Научно-исследовательская работа "Графики среди нас"

Районное муниципальное образовательное учреждение

Мошковский центр образования.

Научно-исследовательская работа по теме

«Графики вокруг нас»

Барабанщиковой Анастасии и Колтунова Александра учащихся 9 класса

РМОУ Мошковский центр образования. Руководитель Машталлер Раиса Петровна учитель математики.

Содэржсниэс

1.     Введенке.

2.     Из истории.

З. Использование разлучных сферах чедсвеческои деятельности.

4, Функц-џњ, изучаемые в 7-9 классах их графику:.

Т{оеобиазсванме графиков элементарных функщмй.

6, Рисунки, составленные из уча.стков урафдков функций.

7.     Заключение.

8.     Литература.

2

Графики вокруг нас

Введение.

Математика - важнейшая наука, созданная нашей цивилизацией й сопровождающая её на всех этапах развития. Почти вся современная наука, физика и химия, биология и экономика, лингвистика и социология не только используют математические методы, но и строятся по математическим законам. Путь в современную науку и технику лежит через математикуВозможности математического образования выходят далеко за границы собственно математических предметов.

С древних времён известно, что математика учит нас правильно и последовательно мыслить, логически рассуждать. Кто занимается математикой, тот развивает свой ум и внимание, воспитывает волю и настойчивость. А эти качества нужны всем без исключения: и врачу, и артисту, и учителю, и художнику. Усвоение научных знаний, умений Е навыков, может протекать по-разному.

Знания могут приобретаться формально й осмысленно, некоторые сведения могут заучиваться и творчески перерабатываться, они могут изучаться в отрыве от жизни и практики и в тесной связи с ними.

Обучение в школе не должно ограничиваться сообщением нам необходимых сведений, оно, кроме того, должно формировать и развивать у нас способность к самостоятельному приобретению знаний и творческому применению в их познавательной и общественной практике. В процессе изучения математики надо находить привлекательные стороны; важно уметь в знакомом видеть новое.

Чтобы царствовала в классе жизнь мысли, чтобы потребность мыслить, узнавать, открывать, постигать, изумляться стало важной духовной потребностью школьника для этого нужен ум учителя, целеустремлённость учащихся. Да и кто сказал, что уроки математики должны быть строгими и сводиться только лишь к владенико вычислительными навыками? Пусть они станут царством смекалки, фантазии игры, творчества.

Поэтому ц.елыо нашей работы является: расширение кругозора использования графиков в самых различных областях человеческой деятельности. Показать практическую значимость изучения функций,

з

выявление конструкционного мышления, овладение профессионально направленАой информационной технологией построения рисунка, составленного из участков графиков элементарных функций,

Задачи: Развить способности к математической творческой деятельности. Закрепить навыки построения графиков функций и записи соответствующих формул.

Из истории,

Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые понялиэ что окружающие их предметы взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что:

/ чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода;

“ чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела;

 Когда возникли первые цивилизации, образовались большие армии, началось строительство гигантских пирамид. Древние учёные стали составлять таблицы для облегчения вычислений. В Древнем Вавилоне были составлены таблицы для функций у=1/х, у=х^Л25 у= Х^АЗ, у= х^Л2+.х^ЛЗ .

Понятие переменной величины было введено в науку французским учёным и математиком Рене Декартом (1596-1650). Он ввёл идею числовой функции числового аргумента. При записи зависимостей между величинами Декарт стал применять буквы. Он начал геометрически изображать не только пары чисел, но и уравнения, связывающие два числа.

Одновременно с Декартом к мысли о соответствии между линиями и уравнениями пришёл другой французский математик — Пьер Ферма (1601-1665). Он был советником тулузского парламента и занимался математическими исследованиями лишь в свободное время. Тем не менее Ферма получил ряд первоклассных результатов в различных областях математики.

Термин «функция» начал применять в конце XVIII века Лейбниц (1646-1716) и его ученики.

Определение функцищ приближенное к современному, дал Иоганн Бернулли: «Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».

4

Использование графиков в различных сферах человеческой деятельностњ

На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами.

-измерение роста в течение нескольких лет

-изменение веса в течение определённого времени

-изменение температуры больного „бег нескольких спортсменов

-S круга в зависимости от R

Существуют специальные приборы, вычерчивающие непрерывно в течение определённого времени график, по которому можно получить различную информацию.

Например:

Метеорологические службы фиксируют изменение температуры с помощью термографа.

-Используя показания сейсмографов-приборов непрерывно фиксирующих колебания почвы и строящих специальные графики-сейсмограммы, геологи могут предсказывать приближение землетрясения или цунами.

-Врачи выявляют болезни сердца. изучая полученные

с ПОМОЩЬЮ кардиографа кардиограммы. -С помощью барографа - изменение давления.

Широко используют различные графики и в экономике.

Элементарные функции их графики из курса математики

7-9классове

В математике идея функции родилась вместе с понятием переменной величины. На первых ступенях своего развития понятие функцищ как понятия переменной величины, было тесно связано с геометрическими и механическими представлениями.

Функция-это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.

Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология,

ЛИНГВИСТИКа и т.д. имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, взаимосвязи этих объектов.

В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлечённом виде, изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями или функциями.

Например, в соотношении У=Х- геометр или геодезист увидит зависимость площади У квадрата от величины стороны Х, а физик, авиаконструктор могут усмотреть зависимость силы сопротивления воздуха. Математика же изучает зависимостьУ=Х и её свойства в отвлечённом виде.

Понятие функция претерпело длительную и сложную эволюцию. Термин функция впервые появился в 1692 году у Г.В. Лейбница, правда, в более узком смысле, близком к нынешнему,

Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала 19 века. Активным сторонником такого понятия был Н.И. Лобачевскийь

Идея введения понятия функции в школьные программы по математике была выдвинута около 100 лет назад. Её развивали не только отдельные учёные, но международные объединения. Одной из первых была «Международная комиссия по преподаванию математики». В наши дни разработка этой идеи находит место в рекомендациях ЮНЕСКО, созданная в 1945 году.

График функции - один из способов её представления. Представить ту или иную функцию можно по-разному, например словесным описанием. В расчетах обычно функции задают с помощыо формул.

У каждого способа представления есть свои достоинства. Словесный наиболее прост, если функцию удаётся описать простыми словами. Формулы используют потому , что с ними удобно работать, их можно анализировать, _выясняя свойства функции. Табличный способ используют тогда, когда трудно вычислить значения функции или когда он принимает лишь несколько отдельных значений.

Графический способ представления функции самый наглядный. График функции это линия, дающая цельное представление о характере изменения функции по мере изменения её аргумента.

Благодаря этому графический способ задания функции сопутствует другим способам. Введя формулу функциональной зависимости, исследователь вслед за этим строит и её график. Многие приборы выдают показания именно в виде графиков. Графики большинства функций имеют названия, сходные с названиями самой функции.

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида у=ах²+Ьх+с.

Рассмотрим случай, когда      и с=0. Формула примет вид у=х².Вы, наверно, уже знаете, какая зависимость между площадью квадрата и длиной его стороны. Зависимость между площадью квадрата и длиной его стороны следующая: площадь квадрата равна квадрату его стороны.

А как изменяется площадь в зависимости от изменения длины стороны? Эта зависимость является примером новой функции. Чтобы поближе с ней познакомиться, построим график этой функции. Для того, чтобы построить график этой функции, нам необходимо составить таблицу соответственных значений х и у. Построим эти точки на координатной плоскости. А затем через эти точки проведём плавную линию.

Мы получили график функции у=х², который называется параболой.

Если х=О, то и у=0. Еслих#О, то у>0. Противоположным значениям х соответствует одно и тоже значение у.

Некоторые свойства парабол:

1 „ Любая прямая, параллельная оси симметрии параболы, после отражения от параболы проходит через ее фокус,

2. Касательная в любой точке параболы делит пополам угол между прямой, соединяющей точку касания с фокусом, и перпендикуляром, опущенным из этой точки на директрису.

Эти свойства парабол используют при конструировании солнечных печей, телескопов, параболических антенн.

Параболические антенны можно увидеть около любого аэродрома — они используются для того, чтобы собрать в одну точку все сигналы радиолокатора, отраженные от самолета, В прожекторах, наоборот, свет, исходящий из фокуса параболического зеркала, после отражения образует параллельный пучок и не рассеивается. По этой причине форму параболоида вращения имеют и автомобильные фары.

Кубической функцией называется функция, которую можно задать формулой вида у=х .

Чтобы поближе с ней познакомиться, построим график этой функции. Для того, чтобы построить график этой функции, нам необходимо составить таблицу соответственных значений х и у. Построим эти точки на координатной плоскости, А затем через эти точки проведём плавную лИнию Мы получили график функции у=х , который называется гиперболой.

Некоторые свойства гипербол:

1- Если х 0, то у 0, т.е. кубическая парабола пересекает оси координат в точке (0; 0) - начале координат.

2. Если х > 0, то у > 0, а если х < 05 то у < Гд т.е. кубическая парабола лежит в первой и третьей координатном четвертях,.

З, Множеством значений функции у=х является вся числовая прямая.

4.  Если значения аргумента отличаются только знаком, то и значения функции отличаются только знаком, т.е. кубическая парабола симметрична относительно начала координат (функция у=х^з - нечетная),

5.  Функция y=x^D возрастающая в области определения.

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx+b, где х — независимая переменная, К и Ь — некоторые числа.

Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки в координатной плоскости и провести через них прямую.

Прямая пропорциональность — функция вида у=кх, где х независимая переменная, к — не равное нулю число.

Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.

Построение графика линейной функции.

Для построения графика линейной функции необходимо:

- выбрать любые два значения переменной х (аргумента), например 0 и 1; - вычислить соответствующие значения переменной у (функции).

Полученные результаты удобно записывать в таблицу

- полученные точки А и В изображаем в системе координат; - соединяем по линейке точки А и В.

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y=ldx, где х - независимая переменная К - не равное нулю число. Областью определения такой функции является множество всех чисел, отличных от нуля. Если величины х и у обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением у = К / х, где К есть некоторая постоянная величина.

График обратной пропорциональности есть кривая линия, состоящая из двух ветвей. Этот график называют гиперболой.

В зависимости от знака К ветви гиперболы расположены либо в 1 и З координатных четвертях (К положительно) либо во 2 и 4 координатных четвертях (К отрицательно),

7

Пушки учёные

Траекторией снарядов интересовались многие ученые. Особенный интерес возник с момента изобретения пороха (в XII! веке). Ни одна тогдашняя крепость не могла долго выдержать артиллерийский огнь. Сначала применяли _лишь настильный огонь, а это не давало возможности располагать артиллеристов в укреплении за холмом. Лишь позже догадались применять навесный огонь, позволяющий стрелять из-за укрытия. Чтобы обеспечить прицельность навесного огня, нужно было изучить движение тела, брошенного под углом к горизонту. Учёные доказали, что тело движется по параболе. Если при заданной начальной скорости снаряда V менять угол а, то получится бесконечное множество парабол.

Все параболы, для которых 45 ⁰ а 90⁰ , касаются одной и той же линии* имеющей уравнение

- дх²/

Её называют параболой безопасности, Если точка N находится вне ограниченной ею области, то при начальной скорости У снаряд не попадёт в N ни при каком угле наклона.

Оптические свойства зеркал

По дошедшей до нас легенде Архимед построил вогнутые зеркала и с их помощью сжег римские корабли. Большинство ученых отвергают эту легенду, поскольку такие зеркала должны были бы иметь слишком большие размеры, а это невозможно при тогдашнем уровне техники,

Но если даже история о сожжении кораблей легендарна, то все-таки сжечь римский флот при помощи параболутческих зеркал возможно. Результаты, полученные Архимедом, были основаны на следующем утверждении: любая прямая, параллельная оси симметрии параболы, после отражения от параболы проходит через ее фокус. Это же свойство параболы можно сформулировать и так: касательная к любой точке параболы делит

пополам угол между прямой, соединяющей точку касания с фокусом, и перпендикуляром, опущенным из этой точки на директрису.

Для того чтобы построить зеркало, собирающее солнечные лучи в одной точке, нужно отшлифовать его по параболоиду вращения — поверхности, получаемой при вращении параболы вокруг ее оси. Если направить такое параболическое зеркало на Солнце. то все отраженные лучи пройдут через фокус параболы, и температура в нем окажется настолько большой, что с помощью солнечных лучей можно будет вскипятить водуз расплавить свинец и т.д. Отсюда происходит д само название «фокус», означающее полатыни «очаг» „

Преобра>ование графиков элементарных функций созданде рисунка,

Если видеть в построении графика по точкам самоцель, то это построение превращается в скучное , бессмысленное занятие, Ученик вправе недоумевать : зачем же нужно наносить точки на бумагу и проводить через них линию затем графически решать систему уравнений, если это можно сделать алгебраическим путём?

Построение разных кривых обычно вызывают живой интерес со стороны учащихся, и, как мы полагаем, здесь имеется богатый материал для дальнейших творческих заданий на построение графиков. Такого рода домашние задания полезно практиковать как имеющие большое значение в деле повышения уровня математического развития. Примеры для домашних заданий должны подбираться с постепенным видоизменением и усложнением уже известных примеров. В 9 классе мы изучили преобразование графиков функций на координатной плоскости, а именно

12

сдвиг графиков вдоль осей координат и при построении на одной и той же координатной плоскости нескольких различных графиков мы увидели особую картину и возникла мысль: а нельзя ли изобразить окружающий нас мир с помощью участков известных нам графиков функций ?

Вот с чего мы начали, ичто у нас получилось.

Вычислить значения функций и построить графики,

домик

ДЕРЕВО

У=З

[-77]

4.14

[1 3:1 7]

[8;1 8]

ПТИЦА

[7:10]

1 3

                                         Ах-7)2+ З

зо

20

15 10                                              5
-20    -10 -15		25

у14, 1 *х2-4

•cosx-3

— х=0

— у5: -х+11

-25                                                                                                                                                                

Рисунок в программе Microsoft Excel

15

10

-10