Муниципальное бюджетное образовате6льное учреждение
Ширинская средняя общеобразовательная школа №18
Секция математики, информатики и физики
Арифметические и геометрические прогрессии в нашей
жизни
Шенкнехт Альбина
Ученица 9 б класса
Мункина А.Г.
Учитель математики
Шира
2013
Оглавление
I.
Введение…………………………………………………………….…..3
II.
Глава
1. Теоретические основы арифметической и геометрической
прогрессий………………………………………………………………4
1.1.
История
возникновения арифметической и геометрической прогрессий…………………………………………………….….5
1.2.
Арифметическая
и геометрическая прогрессии…………...….7
Глава 2. Арифметические и
геометрические прогрессии в нашей жизни…………………………………………………………………...10
2.1.
Арифметические
и геометрические прогрессии в повседневной жизни……………………………………………10
III.
Заключение………………………………………………………….....13
IV.
Библиографический
список..………………………………………....14
V.
Приложение
Введение
Математика всегда
была неотъемлемой и существеннейшей составной частью человеческой культуры, она
является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического
прогресса и важной компонентой развития личности.
Математика
встречается и используется в повседневной жизни, следовательно, определенные
математические навыки нужны каждому человеку.
В
9 классе мы начинаем изучать числовые последовательности. Изучили
арифметическую и геометрическую прогрессии: дали определение, научились находить
по формулам любой член прогрессии, сумму первых членов прогрессии.
Найдя
ответы на вопросы: имеет ли это, какое - либо практическое значение и как давно
люди знают последовательности, как возникло это понятие, мы подтвердим или
опровергнем утверждение о том, что математика – наука очень древняя и
возникла она из практических нужд человека, что алгебра является частью
общечеловеческой культуры.
Объектом исследования: геометрическая
и арифметическая прогрессии.
Предмет исследования: практическое
применение прогрессий.
Гипотеза исследования: если математика –
наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, то и
прогрессии имеют определенное практическое значение.
Цель исследования: установить картину
возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.
Задачи исследования:
1.
Выяснить:
ü когда и в связи,
с какими потребностями человека появилось
понятие последовательности, в
частности - прогрессии;
ü какие ученые
внесли большой вклад в развитие теоретических и
практических знаний по изучаемой
проблеме;
ü теоретические
основы геометрической и арифметической
прогрессий.
2.
Установить: имеют ли арифметическая и геометрическая
прогрессии прикладное значение? Найти примеры применения прогрессий в
нашей жизни.
Методы исследования:
ü анализ
школьных учебников математики, математической, справочной литературы,
литературы по истории математики, материала из Интернета;
ü обобщение
найденных фактов в учебниках по биологии, по экологии, по экономики и в
медицинских справочниках.
В данной работе,
мы отразим применение прогрессий в повседневной
жизни, и
покажем, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.
Глава 1. Теоретические основы арифметической и
геометрической прогрессий
1.1.
История возникновения арифметической и геометрической прогрессий
Понятие числовой
последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции.
Так еще в III в. до н. э. александрийский
ученый Эратосфен указал способ получения n-го члена последовательности простых чисел. Этот способ был
назван «решетом Эратосфена».
Идея предела
последовательности восходит к V-IV вв. до н. э. Прогрессии - частные
виды числовых последовательностей – встречаются в памятниках II тысячелетия до н.э. [1].
В клинописных
табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко II тысячелетию до н.э., встречаются
примеры арифметических и геометрических прогрессий. Например, вавилонская
задача, в которой используется арифметическая прогрессия: « 10 братьев, мины серебра. Брат над
братом поднимается, на сколько поднимается, не знаю. Доля восьмого 6 шекелей.
Брат над братом – на сколько он выше?»
При решении
вавилонский автор, не имевший в своем распоряжении ни современной символики, ни
готовых формул, вынужден придержаться строго арифметических рассуждений. Идея
его решения следующая. Он начинает с нахождения средней арифметической (средней
доли), деля мины на 10 и получая мины, ее умножает затем на
два. Итак, удвоенная средняя доля есть мины. Это и есть сумма
долей третьего и восьмого братьев, имея в виду, что первого от третьего, как и
восьмого от десятого отделяют 2 ступени (интервала). Третьего же от восьмого
отделяют 5 ступеней, а разность между их долями составляет мины. Отсюда и находится
значение одной ступени, т.е. разность прогрессии, равная от мины, или мины. [1].
А вот, например, задача из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10
мер ячменя между 10 человеками и, разность же между каждым человеком и его
соседом равна меры»
[1].
Задачи
на арифметические (и геометрические) прогрессии имеются и в древнекитайском
трактате «Математика в девяти книгах», в котором нет, однако, указаний на
применение какой-либо формулы суммирования. По содержанию некоторые китайские
задачи трактуют о растущей или убывающей производительности труда ткачих.
Примеры арифметических и геометрических прогрессий имеются и в индийских
«сиддхантах».
В древнерусском
юридическом сборнике «Русская правда» содержатся выкладки о приплоде от скота и
пчел за известный промежуток времени, о количестве зерна, собранного с
определенного участка земли, и т.д.
Таким образом,
первые задачи дошедшие да нас на прогрессии связаны с запросами хозяйственной
жизни и общественной практики, как например, распределение продуктов, деление
наследства, приплод скота, наблюдениями над явлениями природы и т.д.
Однако,
слово
«прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») в первые встречается у
римского автора Боэция (V-VI в.). Первоначально под прогрессией
понимали всякую числовую последовательность чисел, построенную по такому
закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в
одном направлении. В конце средних веков и в начале нового времени это термин
перестает быть общеупотребительным. В XVII в., например, ДЖ. Грегори употребляет вместо прогрессии термин «ряд», а
другой видный английский математик, Дж. Валлис, применяет для бесконечных рядов
термин «бесконечные прогрессии».
Некоторые
формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым.
Так, Ариабхатта (V в.) знал формулы общего
члена, суммы арифметической прогрессии и др. Магавира (IX в.) пользуется формулой суммы
квадратов натуральных чисел
и другими более сложными
конечными рядами. Однако правило для нахождения суммы членов произвольной
арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202 г.)
Леонардо Пизанского (Фибоначчи). В «Науке о числах» (1484 г.) Н. Шюке, как и
Архимед, сопоставляет арифметическую прогрессию любой бесконечно убывающей
геометрической прогрессии. Формула для суммирования бесконечно убывающей
геометрической прогрессии была известна П. Ферма и другим математикам XVII в.[1]
В настоящее время прогрессии
рассматриваются, как частные случаи числовых последовательностей.
1.
2.
Арифметическая и геометрическая прогрессии
В толковом словаре понятия арифметической
и геометрической прогрессии даются следующим образом:
Арифметическая прогрессия –
это последовательность чисел, каждое из которых получается из предыдущего путем
прибавления или вычитания некоего постоянного числа.
Геометрическая прогрессия –
это последовательность чисел, каждое из которых получается из предыдущего путем
умножения или деления на некое постоянное число [4].
В школьном курсе
«Алгебра» 9 класс по редакцией А.Г. Мордкович, понятия геометрической и
арифметической прогрессии дается следующим образом:
Определение. Числовую последовательность,
каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного
и того же числа d, называют арифметической. При
этом число d называют разностью прогрессий.
Очевидно, что арифметическая
прогрессия является возрастающей последовательностью, если , и убывающей, если .
Формула n-члена арифметической прогрессии.
Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.
Каждый член арифметической
прогрессии, кроме первого (и последнего – в случае конечной прогрессии), равен
среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.
Верно и обратное: если
последовательность такова, что для любого выполняется равенство
то -
арифметическая прогрессия.
Теорема: Числовая последовательность
является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме
первого (и последнего – в случае конечной последовательности), равен среднему
арифметическому предшествующего и последующего членов.
Определение. Числовую последовательность,
все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго,
получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют геометрической
прогрессией. При этом число q
называют знаменателем прогрессии.
Формула n-го члена геометрической прогрессии.
Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.
Квадрат каждого члена геометрической
прогрессии, первого (и последнего – в случае конечной последовательности),
равен произведению предшествующего и последующего членов.
Верно и обратное: если
последовательность такова, что для любого выполняется
равенство
то -
геометрическая прогрессия.
Теорема: Числовая последовательность
является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат
каждого ее члена, кроме первого (и последнего – в случае конечной
последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.
[2].
Таким образом, в
первой главе нами было выяснено, когда и в связи, с какими
потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности - прогрессии;
какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических
знаний по изучаемой проблеме; рассмотрены теоретические основы геометрической и
арифметической прогрессий.
Глава 2.
Арифметические и геометрические прогрессии в нашей жизни
2.1.
Арифметические и геометрические прогрессии в окружающей нас жизни
Первые
задачи, дошедшие да нас на прогрессии, были связаны с запросами хозяйственной
жизни и общественной практикой. Так и в наше время формулы арифметической и
геометрической прогрессии используются при подсчёте данных в программировании,
экономике, химии, литературе, физике, биологии, геометрии, экономике,
статистике, а также и в повседневной жизни. Рассмотрим примеры применения более
подробно:
1)
Химия: при повышении температуры по арифметической прогрессии
скорость химической реакций растёт по геометрической прогрессии. При повышении
температуры от +20 до + 60 градусов, скорость реакции увеличивается в 150 раз;
2)
Физика:
нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на 2 части, получаются 2
нейтрона. Затем 2 нейтрона, ударяя по двум другим ядрам, раскалывают их ещё на
4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия;
3)
Литература:
даже в литературе мы встречаемся с математикой. Так, вспомним строки из
«Евгения Онегина».
…Не мог он ямба от хорея,
Как мы не бились отличить…
Ямб – это
стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2,
4, 6, 8… . Номера ударных слогов
образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.
«Мой дЯдя сАмых чЕстных
прАвил…»
(А.С.Пушкин)
Прогрессия
2, 4, 6, 8…
«Так
бей, не знай отдохновенья,
Пусть жила жизни глубока:
Алмаз горит издалека -
Дроби, мой гневный ямб, каменья!»
(И. Блок)
Прогрессия
2,4,6, 8, 10,12…
Хорей – это
стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных
слогов образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7…
«Я
пропАл , как звЕрь в загОне…» (Б.Л.Пастернак)
Прогрессия
1, 3, 5, 7…
Листья падают в саду…
В этот старый сад, бывало,
Ранним утром я уйду
И блуждаю, где попало. (И.Бунин)
[10].
4)
Биология: в микробиологии также работают законы математики. Так,
микроорганизмы размножаются делением пополам. При наличии благоприятных условий
и через одинаковый промежуток времени их количество удваивается, например: летом
инфузории размножаются бесполым способом делением пополам. Вопрос: сколько
будет инфузорий после 15-го размножения?
Ответ: b15 = 2·214 = 32 768 (геометрическая прогрессия)
5)
Экономика:
прогрессия имеет очень широкое применение в экономике. С её помощью банки
производят расчеты с вкладчиками, определяют, какие средства можно разместить в
кредиты, решают, стоит ли вкладывать средства в крупные проекты, доход от
которых будет получен через несколько лет и т.д. Так, вклады в банках
увеличиваются по схемам сложных и простых процентов. Простые проценты –
увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии. Сложные проценты
– увеличение первоначального вклада в геометрической прогрессии.
Например, нужно рассчитать доход, который клиент получит
после окончания срока хранения вклада в банке, зная сумму вклада, ставку по
вкладу и срок хранения вклада. Так, клиент открыл в Сбербанке вклад (депозит)
на сумму 3 млн. рублей сроком на 6 месяцев. Банк платит клиенту за пользование
его средствами ставку в размере 6% годовых. Схема расчета такова: , тогда получаем (Приложение
1, Таблица 1).
Налицо геометрическая прогрессия: 103037.75 рублей, где 100 000 –
первоначальная сумма депозита, а 1,005 – знаменатель прогрессии (Приложение 1,
Диаграмма 1)
6)
Медицина:
по такой же схеме идёт распространение инфекционной болезни среди людей.
Схематически это может выглядеть так: инфицированный человек (источник
инфекции) передаёт возбудителя болезни другим людям, каждый вновь
инфицированный вовлекает в эпидемический процесс n – ое число людей, т.е. возникает инфекция.
Или
можно рассмотреть в качестве примера прием таблеток – 2 таблетки 3-4 раза в
день, т.е. часы приема: 8 часов, 11 часов, 14 часов, 17 часов. На лицо
арифметическая прогрессия: .
Таким
образом, нами были рассмотрены примеры применения прогрессий в нашей жизни и мы
убедились, что арифметическая и геометрическая прогрессия, так же можно сделать
вывод, что алгебра является частью общечеловеческой
культуры.
Заключение
Целью данного
исследования было установить картину
возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их
применения.
Мы в
соответствии поставленным задачам выявили: когда и в связи, с какими
потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности -
прогрессии; какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических
знаний по изучаемой проблеме; теоретические основы геометрической и
арифметической прогрессий.
Установили, какое
прикладное значение имеют арифметическая и геометрическая прогрессии, нашли и
показали примеры применения прогрессий в нашей жизни.
В ходе
исследования мы использовали следующие методы: анализ школьных учебников
математики, математической, справочной литературы, литературы по истории
математики, материала из Интернета и обобщили найденные факты в учебниках по
биологии, по экологии, по экономики и в медицинских справочниках по применению
прогрессий.
Таким
образом, мы подтвердили поставленную гипотезу о том, что математика –
наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, значит и
прогрессии имеют определенное практическое значение.
Библиографический
список
1. Глейзер Г.И.
История математики в школе VII – VIII кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982. – 240 с.
2.
Мордкович А.Г.Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для
общеобразовательных учреждений. – 9-е изд., стер. – М.:Мнемозина, 2007. – 231
с.
3.
Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9
классов средней школы -М.: Просвещение, 1990.-224с.
4. Современный
толковый словарь русского языка / Гл. ред. С.А. Кузнецов. – СПб.: «Норинт»,
2005. – 960 с.
5. Сонин
6.
Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.:
Педагогика, 1989.-352с.
7. http://festival.1september.ru/articles/568100/ - статья
о прогрессиях
8.
http://www.a4format.ru/pdf_files_slovari/4b853e92.pdf - литературный словарь
9.
http://www.sunhome.ru/help/184 - Размеры стихосложения.
Приложение
|
Сумма вклада
|
Доход за год
|
Открытие вклада
|
100000
|
0
|
Через 1месяц
|
100000
|
500
|
Через 2месяц
|
100500
|
502,5
|
Через 3месяц
|
101002,5
|
505,01
|
Через 4месяц
|
101507,5
|
507,54
|
Через 5месяц
|
102015,1
|
510,08
|
Через 6месяц
|
102525,1
|
512,63
|
Таблица 1.
Диаграмма
1.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.