. Тогда равны треугольники МJL и NJL, значит, МJ = JN, т.е. МJ =  МN.

Обозначим радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, через r, тогда

r = МJ ∙ cos ^𝛼.  (5)

2

Выразим длину отрезка МJ через b и с – длины сторон АС и АВ соответственно. Поскольку X и L совпадают, формулу (1) можно переписать в виде: МN = AL ∙ sin α. Тогда 

МJ =  МN =  AL ∙ sin α.

Выразим АL через b и с. Заметим, что

SAВL ,

S_AСL  МL = ,

S_AВС= S_AВL + S_AСL, следовательно, выполняются соотношения: 

; 

АL = .

b+с

В таком случае МJ , т.е. МJ  

                                                                         2     b+с               2                                                         b+с               2

Подставив выражение (6) в выражение (5), получим  r , или . b+с 2              р            b+с        2

Отсюда b + с = 2р cos^{2 α}. С другой стороны, b + с = 2р – а, значит, 2р – 2

а = 2р cos^{2 α}. 

2 Следовательно, а = 2р – 2р cos^{2 α} = 2р (1 – cos^{2 α}) = 2р sin^{2 α}.

                                                                                                      2                                       2                             2

Задача 4.3. Докажем, что если точка Х совпадает с точкой L, где точка L – пересечение биссектрисы угла ВАС и стороны ВС, то площадь S остроугольного треугольника АВС вычисляется по формуле:

S  МN ∙ АF,

где F – точка пересечения биссектрисы угла ВАС с описанной около треугольника АВС окружностью.

Доказательство. По условию АF – хорда окружности, описанной около треугольника АВС. 

Пусть отрезки МN и АF пересекаются в точке K (рис. 13). Из равенства треугольников МАL и NАL следует равенство треугольников МКL и NКL, а значит, ∠МКL = ∠NКL = 90°, т.е. АF ⊥ МN. Таким образом, выполняются все условия задачи 1.4, в которой доказано, что S =  МN ∙ АF.

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении обобщим результаты исследований.  

В данной работе рассмотрены задачи, объединенные общей постановкой. Дан треугольник АВС (остроугольный или прямоугольный) и точка Х, принадлежащая стороне ВС (рис. 1). Точки М и N – проекции точки Х на стороны АС и АВ соответственно, т. е. ХМ ⊥ АС, ХN ⊥ АВ. 

В ходе работы были доказаны следующие свойства.

1) Положение точки Х на стороне треугольника произвольно.

Свойство 1.1.  Справедливо соотношение МN = АХ ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛼, где 𝛼 = ∠ВАС (рис.2).

Свойство 1.2. Треугольник АВС равнобедренный (АВ = АС) тогда и только тогда, когда длина отрезка ХМ + ХN равна длине высоты треугольника АВС, опущенной на сторону АВ или АС (рис.3).  

Свойство 1.3. В остроугольном треугольнике АВС отрезок МN параллелен стороне ВС тогда и только тогда, когда точка Х есть пересечение отрезка ВС с диаметром АD окружности, описанной около треугольника АВС (рис. 4).

Свойство 1.4. Площадь S остроугольного треугольника АВС вычисляется по формуле

S = 0,5 МN ∙ АF,  

Где АF – хорда окружности, описанной около треугольника АВС, причем отрезки АF и МN перпендикулярны (рис. 5).  

2) Точка Х совпадает с серединой стороны треугольника. Свойство 2.1. Из всех треугольников ХМN наибольшую площадь имеет тот, у которого точка Х совпадает с точкой М₁ – серединой стороны ВС (рис. 6).

Свойство 2.2. Если точка Х совпадает с серединой отрезка ВС точкой М₁, то площадь Q треугольника М₁МN вычисляется по формуле

Q 𝛼, 

где S – площадь треугольника АВС, 𝛼 = ∠ВАС (рис. 6).

Свойство 2.3. Если точка Х совпадает с серединой отрезка ВС точкой М₁, то площадь треугольника М₁МN не превышает величины   S, где S – площадь треугольника АВС, а наибольшего значения площадь треугольника

М₁МN достигает в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом А (рис.

6).

3) Точка Х совпадает с основанием высоты, проведенной к стороне треугольника.

Свойство 3.1. Отрезок МN будет наименьшим в том и только в том случае, когда точка Х совпадает с точкой Н основанием высоты АН (рис. 7).

Свойство 3.2. Точка Х совпадает с основанием высоты АН треуголь-

ника АВС тогда и только тогда, когда МN = ^𝑆, где S – площадь треугольни-

𝑅

ка АВС, R – радиус описанной около треугольника АВС окружности (рис.8).  

