1285835
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5.520 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.200 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 70%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаНаучные работыНаучно-исследовательская работа "Графический методиуравнений, содержащих абсолютную величину"

Научно-исследовательская работа "Графический методиуравнений, содержащих абсолютную величину"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ АННОТАЦИЯ.docx

библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Аннотация

Зырянова Софья

МБОУ Абалаковская СОШ№1, номинация 5-8класс

Тема: «Графический метод решения уравнений с абсолютной величиной»

Руководитель: Бусыгина Ирина Владимировна, учитель математики высшей категории

Цель исследовательской работы: исследование возможности рационального построения графиков с модулями для решения уравнений, содержащих модуль и параметр.

В данной работе анализируются графические методы построения графиков функции с модулем, содержащей один, два и вложенные модули первой степени. Кроме того,автор показывает применение рациональных методов для решения уравнений с модулем и параметром.

Работа имеет практическую направленность, т.к. материал может использоваться в качестве репетитора для подготовки ЕГЭ, ОГЭ заданий повышенного уровня и проведения математических факультативов, развивая математическую культуру учащихся.


Выбранный для просмотра документ Графический метод.ppt

библиотека
материалов
Графический метод решения линейных уравнений с абсолютной величиной Задания н...
Цель: Исследование возможности рационального построения графиков с модулями д...
Задачи Изучить теорию по решению методов уравнений с модулем. Научиться решат...
Определение модуля
Тип1.Графики ,содержащие 1 модуль y=|x| y=|x| a y=|x a| 1.Определение модуля...
|x+2|-2=-1 ответ: -1;-3
x a>2 - два корня a=2 - один корень a
Метод расширения области нулей 1.Нули модулей 2.Расширеная область 3.Отрезки...
=а метод расширения области нулей 1.Нули: 3,1; расширенная область: 2,4,0 2.В...
Тип 3. Вложенные модули  y=|||х|-2|-2| ( «матрешка») 1.Определение модуля 2....
Выводы -Перевод алгебраической задачи на язык графиков позволяет избежать гро...
Метод симметрии- рациональный метод построения графика «модуль»
При каком значении параметра а уравнение имеет ровно 5 корней Ответ: а=1 -6 -...
 У= У=а
 а=|||х|-2|-2|
Пример 2 Ответ: 3; -3; -1; 1.

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Графический метод решения линейных уравнений с абсолютной величиной Задания н
Описание слайда:

Графический метод решения линейных уравнений с абсолютной величиной Задания на решение уравнений с модулем и параметрами - это одна из самых трудных тем математики (10 класс, профильный уровень) Решение заданий 2й части ЕГЭ и ОГЭ (повышенный уровень)

2 слайд Цель: Исследование возможности рационального построения графиков с модулями д
Описание слайда:

Цель: Исследование возможности рационального построения графиков с модулями для решения линейных уравнений, содержащих модуль и параметр

3 слайд Задачи Изучить теорию по решению методов уравнений с модулем. Научиться решат
Описание слайда:

Задачи Изучить теорию по решению методов уравнений с модулем. Научиться решать уравнения, содержащие знак абсолютной величины Классифицировать графические методы решения уравнений. Проанализировать достоинства и недостатки каждого метода Применить рациональные методы для решения уравнений

4 слайд Определение модуля
Описание слайда:

Определение модуля

5 слайд
Описание слайда:

6 слайд Тип1.Графики ,содержащие 1 модуль y=|x| y=|x| a y=|x a| 1.Определение модуля
Описание слайда:

Тип1.Графики ,содержащие 1 модуль y=|x| y=|x| a y=|x a| 1.Определение модуля 2.Метод симметрии (2шага) 3.Использование алгоритма преобразований функций у=кх+в

7 слайд |x+2|-2=-1 ответ: -1;-3
Описание слайда:

|x+2|-2=-1 ответ: -1;-3

8 слайд x a>2 - два корня a=2 - один корень a
Описание слайда:

x a>2 - два корня a=2 - один корень a<2 - нет корней x -2 2 2+|x+2|-a=0

9 слайд Метод расширения области нулей 1.Нули модулей 2.Расширеная область 3.Отрезки
Описание слайда:

Метод расширения области нулей 1.Нули модулей 2.Расширеная область 3.Отрезки Метод интервалов 1.Снятие знака модулей на каждом интервале 2.Построение прямых на интервалах Тип 2. 2 модуля Определение модуля

10 слайд =а метод расширения области нулей 1.Нули: 3,1; расширенная область: 2,4,0 2.В
Описание слайда:

=а метод расширения области нулей 1.Нули: 3,1; расширенная область: 2,4,0 2.Вычисляем значения в :3,1,2,4,0 (4;0) (3;-2) (2;-2) (1;-2) (0;0)

11 слайд Тип 3. Вложенные модули  y=|||х|-2|-2| ( «матрешка») 1.Определение модуля 2.
Описание слайда:

Тип 3. Вложенные модули  y=|||х|-2|-2| ( «матрешка») 1.Определение модуля 2. Комбинированный метод: симметрии + преобразования

12 слайд
Описание слайда:

13 слайд Выводы -Перевод алгебраической задачи на язык графиков позволяет избежать гро
Описание слайда:

Выводы -Перевод алгебраической задачи на язык графиков позволяет избежать громоздких решений -При решении уравнений, содержащих модуль и параметр, графический способ является более наглядным и сравнительно более простым. -Графический способ решения уравнений является приближенным, т.к. точность зависит от выбранного единичного отрезка, толщины карандаша, углов под которыми пересекаются линии и т.д. ,этот метод позволяет оценивать кол-во корней уравнений ЕГЭ ОГЭ

14 слайд Метод симметрии- рациональный метод построения графика «модуль»
Описание слайда:

Метод симметрии- рациональный метод построения графика «модуль»

15 слайд При каком значении параметра а уравнение имеет ровно 5 корней Ответ: а=1 -6 -
Описание слайда:

При каком значении параметра а уравнение имеет ровно 5 корней Ответ: а=1 -6 -4 -2 0 1 x y 2 a=1

16 слайд  У= У=а
Описание слайда:

У= У=а

17 слайд  а=|||х|-2|-2|
Описание слайда:

 а=|||х|-2|-2|

18 слайд Пример 2 Ответ: 3; -3; -1; 1.
Описание слайда:

Пример 2 Ответ: 3; -3; -1; 1.

Выбранный для просмотра документ Работа.doc

библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.



Ведение


Задания на построение графиков функции «модуль» и задачи с параметрами традиционно - это одна из самых трудных тем математики, поэтому она всегда включена в задания повышенного и высокого уровня ГИА и ЕГЭ.

Понятие «модуль» изучается в школе с 6 класса, причем на уровне ,только определения и вычисления, несмотря на то, что он широко применяется во многих разделах школьного курса математики, например, в изучении абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа; в геометрии и физике будут изучаться понятия вектора и его длины (модуля вектора). Понятия модуля применяется в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в высших учебных заведениях.

Перед выпускниками стоит проблема – удачно сдать ГИА в 9классе, а в дальнейшем и ЕГЭ.

В этом году на уроках математики мы познакомились с понятием линейной функции и научились строить ее график. Было показано, что этот ее график берется за основу построения функции «модуль». Кроме того, учитель сказала, что уравнения бывают с одним и несколькими модулям. Я решила глубже изучить эту тему, тем более, что она мне пригодится при сдаче экзаменов.

Тема «Графический метод решения уравнений, содержащих абсолютную величину»

Цель работы: исследование возможности рационального построения графиков с модулями для решения уравнений, содержащих модуль и параметр

Задачи:

  • Изучить теорию по решению методов уравнений с модулем.

  • Научиться решать уравнения 1йстепени, содержащие знак абсолютной величины.

  • Классифицировать графические методы решения уравнений.

  • Проанализировать достоинства и недостатки различных методов построения графиков функции «модуль».

  • Узнать, что такое параметр

  • Применить рациональные методы для решения уравнений с параметром

Объект – методы решения уравнений с модулем

Предмет графический метод решения уравнений

Методы исследования: теоретические и практические:

теоретические - это изучение  литературы по теме исследования; интернет – информации;

практические- это анализ информации,  полученной при изучении литературы, результатов, полученных  при решении уравнений с модулем  различными способами;

сравнение способов решения уравнений предмет рациональности их использования  при решении различных уравнений с модулем.

Глава I

Понятия и определения

1.1.Понятие «модуль» широко применяется во многих разделах школьного курса математики, например, в изучении абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа; в геометрии и физике изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). Понятия модуля применяется в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в высших учебных заведениях.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это слово имеет множество значений и применяется не только в математике, физике и технике, но и в архитектуре, программировании и других точных науках.Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Знак модуля был введен в XIX веке Вейерштрассом.

В архитектуре модуль– исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения.В технике – это термин, применяемый в различных областях техники, служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например, модуль упругости, модуль зацепления.В математике модуль имеет несколько значений, но я буду рассматривать его как абсолютную величину числа.

Определение: Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само это число, если а ≥0, или противоположное число – а, если а<0; модуль нуля равен нулю.

hello_html_m78b6bb52.gif

Модуль-это расстояние на координатной прямой от нуля до точки.

1.2. Уравнение с модулем – это уравнение, содержащее переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля). Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет. Методы решения уравнений с модулем:

1.По определению модуля - «снятие модуля». Решение происходит на основе определения.

2.Аналитический метод- решение уравнений с использованием преобразований выражений, входящих в уравнение и свойств модуля.

3.Метод интервалов: раскрытие модуля на интервалах и полуинтервалах, образованными «нулями» модулей.

4.Графический метод. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций, представляющих левую и правую часть уравнения. В случае, если графики пересекутся, то абсциссы точек пересечений данных графиков будут являться корнями данного уравнения.

1.3.Методы построения графиков функции с модулем

1.3.1. По определению. Строятся две прямые у=кх+в, где х>0, у=-кх+в, где х <0


1.3.2 Метод симметрии. Строится график у=кх+в, при х>0.Часть прямой при х <0 отображается относительно оси абцисс.

1.3.3.Преобразование функций:

а) у=|x|+n график сдвигается вверх по оси ординат на в единиц

б) у=|x|-n график сдвигается вниз по оси ординат

с) у=|x+n| график сдвигается влево по оси абцисс

d )у=|x-n| график сдвигается вправо по оси абцисс

1.3.4. Метод интервалов. Координатная прямая разбивается на интервалы и полуинтервалы нулями модулей. Далее, используя определение модуля, для каждой из найденных областей получим уравнение, которое необходимо решить на данном промежутке и получить функцию.

1.3.5. Метод расширения областей нулей. В том случае, когда модулей несколько, удобнее не раскрывать модули, а использовать следующее утверждение: алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляет собой кусочно-линейную функцию, график которой состоит из n +1 прямолинейных отрезков.

Тогда график может быть построен по n+2 точкам, n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна — произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней и последняя — с абсциссой, большей большего из корней.

1.4. Имеем уравнение ax+b=c. В этом уравнении х – неизвестное, a,b,c – коэффициенты, которые могут принимать различные числовые значения. Заданные таким образом коэффициенты называются параметрами. Одно уравнение с параметрами задает множество уравнений (для всех возможных значений параметров).

это все уравнения, которые задает уравнение с параметрами ax+b=c.

Решить уравнение с параметрами – это значит:

  1. Указать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.

  2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение определяет корень уравнения.


1.5.Выводы:

Таким образом, существуют разные методы построения графиков с модулем, которые необходимо исследовать на возможность их рационального применения.




Глава II

Анализ методов построения графиков функций, содержащих модуль, и применение

«График – это говорящая линия,

которая может о многом рассказать»

М.Б.Балк

2.1. Изучая виды уравнений с модулем, мы увидели, что их можно и разделить по типам и методам решения.

Таблица. Классификация типов уравнений и их методов решения.

Тип уравнения

Вид уравнения

Метод решения

1.Уравнение с одним модулем

|x|=a

|xhello_html_4fd0da87.gifn|=a

|x|hello_html_4fd0da87.gifn=a

1.По определению модуля

2.Графический

3.Аналитический

2.Уравнение, содержащее 2 модуля

|xhello_html_4fd0da87.gifn|hello_html_4fd0da87.gif|xhello_html_4fd0da87.gifm|=a

1.По определению модуля

2.Графический

3.Метод интервалов

4.Аналитический

3.Вложенные модули

|||xhello_html_4fd0da87.gifn|hello_html_4fd0da87.gifm||=а

1.По определению модуля

2.Графический


Вывод: таким образом, классификация уравнений дает нам общие методы решения всех типов уравнений - это по определению модуля и графический метод.

2.2.Анализ построения графиков.

hello_html_m2b068169.png 2.2.1. Тип 1. Построение у=|x|

2.2.1.1.По определению.

1.Строим прямую у=х

2.Выделяем часть прямой при хhello_html_m47a2be78.gif0

3.Строим прямую у=-х

4.Выделяем часть прямой при х<0

2.2.1.2. Метод симметрии

1.Строим прямую у=х

2.Строим симметрию относительно оси абцисс при х<0

Вывод: метод симметрии рациональнее

2.2.1.3. Построение у=|x-2|

1.Строим прямую у=х-2

2.Выделяем часть прямой при х-2hello_html_m47a2be78.gif0


3.Строим прямую у=-х+2

4.Выделяем часть прямой при х-2<0

Вывод: метод симметрии рациональнее hello_html_3c215249.gif

hello_html_m1d58d4e2.png2.2.2. Тип 2.

Задание: построить график у=hello_html_m417b11bd.gif

2.2.2.1.Метод интервалов

1. на hello_html_85f0868.gif получаем у=-х+3+1-х-4 ; у = -2х

2. на hello_html_m64b0ca37.gif получаему=-х+3-1+х-4; у = -2

3. на hello_html_3b2c4011.gif получаем у=х-3-1+х-4; у = 2х-8

4.Строим все прямые.

5.Выделяем части прямых на интервалах

2.2.2.2.Метод расширения областей нулей

1.Нули: 3 и 1; расширенная область: 2,4,0

2.Вычисляем значения в : 3,1,2,4,0 это: -2, -2, -2, 0, 0

3.Расставляем точки с их координатами и соединяем

Вывод: Метод расширения области нулей рациональнее

2.2.3. Тип 3. Вложенные модули-«матрешка»

Иhello_html_11cda107.gifсследуем построение у=||х|-1|

2.2.3.1. По определению модуля

По определению главного модуля имеем:

1) х>0 у=|х|-1

2) х<0 у=-|х|+1

2. «Снимаем» следующий модуль:

Модуль: у=х-1, х>0 и у=-х+1 х<0

у=-х+1 х>0 у=х-1 х<0

3. Строим графики


2.2.3.2.Метод симметрии

1. у=|х|-1hello_html_m272b9a6f.gifу=х-1,симметрия

у==-|х|+1

2. Симметрия относительно оси абцисс части графика, где х-1<0

Вывод: метод симметрии рациональнее.





2.2.4. Сведем анализ результатов в таблицу:

Метод

Тип

Знания и умения

Недостатки

По определению

1, 2, 3

  1. Определение модуля

  2. Знать : как определяются координаты точек прямых

  3. Уметь выделять часть прямой по неравенству

  4. Уметь строить точки по их координатам

  5. Уметь вычислять координаты точек

-громоздкие решения

-применение большого объема знаний

-при «снятии» модуля можно допустить ошибки



Метод симметрии

1, 2, 3

  1. Знать и уметь применять преобразование функции

  2. Строить симметрию относительно оси абцисс

-знание алгоритмов преобразования графиков

Метод интервалов

2

  1. Находить нули модуля

  2. Определять интервалы и полуинтервалы

  3. Раскрывать модули

  4. Вычислять модули

  1. Приводить подобные слагаемые

  2. Уметь строить точки по их координатам

  3. Строить прямые

-громоздкие решения

-много вычислений и преобразований при снятии нулей

-занимает много времени

-правильность определения интервалов и полуинтервалов


Метод расширения области нулей

2

  1. Находить нули модуля

  2. Уметь расширять область нулей

  3. Уметь вычислять модули в этих точках

  4. Уметь строить точки по их координатам

- допуск ошибок в вычислениях

Метод преобразований функций

1

  1. Знать алгоритм преобразования

  2. Уметь строить точки по их координатам

  3. Уметь вычислять координаты точек

  4. Уметь применять алгоритм преобразования

- знание алгоритмов преобразования графиков


Вывод: анализируя таблицу, делаем вывод, что метод симметрии и расширения области нулей самые рациональные, т.к. содержат меньше всего действий для построения, а значит экономят времени.

hello_html_m2d20149b.gif2.3.Применение рациональных методов построения графиков к решению уравнений с модулем и параметром

2.3.1. Решить уравнение :hello_html_be5daa4.gif

Строим у=hello_html_m2ceb2521.gif и у=0,5-х

1.Нули:0,1

2.Расширенная область:-1,2

3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)

4.Проводим отрезки и лучи

Ответ: 0,5



2.3.2. ЕГЭ 2009г. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение hello_html_72286a30.gif, имеет ровно 1 корень.

Рhello_html_m2f37cba2.pngешение:

hello_html_72286a30.gif,

Преобразуем:hello_html_m2792e62c.gif-4+а=3 иhello_html_m2792e62c.gif-4+а=-3

- hello_html_m2792e62c.gif+7=а - hello_html_m2792e62c.gif -1=а


Построим графики функций у = а, hello_html_m24302919.gif, hello_html_4833c6f4.gif.




При а =7 прямая пересекает график только в одной точке. Значит, данное уравнение имеет ровно один корень при а =7.

Ответ: 7.

2.3.3. ЕГЭ 2010г. При каком значении параметра уравнение имеет 4 корня а=|||х|-2|-2|?

hello_html_6f77319e.pngРешение: применив поэтапно метод симметрию:

Первый раз: у=hello_html_4586bdb1.gif

Второй раз: у==|||х|-2|-2|

hello_html_m1a7e2015.gifПостроим прямую у=а

hello_html_476db034.gif

Ответ: при а=2 уравнение имеет 4корня

Заключение

Таким образом, в ходе проделанной работы нам удалось изучить и проанализировать разные методы построения графиков. В результате анализа и сравнения методов построения графиков получили следующие выводы:

-перевод алгебраической задачи на язык графиков позволяет избежать громоздких решений;

-при решении уравнений, содержащих модуль и параметр, графический способ является более наглядным и сравнительно более простым;

-при построении графиков, содержащих 2 модуля и «матрешку» практичнее метод симметрии;

-хотя графический способ решения уравнений является приближенным, т.к. точность зависит от выбранного единичного отрезка, толщины карандаша, углов под которыми пересекаются линии и т.д., но этот метод позволяет оценивать кол-во корней уравнений для решения уравнений с параметром.

Учитывая, что одни из самых популярных заданий на ЕГЭ и ГИА уравнения с модулем, то , что главным моим результатом является то, что я могу решать уравнения с модулем и параметром графическим способом.




















Список литературы

1.Данкова И. «Предпрофильная подготовка по математике», Москва, 2006г.


2. Внеклассная работа по математике. Альхова З.Н., Макеева А.В., г. Саратов: Лицей, 2003.


3.Математика. Учебное пособие под редакцией Муравья Л.Я., г. Москва Бридж, 1994.


4. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. Выпуск-2.Автор-составитель: М.Е. Козина., г. Волгоград: Учитель,2007

5. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. М,2006г.





























Общая информация

Номер материала: ДВ-529479

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.