Научно-исследовательская работа " Игровые стратегии"

• 1 слайд

  Милованов К.А 9«Б»
  Уточкин М.А 9«Б»
  МБОУ гимназия №9
  Методы
  Выигрышных стратегий
  

• 2 слайд

  Очень часто на олимпиадах разных уровней предлагаются игровые задачи на выигрышную стратегию. Возникает вопрос: «Как же играть, чтобы выиграть, закономерность это или случайность – постоянная победа?
  
  

• 3 слайд

  ПРОБЛЕМА:
  Как же найти эту выигрышную стратегию?
  
  

• 4 слайд

  Тема исследования :
  ПОИСК ВЫИГРЫШНЫХ СТРАТЕГИЙ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
  

• 5 слайд

  
  Предмет иследования:
  математические игры.
  Объект исследования:
  выигрышные стратегии.
  Цели исследования:
  найти выигрышную стратегию
  математических игр
  Задачи исследования :
  изучить методы решения задач,
  рассмотреть различные ситуации,
  возникающие при решении,
  провести игровой эксперимент.
  
  
  

• 6 слайд

  1. Метод инвариантов и метод симметрии
   
  Инвариантом некоторого преобразования называется величина или свойство, не изменяющееся при этом преобразовании.
  
  Пример: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.
  
  

• 7 слайд

  Задача 1.
  Двое по очереди ставят ладей на шахматную доску так, чтобы ладьи не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
  

• 8 слайд

  
  Решение:
  
  После каждого хода и количество вертикалей, и количество горизонталей, на которые можно поставить ладьи, уменьшается на единицу. Поэтому игра будет продолжаться ровно 8 ходов. Последний, выигрышный, ход будет сделан вторым игроком.
  Здесь инвариант - уменьшение количества вертикалей и горизонталей на 1 после каждого хода.
  
  

• 9 слайд

• 10 слайд

  Задача 2
  Двое по очереди кладут пятирублевые монеты на стол симметричной формы, причем так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
  
  

• 11 слайд

  Решение:
  

• 12 слайд

  2. Метод четности, нечетности
  Задача 3
  В нижнем левом углу шахматной доски стоит фигура, одним ходом ее разрешается переместить на одно из трех соседних мест: «Вправо», «вверх», и по диагонали - то есть «вправо-вверх». Выигрывает тот из двух играющих, кто займет правый верхний угол 9, ходы делают по очереди). Кто выиграет при правильной игре: тот, кто начинает, или партнер?
  
  

• 13 слайд

• 14 слайд

• 15 слайд

• 16 слайд

• 17 слайд

• 18 слайд

• 19 слайд

• 20 слайд

• 21 слайд

• 22 слайд

  3. Метод раскраски и метод анализа с конца
  Задача 4
  Можно ли таблицу 6 на 6 с вырезанными противоположными углами покрыть костями размером 1 на 2.
  

• 23 слайд

  Решение
  Раскрасим поле в шахматном порядке. 18 белых и 16 чёрных или наоборот. 1косточка покрывает 1 белую и 1 чёрную клетку. Остаётся 2 белых. Значит, все клетки покрыть нельзя.
  
  

• 24 слайд

  Задача 4
  
  В кучке 2015 спичек. Двое игроков берут по очереди спички от 1 до 9.
  Выигрывает тот, который возьмет последнюю спичку.
  
  

• 25 слайд

  Решение.
  Чтобы выиграть первому игроку надо, чтобы перед его последним ходом осталось число спичек , меньше 10. тогда ему следует первым взять 5 спичек, чтобы осталось число, кратное 10.
  После этого какое бы число от 1 до 9 не взял второй игрок, первый будет это число дополнять до 10 таким образом. После двух ходов число спичек уменьшится на 10. Игру выигрывает первый игрок.
  
  

• 26 слайд

НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ УЧАЩИХСЯ

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-РЕФЕРАТИВНЫЙ ПРОЕКТ

по теме:

«Поиск выигрышных стратегий в математических задачах»

                                                                               Выполнили:

                                                  ученики IX «Б» класса

                              Милованов Константин Андреевич

                                            Уточкин Макар Андреевич

                                                  Научный руководитель:

                                                  учитель математики

                                                  Хатунцева

                                                  Ирина Владимировна

Воронеж – 2015

Содержание

Введение………..……………………………………………………..…....3

Глава 1. Метод инвариантов и метод симметрии .....................................4

Глава 3. Метод четности, нечетности................………………….….......6

Глава 4. Метод  раскраски и метод анализа с конца.……….......……….8

          Заключение.................................................................................................9

  Список использованной литературы………………………………….…10

Введение

Очень часто на олимпиадах разных уровней предлагаются игровые задачи на выигрышную стратегию. Возникает вопрос: «Как же играть, чтобы выиграть, закономерность это или случайность – постоянная победа?

 Как же найти эту выигрышную стратегию?

Предмет исследования: математические игры

Объект исследования: выигрышные стратегии

Цели исследования: найти выигрышную стратегию  математических игр

Задачи исследования : изучить методы решения задач, рассмотреть различные ситуации, возникающие при решении, провести игровой эксперимент.

Глава 1.   Метод инвариантов и метод симметрии

 Инвариантом некоторого преобразования называется величина или свойство, не    изменяющееся при этом преобразовании.  Например, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

Задача 1.

Двое по очереди ставят ладей на шахматную доску так, чтобы ладьи не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

 

Решение:

После каждого хода и количество вертикалей, и количество горизонталей, на которые можно поставить ладьи, уменьшается на единицу. Поэтому игра будет продолжаться ровно 8 ходов. Последний, выигрышный, ход будет сделан вторым игроком. Здесь инвариант - уменьшение количества вертикалей и горизонталей на 1 после каждого хода.                         

Задача 2

Двое по очереди кладут пятирублевые монеты на стол симметричной формы, причем так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение:

В этой игре выигрывает первый игрок, независимо от размеров и формы стола! Первым ходом он кладет монету так, чтобы ее центр и центр симметрии совпали. После  этого на каждый ход своего противника отвечает симметрично относительно центра стола. Отметим, что при такой стратегии после каждого хода первого игрока позиция симметрична. Поэтому если возможен очередной ход второго игрока, то возможен и симметричный ему ответный ход первого. Следовательно, он побеждает.

Глава 2. Метод четности, нечетности.

Задача 3

В нижнем левом углу шахматной доски стоит фигура, одним ходом ее разрешается переместить на одно из трех соседних мест: «Вправо», «вверх», и по диагонали - то есть «вправо-вверх». Выигрывает тот из двух играющих, кто займет правый верхний угол (ходы делают по очереди). Кто выиграет при правильной игре: тот, кто начинает, или партнер?

Решение:

Пусть шахматная доска находится в системе координат с началом в нижнем левом углу, как показано на рисунке .
Тогда фигура первоначально имеет координаты (1;1), а попасть надо в точку с координатами (8;8). Из нечетных координат надо получить в конце концов четные. поэтому для выигрыша нужно как можно раньше занять клетку с четными координатами.
Возможности при первом ходе такие (1;2) - вверх, (2;1) - вправо; (2;2) - по диагонали. Одна или обе координаты увеличиваются на 1.
Начинающий может выиграть . Для этого ему первым ходом надо занять клетку с четными координатами (2;2) - по диагонали вправо-вверх. Тогда противник вынужден занять клетку (1;2) или (2;1) , т.е , с одной нечетной координатой или обе нечетные (3;3) - по диагонали.
Далее начинающему следует занимать клетки только по диагонали. Даже если и противник будет ставить фигуру по диагонали , то координаты его клеток будут (3;3) (5;5) (7;7), а начинающего (2;2) (4;4) (6;6) (8;8).
Если противник не будет ставить фигуру на диагональ. То ходы начинающего:
(2;2) - (3;3) - (4;4) - (5;5) - (6;6) - (7;7) - (8;8).

Заняв сразу клетку (2;2) , начинающий выигрывает. но если эту клетку сразу займет противник , то при правильной игре выигрывает он.

Итак, математические олимпиадные задачи-игры с выигрышной стратегией разнообразны. И требуется опыт, чтобы такие задачи научиться решать и выигрывать. Главное, что нужно понять: исход задачи зависит от самого первого хода. Но рассуждать , насколько правильным сделать этот первый ход нужно, начиная с конца.

Глава 3. Метод  раскраски и метод анализа с конца

Задача 4

Можно ли таблицу 6 на 6 с вырезанными противоположными углами покрыть костями размером 1 на 2.

Решение:

Раскрасим поле в шахматном порядке. 18 белых и 16 чёрных или наоборот. 1косточка покрывает 1 белую и 1 чёрную клетку. Остаётся 2 белых. Значит, все клетки покрыть нельзя.  

 

Задача 5

В кучке 2015 спичек. двое игроков берут по очереди спички от 1 до 9. Выигрывает тот, который возьмет последнюю спичку.

 Решение:

Чтобы выиграть первому игроку надо, чтобы перед его последним ходом осталось число спичек меньше 10, тогда ему следует первым взять 5 спичек, чтобы осталось число, кратное 10.
После этого какое бы число от 1 до 9 не взял второй игрок, первый будет это число дополнять до 10 Таким образом, после двух ходов число спичек уменьшится на 10. И в игре побеждает первый игрок.

Заключение

Несомненно, что игровые задачи являются одним из самых мощных инструментов развития человеческого интеллекта. Человеку в течение всей жизни приходится не один раз оказываться в затруднительном положении, выход их которого можно найти с помощью логических рассуждений. А способность логически мыслить, и отрабатывается на решении нестандартных занимательных задач, при решении которых развивается интеллект человека. Эти задачи проверяют не знания, а умение логически рассуждать, ориентироваться в необычных ситуациях, предвидеть и действовать.

Чтобы успешно решать задачи такого вида, надо уметь выделять их общие признаки, подмечать закономерности, выдвигать гипотезы, проверять их, строить цепочки рассуждений, делать выводы. Игровые задачи от обычных отличаются тем, что не требуют вычислений, а решаются с помощью рассуждений. Можно сказать, что игровая задача – это особая информация, которую не только нужно обработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать.

Литература

1.     М. Гарднер, Математические головоломки и развлечения, М.: Мир, 1999 г. – 447 с.

2.     Виленкин, Н.Я. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра: Пособие для учащихся 10-11 кл. /Н.Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова. – М.: Просвещение, 2008. – 192 с.

3.     Коннова Е.Г. « Математика. Поступаем в вуз по результатам олимпиад». Издательство «Легион», 2008. -185 с.

4.     Мерлин А.В., Мерлина Н.И, Картошова С.А. «Математическая олимпиада школьников «Юные дарования». Издательство « Клио», 1998. - 80 с.