Свойство 3.3. Для совпадения точек Х и Н, где Н - основание высоты АН треугольника АВС, необходимо и достаточно, чтобы ∠АМN = ∠АВС

(рис. 9).

Свойство 3.4. Для совпадения точек Х и Н, где Н - основание высоты АН треугольника АВС, необходимо и достаточно, чтобы точки В, С, М, N принадлежали одной окружности (рис. 10).  

Свойство 3.5. Пусть точка Х совпадает с основанием высоты АН треугольника АВС. Отрезок МN делит площадь S треугольника АВС попо-

лам тогда и только тогда, когда центр О окружности, описанной около треугольника АВС, принадлежит этому отрезку (рис. 11).  

Свойство 3.6. Пусть точка Х совпадает с основанием высоты АН треугольника АВС, а R – радиус окружности, описанной около треугольника АВС. Отрезок МN делит площадь S треугольника АВС пополам тогда и только тогда, когда АН = R(рис. 12)

4) Точка Х совпадает с точкой пересечения биссектрисы треугольника.

Свойство 4.1.  Пусть АН – высота треугольника АВС, а точка L – пересечение биссектрисы угла ВАС и стороны В. Доказать, что точка Х совпадает с точкой L тогда и только тогда, когда ∠МНА = ∠ NНА (рис. 13).

Свойство 4.2. Пусть точка Х совпадает с точкой L, где точка L – пересечение биссектрисы угла ВАС и стороны ВС, и точка J – центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Точка J принадлежит отрезку МN в

том и только в том случае, когда выполняется равенство:

𝛼

= a,

где 𝛼 = ∠ВАС, а = ВС, р – полупериметр треугольника АВС (рис.14).  

Свойство 4.3. Если точка Х совпадает с точкой L, где точка L – пересечение биссектрисы угла ВАС и стороны ВС, то площадь S остроугольного треугольника АВС вычисляется по формуле:

S =  МN ∙ АF,

где F – точка пересечения биссектрисы угла ВАС с описанной около треугольника АВС окружностью (рис. 15).  

ВЫВОД. В исследовательской части представленной работы доказаны ряд свойств и соотношений, которые можно применять для решения задач как планиметрии, так и стереометрии – в этом заключается теоретическая значимость научно-исследовательской работы. На свойства, доказанные в одних задачах данной работы, мы опирались при решении последующих задач.  

Практическая значимость научно-исследовательской работы заключается в возможности применять полученные знания о свойствах фигур на плоскости в садово-парковом и ландшафтном строительстве – при проектировании участка и, в частности, при решении задач, связанных с нахождением площади фигур. В задачах 1.4.; 2.2.; 3.5.; 3.6.; 4.3. доказаны свойства пло-

щадей треугольников, которые могут применяться при решении практических задач на вычисление площадей фигур. В задачах 2.1. и 2.3. рассматриваются свойства, позволяющие дать оценку площади треугольника, и могут применяться при решении задач на оптимизацию, которые традиционно решатся с помощью производной.

Результаты работы позволили расширить круг известных фактов планиметрии о свойствах фигур на плоскости. Полученный опыт позволит в дальнейшем изучать пространственные формы и продолжить данную работу в этом направлении.

Научно-исследовательская работа содержит элементы проектирования пространства приусадебного участка. При этом, в процессе проектирования, мы ушли от традиционных форм и применили правило треугольника, что придает новизну работе.

Литература:

1.       Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии.

– М.: Просвещение, 2002. – 320 с.

2.       Погорелов А.В. Геометрия: учебник для 7 – 11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2018. – 383 с.

3.       Смирнова И.М. Геометрия, 10 – 11 классы: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2012. – 288 с.

4.       http://my-interests.ru/pravilo-treugolnika/    

5.       https://pikabu.ru/story/landshaftnyiy_dizayn_uchastka_pravilo_treugolnika_ 4156518  

6.       https://florantino.ru/pravilo-treugolnika-v-landshaftnom-dizajne.html  

7.       https://vk.com/topic-157203853_38413663  

8.       http://www.berso-design.ru  

Приложение 1.

ПРЯМОУГОЛЬНИК И КРУГ В ОРГАНИЗАЦИИ ЛАНДШАФТНОГО ПРОСТРАНСТВА

Приложение 2.

ТРЕУГОЛЬНИК В ОРГАНИЗАЦИИ ЛАНДШАФТНОГО ПРОСТРАНСТВА