Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Научные работы / Научно-исследовательская работа "Графический методиуравнений, содержащих абсолютную величину"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Научно-исследовательская работа "Графический методиуравнений, содержащих абсолютную величину"

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ АННОТАЦИЯ.docx

библиотека
материалов

Аннотация

Зырянова Софья

МБОУ Абалаковская СОШ№1, номинация 5-8класс

Тема: «Графический метод решения уравнений с абсолютной величиной»

Руководитель: Бусыгина Ирина Владимировна, учитель математики высшей категории

Цель исследовательской работы: исследование возможности рационального построения графиков с модулями для решения уравнений, содержащих модуль и параметр.

В данной работе анализируются графические методы построения графиков функции с модулем, содержащей один, два и вложенные модули первой степени. Кроме того,автор показывает применение рациональных методов для решения уравнений с модулем и параметром.

Работа имеет практическую направленность, т.к. материал может использоваться в качестве репетитора для подготовки ЕГЭ, ОГЭ заданий повышенного уровня и проведения математических факультативов, развивая математическую культуру учащихся.


Выбранный для просмотра документ Графический метод.ppt

библиотека
материалов
Графический метод решения линейных уравнений с абсолютной величиной Задания н...
Цель: Исследование возможности рационального построения графиков с модулями д...
Задачи Изучить теорию по решению методов уравнений с модулем. Научиться решат...
Определение модуля
Тип1.Графики ,содержащие 1 модуль y=|x| y=|x| a y=|x a| 1.Определение модуля...
|x+2|-2=-1 ответ: -1;-3
x a>2 - два корня a=2 - один корень a
Метод расширения области нулей 1.Нули модулей 2.Расширеная область 3.Отрезки...
=а метод расширения области нулей 1.Нули: 3,1; расширенная область: 2,4,0 2.В...
Тип 3. Вложенные модули  y=|||х|-2|-2| ( «матрешка») 1.Определение модуля 2....
Выводы -Перевод алгебраической задачи на язык графиков позволяет избежать гро...
Метод симметрии- рациональный метод построения графика «модуль»
При каком значении параметра а уравнение имеет ровно 5 корней Ответ: а=1 -6 -...
 У= У=а
 а=|||х|-2|-2|
Пример 2 Ответ: 3; -3; -1; 1.
18 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Графический метод решения линейных уравнений с абсолютной величиной Задания н
Описание слайда:

Графический метод решения линейных уравнений с абсолютной величиной Задания на решение уравнений с модулем и параметрами - это одна из самых трудных тем математики (10 класс, профильный уровень) Решение заданий 2й части ЕГЭ и ОГЭ (повышенный уровень)

№ слайда 2 Цель: Исследование возможности рационального построения графиков с модулями д
Описание слайда:

Цель: Исследование возможности рационального построения графиков с модулями для решения линейных уравнений, содержащих модуль и параметр

№ слайда 3 Задачи Изучить теорию по решению методов уравнений с модулем. Научиться решат
Описание слайда:

Задачи Изучить теорию по решению методов уравнений с модулем. Научиться решать уравнения, содержащие знак абсолютной величины Классифицировать графические методы решения уравнений. Проанализировать достоинства и недостатки каждого метода Применить рациональные методы для решения уравнений

№ слайда 4 Определение модуля
Описание слайда:

Определение модуля

№ слайда 5
Описание слайда:

№ слайда 6 Тип1.Графики ,содержащие 1 модуль y=|x| y=|x| a y=|x a| 1.Определение модуля
Описание слайда:

Тип1.Графики ,содержащие 1 модуль y=|x| y=|x| a y=|x a| 1.Определение модуля 2.Метод симметрии (2шага) 3.Использование алгоритма преобразований функций у=кх+в

№ слайда 7 |x+2|-2=-1 ответ: -1;-3
Описание слайда:

|x+2|-2=-1 ответ: -1;-3

№ слайда 8 x a>2 - два корня a=2 - один корень a
Описание слайда:

x a>2 - два корня a=2 - один корень a<2 - нет корней x -2 2 2+|x+2|-a=0

№ слайда 9 Метод расширения области нулей 1.Нули модулей 2.Расширеная область 3.Отрезки
Описание слайда:

