Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Научно-исследовательская работа "Арифметические и геометрические прогрессии в нашей жизни"
  • Математика

Научно-исследовательская работа "Арифметические и геометрические прогрессии в нашей жизни"

библиотека
материалов

Муниципальное бюджетное образовате6льное учреждение Ширинская средняя общеобразовательная школа №18













Секция математики, информатики и физики


Арифметические и геометрические прогрессии в нашей жизни












Шенкнехт Альбина

Ученица 9 б класса

Мункина А.Г.

Учитель математики










Шира

2013

Оглавление


  1. Введение…………………………………………………………….…..3

  2. Глава 1. Теоретические основы арифметической и геометрической прогрессий………………………………………………………………4

    1. История возникновения арифметической и геометрической прогрессий…………………………………………………….….5

    2. Арифметическая и геометрическая прогрессии…………...….7

Глава 2. Арифметические и геометрические прогрессии в нашей жизни…………………………………………………………………...10

    1. Арифметические и геометрические прогрессии в повседневной жизни……………………………………………10

  1. Заключение………………………………………………………….....13

  2. Библиографический список..………………………………………....14

  3. Приложение
























Введение


Математика всегда была неотъемлемой и существеннейшей составной частью человеческой культуры, она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности.

Математика встречается и используется в повседневной жизни, следовательно, определенные математические навыки нужны каждому человеку.

В 9 классе мы начинаем изучать числовые последовательности. Изучили арифметическую и геометрическую прогрессии: дали определение, научились находить по формулам любой член прогрессии, сумму первых членов прогрессии.

Найдя ответы на вопросы: имеет ли это, какое - либо практическое значение и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие, мы подтвердим или опровергнем утверждение о том, что математика – наука очень древняя  и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является  частью общечеловеческой культуры.

Объектом исследования: геометрическая и арифметическая прогрессии.

Предмет исследования: практическое применение прогрессий.

Гипотеза исследования: если математика – наука очень древняя  и возникла она из практических нужд человека, то и прогрессии имеют определенное практическое значение.

Цель исследования: установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.

Задачи исследования:

  1. Выяснить:

      • когда и в связи, с какими потребностями человека появилось

понятие последовательности, в частности - прогрессии;

      • какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и

практических знаний по изучаемой проблеме;

      • теоретические основы геометрической и арифметической

прогрессий.

  1. Установить: имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение?  Найти примеры применения прогрессий в нашей жизни.           

Методы исследования:

  • анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета;

  • обобщение найденных фактов в учебниках по биологии, по экологии, по экономики и в медицинских справочниках.

В данной работе, мы отразим применение прогрессий в повседневной

жизни, и покажем, что алгебра является  частью общечеловеческой культуры.


















Глава 1. Теоретические основы арифметической и геометрической прогрессий

    1. История возникновения арифметической и геометрической прогрессий

Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Так еще в III в. до н. э. александрийский ученый Эратосфен указал способ получения n-го члена последовательности простых чисел. Этот способ был назван «решетом Эратосфена».

Идея предела последовательности восходит к V-IV вв. до н. э. Прогрессии - частные виды числовых последовательностей – встречаются в памятниках II тысячелетия до н.э. [1].

В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко II тысячелетию до н.э., встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. Например, вавилонская задача, в которой используется арифметическая прогрессия: « 10 братьев, hello_html_321f864a.gif мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимается, не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом – на сколько он выше?»

При решении вавилонский автор, не имевший в своем распоряжении ни современной символики, ни готовых формул, вынужден придержаться строго арифметических рассуждений. Идея его решения следующая. Он начинает с нахождения средней арифметической (средней доли), деля hello_html_321f864a.gif мины на 10 и получая hello_html_mb6c2965.gif мины, ее умножает затем на два. Итак, удвоенная средняя доля есть hello_html_m3723d254.gif мины. Это и есть сумма долей третьего и восьмого братьев, имея в виду, что первого от третьего, как и восьмого от десятого отделяют 2 ступени (интервала). Третьего же от восьмого отделяют 5 ступеней, а разность между их долями составляет hello_html_24a34cc1.gif мины. Отсюда и находится значение одной ступени, т.е. разность прогрессии, равная hello_html_3b7b3c70.gif от hello_html_24a34cc1.gif мины, или hello_html_520170f5.gif мины. [1].

А вот, например, задача из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками и, разность же между каждым человеком и его соседом равна hello_html_m6e3ecaf7.gif меры»  [1].

Задачи на арифметические (и геометрические) прогрессии имеются и в древнекитайском трактате «Математика в девяти книгах», в котором нет, однако, указаний на применение какой-либо формулы суммирования. По содержанию некоторые китайские задачи трактуют о растущей или убывающей производительности труда ткачих. Примеры арифметических и геометрических прогрессий имеются и в индийских «сиддхантах».

В древнерусском юридическом сборнике «Русская правда» содержатся выкладки о приплоде от скота и пчел за известный промежуток времени, о количестве зерна, собранного с определенного участка земли, и т.д.

Таким образом, первые задачи дошедшие да нас на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как например, распределение продуктов, деление наследства, приплод скота, наблюдениями над явлениями природы и т.д.

Однако, слово «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») в первые встречается у римского автора Боэция (V-VI в.). Первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В конце средних веков и в начале нового времени это термин перестает быть общеупотребительным. В XVII в., например, ДЖ. Грегори употребляет вместо прогрессии термин «ряд», а другой видный английский математик, Дж. Валлис, применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии».

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Так, Ариабхатта (V в.) знал формулы общего члена, суммы арифметической прогрессии и др. Магавира (IX в.) пользуется формулой суммы квадратов натуральных чисел

hello_html_24c26b8d.gif

и другими более сложными конечными рядами. Однако правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202 г.) Леонардо Пизанского (Фибоначчи). В «Науке о числах» (1484 г.) Н. Шюке, как и Архимед, сопоставляет арифметическую прогрессию любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Формула для суммирования бесконечно убывающей геометрической прогрессии была известна П. Ферма и другим математикам XVII в.[1]

В настоящее время прогрессии рассматриваются, как частные случаи числовых последовательностей.


  1. 2. Арифметическая и геометрическая прогрессии

В толковом словаре понятия арифметической и геометрической прогрессии даются следующим образом:

Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, каждое из которых получается из предыдущего путем прибавления или вычитания некоего постоянного числа.

Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел, каждое из которых получается из предыдущего путем умножения или деления на некое постоянное число [4].

В школьном курсе «Алгебра» 9 класс по редакцией А.Г. Мордкович, понятия геометрической и арифметической прогрессии дается следующим образом:

Определение. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической. При этом число d называют разностью прогрессий. hello_html_m62a00377.gif hello_html_6da31531.gif

hello_html_65e1f8da.gif

Очевидно, что арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если hello_html_4c679556.gif, и убывающей, если hello_html_4ffa627b.gif.

Формула n-члена арифметической прогрессии.

hello_html_42cdb9f3.gif

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

hello_html_71d5bdc1.gif

Каждый член арифметической прогрессии, кроме первого (и последнего – в случае конечной прогрессии), равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

Верно и обратное: если последовательность hello_html_c8e5739.gif такова, что для любого hello_html_7c375f8f.gif выполняется равенство

hello_html_74e1179d.gif

то hello_html_m6a914ef7.gif - арифметическая прогрессия.

Теорема: Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего – в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.


Определение. Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией. При этом число q называют знаменателем прогрессии.

hello_html_mad17ccb.gif

Формула n-го члена геометрической прогрессии.

hello_html_m3ba6318b.gif

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.

hello_html_75cc07eb.gif


Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, первого (и последнего – в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.

Верно и обратное: если последовательность hello_html_m17dee992.gifтакова, что для любого hello_html_29043707.gif выполняется равенство

hello_html_m7923ffa3.gif

то hello_html_5c406038.gif - геометрическая прогрессия.

Теорема: Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего – в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.

hello_html_41eaf854.gif[2].

Таким образом, в первой главе нами было выяснено, когда и в связи, с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности - прогрессии; какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме; рассмотрены теоретические основы геометрической и арифметической прогрессий.



Глава 2. Арифметические и геометрические прогрессии в нашей жизни


    1. Арифметические и геометрические прогрессии в окружающей нас жизни

Первые задачи, дошедшие да нас на прогрессии, были связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практикой. Так и в наше время формулы арифметической и геометрической прогрессии используются при подсчёте данных в программировании, экономике, химии, литературе, физике, биологии, геометрии, экономике, статистике, а также и в повседневной жизни. Рассмотрим примеры применения более подробно:

  1. Химия: при повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химической реакций растёт по геометрической прогрессии. При повышении температуры от +20 до + 60 градусов, скорость реакции увеличивается в 150 раз;

  2. Физика: нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на 2 части, получаются 2 нейтрона. Затем 2 нейтрона, ударяя по двум другим ядрам, раскалывают их ещё на 4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия;

  3. Литература: даже в литературе мы встречаемся с математикой. Так, вспомним строки из «Евгения Онегина».

Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить…

Ямб – это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2,

4, 6, 8… . Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил…» (А.С.Пушкин)

Прогрессия 2, 4, 6, 8…

«Так бей, не знай отдохновенья,
Пусть жила жизни глубока:
Алмаз горит издалека - 
Дроби, мой гневный ямб, каменья!» (И. Блок)

Прогрессия 2,4,6, 8, 10,12…

Хорей – это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7…

«Я пропАл , как звЕрь в загОне…» (Б.Л.Пастернак)

Прогрессия 1, 3, 5, 7…



Листья падают в саду…
В этот старый сад, бывало,
Ранним утром я уйду
И блуждаю, где попало. (И.Бунин) [10].

  1. Биология: в микробиологии также работают законы математики. Так, микроорганизмы размножаются делением пополам. При наличии благоприятных условий и через одинаковый промежуток времени их количество удваивается, например: летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам. Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения?

Ответ: b15 = 2·214 = 32 768 (геометрическая прогрессия)

  1. Экономика: прогрессия имеет очень широкое применение в экономике. С её помощью банки производят расчеты с вкладчиками, определяют, какие средства можно разместить в кредиты, решают, стоит ли вкладывать средства в крупные проекты, доход от которых будет получен через несколько лет и т.д. Так, вклады в банках увеличиваются по схемам сложных и простых процентов. Простые проценты – увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии. Сложные проценты – увеличение первоначального вклада в геометрической прогрессии.

Например, нужно рассчитать доход, который клиент получит после окончания срока хранения вклада в банке, зная сумму вклада, ставку по вкладу и срок хранения вклада. Так, клиент открыл в Сбербанке вклад (депозит) на сумму 3 млн. рублей сроком на 6 месяцев. Банк платит клиенту за пользование его средствами ставку в размере 6% годовых. Схема расчета такова: hello_html_m200fa97a.gif, тогда получаем (Приложение 1, Таблица 1).

Налицо геометрическая прогрессия: hello_html_1eb5f691.gif103037.75 hello_html_7f742285.gifрублей, где 100 000 – первоначальная сумма депозита, а 1,005 – знаменатель прогрессии (Приложение 1, Диаграмма 1)

  1. Медицина: по такой же схеме идёт распространение инфекционной болезни среди людей. Схематически это может выглядеть так: инфицированный человек (источник инфекции) передаёт возбудителя болезни другим людям, каждый вновь инфицированный вовлекает в эпидемический процесс n – ое число людей, т.е. возникает инфекция.

Или можно рассмотреть в качестве примера прием таблеток – 2 таблетки 3-4 раза в день, т.е. часы приема: 8 часов, 11 часов, 14 часов, 17 часов. На лицо арифметическая прогрессия: hello_html_m2002b1d1.gif.

Таким образом, нами были рассмотрены примеры применения прогрессий в нашей жизни и мы убедились, что арифметическая и геометрическая прогрессия, так же можно сделать вывод, что алгебра является  частью общечеловеческой культуры.







Заключение

Целью данного исследования было установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.

Мы в соответствии поставленным задачам выявили: когда и в связи, с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности - прогрессии; какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме; теоретические основы геометрической и арифметической прогрессий.

Установили, какое прикладное значение имеют арифметическая и геометрическая прогрессии, нашли и показали примеры применения прогрессий в нашей жизни.     

В ходе исследования мы использовали следующие методы: анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета и обобщили найденные факты в учебниках по биологии, по экологии, по экономики и в медицинских справочниках по применению прогрессий.

Таким образом, мы подтвердили поставленную гипотезу о том, что математика – наука очень древняя  и возникла она из практических нужд человека, значит и прогрессии имеют определенное практическое значение.











Библиографический список

  1. Глейзер Г.И. История математики в школе VIIVIII кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982. – 240 с.

  2. Мордкович А.Г.Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений. – 9-е изд., стер. – М.:Мнемозина, 2007. – 231 с.

  3. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990.-224с.

  4. Современный толковый словарь русского языка / Гл. ред. С.А. Кузнецов. – СПб.: «Норинт», 2005. – 960 с.

  5. Сонин

  6. Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.-352с.

  7. http://festival.1september.ru/articles/568100/ - статья о прогрессиях

  8. http://www.a4format.ru/pdf_files_slovari/4b853e92.pdf - литературный словарь

  9. http://www.sunhome.ru/help/184 - Размеры стихосложения.














Приложение


Сумма вклада

Доход за год

Открытие вклада

100000

0

Через 1месяц

100000

500

Через 2месяц

100500

502,5

Через 3месяц

101002,5

505,01

Через 4месяц

101507,5

507,54

Через 5месяц

102015,1

510,08

Через 6месяц

102525,1

512,63

Таблица 1.




Диаграмма 1.

Автор
Дата добавления 30.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров2192
Номер материала ДВ-215110
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх