Инфоурок / Математика / Научные работы / Научно - исследовательская работа "Решение уравнений и задач в целых числах"

Научно - исследовательская работа "Решение уравнений и задач в целых числах"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Башкирский лицей №2

Ленинского района городского округа

город Уфа Республики Башкортостан






Решение уравнений и задач в целых числах











Автор: Рахимов Азамат Шамилевич

ученик 9а класса МБОУ Башкирский лицей №2

Ленинского района г. Уфа РБ

Научный руководитель: Газизова Гульзиган Салихзяновна,

учитель математики, МБОУ Башкирский лицей №2

Ленинского района г.Уфа РБ











Уфа 2014

Содержание

I. Введение.

II. Решение в целых числах уравнений первой степени с двумя неизвестными разными способами.

III. Решение в целых числах уравнений второй степени с двумя неизвестными.

3.1. Метод разложения на множители.

3.2. Графический метод решения.

IV. Заключение.

V. Литература.































I.Введение

Задачи этой тематики достаточно часто встречаются на вступительных экзаменах, на ЕГЭ. Несмотря на то, что этими задачами занимались многие выдающиеся математики древности (Пифагор, Диофант, П. Ферма, Л. Эйлер, Ж.Л. Лагранж и др.), универсальные методы в этой области, позволяющие решить в целых числах любое уравнение, отсутствуют. Проблема решена только для уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными. Однако и для этих уравнений использование полученных методов часто оказывается не самым эффективным и достаточно трудоемким.

Я изучил наиболее часто используемые приемы решения уравнений в целых числах.

Любое уравнение, которое требуется решить в целых числах, называют диофантовым уравнением. Простейшим из них является линейное диофантово уравнение вида ax + by + c, где а, в, с -целые числа. Его решение (х;у)-пара целых чисел.

Теорема. Линейное диофантово уравнение ах + ву = с, где а,в,с -целые числа, имеет решение тогда и только тогда,когда с делится на НОД чисел а и в. Если d=НОД(а,в), а=аd, в=вd, c=cd и (х)- некоторое решение уравнения ах+ву=с, то все решения задаются формулами х=хt, y=y-at, где t-произвольное целое число.

II. Решение в целых числах уравнений первой степени с двумя неизвестными разными способами.

1) Решить в целых числах: 7х+4у=123

НОД(7;4)=1. Найдем какое-нибудь решение (х₀;у₀) данного уравнения. Выразим переменную, имеющую наименьший по модулю коэффициент:

4у=123-7х,

Если х₀=1,то у₀=29.

Запишем ответ.

х=1+4t

y=29-7t, где t-произвольное целое число.

Второй способ:

Выразим у:


Целые решения существуют, если 3-3х=4k ,где k-целое число. Аналогично,



т.е k=3t,где t-целое число





Ответ: х=1-4t, у=29+7t

2)Решим в целых числах: 15х+78у=12

НОД(15;78)=3 15=3·5 78=3·26

Найдем какое-нибудь решение (х) данного уравнения. Выразим переменную, имеющую наименьший по модулю коэффициент:

х=

Если х0=6 ,то у=-1

Запишем ответ по теореме

х=6+26t y=-1-5t

III. Решение в целых числах уравнений второй степени с двумя неизвестными.

Рассмотрим разные приемы решения уравнений в целых числах, степень которых превышает 1.

3.1. Метод разложения на множители.

1) 2ху-6х=9х-3у+6

2ху-6х²-9х+3у=6

2х(у-3х)+3(у-3х)=6

(2х+3)(у-3х)=6

Так как х и y-целые числа, то (у-3х) Z и (2х+3) Z. Поэтому для решения достаточно рассмотреть все возможные варианты разложения числа 6 в произведение двух целых множителей. Всего существует 4 случая: 6=23, 6=(-2) (-3), 6=16, 6=(-1) (-6). Соответственно, далее остается решить 8 систем линейных уравнений:

1) 5)

2) 6)

3) 7)

4) 8)

Первая, третья, шестая, восьмая системы не имеют решений. Из второй получаем х=0, у=2. Из четвертой х=-3,у=-11. Из пятой х=-1,у=3. Из седьмой х=-2,у=-12.

2)Решим методом разложения на множители:

х2-7ху+6у2=18

2-6ху)+(6у2-ху)=18

х(х-6у)-у(х-6у)=18

(х-у)(х-6у)=18



n·n=18

Сложив уравнения системы получим:

5у= n-n

у=

18=1·18, 18=2·9, 18=3·6, 18=(-1)·(-18), 18=(-2)·(-9), 18=(-3)·(-9).

Подставляем значения в уравнение и получаем, что решений нет.

3.2. Графический метод решения.

Найти все целочисленные пары (х;у), удовлетворяющие уравнению:

Найдём сначала все целые допустимые пары:

.



Изобразим множество решений полученной системы на координатной плоскости.

hello_html_60c0d6ae.png

Множеством всех решений системы является заштрихованная область с границей. Выберем только интересующие нас целые решения:(2;0),(2;1),(3;1). Из этих пар исходному уравнению подходит только пара (2;1).





IV. Заключение.

В ходе проделанной работы я научился решать уравнения и задачи в целых числах. Сделала подборку и решила задачи из ЕГЭ, вступительных экзаменов в МГУ, задачи практического содержания. В процессе выполнения данной работы я узнала много нового, думаю, что все это пригодится мне в учёбе.















































V Список литературы

  1. Г.И. Фалин, А.И. Фалин, Алгебра на вступительных экзаменах по математике в МГУ. Москва БИНОМ. Лаборатория знаний 2009.

  2. ФИПИ. Единый государственный экзамен 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся. «Интеллект-Центр» 2010.

  3. Учебно-методическая газета «Математика». Издательский дом «Первое сентября» №16, 2007 г.

  4. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. Алгебра и начала математического анализа. Профильный уровень. Издательство «Мнемозина», 2011 г.

  5. М.И. Шабунин, А.А. Прокофьев. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Москва. БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009 г.

Общая информация

Номер материала: ДБ-330250

Похожие материалы