Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Научно-практическая работа " Метод мажорант"

Научно-практическая работа " Метод мажорант"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

«Метод мажорант» Работа учащихся 11 А класса Казакова Александра, Галиуллина...
К 11 классу мы с одноклассниками решили сотни различных уравнений и неравенст...
Цели 1. Изучить метод, который применим к очень широкому классу «нестандартны...
Условием, побуждающим использовать метод мажоранта, является наличие в одном...
Мажорантой данной функции f(x) на множестве D называется такое число M, что л...
Приведем перечень базовых неравенств, часто используемых для оценки. Неравенс...
Оценка однородного линейного тригонометрического многочлена Оценка суммы дву...
Способы нахождения мажоранты Связан с нахождением области значений заданных ф...
Решения уравнений (Первый способ) 2sinx=5x+2x+3 Решение: Оценим обе части ура...
Решение 	Проанализируем сначала правую часть уравнения. Рассмотрим квадратич...
Графический способ Вершина параболы, стоящей в правой части уравнения, имеет...
Решение 	Проанализируем правую часть уравнения. Рассмотрим квадратичную функ...
Решение Т.к. , а то данное уравнение равносильно системе уравнений: Проверкой...
(Второй способ) Решение Это уравнение равносильно системе: x-2y+1=0 3x-y-2=0...
Решение Рассмотрим первую часть уравнения: Первая часть уравнения = , только...
х, у - целые числа Решение По условию, Х и У целые числа, а тогда значения п...
Решение Так как сумма 2-х взаимно обратных положительных чисел не меньше 2, з...
ОДЗ: x>0, y>0. Решение Тогда, и как суммы двух положительных взаимно обратных...
ОДЗ: Рассмотрим правую часть уравнения. Введем функцию y = x2 – 6x + 11. Граф...
g(3) = 2 Имеем при В результате
Составим систему уравнений, исходя из указанных выше условий: Решив первое ур...
Заключение Представленная нами работа будет очень полезна школьникам для подг...
1 из 22

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 «Метод мажорант» Работа учащихся 11 А класса Казакова Александра, Галиуллина
Описание слайда:

«Метод мажорант» Работа учащихся 11 А класса Казакова Александра, Галиуллина Ильи, МБОУ «Гимназии №3 Зеленодольского муниципального района Республики Татарстан» Научный руководитель учитель математики Шулаева Елена Николаевна. 2014 год

№ слайда 2 К 11 классу мы с одноклассниками решили сотни различных уравнений и неравенст
Описание слайда:

К 11 классу мы с одноклассниками решили сотни различных уравнений и неравенств. Исследуя различные способы их решения, мы пришли к выводу, что наиболее красивым, наиболее универсальным способом поиска решений является именно этот метод. Очень возможно, что кто-то из вас и не слышал такое выражение, как «метод мажорант». На самом деле, вы встречались с этим методом, просто не знали, как он называется. Некоторые математики называют этот метод по-другому: «метод математической оценки», «метод mini-max». Это очень красивый метод, и ему непременно надо научить всех.

№ слайда 3 Цели 1. Изучить метод, который применим к очень широкому классу «нестандартны
Описание слайда:

Цели 1. Изучить метод, который применим к очень широкому классу «нестандартных» задач; 2. Выявить такие особенности формулировок «нестандартных» задач, которые позволяют сразу же сузить круг возможных методов их решения; 3. Показать ученикам практически универсальный алгоритм решения многих задач этим методом; 4. Повысить уровень математического развития.

№ слайда 4 Условием, побуждающим использовать метод мажоранта, является наличие в одном
Описание слайда:

Условием, побуждающим использовать метод мажоранта, является наличие в одном уравнении или неравенстве функций различной природы: алгебраических, тригонометрических, показательных, логарифмических и др., что затрудняет или делает невозможным использование стандартных методов. Для применения метода «mini-max»необходимо уметь оценивать левую и правую части уравнения (неравенства). Иногда оценка одной из частей уравнения (неравенства) может быть сделана, исходя из очевидных соображений, или диктуется непосредственно видом этой части; тогда следует попытаться получить противоположную оценку для другой части уравнения.

№ слайда 5 Мажорантой данной функции f(x) на множестве D называется такое число M, что л
Описание слайда:

Мажорантой данной функции f(x) на множестве D называется такое число M, что либо f(x) M для всех либо f(x) M для всех . Основная идея метода мажорант состоит в следующем: Пусть мы имеем уравнение f(x) =g(x)и существует такое число M, что для любого x из области определения f(x) и g(x) имеем: f(x) M и g(x) M, тогда уравнение f(x) =g(x) эквивалентно системе: Аналогичное утверждение для двух переменных: f(x,y) =g(x,y), то уравнению равносильна система:

№ слайда 6 Приведем перечень базовых неравенств, часто используемых для оценки. Неравенс
Описание слайда:

Приведем перечень базовых неравенств, часто используемых для оценки. Неравенство Коши (Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел). равенство достигается в этом неравенстве при a = b Если же то

№ слайда 7 Оценка однородного линейного тригонометрического многочлена Оценка суммы дву
Описание слайда:

Оценка однородного линейного тригонометрического многочлена Оценка суммы двух взаимообратных чисел если равенство достигается только при А=1. Тригонометрические неравенства Оценка квадратного трехчлена Если , то ; равенство достигается при Если , то ; равенство достигается при

№ слайда 8 Способы нахождения мажоранты Связан с нахождением области значений заданных ф
Описание слайда:

Способы нахождения мажоранты Связан с нахождением области значений заданных функций. Применение базовых неравенств. Нахождение мажоранты с помощью производной.

№ слайда 9 Решения уравнений (Первый способ) 2sinx=5x+2x+3 Решение: Оценим обе части ура
Описание слайда:

Решения уравнений (Первый способ) 2sinx=5x+2x+3 Решение: Оценим обе части уравнения: y=2sinx y=5x +2x+3 x = =2 E E ; y Нет общей точки. Ответ: решений нет.

№ слайда 10 Решение 	Проанализируем сначала правую часть уравнения. Рассмотрим квадратич
Описание слайда:

Решение Проанализируем сначала правую часть уравнения. Рассмотрим квадратичную функцию ,графиком которой будет являться парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём координаты вершины данной параболы (5;8). Тогда область значений этой квадратичной функции , причём значение 8 она принимает только при х=5. В левой части уравнения находится функция . Область значения её [-8,8]. Значит, если графики этих функций имеют общую точку, то её ордината может быть только 8. Данное уравнение равносильно системе: Второе уравнение системы имеет единственный корень 5 , но при выполнении проверки первого уравнения получаем неверное равенство из чего делаем вывод, что система, а значит, и исходное уравнение, не имеет решений. Ответ: решений нет.

№ слайда 11 Графический способ Вершина параболы, стоящей в правой части уравнения, имеет
Описание слайда:

Графический способ Вершина параболы, стоящей в правой части уравнения, имеет координаты x=5, y=8. Область значений выражения, стоящего в левой части уравнения [-8;8]. Ответ: У графиков данных функций нет общих точек.

№ слайда 12 Решение 	Проанализируем правую часть уравнения. Рассмотрим квадратичную функ
Описание слайда:

Решение Проанализируем правую часть уравнения. Рассмотрим квадратичную функцию , графиком которой будет являться парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём координаты вершины (3;1). Значения этой квадратичной функции больше или равны 1, причём значение 1 функция принимает только при х=3. Значения левой части данного уравнения не превосходят 1. Равенство между значениями данных функций может достигаться только тогда, когда обе части уравнения принимают значение 1. Следовательно, данное уравнение равносильно системе: Решив второе уравнение системы, получим . Проверяем, является ли число 3 корнем первого уравнения системы: равенство верное. Ответ: 3.

№ слайда 13 Решение Т.к. , а то данное уравнение равносильно системе уравнений: Проверкой
Описание слайда:

Решение Т.к. , а то данное уравнение равносильно системе уравнений: Проверкой убеждаемся, что является корнем уравнения. Ответ: .

№ слайда 14 (Второй способ) Решение Это уравнение равносильно системе: x-2y+1=0 3x-y-2=0
Описание слайда:

(Второй способ) Решение Это уравнение равносильно системе: x-2y+1=0 3x-y-2=0 Решением является: x=1; y=1 Ответ: (1,1).

№ слайда 15 Решение Рассмотрим первую часть уравнения: Первая часть уравнения = , только
Описание слайда:

Решение Рассмотрим первую часть уравнения: Первая часть уравнения = , только при х=2. Ответ:2.

№ слайда 16 х, у - целые числа Решение По условию, Х и У целые числа, а тогда значения п
Описание слайда:

х, у - целые числа Решение По условию, Х и У целые числа, а тогда значения подкоренных выражений окажутся тоже целыми числами. Нельзя допустить, чтобы значения подкоренных выражений оказались больше или равны 1 (тогда неравенство не будет выполнено). Составим и решим систему: 3х-2у-4=0 2х+3у-7=0 Эта система имеет единственное решение (2;1) Ответ: (2,1).

№ слайда 17 Решение Так как сумма 2-х взаимно обратных положительных чисел не меньше 2, з
Описание слайда:

Решение Так как сумма 2-х взаимно обратных положительных чисел не меньше 2, значит левая часть больше либо равна 4: Оценим правую часть уравнения, рассмотрим функцию график функции парабола, ветви вниз, вершина:x0=2 y0=16. Значит y≤16, следовательно: Следовательно данное уравнение равносильно системе: Ответ: х=2

№ слайда 18 ОДЗ: x>0, y>0. Решение Тогда, и как суммы двух положительных взаимно обратных
Описание слайда:

ОДЗ: x>0, y>0. Решение Тогда, и как суммы двух положительных взаимно обратных чисел. Значит и а их сумма равна 4, когда каждое из них одновременно равно 2, т.е. уравнение равносильно системе двух уравнений: Из этого следует, что Ответ:x=1, y=

№ слайда 19 ОДЗ: Рассмотрим правую часть уравнения. Введем функцию y = x2 – 6x + 11. Граф
Описание слайда:

ОДЗ: Рассмотрим правую часть уравнения. Введем функцию y = x2 – 6x + 11. Графиком функции является парабола с вершиной A(3; 2). Наименьшее значение функции y(3) = 2, т. е. y = x2 – 6x + 11 2. Рассмотрим левую часть уравнения. Введем функцию С помощью производной нетрудно найти максимум функции, которая дифференцируема на x (2; 4); (третий способ)

№ слайда 20 g(3) = 2 Имеем при В результате
Описание слайда:

g(3) = 2 Имеем при В результате

№ слайда 21 Составим систему уравнений, исходя из указанных выше условий: Решив первое ур
Описание слайда:

Составим систему уравнений, исходя из указанных выше условий: Решив первое уравнение системы, имеем x = 3. Подставляя это значение во второе уравнение, убеждаемся, что x = 3 – решение системы. Ответ: x = 3.

№ слайда 22 Заключение Представленная нами работа будет очень полезна школьникам для подг
Описание слайда:

Заключение Представленная нами работа будет очень полезна школьникам для подготовки к поступлению в ВУЗ. Работа будет полезна и студентам, потому что рассмотренный нами метод может быть с успехом применен и к решению многих задач по высшей математике.


Краткое описание документа:

Метод мажорант.

Работа была представлена на Межрегиональные юношеские научно-исследовательские чтения имени Каюма Насыйри.

Необходимость применения метода:

Наличие в одном уравнении или неравенстве функций различной природы: алгебраических, тригонометрических и т.д., что затрудняет или делает невозможным использование стандартных методов.

 Существует несколько способов нахождения данного числа М.

1  способ: связан с нахождением области значений заданных функций.

2  способ:  применение базовых неравенств.

3  способ: нахождение мажоранты с помощью производной.

Для применения метода мажорант необходимо уметь оценивать левую и правую части уравнения или неравенства. Иногда оценка одной из частей уравнения (неравенства) может быть сделана, исходя из очевидных соображений; тогда следует попытаться получить противоположную оценку для другой части. Для этого в работе приводится перечень часто используемых для оценки базовых неравенств: неравенство Коши, оценка суммы двух взаимообратных чисел, оценка квадратного трехчлена и т.д.

 

В работе приводятся  решения уравнений и неравенств с применением данного метода тремя представленными способами, с использованием заданий из ЕГЭ  и олимпиад прошлых лет.

Представленная работа будет очень полезна школьникам для подготовки к поступлению в ВУЗ.

Данный материал  будет полезен и студентам, потому что рассмотренный нами метод может быть с успехом применен и к решению многих задач по высшей математике.

Автор
Дата добавления 27.03.2015
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров268
Номер материала 462267
Получить свидетельство о публикации


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх