Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
«Метод мажорант»
Работа учащихся 11 А класса
Казакова Александра,
Галиуллина Ильи,
МБОУ «Гимназии №3 Зеленодольского муниципального района
Республики Татарстан»
Научный руководитель
учитель математики
Шулаева Елена Николаевна.
2014 год
2 слайд
К 11 классу мы с одноклассниками решили сотни различных уравнений и неравенств. Исследуя различные способы их решения, мы пришли к выводу, что наиболее красивым, наиболее универсальным способом поиска решений является именно этот метод. Очень
возможно, что кто-то из вас и не слышал такое выражение, как «метод мажорант».
На самом деле, вы встречались с этим методом, просто не знали, как он называется. Некоторые математики называют этот метод по-другому: «метод математической оценки», «метод mini-max». Это очень красивый метод, и ему непременно надо научить всех.
3 слайд
Цели
1. Изучить метод, который применим к очень широкому классу «нестандартных» задач;
2. Выявить такие особенности формулировок «нестандартных» задач, которые позволяют сразу же сузить круг возможных методов их решения;
3. Показать ученикам практически универсальный алгоритм решения многих задач этим методом;
4. Повысить уровень математического развития.
4 слайд
Условием, побуждающим использовать метод мажоранта, является наличие в одном уравнении или неравенстве функций различной природы: алгебраических, тригонометрических, показательных, логарифмических и др., что затрудняет или делает невозможным использование стандартных методов.
Для применения метода «mini-max»необходимо уметь оценивать левую и правую части уравнения (неравенства).
Иногда оценка одной из частей уравнения (неравенства) может быть сделана, исходя из очевидных соображений, или диктуется непосредственно видом этой части; тогда следует попытаться получить противоположную оценку для другой части уравнения.
5 слайд
Мажорантой данной функции f(x) на множестве D называется такое число M, что либо f(x) M для всех либо f(x) M для всех .
Основная идея метода мажорант состоит в следующем:
Пусть мы имеем уравнение f(x) =g(x)и существует такое число M, что для любого x из области определения f(x) и g(x) имеем: f(x) M и g(x) M, тогда уравнение f(x) =g(x) эквивалентно системе:
Аналогичное утверждение для двух переменных:
f(x,y) =g(x,y), то уравнению равносильна система:
6 слайд
Приведем перечень базовых неравенств, часто используемых для оценки.
Неравенство Коши (Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел).
равенство достигается в этом неравенстве при a = b Если же то
7 слайд
Оценка однородного линейного тригонометрического многочлена
Оценка суммы двух взаимообратных чисел
если
равенство достигается только при А=1.
Тригонометрические неравенства
Оценка квадратного трехчлена
Если
, то
; равенство достигается при
Если
, то
; равенство достигается при
8 слайд
Способы нахождения мажоранты
Связан с нахождением области значений заданных функций.
Применение базовых неравенств.
Нахождение мажоранты с помощью производной.
9 слайд
Решения уравнений
(Первый способ)
2sinx=5x+2x+3
Решение:
Оценим обе части уравнения:
y=2sinx y=5x
+2x+3
x
=
=2
E
E
; y
Нет общей точки.
Ответ: решений нет.
10 слайд
Решение
Проанализируем сначала правую часть уравнения. Рассмотрим квадратичную функцию ,графиком которой будет являться парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём координаты вершины данной параболы (5;8).
Тогда область значений этой квадратичной функции , причём значение 8 она принимает только при х=5.
В левой части уравнения находится функция . Область значения её [-8,8].
Значит, если графики этих функций имеют общую точку, то её ордината может быть только 8.
Данное уравнение равносильно системе:
Второе уравнение системы имеет единственный корень 5 , но при выполнении проверки первого уравнения получаем неверное равенство из чего делаем вывод, что система, а значит, и исходное уравнение, не имеет решений. Ответ: решений нет.
11 слайд
Графический способ
Вершина параболы, стоящей в правой части уравнения, имеет координаты
x=5, y=8.
Область значений выражения, стоящего в левой части уравнения
[-8;8].
Ответ: У графиков данных функций нет общих точек.
12 слайд
Решение
Проанализируем правую часть уравнения. Рассмотрим квадратичную функцию , графиком которой будет являться парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём координаты вершины (3;1). Значения этой квадратичной функции больше или равны 1, причём значение 1 функция принимает только при х=3. Значения левой части данного уравнения не превосходят 1.
Равенство между значениями данных функций может достигаться только тогда, когда обе части уравнения принимают значение 1.
Следовательно, данное уравнение равносильно системе:
Решив второе уравнение системы, получим .
Проверяем, является ли число 3 корнем первого уравнения системы:
равенство верное.
Ответ: 3.
13 слайд
Решение
Т.к.
, а
то данное уравнение равносильно системе уравнений:
Проверкой убеждаемся, что
является корнем уравнения.
Ответ:
.
14 слайд
(Второй способ)
Решение
Это уравнение равносильно системе:
x-2y+1=0
3x-y-2=0
Решением является: x=1; y=1
Ответ: (1,1).
15 слайд
Решение
Рассмотрим первую часть уравнения:
Первая часть уравнения =
, только при х=2.
Ответ:2.
16 слайд
х, у - целые числа
Решение
По условию, Х и У целые числа, а тогда значения подкоренных выражений окажутся тоже целыми числами. Нельзя допустить, чтобы значения подкоренных выражений оказались больше или равны 1 (тогда неравенство не будет выполнено).
Составим и решим систему:
3х-2у-4=0
2х+3у-7=0
Эта система имеет единственное решение (2;1)
Ответ: (2,1).
17 слайд
Решение
Так как сумма 2-х взаимно обратных положительных чисел не меньше 2, значит левая часть больше либо равна 4:
Оценим правую часть уравнения, рассмотрим функцию
график функции парабола, ветви вниз, вершина:x0=2 y0=16.
Значит y≤16, следовательно:
Следовательно данное уравнение равносильно системе:
Ответ: х=2
18 слайд
ОДЗ: x>0, y>0.
Решение
Тогда, и как суммы двух положительных взаимно обратных чисел. Значит
и
а их сумма равна 4, когда каждое из них одновременно равно 2, т.е. уравнение равносильно системе двух уравнений:
Из этого следует, что
Ответ:x=1, y=
19 слайд
ОДЗ:
Рассмотрим правую часть уравнения.
Введем функцию y = x2 – 6x + 11. Графиком функции является парабола с вершиной A(3; 2). Наименьшее значение функции y(3) = 2, т. е.
y = x2 – 6x + 11 2.
Рассмотрим левую часть уравнения.
Введем функцию С помощью производной нетрудно найти максимум функции, которая дифференцируема на x
(2; 4);
(третий способ)
20 слайд
g(3) = 2
Имеем
при
В результате
21 слайд
Составим систему уравнений, исходя из указанных выше условий:
Решив первое уравнение системы, имеем x = 3. Подставляя это значение во второе уравнение, убеждаемся,
что x = 3 – решение системы.
Ответ: x = 3.
22 слайд
Заключение
Представленная нами работа будет очень полезна школьникам для подготовки к поступлению в ВУЗ.
Работа будет полезна и студентам, потому что рассмотренный нами метод может быть с успехом применен и к решению многих задач по высшей математике.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Метод мажорант.
Работа была представлена на Межрегиональные юношеские научно-исследовательские чтения имени Каюма Насыйри.
Необходимость применения метода:
Наличие в одном уравнении или неравенстве функций различной природы: алгебраических, тригонометрических и т.д., что затрудняет или делает невозможным использование стандартных методов.
Существует несколько способов нахождения данного числа М.
1 способ: связан с нахождением области значений заданных функций.
2 способ: применение базовых неравенств.
3 способ: нахождение мажоранты с помощью производной.
Для применения метода мажорант необходимо уметь оценивать левую и правую части уравнения или неравенства. Иногда оценка одной из частей уравнения (неравенства) может быть сделана, исходя из очевидных соображений; тогда следует попытаться получить противоположную оценку для другой части. Для этого в работе приводится перечень часто используемых для оценки базовых неравенств: неравенство Коши, оценка суммы двух взаимообратных чисел, оценка квадратного трехчлена и т.д.
В работе приводятся решения уравнений и неравенств с применением данного метода тремя представленными способами, с использованием заданий из ЕГЭ и олимпиад прошлых лет.
Представленная работа будет очень полезна школьникам для подготовки к поступлению в ВУЗ.
Данный материал будет полезен и студентам, потому что рассмотренный нами метод может быть с успехом применен и к решению многих задач по высшей математике.
6 662 915 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Шулаева Елена Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
8 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.