Метод расширения области нулей 1.Нули модулей 2.Расширеная область 3.Отрезки Метод интервалов 1.Снятие знака модулей на каждом интервале 2.Построение прямых на интервалах Тип 2. 2 модуля Определение модуля

№ слайда 10 =а метод расширения области нулей 1.Нули: 3,1; расширенная область: 2,4,0 2.В
Описание слайда:

=а метод расширения области нулей 1.Нули: 3,1; расширенная область: 2,4,0 2.Вычисляем значения в :3,1,2,4,0 (4;0) (3;-2) (2;-2) (1;-2) (0;0)

№ слайда 11 Тип 3. Вложенные модули  y=|||х|-2|-2| ( «матрешка») 1.Определение модуля 2.
Описание слайда:

Тип 3. Вложенные модули  y=|||х|-2|-2| ( «матрешка») 1.Определение модуля 2. Комбинированный метод: симметрии + преобразования

№ слайда 12
Описание слайда:

№ слайда 13 Выводы -Перевод алгебраической задачи на язык графиков позволяет избежать гро
Описание слайда:

Выводы -Перевод алгебраической задачи на язык графиков позволяет избежать громоздких решений -При решении уравнений, содержащих модуль и параметр, графический способ является более наглядным и сравнительно более простым. -Графический способ решения уравнений является приближенным, т.к. точность зависит от выбранного единичного отрезка, толщины карандаша, углов под которыми пересекаются линии и т.д. ,этот метод позволяет оценивать кол-во корней уравнений ЕГЭ ОГЭ

№ слайда 14 Метод симметрии- рациональный метод построения графика «модуль»
Описание слайда:

Метод симметрии- рациональный метод построения графика «модуль»

№ слайда 15 При каком значении параметра а уравнение имеет ровно 5 корней Ответ: а=1 -6 -
Описание слайда:

При каком значении параметра а уравнение имеет ровно 5 корней Ответ: а=1 -6 -4 -2 0 1 x y 2 a=1

№ слайда 16  У= У=а
Описание слайда:

У= У=а

№ слайда 17  а=|||х|-2|-2|
Описание слайда:

 а=|||х|-2|-2|

№ слайда 18 Пример 2 Ответ: 3; -3; -1; 1.
Описание слайда:

Пример 2 Ответ: 3; -3; -1; 1.

Выбранный для просмотра документ Работа.doc

библиотека
материалов



Ведение


Задания на построение графиков функции «модуль» и задачи с параметрами традиционно - это одна из самых трудных тем математики, поэтому она всегда включена в задания повышенного и высокого уровня ГИА и ЕГЭ.

Понятие «модуль» изучается в школе с 6 класса, причем на уровне ,только определения и вычисления, несмотря на то, что он широко применяется во многих разделах школьного курса математики, например, в изучении абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа; в геометрии и физике будут изучаться понятия вектора и его длины (модуля вектора). Понятия модуля применяется в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в высших учебных заведениях.

Перед выпускниками стоит проблема – удачно сдать ГИА в 9классе, а в дальнейшем и ЕГЭ.

В этом году на уроках математики мы познакомились с понятием линейной функции и научились строить ее график. Было показано, что этот ее график берется за основу построения функции «модуль». Кроме того, учитель сказала, что уравнения бывают с одним и несколькими модулям. Я решила глубже изучить эту тему, тем более, что она мне пригодится при сдаче экзаменов.

Тема «Графический метод решения уравнений, содержащих абсолютную величину»

Цель работы: исследование возможности рационального построения графиков с модулями для решения уравнений, содержащих модуль и параметр

Задачи:

  • Изучить теорию по решению методов уравнений с модулем.

  • Научиться решать уравнения 1йстепени, содержащие знак абсолютной величины.

  • Классифицировать графические методы решения уравнений.

  • Проанализировать достоинства и недостатки различных методов построения графиков функции «модуль».

  • Узнать, что такое параметр

  • Применить рациональные методы для решения уравнений с параметром

Объект – методы решения уравнений с модулем

Предмет графический метод решения уравнений

Методы исследования: теоретические и практические:

теоретические - это изучение  литературы по теме исследования; интернет – информации;

практические- это анализ информации,  полученной при изучении литературы, результатов, полученных  при решении уравнений с модулем  различными способами;

сравнение способов решения уравнений предмет рациональности их использования  при решении различных уравнений с модулем.

Глава I

Понятия и определения

1.1.Понятие «модуль» широко применяется во многих разделах школьного курса математики, например, в изучении абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа; в геометрии и физике изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). Понятия модуля применяется в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в высших учебных заведениях.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это слово имеет множество значений и применяется не только в математике, физике и технике, но и в архитектуре, программировании и других точных науках.Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Знак модуля был введен в XIX веке Вейерштрассом.

В архитектуре модуль– исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения.В технике – это термин, применяемый в различных областях техники, служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например, модуль упругости, модуль зацепления.В математике модуль имеет несколько значений, но я буду рассматривать его как абсолютную величину числа.

Определение: Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само это число, если а ≥0, или противоположное число – а, если а<0; модуль нуля равен нулю.

hello_html_m78b6bb52.gif

Модуль-это расстояние на координатной прямой от нуля до точки.

1.2. Уравнение с модулем – это уравнение, содержащее переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля). Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет. Методы решения уравнений с модулем:

1.По определению модуля - «снятие модуля». Решение происходит на основе определения.

2.Аналитический метод- решение уравнений с использованием преобразований выражений, входящих в уравнение и свойств модуля.

3.Метод интервалов: раскрытие модуля на интервалах и полуинтервалах, образованными «нулями» модулей.

4.Графический метод. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций, представляющих левую и правую часть уравнения. В случае, если графики пересекутся, то абсциссы точек пересечений данных графиков будут являться корнями данного уравнения.

1.3.Методы построения графиков функции с модулем

1.3.1. По определению. Строятся две прямые у=кх+в, где х>0, у=-кх+в, где х <0


1.3.2 Метод симметрии. Строится график у=кх+в, при х>0.Часть прямой при х <0 отображается относительно оси абцисс.

1.3.3.Преобразование функций:

а) у=|x|+n график сдвигается вверх по оси ординат на в единиц

б) у=|x|-n график сдвигается вниз по оси ординат

с) у=|x+n| график сдвигается влево по оси абцисс

d )у=|x-n| график сдвигается вправо по оси абцисс

1.3.4. Метод интервалов. Координатная прямая разбивается на интервалы и полуинтервалы нулями модулей. Далее, используя определение модуля, для каждой из найденных областей получим уравнение, которое необходимо решить на данном промежутке и получить функцию.

1.3.5. Метод расширения областей нулей. В том случае, когда модулей несколько, удобнее не раскрывать модули, а использовать следующее утверждение: алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляет собой кусочно-линейную функцию, график которой состоит из n +1 прямолинейных отрезков.

Тогда график может быть построен по n+2 точкам, n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна — произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней и последняя — с абсциссой, большей большего из корней.

1.4. Имеем уравнение ax+b=c. В этом уравнении х – неизвестное, a,b,c – коэффициенты, которые могут принимать различные числовые значения. Заданные таким образом коэффициенты называются параметрами. Одно уравнение с параметрами задает множество уравнений (для всех возможных значений параметров).

это все уравнения, которые задает уравнение с параметрами ax+b=c.

Решить уравнение с параметрами – это значит:

  1. Указать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.

  2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение определяет корень уравнения.


1.5.Выводы:

Таким образом, существуют разные методы построения графиков с модулем, которые необходимо исследовать на возможность их рационального применения.




Глава II

Анализ методов построения графиков функций, содержащих модуль, и применение

«График – это говорящая линия,

которая может о многом рассказать»

М.Б.Балк

2.1. Изучая виды уравнений с модулем, мы увидели, что их можно и разделить по типам и методам решения.

Таблица. Классификация типов уравнений и их методов решения.

Тип уравнения

Вид уравнения

Метод решения

1.Уравнение с одним модулем

|x|=a

|xhello_html_4fd0da87.gifn|=a

|x|hello_html_4fd0da87.gifn=a

1.По определению модуля

2.Графический

3.Аналитический

2.Уравнение, содержащее 2 модуля

|xhello_html_4fd0da87.gifn|hello_html_4fd0da87.gif|xhello_html_4fd0da87.gifm|=a

1.По определению модуля

2.Графический

3.Метод интервалов

4.Аналитический

3.Вложенные модули

|||xhello_html_4fd0da87.gifn|hello_html_4fd0da87.gifm||=а

1.По определению модуля

2.Графический


Вывод: таким образом, классификация уравнений дает нам общие методы решения всех типов уравнений - это по определению модуля и графический метод.

2.2.Анализ построения графиков.

hello_html_m2b068169.png 2.2.1. Тип 1. Построение у=|x|

2.2.1.1.По определению.

1.Строим прямую у=х

2.Выделяем часть прямой при хhello_html_m47a2be78.gif0

3.Строим прямую у=-х

4.Выделяем часть прямой при х<0

2.2.1.2. Метод симметрии

1.Строим прямую у=х

2.Строим симметрию относительно оси абцисс при х<0

Вывод: метод симметрии рациональнее

2.2.1.3. Построение у=|x-2|

1.Строим прямую у=х-2

2.Выделяем часть прямой при х-2hello_html_m47a2be78.gif0


3.Строим прямую у=-х+2

4.Выделяем часть прямой при х-2<0

Вывод: метод симметрии рациональнее hello_html_3c215249.gif

hello_html_m1d58d4e2.png2.2.2. Тип 2.

Задание: построить график у=hello_html_m417b11bd.gif

2.2.2.1.Метод интервалов

1. на hello_html_85f0868.gif получаем у=-х+3+1-х-4 ; у = -2х

2. на hello_html_m64b0ca37.gif получаему=-х+3-1+х-4; у = -2

3. на hello_html_3b2c4011.gif получаем у=х-3-1+х-4; у = 2х-8

4.Строим все прямые.

5.Выделяем части прямых на интервалах

2.2.2.2.Метод расширения областей нулей

1.Нули: 3 и 1; расширенная область: 2,4,0

2.Вычисляем значения в : 3,1,2,4,0 это: -2, -2, -2, 0, 0

3.Расставляем точки с их координатами и соединяем

Вывод: Метод расширения области нулей рациональнее

2.2.3. Тип 3. Вложенные модули-«матрешка»

Иhello_html_11cda107.gifсследуем построение у=||х|-1|

2.2.3.1. По определению модуля

По определению главного модуля имеем:

1) х>0 у=|х|-1

2) х<0 у=-|х|+1

2. «Снимаем» следующий модуль:

Модуль: у=х-1, х>0 и у=-х+1 х<0

у=-х+1 х>0 у=х-1 х<0

3. Строим графики


2.2.3.2.Метод симметрии

1. у=|х|-1hello_html_m272b9a6f.gifу=х-1,симметрия

у==-|х|+1

2. Симметрия относительно оси абцисс части графика, где х-1<0

Вывод: метод симметрии рациональнее.





2.2.4. Сведем анализ результатов в таблицу:

Метод

Тип

Знания и умения

Недостатки

По определению

1, 2, 3

  1. Определение модуля

  2. Знать : как определяются координаты точек прямых

  3. Уметь выделять часть прямой по неравенству

  4. Уметь строить точки по их координатам

  5. Уметь вычислять координаты точек

-громоздкие решения

-применение большого объема знаний

-при «снятии» модуля можно допустить ошибки



Метод симметрии

1, 2, 3

  1. Знать и уметь применять преобразование функции

  2. Строить симметрию относительно оси абцисс

-знание алгоритмов преобразования графиков

Метод интервалов

2

  1. Находить нули модуля

  2. Определять интервалы и полуинтервалы

  3. Раскрывать модули

  4. Вычислять модули

  1. Приводить подобные слагаемые

  2. Уметь строить точки по их координатам

  3. Строить прямые

-громоздкие решения

-много вычислений и преобразований при снятии нулей

-занимает много времени

-правильность определения интервалов и полуинтервалов


Метод расширения области нулей

2

  1. Находить нули модуля

  2. Уметь расширять область нулей

  3. Уметь вычислять модули в этих точках

  4. Уметь строить точки по их координатам

- допуск ошибок в вычислениях

Метод преобразований функций

1

  1. Знать алгоритм преобразования

  2. Уметь строить точки по их координатам

  3. Уметь вычислять координаты точек

  4. Уметь применять алгоритм преобразования

- знание алгоритмов преобразования графиков


Вывод: анализируя таблицу, делаем вывод, что метод симметрии и расширения области нулей самые рациональные, т.к. содержат меньше всего действий для построения, а значит экономят времени.

hello_html_m2d20149b.gif2.3.Применение рациональных методов построения графиков к решению уравнений с модулем и параметром

2.3.1. Решить уравнение :hello_html_be5daa4.gif

Строим у=hello_html_m2ceb2521.gif и у=0,5-х

1.Нули:0,1

2.Расширенная область:-1,2

3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)

4.Проводим отрезки и лучи

Ответ: 0,5



2.3.2. ЕГЭ 2009г. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение hello_html_72286a30.gif, имеет ровно 1 корень.

Рhello_html_m2f37cba2.pngешение:

hello_html_72286a30.gif,

Преобразуем:hello_html_m2792e62c.gif-4+а=3 иhello_html_m2792e62c.gif-4+а=-3

- hello_html_m2792e62c.gif+7=а - hello_html_m2792e62c.gif -1=а


Построим графики функций у = а, hello_html_m24302919.gif, hello_html_4833c6f4.gif.




При а =7 прямая пересекает график только в одной точке. Значит, данное уравнение имеет ровно один корень при а =7.

Ответ: 7.

2.3.3. ЕГЭ 2010г. При каком значении параметра уравнение имеет 4 корня а=|||х|-2|-2|?

hello_html_6f77319e.pngРешение: применив поэтапно метод симметрию:

Первый раз: у=hello_html_4586bdb1.gif

Второй раз: у==|||х|-2|-2|

hello_html_m1a7e2015.gifПостроим прямую у=а

hello_html_476db034.gif

Ответ: при а=2 уравнение имеет 4корня

Заключение

Таким образом, в ходе проделанной работы нам удалось изучить и проанализировать разные методы построения графиков. В результате анализа и сравнения методов построения графиков получили следующие выводы:

-перевод алгебраической задачи на язык графиков позволяет избежать громоздких решений;

-при решении уравнений, содержащих модуль и параметр, графический способ является более наглядным и сравнительно более простым;

-при построении графиков, содержащих 2 модуля и «матрешку» практичнее метод симметрии;

-хотя графический способ решения уравнений является приближенным, т.к. точность зависит от выбранного единичного отрезка, толщины карандаша, углов под которыми пересекаются линии и т.д., но этот метод позволяет оценивать кол-во корней уравнений для решения уравнений с параметром.

Учитывая, что одни из самых популярных заданий на ЕГЭ и ГИА уравнения с модулем, то , что главным моим результатом является то, что я могу решать уравнения с модулем и параметром графическим способом.




















Список литературы

1.Данкова И. «Предпрофильная подготовка по математике», Москва, 2006г.


2. Внеклассная работа по математике. Альхова З.Н., Макеева А.В., г. Саратов: Лицей, 2003.


3.Математика. Учебное пособие под редакцией Муравья Л.Я., г. Москва Бридж, 1994.


4. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. Выпуск-2.Автор-составитель: М.Е. Козина., г. Волгоград: Учитель,2007

5. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. М,2006г.






























Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 15.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров205
Номер материала ДВ-529479
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх