Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Научно – методическая разработка по теме: «Производная, её применение» (элективный курс с поурочными разработками)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Научно – методическая разработка по теме: «Производная, её применение» (элективный курс с поурочными разработками)

библиотека
материалов

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 4» имени Героя Советского Союза Знаменского В.С. г. Сухиничи Калужской области.




Научно – методическая разработка по теме: «Производная, её применение»





Учитель математики: Жарова Оксана Александровна.




































Введение.

Часто бывает так, что решая задачи, далёкие друг от друга по содержанию, мы приходим к одной и той же математической модели. Актуальность темы «Производная, её применение» следует из того, что человек в повседневной деятельности постоянно сталкивается с решением задач, которые могут быть полностью описаны с помощью функций на математическом языке, а между тем производная является мощным орудием исследования функций. Тема «Производная, её применение» в школьном курсе математики является одним из основных разделов начал математического анализа. В связи с недостаточной разработкой данной темы в методическом плане эта тема интересует многих методистов в настоящее время и меня, в частности, как учителя математики и физики в средней школе. Кроме того, материал по выбранной теме интересен с точки зрения истории. Данной темой и ее разработкой занимались такие великие ученые, как Лейбниц и Ньютон – основоположники дифференциального исчисления.

Часто, ученики, сталкиваясь с этим понятием в первый раз, не понимают для чего нужно его изучать. Они не видят практического применения этой темы. Поэтому данная разработка направлена на то, чтобы ученики выяснили, зачем нужно изучать производную, где можно использовать знания, связанные с производной в жизни, а также в других предметах. При сдаче ЕГЭ выпускники так же часто сталкиваются с трудностями при решении задач с использованием производной не только в математике, но и в физике.

Цель разработки: изучить научно-методическую литературу и адаптировать наиболее интересный материал к процессу обучения учащихся.

Задачи разработки: провести анализ теоретических основ изучения производной в школьном курсе математики; разобрать типичные примеры по данной теме; составить систему упражнений, обеспечивающих прочное усвоение учащимися основных приёмов решения задач ЕГЭ на применение производных.

Объектом исследования явилась производная в школьном курсе математики.

Предметом исследования является методика обучения учащихся по выбранной теме исследования.

Объект исследования и цель исследования обусловили выбор следующих частных задач исследования:

- провести исследовательский анализ теоретических основ изучения производной в школьном курсе математики;

- разработать элективный курс по теме исследования;

- составить систему упражнений, обеспечивающих прочное усвоение учащимися основным приёмам решения задач.


Основная часть.

Программа элективного курса «Производная в жизни».

Пояснительная записка

Элективный курс «Производная в жизни» рассчитан на учащихся 10-х классов, увлекающихся математикой и планирующих связать дальнейшее обучение в техническом и экономическом направлении.

Рассчитан на 16 часов. При необходимости можно сократить до 9 часов (сокращенный вариант). Система оценивания – зачетная. В конце разделов учащимся предлагаются задачи для самостоятельного решения, а в конце курса учащиеся защищают проект, выбранный ими из предложенных тем (не возбраняется, если ученики сами предложат темы проектов).

В курсе «Алгебра и начала анализа» на изучение раздела «Производная» отводится 31 час из 105 часов в год. Множество задач, таких как задачи на движение (а жизнь есть движение) из курса «Физика», задачи на оптимизацию, которые решают инженеры – технологи при поиске возможностей выпуска на производстве как можно больше продукции; конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса была наименьшей; экономисты стараются уменьшить расходы и т.д. решаются именно при помощи формул и правил вычисления производной. Этот курс именно и призван показать, как можно решать такие задачи. Тема также актуальна тем, что в заданиях ЕГЭ и в базовом, и в повышенном уровне часто встречаются такие задачи как в курсе «Математика», так и в курсе «Физика».

Применение производной позволяет более эффективно решать многие задачи повышенной сложности, требует от учащихся нетрадиционного мышления. Следует отметить, что знание нестандартных методов и приемов решения задач способствует развитию нового, нешаблонного мышления, которое можно успешно применять также и в других сферах человеческой деятельности (вычислительная техника, экономика, физика, химия и т.д.) Здесь приходится подбирать метод решения задачи, проверять условия его применимости, анализировать полученные результаты. По существу, зачастую проводится небольшое математическое исследование, в процессе которого развиваются логическое мышление, математические способности, повышается математическая культура.

Для многих задач элементарной математики допускается как «элементарное», так и «неэлементарное» решение. Применение производной даёт как правило более эффективное решение. Появляется возможность оценить силу, красоту, общность нового математического аппарата.

Цели курса:

1) Познакомить учащихся с широтой применения понятия «производная функции».

2) Учить применять производную для решения прикладных задач.

3) Обеспечить учащимся условия для успешной поисково - исследовательской деятельности.

Задачи курса:

  1. Развивать умение мыслить нетрадиционно.

  2. Обучать умению проводить математическое исследование.

  3. Показать красоту математических выкладок и рассуждений.

Результат:

Учащиеся распознают задачи, которые более эффективно решаются с помощью производной, не боятся применять этот математический аппарат при решении уравнений и неравенств и других прикладных задачах.































Тематическое планирование.


Тема

Краткое содержание

Часы

Дата

1

Понятие производной, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной и нормали.

  1. Повторить основные понятия, связанные с производной.

  2. Геометрический смысл производной.

  3. Физический смысл производной.

  4. Использование уравнения касательной.

  5. Выбор темы проекта.

hello_html_m62001158.gif

2


2

Как появилась производная (занятие – экскурс в прошлое)?

  1. Интересные исторические факты, связанные с производной.

  2. Доклады учащихся.

  3. Мини-проекты прошлых лет.

1


3

Вычисление производных. Правила дифференцирования.

  1. Рассмотреть несколько способов вычисления производной (через определение, предел, таблицу производных основных элементарных функций и правила дифференцирования)

  2. Решение типовых задач.

2


4

Исследование функций.

  1. Показать, как применять производную при исследовании функций (max, min, выпуклость, схематическое построение)

2


5

Нахождение приближённых значений.

  1. Решение задач на нахождение приближённых значений.

  2. Работа над проектом.

1


6

Метод математического моделирования.

  1. Дать понятие математического моделирования.

  2. Показать учащимся возможность применения производной в других сферах деятельности (физика, химия, биология, экономика).

  3. Работа над проектом.

3


7

Задачи на оптимизацию.

  1. Определить класс задач на оптимизацию.

  2. Показать возможность их решения при помощи производной.

  3. Работа над проектом.

3


8

Итоговое занятие.

  1. Защита проектов.

2


Итого: 16 часов





Занятие 1.

Понятие производной, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной и нормали.

Материал к занятию.

Производной функции hello_html_65f38062.png в точке hello_html_m5baada66.png называется предел отношения приращения функции hello_html_m4684ebd6.png к соответствующему приращению аргумента hello_html_m6bd7fc60.png, при условие, что hello_html_m69f204a2.png.(hello_html_ed141d5.png)

Физический смысл производной:

Производная показывает скорость изменения функции hello_html_65f38062.png в зависимости от изменения аргумента x.

Функция

Формула

Вывод

m(t) – зависимость массы расходуемого горючего от времени.

hello_html_dcb3015.png

Производная массы по времени есть скорость расхода горючего.

T(t) – зависимость температуры нагреваемого тела от времени.

hello_html_m3526c4da.png

Производная температуры по времени есть скорость нагрева тела.

m(t) – зависимость массы при распаде радиоактивного вещества от времени.

hello_html_m6e9e157b.pnghello_html_14925274.png

Производная массы радиоактивного вещества по времени есть скорость радиоактивного распада.

q(t) – зависимость количества электричества, протекающего через проводник, от времени

hello_html_7b059c27.png

Производная количества электричества по времени есть сила тока.

A(t) – зависимость работы от времени

hello_html_838202b.png

Производная работы по времени есть мощность.


Геометрический смысл производной:

Производная hello_html_m25aa98b6.png в точке hello_html_m5baada66.png равна угловому коэффициенту касательной к графику функции hello_html_65f38062.png в точке, абсцисса которой равна hello_html_m5baada66.png.

hello_html_32a1151d.png

Уравнение касательной и нормали к линии в точке.


Урhello_html_9e5bff0.pngавнение касательной:

hello_html_26071f93.png.

Уравнение нормали:

hello_html_m7173c15c.png

(Т.к. нормаль перпендикулярна касательной, то её угловой коэффициент hello_html_m68df0f1f.png.)

Задача 1. Найти значение производной функции

hello_html_b054da0.png

Решение.

Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования сложной функции:

hello_html_67fd0d84.png

Ответ:hello_html_m557ea0ea.png.

Задача 2. Найти уравнения нормали и касательной к функции hello_html_m55894711.png в точке hello_html_m15fc2e00.png.

Решение:

hello_html_25b3270b.png
hello_html_6a88c678.png

hello_html_m3409b255.png

hello_html_m24bd0e90.png - уравнение касательной

hello_html_m40e184ac.png - уравнение нормали.



Задача 3. На параболе у=х2-2х-8 найти точку М, в которой касательная к ней параллельна прямой 4х+у+4=0.

Решение.

Определим угловой коэффициент касательной к параболе у=х2-2х-8:

k =у'=(х2-2х-8)'=2х-2.

Найдем угловой коэффициент прямой 4х+у+4=0:

у=-4х-4, k =-4.

Касательная к параболе и данная прямая по условию параллельны. Следовательно, их угловые коэффициенты равны, т.е.

2х-2=-4;

х=-1 – абсцисса точки касания.

Ординату точки касания М вычислим из уравнения данной параболы у=х2-2х-8, т.е.

у(-1)=(-1)2-2(-1)-8=-5, М(-1;-5).

Ответ: М(-1;-5).

Практические задания из открытого банка заданий ФИПИ:

1.

Снаряд, вылетевший из пушки, движется по закону x(t) = – 4t2 + 13t (м). Найти скорость снаряда в конце 3 секунды.

2.

Количество электричества, протекающего через проводник, начиная с момента времени t = 0 c, задаётся формулой q(t) = 2t2 + 3t + 1 (Кул) Найдите силу тока в конце пятой секунды.

3.

Количество тепла Q (Дж), необходимого для нагревания 1 кг воды от 0o до toС, определяется формулой Q(t) = t + 0,00002t2 + 0,0000003t3. Вычислите теплоемкость воды, если t = 100o.

4.

Тело движется прямолинейно по закону х(t) = 3 + 2t + t2 (м). Определите его скорость и ускорение в моменты времени 1 с и 3 с.

5.

Найдите величину силы F, действующей на точку массой m, движущуюся по закону х(t) = t2 – 4t4 (м), при t = 3 с.

6.

Тело, масса которого m = 0,5кг, движется прямолинейно по закону х(t) = 2t2 + t – 3 (м). Найдите кинетическую энергию тела через 7 с после начала движения.

Занятие 2.

Как появилась производная (занятие – экскурс в прошлое)?

Материал к занятию.

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

  • о разыскании касательной к произвольной линии;

  • о разыскании скорости при произвольном законе движения.

hello_html_6471de8e.jpg

hello_html_33abdbfb.jpg

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Николо Тартальи (около 1500 – 1557гг.) – здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

hello_html_m3dd34c12.jpg

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной.

hello_html_3789e7c1.jpg

Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л.Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

Термин «производная» является буквальным переводом на русский французского слова derive, которое ввел в1797 году Ж. Лагранж (1736-1813).
И.Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму функцию – флюентой.


Занятие 3.

Вычисление производных. Правила дифференцирования.

Материал к занятию.

Производные элементарных функций.

hello_html_m67887ee2.png

Правила дифференцирования.

Если у функций  f(x) и  g(x) существуют производные, то

hello_html_m40feda40.png

Производная сложной функции:

hello_html_66c5b253.png

Примеры:

u=x2 v=sinx.

(2x2−3sinx)'=2(x2)'−3(sinx)'=22x−3cosx=4x−3cosx.

(x2sinx)'=(x2)'sinx+x2(sinx)'=2xsinx+x2cosx.

(x2/sinx)'=((x2)'sinx−x2(sinx)')/(sinx)2=(2xsinx−x2cosx)/sin2x

Практические задания:

Вычислить производные

1) hello_html_m743674d4.png

2) hello_html_3cd7bee3.png

3) hello_html_3f5a3a69.png

4) hello_html_m38e2ef04.png

5) hello_html_m544f1d92.png

6) hello_html_3c656a83.png

7)hello_html_m67f3a10a.png

Решение.

1) По формулам дифференцирования получим:

hello_html_18e74f15.png

hello_html_5dcb62b6.png

2) Вводим дробные и отрицательные степени и превращаем заданную функцию к виду

hello_html_m1dfcac6.png

Используя формулы, находим:

hello_html_m3f5da72f.png

hello_html_45424b17.png

3) Данный пример вычисляем по правилу (4)

hello_html_m4d98a0c0.png

hello_html_m6b2b4cf9.png

4) Производную функции hello_html_m426e0be0.pngищем по правилу сложной функции

hello_html_754d995e.png

hello_html_2f6215aa.png

5) Производные от функции

hello_html_m5aef7d1c.png

находим по правилу производной от произведения функций, и правилом производной от сложной функции

hello_html_32ff7cc5.png

hello_html_m3b5de85.png

hello_html_688dcb5.png

6) По правилу производной от сложной функции будем иметь

hello_html_mb0fd10c.png

hello_html_6b8d8462.png

7. Воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции, получим:

hello_html_m3db3462d.png

hello_html_m1c197797.png

hello_html_m7986c022.png

Занятие 4.

Исследование функций.


Материал к занятию.

Алгоритм исследования:

1) Область определениянепрерывность, четность/нечётность, периодичность функции.

2) Асимптоты графика функции.

3) Нули функции, интервалы знакопостоянства.

4) Возрастание, убывание и экстремумы функции.

5) Выпуклость, вогнутость и перегибы графика.

6) Дополнительные точки и график по результатам исследования.

7) ПРАВИЛЬНЫЙ И АККУРАТНЫЙ ЧЕРТЁЖ – это основной результат решения!

Примеры:

Пример 1: Исследовать функцию и построить график.
hello_html_m6a52cf4c.png

Решение: проведём исследование функции:
1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, hello_html_m6ddd9bd6.png.
hello_html_516940ca.png
hello_html_253133c1.png, значит, данная функция не является четной или нечетной.
Функция непериодическая.

2) Асимптоты графика, поведение функции на бесконечности.
Так как функция непрерывна на hello_html_m71975e3c.png, то вертикальные асимптоты отсутствуют.
hello_html_m48c94674.png, значит,  наклонные асимптоты также отсутствуют.
hello_html_m6b3e808b.png, функция не ограничена снизу.

3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства функции.
График hello_html_m1f36a008.png проходит через начало координат.
С осью hello_html_m580b1f40.png
hello_html_3d095c3c.png
Определим знаки hello_html_m1f36a008.png:
hello_html_3bd04365.jpg
hello_html_3a8f085e.png, если hello_html_m6e61da3d.png,
hello_html_31a2dd63.png, если hello_html_7ad0c86c.png.

4) Возрастание, убывание, экстремумы функции.
hello_html_m338834e2.png 
hello_html_m3b4ecc1.png – критические точки.
Определим знаки hello_html_m35a9fa54.png:
hello_html_m1d1a2e40.jpg
hello_html_m1f36a008.png возрастает на hello_html_m4288a77e.png и убывает на hello_html_m53ebc8c7.png.
В точке hello_html_mdc9b3aa.png функция достигает максимума: hello_html_87004b9.png

5) Выпуклость, вогнутость, перегибы графика.
hello_html_m2f93bfe.png 
hello_html_m6d6c32ff.png – критические точки.
Определим знаки hello_html_e12afbc.png:
hello_html_m15d97516.jpg
График функции является выпуклым на hello_html_m424af5bc.png и вогнутым на hello_html_1a92c475.png. 
В обеих критических точках существуют перегибы графика.
hello_html_m7c7abd0c.png

6) Найдем дополнительные точки:
hello_html_m6cd0d3ca.jpg
Выполним чертёж:
hello_html_m584f5f69.jpg

Пример 2: исследовать функцию и построить её график.
hello_html_m4f70d07d.png

 Решение: проведем исследование функции:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, hello_html_m26811548.png.
hello_html_m4085d9eb.png
hello_html_m7def30e0.png, значит, данная функция является четной, ее график симметричен относительно оси ординат.
Очевидно, что функция непериодическая.

2) Асимптоты, поведение функции на бесконечности.
Так как функция непрерывна на всей числовой прямой, то вертикальные асимптоты отсутствуют.
hello_html_437e4087.png
Прямая hello_html_4f5f0500.png  является горизонтальной асимптотой для графика hello_html_m1f36a008.png при hello_html_21db49c7.png.

3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства функции.
График функции проходит через начало координат.
hello_html_64b14ddd.png на всей области определения.

4) Возрастание, убывание, экстремумы функции.
hello_html_m79306749.png
hello_html_438221ec.png – критическая точка.
Определим знаки hello_html_m4c053c14.png:
hello_html_5a5cd5d3.jpg
hello_html_m1f36a008.png возрастает на hello_html_m14eab73c.png и убывает на  hello_html_17125141.png.
В точке hello_html_m1dc4b287.png функция достигает минимума: hello_html_3fd8026d.png.

5) Выпуклость, вогнутость, перегибы графика.
hello_html_m2b176ec1.png
hello_html_45d3d21a.png – критические точки.
Определим знаки hello_html_m7de99c02.png:
hello_html_20879b88.jpg
График hello_html_m1f36a008.png является выпуклым на hello_html_m17a0effb.png и вогнутым на hello_html_35475c47.png.
В обеих критических точках существуют перегибы графика: hello_html_m59b42cd8.png.

6) Найдем дополнительные точки и выполним чертёж:
hello_html_m3c3ed35e.jpg
hello_html_m1f9f2eb8.jpg

Занятие 5.

Нахождение приближённых значений.

Материал к занятию.

Пусть, например, требуется вычислить приближенное значение функции


hello_html_42bc7b96.gif


в точке hello_html_m1f4bcdf5.gif. Значение hello_html_m7f97fea9.gif в близкой к 2,02 точке hello_html_4dfccaa8.gif находится легко: hello_html_m7a183fd7.gif. График hello_html_m7f97fea9.gif в окрестности точки 2 близок к прямой


hello_html_5fda18ff.gif


- касательной к нему в точке с абсциссой 2. Поэтому hello_html_m6dcdf720.gif. Имеем

hello_html_6d3ed8a9.gif.

Вычисление на калькуляторе дают результат hello_html_1108e2fc.gif.

Вообще для дифференцируемой в точке hello_html_3fea5f90.gif функции hello_html_m7f97fea9.gif при hello_html_632023b4.gif, мало отличающихся от нуля, ее график близок к касательной (проведенной в точке графика с абсциссой hello_html_3fea5f90.gif), т. е. при малых hello_html_632023b4.gif


hello_html_m1a35e0b0.gif


Если точка hello_html_3fea5f90.gifтакова, что значения hello_html_m65aa1fee.gif и hello_html_784d56cf.gif нетрудно вычислить то формула позволяет находить приближенные значения hello_html_278687bc.gif при hello_html_m5547f17b.gif, достаточно близких к hello_html_3fea5f90.gif. Так, при вычислении значения hello_html_m717c7adb.gif естественно взять в качестве hello_html_3fea5f90.gif число 4, так как 4,08 близко к 4 и значения hello_html_4974561a.gif и hello_html_m404b634e.gif при hello_html_m312f3f43.gif нетрудно найти: hello_html_m7ad45507.gif. По формуле при hello_html_m2f33b3cb.gif получаем:

hello_html_bdbc5b1.gif.

Задача 1. Выведем из формулы приближенную формулу


hello_html_m36e1fda8.gif.


Решение. Возьмем hello_html_6aac1c12.gif. Имеем hello_html_m328f7687.gif, откуда hello_html_m655ffe2f.gif. По формуле


hello_html_52777d78.gif.


В частности, hello_html_m52ec8ac.gif.

Значение hello_html_m717c7adb.gif также можно найти по формуле:

hello_html_m666fddd3.gif.

Задача 2. Выведем из формулы приближенную формулу


hello_html_a09d6b9.gif.


Решение. Полагаем hello_html_2a6e61a9.gif, hello_html_m6f5f8a36.gif и hello_html_236991c5.gif. Находим hello_html_2f21dadb.gif, откуда hello_html_m73adc59f.gif. По формуле


hello_html_4fc3c5e8.gif.


Например, hello_html_m7c57609d.gif. Значение hello_html_m30cac5d1.gif, вычисленное на калькуляторе, равно 1,10512.

Задача 3. Для вычисления значения hello_html_60da651.gif удобно воспользоваться формулой при hello_html_6d0854aa.gif:

hello_html_m77f5c1e2.gif.

Задача 4. Вычислить hello_html_m5ed824ec.gif.

Решение. Для вычисления удобно взять hello_html_m21072680.gif, при этом hello_html_m3834d19.gif. Имеем hello_html_56adf22c.gif и


hello_html_m4eee5c7.gif,


Т. е. hello_html_m5b83ab60.gif. Вычисляя значение hello_html_m5ed824ec.gif на калькуляторе, получаем hello_html_mb1a080e.gif.

Занятие 6.

Метод математического моделирования.

Материал к занятию.

С давних пор задачи играют огромную роль в обучении. Решение задач выступает и как цель, и как средство обучения. Умение ставить и решать задачи является одним из основных показателей уровня развития учащихся, открывает им пути овладения новыми знаниями: знакомит с новой ситуацией, описанной для решения задачи и т.д. Иными словами, при решении задач человек приобретает математические знания, повышает свое математическое образование. При овладении методом решения некоторого класса задач у человека формируется умение решать такие задачи, а при достаточной тренировке - и навык, что тоже повышает уровень математического образования.

При решении ученик обучается применять математические знания к практическим нуждам, готовится к практической деятельности в будущем, к решению задач, выдвигаемых практикой, повседневной жизнью.

Решение задач приучает выделять посылки и заключения, данные и искомые, находить общее и особенное в данных, сопоставлять и противопоставлять факты.

Текстовые задачи используются как очень эффективное средство усвоения учащимися понятий, методов, вообще математических теорий, как наиболее действенное средство развития мышления учащихся, как универсальное средство математического воспитания и незаменимое средство привития учащимся умений и навыков в практических применениях математики. Решение задач хорошо служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением математике.

Прежде всего, задача воспитывает своей фабулой, текстовым содержанием.

Воспитывающую роль играет не только фабула задачи, но и весь процесс обучения решению текстовых задач. Правильное решение текстовых задач без каких-либо логических натяжек воспитывает у учеников честность и правдивость. Решение задач требует от учеников настойчивости в преодолении трудностей и мужества. При решении задач формируются умения и навыки умственного труда: усидчивость, внимательность, аккуратность, последовательность умственных действий. Решение задач развивает также чувство ответственного отношения к учению.

Математическое моделирование находит применение при решении многих сюжетных задач. Уже уравнение, составленное по условию задачи, является ее алгебраической моделью. Моделированию, особенно алгебраическому и аналитическому, следует уделить в школе должное внимание, так как математические модели используются для решения (или хотя бы облегчения решения) сюжетных задач. Кроме того, при построении модели используется такие операции мышления, как анализ через синтез, сравнение, классификация, обобщение, которые являются операциями мышления, и способствуют его развитию. Составление математической модели задачи, перевод задачи на язык математики исподволь готовит учащихся к моделированию реальных процессов и явлений в их будущей деятельности.

При решении сюжетных задач особенно часто используются их алгебраические и аналитические модели. Такой моделью может быть функция, описывающая явление или процесс, уравнение, система уравнений, неравенство, система неравенств, система уравнений и неравенств и др. При составлении модели задача, таким образом, переводится на язык алгебры или математического анализа.

Часто встречаются текстовые задачи на экстремумы, особенно на вступительных и выпускных экзаменах и, в частности на ЕГЭ. Алгоритм решения таких задач выглядит так:

  1. Укажите в задаче все постоянные величины, переменные величины и величину, которая исследуется;

  2. Из всех переменных величин одну выбрать за независимую и указать область ее изменения;

  3. Величину исследуемую задачей выразить через выбранную независимую переменную

  4. Найдите критические точки полученной функции на области изменения е аргументаhello_html_m53d4ecad.gif

  5. Найдите наибольшее или наименьшее значение этой функции

  6. Выбрав наименьшее или наибольшее значение, ответьте на вопрос задачи.

Примеры.

Задача 1. Дальность hello_html_e1536e0.gif (рис. 1) полета ядра (в пустоте), выпущенного с начальной скоростью hello_html_313509e.gif из орудия, наклоненному под углом hello_html_6f95504e.gif к горизонту, определяется формулой hello_html_154b5ef2.gif.

(hello_html_m58cda75b.gif - ускорение силы тяжести). Определить угол hello_html_6f95504e.gif, при котором дальность hello_html_m1c13e92f.gif будет наибольшей при начальной скорости hello_html_313509e.gif.

Решение.


hello_html_5d228fcc.png

О

А

y

x

Рис. 1

Величина hello_html_m1c13e92f.gif представляет собой функцию переменного угла hello_html_6f95504e.gif. Исследуем эту функцию на максимум на отрезке hello_html_43569bcd.gif.

hello_html_m2833fb36.gifhello_html_m58edd5e.gif

критическое значение hello_html_25210f5.gif;

hello_html_m4eb23062.gif,

hello_html_m20901abb.gif.

Следовательно, при hello_html_25210f5.gif дальность полета hello_html_m1c13e92f.gif имеет максимум

hello_html_m51c8d69d.gif.

Значения функции hello_html_m1c13e92f.gif на концах отрезка hello_html_43569bcd.gif равны:

hello_html_10818585.gif.

Таким образом, найденный максимум и есть искомое наибольшее значение дальности полета hello_html_m1c13e92f.gif.

Задача 2. Какие размеры нужно придать цилиндру, чтобы при данном объеме hello_html_397c1811.gif его полная поверхность была наименьшей.

Решение. Обозначая через hello_html_m4df10123.gif радиус основания цилиндра и через hello_html_cc1127f.gif высоту цилиндра, будем иметь

hello_html_9e90918.gif.


Так как объем цилиндра задан, то при данном радиусе величина hello_html_cc1127f.gif определяется формулой

hello_html_m74c3b43.gif

откуда

hello_html_m5cc5f0c6.gif.

Подставляя это выражение hello_html_cc1127f.gif в формулу для hello_html_3faa6296.gif, получим

hello_html_1eacb796.gif

Здесь hello_html_397c1811.gif - заданное число. Таким образом, мы представили hello_html_3faa6296.gif как функцию одного независимого переменного hello_html_m4df10123.gif.

Найдем наименьшее значение этой функции в промежутке hello_html_5ffc2670.gif:


hello_html_m5faa5f38.gif

hello_html_m45f97f4c.gif

hello_html_m5986a4f4.gif.

Следовательно, в точке hello_html_m7b644166.gif функция hello_html_3faa6296.gif имеет минимум. Заметив, что hello_html_m19adf911.gif и hello_html_237aa5e7.gif, т.е. что при стремлении hello_html_m4df10123.gif к нулю или к бесконечности поверхность hello_html_3faa6296.gif неограниченно возрастает, приходим к выводу, что в точке hello_html_m7b644166.gif функция hello_html_3faa6296.gif имеет наименьшее значение.

Но если hello_html_614d4f5a.gif, то

hello_html_m6568aa5a.gif.

Таким образом, для того, чтобы при данном объеме hello_html_397c1811.gif полная поверхность цилиндра была наименьшей, высота цилиндра должна равняться диаметру.

Задача 3. Корабль отстает от берега (точка А) на расстоянии 3 км. С корабля отправлен гонец с донесением в штаб В, находящегося от точки А по берегу на расстоянии 10 км. К какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы донесение в штаб было доставлено в кратчайшее время. Если hello_html_m46054b58.gifhello_html_5a8922.gif.

Решение.


hello_html_m2beb5468.png

В М А

К

Рис. 2.

  1. АВ, АК, hello_html_m6a747ab3.gif;

АМ, МВ, КМ – переменные величины;


  1. hello_html_m5a240e34.gifhello_html_m53d4ecad.gif;

  2. hello_html_m797165f7.gif;

  3. Находя производную и приравнивая ее к нулю, находим критическую точку hello_html_1650089b.gif. Явно видно, что эта точка минимума.

Ответ 4 км.

Занятие 7.

Задачи на оптимизацию.

При решении задач на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции надо обратить внимание на следующее:

1). Иногда приходится вводить две переменные, одна из которых обязательно длина отрезка, другая - либо длина другого отрезка, либо величина угла.

2). Часто от выбора переменной зависит и сложность решения.

3). В качестве переменной, относительно которой составляется функция для исследования, не обязательно брать искомую величину, в противном случае это может привести к более сложному решению задачи.

4). Для облегчения исследования функции p, которая положительна при всех рассматриваемых значениях переменной, полезно знать, что промежутки возрастания и убывания, точки максимума и минимума, точки, в которых функция принимает наибольшие и наименьшие значения на заданном промежутке, не изменятся, если функцию p заменить на функцию kpn, или p+a, где k, a, n - числа, причем k>0nЄR+: у всех этих функций производная равна произведению производной функции p на положительное число.

Задача №1 (типовая)

В правильной четырехугольной призме сумма длин высоты и диагонали призмы равна 12. При каком угле наклона этой диагонали к плоскости основания призмы объем призмы будет наибольшим?

Решение:

Пусть BB1=x, где x>0 - необходимое условие.

В1D=12-x,

hello_html_fe1986b.pngB1BD: по теореме Пифагора

BD= hello_html_m486c0875.png=hello_html_35f5c1be.png=hello_html_m72f766.png;

Vпризмыhello_html_m4e009549.pngBB1=hello_html_m214abfd7.pngx=12(6-x)x

hello_html_me5f582b.png

Рассмотрим непрерывную функцию p(x)= 6x-x2 при x>0.

p'(x)=6-2x;

Найдем критические точки функции p(x).

p'(x)=0; 6-2x=0; x=3.

Исследуем критическую точку на экстремум.

hello_html_7f12458d.png

При 00;

При x>3 p'(x)<0.

Значит, функция p, непрерывная в точке 3, возрастает при 03 и убывает при xhello_html_29283c4a.png3.

Следовательно, при x=3 функция p и Vпризмы=12p(x) будут иметь наибольшее значение.

Теперь найдем искомый угол a.

Так как BB1=3; B1D=9, то sin a =hello_html_m1081227a.png, a = arcsinhello_html_m1081227a.png.

Ответ: arcsinhello_html_m1081227a.png.

Задача №2.

В правильной пирамиде МАВСD МО - высота, МК - апофема пирамиды, МК=6hello_html_7808e8.png. Найти длину МО, при которой объем пирамиды будет наибольшим.

hello_html_m57b42e49.png

Решение.

Пусть МО=x, где x>0 - необходимое условие.

ОК2=МК2 - МО2=108-x2;

Vпир.= (2ОК)2·hello_html_m3ee3d39f.png=hello_html_1bf1dc87.png(108-x2)x.

Рассмотрим непрерывную на R функцию p(x)= (108-x2)x=108-x2 при x>0.

p'(x)=108-3x2=3(36-x2);

p'(x)=0; 3(36-x2)=0;

36-x2=0;

x=-6 или x=6.

x=-6 - не удовлетворяет условию x>0.

Исследуем критическую точку x=6 на экстремум.

hello_html_m5ca57a9c.png

При 00;

при x>6 p'(x)<0;

Значит, функция p, непрерывная в точке 6, возрастает при 0 и убывает при x?6, следовательно, имеет наибольшее значение в точке 6. Поэтому Vпир.=hello_html_76d55b27.png при x=6 имеет наибольшее значение.

Ответ: 6.

Замечание.

Некоторые, решая такие задачи, после того, как установили переменную, относительно которой будут составлять функцию, находят область изменения этой переменной. Так, в рассмотренной задаче, учитывая, что гипотенуза больше катета, записывают: 0. Тогда решение задачи выглядит так:

Рассмотрим (непрерывную на R) функцию p(x)= (108-x2)x на (0; 6hello_html_7808e8.png).

p'(x)=3(36-x2);

p'(x)=0 при x=6.

Далее можно продолжить решение одним из двух способов:

1-й способ

При 00,

при 6 p'(x)<0.

Значит, функция p(x), непрерывная в точке 6, возрастает при 06 и убывает при 6hello_html_546c498d.pngx<6hello_html_7808e8.png, следовательно, при x=6 функция p(x) и Vпир.=hello_html_76d55b27.png будут иметь наибольшее значение.

Ответ: 6.

2-й способ

Так как функция p(x) непрерывна на R, то сравним значения p(x) в точках 0, 6 и 6hello_html_7808e8.png.

p(0)=0; p(6hello_html_7808e8.png)=0

p(6)>0.

Следовательно, наибольшее значение функции p достигается во внутренней точке отрезка [0; 6hello_html_7808e8.png], значит, в этой же точке принимает наибольшее значение функция p и на интервале (6; 6hello_html_7808e8.png). Таким образом, при x=6 функция p, а значит и Vпир.=hello_html_m4ea23236.png будут иметь наибольшее значение.

Ответ: 6.

Дополнение к пункту 4).

Если необходимо рассмотреть, например, такую функцию hello_html_m1698c4d6.png, то можно рассмотреть более простую: hello_html_m5ea0b2e7.png, т.е. x3 - 3x2>0.

А функцию hello_html_m7c88271e.png, где x>0, можно заменить такой: hello_html_6d4992.png, т.е. hello_html_70f991ff.png, где x>0.

Задача №3 (Задача №2 с дополнительным условием).

См. рисунок к задаче №2.

В правильной пирамиде MABCD МО - высота пирамиды, МК - апофема, МК+МО=6, МКhello_html_m3ba6933e.png[4,5]. Найдите длину МК, при которой площадь боковой поверхности пирамиды будет наименьшей.

Решение:

Пусть МК=x, тогда МО=6-x, где 4hello_html_546c498d.pngxhello_html_546c498d.png5. DK=MO;

hello_html_6a772c3c.png;

Sбок.hello_html_2b3010ca.png, где x>0.

Рассмотрим непрерывную функцию p(x)=x3-3x2, при x>0.

p'(x)=3x2-6x,

p'(x)=0 при x=2.

Исследуем критическую точку x=2 на экстремум.

hello_html_m5e390c4f.png

При x>2 p'(x)>0, значит, функция p(x) при 4hello_html_546c498d.pngxhello_html_546c498d.pngвозрастает.

Следовательно, при x=4 функция p на отрезке [4,5], значит, и Sбок.hello_html_m15106bd1.png имеют наименьшие значения.

Ответ: 4.

2. Поиск рационального решения задачи на экстремум.

При решении задачи на экстремум учащиеся нередко испытывают трудности в составлении аналитической записи функции, описывающей условие задачи. Причиной этому часто бывает нерациональный выбор независимой переменной. Ее желательно выбрать так, чтобы более коротким путем получить аналитическое выражение искомой функции и чтобы это выражение было по возможности более простым.

Однако, при удачном выборе аргумента функции удается сократить вычисления и упростить решение задачи.

Задача.

В окружность радиуса R вписана трапеция АВСD, основание АВ которой является диаметром окружности.

Какова должна быть длина боковой стороны трапеции, чтобы трапеция имела наибольшую площадь?

Решение.

hello_html_m47bffb70.png

Sтр.= hello_html_m29ddcb7f.png, где DH - высота трапеции или по формуле: Sтр.=BH·DH, так как трапеция равнобочная и hello_html_m294d31a6.png.

Первый способ.

В задаче требуется найти длину боковой стороны трапеции, при которой площадь трапеции будет наибольшей. Ее можно принять за независимую переменную, затем через нее и радиус окружности R выразить площадь трапеции.

Учащиеся обычно так и поступают. Пусть AD=x; ?ABD - прямоугольный, поэтому AD2=AB·AH, откуда hello_html_1a86fc04.png.По теореме Пифагора

hello_html_m173ac0f7.png; а так как hello_html_5c70c3e9.png, то hello_html_m79d7aa0d.png.

По смыслу задачи 0.

При hello_html_m6f05a8cc.png трапеция вырождается в равнобедренный треугольник.

Рассмотрим функцию hello_html_3fbd802c.png. Найдем производную p'(x). После очевидных сокращений получим: hello_html_m5c7d3b15.png.

В промежутке между 0 и hello_html_m29c34c43.png производная обращается в нуль лишь в точке x=R, меняя при этом знак с плюса на минус. Значит, при x=R p(x) имеет наибольшее значение. Таким образом, площадь трапеции будет наибольшей при AD=R. Легко заметить, что искомая трапеция имеет форму половины правильного шестиугольника. Ее площадь равна hello_html_3ebe1a7.png.

Второй способ.

Обозначим через x высоту DH трапеции. Из прямоугольного треугольника ODH (О - центр окружности) находим: hello_html_m24b64570.png, значит hello_html_5318ea88.png, и получим hello_html_323df418.png, где 0

Третий способ.

Пусть BH=x. Тогда AH=2R-x. Согласно свойству высоты прямоугольного треугольника ABD имеем:

hello_html_10af8b9c.png и, следовательно,

hello_html_79f6160b.pngR.

Производная функции hello_html_3a12873f.png находится проще, чем при решении задачи первым и вторым способом. Более того, при таком выборе независимой переменной задачу можно решить и без использования производной.

Заметим, что hello_html_m3277252c.png.

Первая часть равенства представляет собой произведение переменных, сумма которых постоянна и равна 6R. Следовательно, это произведение принимает наибольшее значение в случае их равенства, т.е. hello_html_75ee3faf.png, откуда hello_html_e3b5868.png. При этом hello_html_m1c5333f8.png и AD=OD=R.

Итак, третий способ выбора независимой переменной предпочтительнее первых двух.

Однако, в качестве независимой переменной можно выбрать и величину угла BAD.

Четвертый способ.

Пусть hello_html_m493f5f95.pnghello_html_ac30d91.png. Тогда hello_html_m4819af05.pnghello_html_3ba85dd7.pnghello_html_2fcb1cb9.png.

Далее находим: hello_html_m47d885c4.png. S'=0 при hello_html_m4caad8a7.png, т.е. при hello_html_m77a1bb09.png. Остается сравнить значения функции Ы в критической точке со значениями на концах промежутка [45o; 90o].

Пятый способ.

Введем независимую переменную: hello_html_m3ce8c248.png. Площадь трапеции равна сумме площадей трех треугольников: AOD, BOC и COD. Следовательно, hello_html_m3db568fb.png, 0oo.

Таким образом, задача легко сводится к нахождению наибольшего значения функции hello_html_m2698551e.png. Ее производная hello_html_6a5eee72.png.

Критические точки получим, решив уравнение hello_html_m257a725b.png.

После разбора различных способов решения задачи учащимся можно предложить обобщение этой задачи.

В окружность радиуса R вписана трапеция ABCD с основанием AB. При какой длине стороны AD площадь трапеции будет наибольшей, если hello_html_m5e87631d.png, где О - центр окружности?

Можно с уверенностью сказать, что большинство учащихся выберут теперь в качестве независимой переменной величину угла AOD, что позволит быстро, без всяких вспомогательных построений выразить площадь трапеции как функцию этого угла.

3. Задачи на экстремум, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в Вузы.

Задача №1.

Найти высоту и радиус основания прямого кругового цилиндра наибольшего объема, вписанного в прямой круговой конус с радиусом основания R и высотой 2R так, что основание цилиндра лежит в плоскости основания конуса.

Решение.

hello_html_m6c7a80a8.png

=hello_html_2593f1fb.png;

Пусть r=x, x>0 - необходимое условие.

OA=R, SO=2R. hello_html_fe1986b.pngAKM hello_html_fe1986b.png?OAS.

hello_html_m7e11bdba.png,

hello_html_m55cc1a2.png,

x=0 или hello_html_33b824f.png.

x=0 - не удовлетворяет условию (1).

Исследуем критическую точку hello_html_33b824f.png на экстремум.

hello_html_70067bcf.png

Определим знак производной V'(x) на промежутках hello_html_m2f7277fd.png.

hello_html_m7349090b.png

V'(x)<0 на промежутке hello_html_m48c16f83.png

hello_html_34458d8.png

Итак, при переходе через т. hello_html_33b824f.png производная V'(x) меняет знак с "+" на "-" и, следовательно, т. hello_html_33b824f.pngявляется точкой максимума.

При hello_html_28378806.png объем цилиндра наибольший. Если hello_html_28378806.png, то hello_html_1ea871f9.png.

Ответ: hello_html_7e269eb1.png.

Задача №2.

Сумма катетов прямоугольного треугольника 9 см. При вращении треугольника вокруг одного из катетов образуется конус максимального объема V. Найти Sбок. этого конуса.

Ответ: hello_html_m690af2ef.pngсм2.

Задача №3.

Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного около полушара радиуса hello_html_m3aa9de5b.png так, чтобы центр основания совпадал с центром шара.

Ответ: 3.

Задача №4.

Правильная треугольная призма имеет объем 16 дм3. Найти длину стороны основания призмы с наименьшей полной поверхностью.

Ответ: 4.

Задача №5.

Периметр боковой грани правильной шестиугольной призмы равен 6 см. Найти площадь боковой поверхности призмы, имеющей наибольший объем, если сторона основания не больше высоты призмы.

Ответ: 13,5 см2.

Итоговое занятие 8.

Защита проектов.


В апреле 2011 года защита проектов совпала с обобщающим уроком по теме: «Производная».






План – конспект итогового занятия.

Этапы урока, целевые ориентиры, время

Задания,

Деятельность учителя

Деятельность учащихся и возможные варианты ответов

Планируемые результаты, формирование УУД

Задания базового уровня

Задания повышенного уровня

предметные

личностные, метапредметные

1.Организационный момент. Инициация.

(Создать благоприятный психологический настрой на работу).

2 мин.

выполнение которых учащимися приведёт к достижению планируемых результатов

Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей.

hello_html_2b703769.gif


Включаются в деловой ритм урока.

Проверяют, всё ли готово для урока.

Слушают внимательно высказывание, выведенное на ИД.




  1. Вхождение или погружение в тему (определение целей урока).

(Актуализация опорных знаний и способов действий.

Обеспечение мотивации к учебной деятельности: принятие учащимися целей урока).

8 мин.

Вопросы по ранее изученным темам математики и физики (фронтальная работа; наглядно-иллюстративный метод).

  1. Длина траектории за определенный промежуток времени. (Путь)

  2. Физическая величина, характеризирующая быстроту изменения скорости. (Ускорение)

  3. Одна из основных характеристик движения. (Скорость)

  4. Немецкий философ, математик, физик, один из создателей математического анализа. (Лейбниц)

  5. Наука, изучающая общие закономерности явлений природы, состав и строение материи, законы ее движения. (Физика)

  6. Изменение положения тела в пространстве относительно некоторой системы отсчета с течением времени. (Движение)

  7. Выдающийся английский физик, именем которого названы основные законы механики. (Ньютон)

  8. Что определяет положение тела в выбранной системе отсчета. (Координата)

  9. Учение о движении и силах, вызывающих это движение. (Механика)

  10. Наука, изучающая методы и способы решения уравнений. (Алгебра)

11.То, чего не достает в определении: производная от координаты по  есть скорость. (Время)


Перед вами на столах кроссворд

hello_html_m62001158.gif(так же выведен на ИД). Слово, которое выделено и которое вы должны разгадать будет являться ключевым к нашей теме занятия.

Мотивирует учащихся, вместе с ними определяет цель урока; акцентирует внимание учащихся на значимость темы.



- Выделенное слово “производная”. Как вы думаете, что объединяет это слово с понятиями, которые мы отгадывали в кроссворде?

- С помощью производной можно решать задачи по физике. Следовательно, чем мы будем заниматься сегодня? 

- А так же совместными усилиями мы увидим, что производная применяется не только при решении физических задач, но и в химии, биологии, экономике. Эта тема очень важна, так как задания базовой части ЕГЭ предполагают знания по этой теме.

Участвуют в работе по повторению: в беседе с учителем отвечают на поставленные вопросы и заполняют кроссвордную сетку.

hello_html_mfde04a3.png








Полученное слово: «Производная»


-физика






Решать физические задачи с помощью производной.

Записывают дату в тетрадь, определяют тему и цель урока.

- Цель нашего занятия – научиться применять правила и формулы вычисления производных при решении задач по физике.

Знать ответы на поставленные вопросы.

Коммуникативные: уметь совместно договариваться о правилах поведения и общения, следовать им; оформлять свои мысли в устной форме.

Регулятивные:

уметь проговаривать последовательность действий на уроке.

Работа над темой.

(Показать применение знаний и умений в современных условиях, их разнообразие).

- мин., т.к. это домашняя работа + электив!!!














Групповая работа включает в себя как задания базового, так и повышенного уровня. Используется исследовательский и частично-поисковый метод.

Формирование групп проводилось заранее по интересам детей; предварительная работа групп проводилась на элективном занятии; далее, после совместного обсуждения, учащиеся продолжили работу дома над поставленными задачами:

1 группа.

Проект «Госпожа производная» включает в себя создание буклета из теории, задач на производную.

2 группа.

Проект «Производная в жизни» - создание буклета средствами ИКТ.

3 группа.

Проект «Прирост численности населения Калужской области» создание презентации, показывающей геометрический смысл производной.

Работают в группах над поставленными задачами

hello_html_36f6ea78.gif

Буклет «Госпожа производная»

hello_html_m3067650d.png

hello_html_5a92ad76.png

Буклет «Производная в жизни»

hello_html_m2893b1aa.gif

hello_html_m23ff50bb.png

Проект «Рост численности населения»

hello_html_1ef35f8e.gif

hello_html_16894b14.gif

Уметь находить дополнительную информацию по изученной теме, обобщать и систематизировать её.

Коммуникативные: уметь совместно договариваться о правилах поведения и общения, следовать им; оформлять свои мысли в устной форме.

Регулятивные:

уметь проговаривать последовательность действий на уроке; выполнять работу по предложенному плану, вносить необходимые коррективы в действие после его завершения.

  1. Проверка домашнего задания. Отчёт о проделанной работе.

Проработка содержания темы.

(Развивать у учащихся умение анализировать, сравнивать, сопоставлять, пользоваться таблицами и формулами).

25 мин.

Групповая и фронтальная работа включает в себя как задания базового, так и повышенного уровня. Используется наглядно-иллюстративный метод.

Задача базового уровня из Демо-версии ЕГЭ (в буклете):

Камень брошен под углом к горизонту и его движение описывается по закону х(t)=3t2-12t+6 (м). Через какое время скорость камня будет равна 0.


Проконтролировать правильность ответов, организовать взаимопомощь в случае необходимости.



Каждая группа отчитывается о проделанной работе перед другими группами, делится своими наработками (раздаёт буклеты и часть заготовок вывешивает на доску). Решается задача базового уровня из Демо-версии ЕГЭ (в буклете «Госпожа производная»). Проговаривается алгоритм решения (в буклете «Госпожа производная»)

Учащиеся устанавливают связь изученного ранее материала и нового, задают вопросы, обмениваются мнениями.


Уметь донести новую информацию до своих одноклассников, уметь её принять.

Коммуникативные: уметь совместно договариваться о правилах поведения и общения, следовать им; оформлять свои мысли в устной форме.

Регулятивные:

уметь оценивать правильность выполнения действий на уровне адекватной ретроспективной оценки.

4. Физкультминутка

(Сменить деятельность, обеспечить эмоциональную разгрузку учащихся).

5 мин.


Ребята, разделимся на группы методом «Яблоко-лимон» и сыграем театр «Кабуки»

Учащиеся сменили вид деятельности и готовы продолжить работу.




5. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция.

(Дать качественную оценку работы класса и отдельных обучаемых).

25 мин.














Работа по предложенным карточкам.

Карточка 1 (3).

Материальная точка движется по закону х(t)=3t2-6t+15 (м). Найти среднюю скорость точки в момент времени t=3 с.

Карточка 2 (4).

Тело, массой 6 кг движется прямолинейно по закону x(t) = t2– 3t + 2 (x – расстояние от начала координат в метрах, t – время в секундах). Найдите кинетическую энергию тела через 10 секунд после начала движения.

Карточка 3 (5).

Количество протекающего через проводник электричества задается формулой

q(t) = 10-3sint, (t – время в секундах). Найдите силу тока в момент времени t = 3.

Учебник:

№ 32.32, 32.40 (с. 106)

32.32 Открытый металлический бак с квадратным основанием должен вмещать 32л воды. При каких размерах на его изготовление пойдет наименьшее количество

 материала?

32.40 База находится в лесу в 5км от дороги, а в 13км от базы на этой дороге есть железнодорожная станция. Пешеход по дороге идет со скоростью 5км/ч, а по лесу 3 км/ч. За какое минимальное время пешеход может добраться от базы до станции?


Выявляет качество и уровень усвоения знаний, а также устанавливает причины выявленных ошибок.


Учащиеся решают задачи по карточкам с разноуровневыми заданиями,

hello_html_m62001158.gif

используя алгоритм и формулы, приведённые в буклете, выполняют проверку в парах по решению, выведенному на ИД, для этого обменявшись решениями. Обсуждают свои решения в парах, а затем коллективно, анализируют свою работу, выражают вслух свои затруднения и обсуждают правильность решения задач. Записывают решения других задач в тетрадь.

«Сильные» дети, быстро справившиеся с заданием, решают задачи повышенного уровня из учебника (на нахождение наименьшего количества материала и минимальное время). Этот тип задач рассматривался на предыдущем уроке и на элективе.

Уметь решать задачи физики и жизненные задачи (повышенный уровень из учебника) правилами вычисления производных.

Регулятивные:

уметь проговаривать последовательность действий на уроке; выполнять работу по предложенному плану, вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок.

7. Информация о домашнем задании.

(Обеспечение понимания детьми содержания и способов выполнения домашнего задания).

7 мин.


Дает комментарий к домашнему заданию:

По сборнику В.Ф.Лысенко «Подготовка к ЕГЭ по математике» выбрать задачи на тему «Производная», решить и оформить в виде памятки любыми средствами MS Office.



Учащиеся записывают в дневники задание.

Уметь работать с дополнительной литературой для поиска заданной информации и её обработки.


8. Рефлексия.

Подведение итогов. (Дать количественную оценку работы учащихся).

8 мин.























Подводит итоги работы групп и класса в целом. Благодарит за активную, плодотворную работу. Предлагает учащимся высказать своё мнение об уроке по принципу «Микрофон». Так же заполнить и сдать карточки самооценки.

Принцип «Микрофон». (Ученики по очереди дают аргументированный ответ на один из вопросов).

  • На уроке я работал активно / пассивно

  • Своей работой на уроке я доволен / не доволен

  • Урок для меня показался коротким / длинным

  • За урок я не устал / устал

  • Мое настроение стало лучше / стало хуже

  • Материал урока мне был полезен / бесполезен интересен / скучен

  • Домашнее задание мне кажется легким / трудным

  • интересно / не интересно


Учащиеся сдают карточки самооценивания.

hello_html_m62001158.gif

Каждый этап оценивается 0-2 балла по схеме:

0 – слабо работал; 1 – хорошо работал, но один; 2 – хорошо работал, помогал другим.

Этап урока

Кроссворд

Индивидуальная работа

Моя работа в группе

Решение задач

Рефлексия

Моя оценка






Оценка учителя










Аннотация к итоговому занятию:


Описание:

  1. Цели: обобщить знания по данной теме; cформировать навыки практического использования производной в предметах школьного курса, показать применение производной при решении задач ЕГЭ и жизненно важных задач; развивать мышление, сознательное восприятие учебного материала, синтезировать и обобщать полученные знания на уроках физики и математики.

  2. Планируемые результаты:

а) Предметные результаты: уметь решать задачи физики, математики и других предметов, используя правила вычисления производных.

б) Метапредметные результаты:

- регулятивные – уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; работать по коллективно составленному плану; оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки; планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок; высказывать своё предположение.

- коммуникативные – уметь оформлять свои мысли об идеях и методах математики; математике как об универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов; слушать и понимать речь других, совместно договариваться о правилах поведения и общения и следовать им;

- познавательные – уметь сознательно ориентироваться в системе знаний, полученных по теме: «Производная»; добывать новые знания по данной теме.

в) Личностные результаты: познавательная активность, культура общения, умение работать в группах и в коллективе; интерес к учебным предметам; интегрирование в личный опыт новой, в том числе самостоятельно полученной информации.

  1. Факторы, обеспечившие результативность занятия:

а) Характеристика системы упражнений:

материалы урока содержат задания самого разного содержания и уровня сложности:

от самых простых (устная работа, упражнения - тренажёры) до

творческих (карточки – тренажёры (буклет «Госпожа производная»), мини – проекты (буклет «Производная в жизни» и презентация «Рост численности населения»). А так же самостоятельная работа по образцу из буклета «Госпожа производная». Для тех, кто опережает класс, предусмотрены дополнительные разноуровневые задачи (учебник). 

б) формы организации познавательной деятельности:

- индивидуально-обособленная форма (при работе над буклетом «Производная в жизни» каждый учащийся группы 2 взял себе определённое направление, работал над ним самостоятельно, а затем совместными усилиями сделали буклет);

- фронтальная форма познавательной деятельности (работа с кроссвордом, обсуждение отчётов групп, обсуждение проблем, возникших при решении задач самостоятельной работы);

- групповая форма организации познавательной деятельности (выполнение проектов: буклет «Производная в жизни», буклет «Госпожа производная» и презентация «Рост численности населения»).

- коллективная форма познавательной деятельности (на этом уроке коллектив обучал каждого своего члена, и в то же время каждый член коллектива принимал активное участие в обучении всех других его членов).

в) Ресурсы занятия:

- УМК:

    1. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ А.Г.Мордкович. – 13-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2012. – 400 с.: ил.

    2. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ (А.Г.Мордкович и др.); под ред. А.Г.Мордковича. – 13-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2012. – 271 с.: ил.

- интерактивная доска,

- карточки с кроссвордом,

- буклет «Производная в жизни»,

- буклет «Госпожа производная»,

- презентация «Прирост населения Калужской области»,

- заготовки на доску.

Межпредметные связи: физика, экономика, география, информатика.

г) Показатели результативности урока:

- обеспечение у учащихся ощущения продвижения вперед, переживание успеха в деятельности, для чего правильно подобраны темы проектов и уровень сложности заданий;

- заслуженная оценка результатов деятельности;

- использование всех возможностей учебного материала для заинтересованности учащихся, умение ставить проблемы, решать их;

- активизация самостоятельного мышления;

- организация сотрудничества учащихся на уроке и во внеурочное время, взаимопомощь, позитивное отношение к предмету в целом;

- написанная на следующем уроке контрольная работа дала качество знаний 87%.

 Данное занятие является заключительным по итогам повторения понятия производной. Перед нами с детьми стояла задача: обобщить и закрепить знания, полученные по теме: «Производная», а так же возможность применения производной для решения прикладных задач (из курса физики, задачи на оптимизацию и т.д.); скорректировать и более глубоко осмыслить знания и умения по данной теме, показать связь математики с другими школьными предметами.

Проведённое занятие планировалось с целью показать организацию и проведение самостоятельной работы как на уроке, так и во внеурочное время.  Была проведена актуализация знаний и мотивация к выполнению заданий. Учащиеся сами определили тему и цель занятия, которая была успешно достигнута.

Предварительно учащимся на занятиях элективного курса «Производная в жизни» были предложены три варианта заданий – проектов, по которым и сформировались три группы по интересам. На элективном занятии прошло обсуждение заданий, и далее ребята продолжили работу над проектом во внеурочное время. Ими использовались справочники, энциклопедии и, конечно же, среда Internet. Организованная таким образом работа позволила учащимся ориентироваться в своей системе знаний, использовалась работа в группах. Это способствовало развитию умения  работать в сотрудничестве, умению доброжелательно высказывать свое мнение, выслушивать товарища, а также развитию логического мышления, умственных способностей, быстроте умственных реакций.

 На протяжении всего занятия осуществлялась взаимосвязь поставленных задач, создавался сюжет действий для актуализации знаний учащихся, плавного перехода одного этапа урока в другой, сочетая письменную работу с устной.

 На занятии использовалась индивидуальная, коллективная и групповая формы работы. Самостоятельная  работа способствовала формированию умений вычислять производные, применять правила и формулы вычисления производных для решения прикладных задач. Ребятами был составлен алгоритм для решения таких задач (так называемая сегодня модель решения задачи). Самостоятельная  работа на пятом этапе занятия соответствовала возможностям учащихся, т. к. содержала простые и более сложные задания. Используя алгоритм и формулы, приведённые в буклете, ребята выполняли проверку в парах по решению, выведенному на ИД, для этого обменявшись решениями. Обсуждали свои решения в парах, а затем коллективно, анализировали свою работу, выражали вслух свои затруднения и обсуждали правильность решения задач. Записали решения других задач в тетрадь.

«Сильные» дети, быстро справившиеся с заданием, решали задачи повышенного уровня из учебника (на нахождение наименьшего количества материала и минимальное время). Этот тип задач на оптимизацию рассматривался на предыдущем уроке и на элективном курсе.

 По объёму материал был подобран верно, т. к. мы уложились во временные рамки занятия, и дети не испытывали трудностей при его выполнении. Выбранный темп учебной работы на занятии позволил добиться поставленных задач. При выполнении заданий предлагалось дифференцированно подойти к решению.

 При проведении занятия  использовались различные виды контроля: ученик - ученик (взаимоконтроль), самоконтроль, ученик - учитель (сравнение своей работы с решением на ИД). Порядок и дисциплина на уроке поддерживалась с помощью умелой организации, интересного материала. На этом занятии дети учили себя сами! Мною же постоянно приветствовалось проявление активности детей, поощрялась самостоятельность. Доброжелательный тон, умение контролировать внутриколлективные отношения, позволили комфортно чувствовать себя всем детям на уроке.  

Завершающим   этапом было подведение итогов и оценивание учителем результатов занятия. При оценивании ответов обучающихся были использованы оценочные карты.                                                                      

Я считаю, что на данном занятии были реализованы все  поставленные цели и задачи. По моему мнению, занятие прошло на хорошем эмоциональном уровне.

Данное занятие с применением  интерактивной доски, различных заданий и проектов способствует повышению познавательной активности, интереса к предмету, созданию атмосферы доброжелательности.


Заключение.



В представленной работе были рассмотрены основные положения, связанные с производной в школьном курсе математики. Производная, как отмечалось выше, представляет собой одним из мощных орудий исследования, поэтому данная работа спланирована таким образом, чтобы изложенный материал представлял собой интересный и освобождённый от излишних трудностей для учащихся.

Считаю, что выполнила поставленные перед собой задачи, а именно:

- был проведен полный анализ теоретической основы изучения производной;

- разработан элективный курс «Производная в жизни» по данной теме исследования разработки;

- подобрана гибкая система упражнений, обеспечивающая прочное усвоение учащимися основных приёмов решения задач.

В целом можно говорить о том, что поставленная цель исследования, сформулированная, как изучение научно-методической литературы и адаптация наиболее интересного материала к процессу обучения учащихся была достигнута.

Научно – методическая разработка содержит теоретический материал на доступном языке для учащихся, но в то же время и на научном языке. Кроме этого, разработанный элективный курс, отражающий методику изучения данной темы, может быть использован в качестве основного при рассмотрении на занятиях данной темы.

Данная работа может быть полезна не только учащимся, но и учителям.



Выводы.

 Анализируя свой опыт, я прихожу к выводу, что использование элективного курса «Производная в жизни» позволяет:

  • сделать процесс обучения боле интересным, ярким, увлекательным;

  • эффективно решать проблему наглядности обучения;

  • индивидуализировать процесс обучения;

  • совершенствовать навыки самоконтроля;

  • организовать учебно-исследовательскую деятельность учащихся.

  • организовать изучение нового материала на уроках математики на основе деятельностного подхода;

  • использовать на уроке уровневую дифференциацию (в условиях этой технологии ученик имеет право на выбор содержания своего образования, уровня усвоения);

  • повышать эффективность урока;

  • повышать мотивацию учащихся к изучению математики.

Данная разработка будет, думаю, полезна и другим педагогам в их работе, т.к. она неоднократно доказала свою эффективность.

Используемая литература:

1. Абалуев Р.Н., Астафьева Н.Г., Баскакова Н.И., Бойко Е.Ю., Вязавова О.В., Кулешова Н.А., Уметский Л.Н., Шешерина Г.А., Интернет-технологии в образовании: Учебно-методическое пособие. Ч.3. //Тамбов: ТГТУ, 2002 - с. 4-5

2. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. А. Г. Мордкович и др. М.: Мнемозина, 2012.

3. Алгебра и начала анализа: задачник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. А. Г. Мордкович и др. М.: Мнемозина, 2012.

4. Алгебра и начала анализа. 10 кл.: Самостоятельные работы: Учеб. Пособие для общеобразоват. учреждений / Под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2005. – 135 с.

5. Бобровская Л. Н., Сапрыкина Е. А., Смыковская Т. К. Поддержка педагогической деятельности учителя в условиях информатизации образования // Профильная школа, 2006, №6. – с.24-29

6. Горстко А. Б. «Познакомьтесь с математическим моделированием» – М.: Знание, 1991.

7. Днепров Э. Д., Аркадьев А. Г. Сборник нормативных документов, Математика М., Дрофа, 2008

8. Каминский В.Ю. Использование образовательных технологий в учебном процессе // Завуч, 2005, №3.-с. 4-14

9. Лавриненко, Т.А. «Как научить детей решать задачи» - Саратов: Лицей, 2000.

10. Математика, практикум, 5-11 /CD-ROM, Дрофа, 2004.

11. Миронова М. Конструирование урока математики с использованием ИКТ //Математика, 2008, № 15

12. Сиденко А.С. Метод проектов: история и практика применения // Завуч, 2003,№6.-с. 96-111

13. Тематические тесты. Математика. ЕГЭ-2014. 10-11 классы/Под ред. Ф. Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: Легион, 2014

Интернет - ресурсы:

  1. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов http://school-collection.edu.ru

  2. Классификация образовательных электронных изданий: основные принципы и критерии. http://www.ict.edu.ru/003621//contents.html

  3. Математика/ Приложение к газете 1 сентября www.1september.ru

  4. Федеральный институт педагогических измерений. www.fipi.ru

  5. Электронная версия журнала «Вестник образования России» http://www. vestniknews.ru

  6. Электронная версия газеты «Математика» приложение к газете «Первое сентября» www:http://mat.





Автор
Дата добавления 27.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров605
Номер материала ДВ-558882
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх