Научно-исследовательская работа "Исследование механизма аттестации студентов через элементы теории вероятностей"

Введение

Людей всегда интересовало будущее. Человечество во все времена искало способ его предугадать, или спланировать. В разное время разными способами. В современном мире есть теория, которую наука признает и пользуется ею для планирования и прогнозирования будущего. Речь идет о теории вероятностей.

В жизни мы часто сталкиваемся со случайными явлениями. Чем обусловлена их случайность – нашим незнанием истинных причин происходящего или случайность лежит в основе многих явлений? Споры на эту тему не утихают в самых разных областях науки. Случайным ли образом возникают мутации, насколько зависит историческое развитие от отдельной личности, можно ли считать Вселенную случайным отклонением от законов сохранения? Пуанкаре, призывая разграничить случайность, связанную с неустойчивостью, от случайности, связанной с нашим незнанием, приводил следующий вопрос: «Почему люди находят совершенно естественным молиться о дожде, в то время как они сочли бы смешным просить в молитве о затмении?»

У каждого случайного события есть четкая вероятность его наступления. В стабильной системе вероятность наступления событий сохраняется из года в год. То есть, с точки зрения человека с ним произошло случайное событие. А с точки зрения системы, оно было предопределено.

Разумный человек должен стремиться мыслить, исходя из законов вероятностей (статистики). Но в жизни о вероятности мало кто думает. Решения принимаются эмоционально.

Люди боятся летать самолетами. А между тем, самое опасное в полете на самолете — это дорога в аэропорт на автомобиле (например, по трассе Караганда – Астана). Но попробуй кому-то объяснить, что машина опасней самолета. Вероятность того, что пассажир, севший в самолет погибнет в авиакатастрофе составляет примерно 1/8 000 000. Если пассажир будет садиться каждый день на случайный рейс, ему понадобится 21 000 лет чтобы погибнуть.

Вероятность события в жизни не так уж часто считается по формулам, скорее интуитивно. Но проверить совпадает ли «эмпирический анализ» с математическим, иногда очень полезно.

В своей исследовательской работе мы попробуем проверить, действительно ли теория вероятности действует и как её можно применить в студенческой жизни.

Цель нашего исследования: выявить вероятность успешной сдачи экзаменов студентами путем угадывания правильного ответа или заучивания нескольких билетов, применяя теорию вероятностей.

Для реализации целей были поставлены следующие задачи:

1) собрать, изучить и систематизировать материал о теории вероятностей, воспользовавшись различными источниками информации;

2) рассмотреть использование теории вероятности в различных сферах жизнедеятельности;

3) провести исследование по определению вероятности получения положительной оценки при экзаменах путем угадывания правильного ответа или заучивания нескольких билетов.

Гипотеза исследования: с помощью теории вероятностей можно с большой степенью уверенности предсказать события, происходящие в нашей жизни.

Объект исследования – теория вероятностей.

Предмет исследования: практическое применение теории вероятностей.

Методы исследования: анализ, синтез, сбор информации, работа с печатными материалами, анкетирование, статистическая обработка данных, эксперимент.

Вопрос, исследованный в нашей работе, является актуальным по ряду причин:

1.          Случай, случайность – с ними мы встречаемся повседневно. Кажется, как можно «предвидеть» наступление случайного события? Ведь оно может произойти, а может и не сбыться! Но математика нашла способы оценивать вероятность наступления случайных событий. Они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.

2.          Серьёзный шаг в жизни каждого студента – экзаменационная сессия, государственная аттестация. Мне также предстоит год сдавать экзамены. Успешная их сдача - это дело случая или нет?

1.     Теория вероятностей

1.1 История возникновения

Корни теории вероятностей уходят далеко вглубь веков. Известно, что в древнейших государствах Китае, Индии, Египте, Греции уже использовались некоторые элементы вероятностных рассуждений для переписи населения, и даже определения численности войска неприятеля.

Первые работы по теории вероятностей, принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма, голландскому учёному X. Гюйгенсу, появились в связи с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. Крупный успех теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я.Бернулли (1654-1705гг.) Он открыл знаменитый закон больших чисел: дал возможность установить связь между вероятностью какого-либо случайного события и частотой его появления, наблюдаемой непосредственно из опыта. Следующий период истории теории вероятностей (XVIII в. и начало ХIХ в.) связан с именами А.Муавра, П.Лапласа, К.Гаусса и С.Пуассона. В этот период теория вероятностей находит ряд применений в естествознании и технике.

Третий период истории теории вероятностей, (вторая половина XIX в.) связан в основном с именами русских математиков П.Л.Чебышева, А.М.Ляпунова. Наиболее распространённая в настоящее время логическая схема построения основ теории вероятностей разработана в 1933 году математиком А.Н.Колмогоровым.

1.2 Основные понятия и формулы

Итак, насколько эта теория полезна в прогнозировании и насколько она точна? Каковы ее основные тезисы? Какие полезные наблюдения можно вынести из текущей теории вероятностей?

Основным понятием теории вероятностей является вероятность. Это слово достаточно часто применяется в повседневной жизни. Думаем, каждому знакомы фразы: «Завтра, вероятно, выпадет снег», или «вероятнее всего в выходные я поеду на природу». В словаре С.И.Ожегова дается толкование слова вероятность как «возможности осуществления чего-нибудь». И здесь же дается определение понятию теории вероятностей как «разделу математики, изучающей закономерности, основанные на взаимодействии большого числа случайных явлений».

В учебнике «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов под редакцией Ш.А.Алимова дается следующее определение: теория вероятностей — раздел математики, который «занимается исследованием закономерностей в массовых явлениях».

При изучении явлений, мы проводим эксперименты, в ходе которых происходят различные события, среди которых различают: достоверные, случайные, невозможные, равновероятные.

Событие U называют достоверным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие U обязательно произойдет. Например, достоверным будет появление одного из шести чисел 1,2,3,4,5,6 при одном бросании игральной кости. Событие B называют случайным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания оно может произойти, а может и не произойти. Например, при однократном бросании игральной кости может выпасть число 1 или не выпасть, т.е. событие является случайным, потому что оно может произойти, а может и не произойти. Событие V называют невозможным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие V не произойдет. Например, невозможным является выпадение числа 7 при бросании игрального кубика. Равновероятные события – это события, которые при данных условиях имеют одинаковые шансы для наступления.

А как подсчитать вероятность случайного события? Ведь если случайное, значит, не подчиняется закономерностям, алгоритмам. Оказывается, и в мире случайного действуют определенные законы, позволяющие вычислять вероятности.

Принято вероятность события А обозначать буквой Р(А), тогда формула для вычисления вероятности записывается так:

Р(А)=, где m ≤ n   

Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов m, благоприятствующих событию А, к числу исходов n всех исходов испытания. Из формулы следует, что 0≤ Р(А)≤ 1.

Данное определение принято называть классическим определением вероятности. Оно применяется, когда теоретически удается выявить все равновозможные исходы испытания и определить благоприятствующие исследуемому испытанию исходы. Однако на практике часто встречаются испытания, число возможных исходов которых очень велико. Например, без многократного подбрасывания кнопки трудно определить, равновозможны ли ее падения на «на плоскость» или на «острие». Поэтому используется и статистическое определение вероятности. Статистической вероятностью называют число, около которого колеблется относительная частота события (W(A)– отношение числа испытаний М, в которых это событие произошло, к числу всех проведенных испытаний N) при большом числе испытаний.

Также мы познакомились с формулой Бернулли — это формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу:

P(m)=

Чтобы найти каковы шансы наступления события А в данной ситуации, необходимо:

- найти общее количество исходов этой ситуации;

- найти количество возможных исходов, при которых произойдёт событие А;

- найти, какую часть составляют возможные исходы от общего количества исходов.

1.3       Теория вероятностей в жизни

В развитии теории вероятностей весьма большую роль играли задачи, связанные с азартными играми, в первую очередь с игрой в кости.

Игры в кости

Инструментом для игры являются кубики (кости) в количестве от одного до пяти в зависимости от вида игры. Суть игры состоит в выбрасывании кубиков и дальнейшем подсчёте очков, количество которых и определяет победителя. Основной принцип игры в кости — каждый игрок по очереди бросает некоторое количество игральных костей (от одной до пяти), после чего результат броска (сумма выпавших очков; в некоторых вариантах используются очки каждой кости по отдельности) используется для определения победителя или проигравшего.

Лотерея

Лотерея - организованная игра, при которой распределение выгод и убытков зависит от случайного извлечения того или иного билета или номера (жребия, лота).

Карточные игры

Карточная игра — игра с применением игральных карт, характеризуется случайным начальным состоянием, для определения которого используется набор (колода).

Важным принципом практически всех карточных игр является случайность порядка карт в колоде.

Игровые автоматы

Известно, что в игровых автоматах скорость вращения барабанов зависит от работы микропроцессора, повлиять на который нельзя. Но можно вычислить вероятность выигрыша на игровом автомате, в зависимости от количества символов на нем, числа барабанов и других условий. Однако выиграть это знание вряд ли поможет.

В наше время наука о случайном очень важна. Она применяется в селекции при разведении ценных сортов растений, при приемке промышленной продукции, при расчете графика разгрузки вагонов и т.д.

2.     Экзаменационная сессия студентов как пример использования теории вероятностей в жизни

2.1 «Как вытянуть счастливый билет на экзамене?»

Я сегодня обучаюсь на 2-ом курсе, и мне предстоит сдавать большое количество экзаменов.

Экзаменационные материалы по различным предметам имеют свои особенности, это либо классические билеты, либо тестовые задания, в которых из пяти предложенных вариантов необходимо выбрать один.

Наверняка у большинства из вас возникает вопрос: «Как вытянуть счастливый билет на экзамене?», «А нельзя ли выбрать наугад ответ и при этом получить положительную оценку за экзамен?».

Мы провели опрос среди студентов первых вторых курсов: можно ли практически угадать 60% заданий из 100%, т.е. сдать экзамен в тестовой форме без подготовки. Результаты такие: 53,2% респондентов считают, что смогут сдать экзамен указанным выше способом. Когда вопрос звучал: можно ли сдать экзамен, который проводится по билетам, не заучивая их, ответы выглядели следующим образом «да» - 37,4%, «нет» - 62,6%.

Если сравнить результаты опроса, то очевидно, что студенты больше надеются на положительную сдачу экзамена наугад, если сдавать его прийдётся в тестовой форме.

2.1.1      Работа с тестами

Основы высшей математики

Задания зачёта по «Основам высшей математики» содержат 30 вопросов с вариантом выбора, из которых только один верный. Определим вероятность получения оценки и, соответственно, сдачи зачета. Напомним, что оценка «3» выставляется при правильном выполнении 60% заданий, что соответствует 18 ответам.

Определим вероятность получения удовлетворительной оценки:

Пусть событие А – это правильно выбранный ответ из пяти предложенных в одном задании. Вероятность события А определена как отношение числа случаев, благоприятствующих этому событию (т.е. правильно угаданный ответ, а таких случаев 1), к числу всех случаев (таких случаев 5).

Тогда

p=P(A)= и q=P(Ā)=1-p=.

,

 

0,0000016*100%=0,00016%

Таким образом, вероятность благополучного исхода примерно равна 0,00016%.

Мы попросили студентов групп ВТ-13 и ВТ-12 протестироваться и попробовать угадать ответы по Основам высшей математики. Ни один из студентов не смог набрать нужное количество баллов по дисциплине.

Если шанс сдать наугад зачет из 30 вопросов так ничтожно мал, то что же предстоит, если число вопросов увеличится с 30 до 100? Стоит задуматься

Математика

В 2014-2015 учебном году экзаменационный материал по Математике содержит 5 заданий, из которых 4 задания оптимальной сложности. Для удовлетворительной сдачи экзамена (то есть оценка «3») необходимо решить не менее 3 заданий. Применим формулу Бернулли:

(3)=* *; ==4; (3)=4**=0,000102996

0,0256*100%=2,56%

Таким образом, вероятность получения удовлетворительной оценки, не готовясь к экзамену, составляет 2,56%.

Эксперимент, подтверждающий эту вероятность, провести пока не можем, да и подтверждать её не очень хочется. Наоборот, хотим предостеречь студентов первого курса, что если вы рассчитываете, не готовясь к экзамену сдать его, то вам надо попасть в число счастливчиков: 2,56% от всех студентов первого курса, сдающих во время летней экзаменационной сессии Математику, а это всего лишь 3 человека от 133 студентов.

Вывод: как показало анкетирование, 53,2% студентов считают, что наугад, не готовясь, можно сдать экзамен или зачет в тестовой форме, но расчеты и проведенный эксперимент показывают, что шансы ничтожно малы и с увеличением числа вопросов они уменьшаются ещё сильнее.

2.1.2 Экзаменационные билеты

В колледже предусмотрена и классическая схема сдачи экзаменов – по экзаменационным билетам. Мы рассмотрели ряд задач с применением теории вероятностей, в которых попытаемся найти ответы на интересующие нас вопросы.

Задача 1.

При подготовке к экзамену студент из 32 билетов 7 выучил полностью, в 10 билетах он не знает по одному из трех вопросов; 15 билетов он не знает вообще. Считается, что студент сдал экзамен, когда ответит на два из трех вопросов в билете. Какова вероятность того, что студент получит удовлетворительную оценку?

Событие А – студент вытягивает билет, который знает; Р(А)=7/32.

                В – вытягивает билет, который он знает частично; Р(В)=10/32.

                А + В – вытягивает билет, который он знает частично или который он знает полностью.

А и В – несовместные события, так как студент не может одновременно вытянуть билет, который знает и который знает частично, следовательно,

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 7/32+10/32=53%.

Задача 2.

В группе ВТ - 13 32 студента. Группа сдает экзамен, на котором каждому студенту предлагается наугад выбрать один из 32 билетов. Студент Степанюга А. знает 25 билетов, причем 25 меньше 32, и считает, что если он пойдет сдавать экзамен первым, то шансов вытянуть счастливый билет у него несомненно больше, чем если он пойдет отвечать последним (его доводы в пользу этого: все счастливые билеты будут разобраны). Прав ли он?

Если Степанюга А. пойдёт отвечать первым, то вероятность выбора счастливого билета равна 25/32. Если же Степанюга А. идет отвечать последним, то мы можем при расчете вероятности воспользоваться гипергеометрическим распределением P(X=25-1|32,25,32-1) – предшествующие Степанюге А. 32-1 студентов (объём выборки n= 32-1) должны выбрать ровно m= 25-1 счастливых билетов, и тогда Степанюге А., который сдает последним, достанется счастливый билет. Имеем

P (X=25-1|32, 25, 32-1)=,

P (X=25-1|32, 25, 32-1)=

Так что шансы выбрать счастливый билет одинаковы. Нетрудно, производя аналогичные выкладки, убедиться, что шансы выбрать счастливый билет вообще не зависят от того, каким по счету придет Степанюга А. на экзамен, - они всегда одни и те же 25/32.

Задача 3.

Из 32 экзаменационных билетов студент подготовил только 25. Если он отказывается отвечать по первому взятому билету (который он не знает), то ему разрешается взять второй. Определить вероятность того, что второй билет окажется «счастливым».

Пусть событие    заключается в том, что первый вытащенный билет оказался для студента «невыученный», а   - «счастливый». Поскольку после наступления события    один из «невыученных» уже извлечён, то остаётся всего 31 билет, из которых 25 студент знает. Отсюда искомая вероятность, предполагая, что появление любого билета равно возможно и они обратно не возвращаются, равна

P (A|B) =.

Но это конечно мы, студенты, мечтаем так, что если первый вытянутый билет мы не знаем, то нам разрешат тянуть второй, на самом деле всё обстоит по-другому.

Задача 4.

По условиям предыдущей задачи найти вероятность успешной сдачи экзамена, если для этого студент должен ответить на первый билет, или, не ответив на первый, обязательно ответить на второй.

Пусть события    и   заключаются в том, что соответственно первый и второй билеты «счастливые». Тогда - появление «невыученного» билета в первый раз. Экзамен будет сдан, если произойдёт событие  , или одновременно    и   . То есть искомое событие   - успешная сдача экзамена выражается следующим образом : . Отсюда

Здесь мы воспользовались несовместностью  и , а, следовательно, несовместностью   и , формулами вероятностей суммы, произведения и классическим определением вероятности.

Эту задачу можно решить и проще, если воспользоваться вероятностью противоположного события: 

С каждой задачей мы убеждаемся, что в зависимости от того, какими условиями наделять то или иное событие, меняется и вероятность его свершения.

Вывод: последовательность задач мы распределили таким образом, чтобы продемонстрировать подтверждение математическими расчётами одной простой истины – чем большее количество билетов к экзамену подготовил, тем выше вероятность сдачи экзамена.

2.2  Магия чисел

Давайте поговорим о счастливых и несчастливых билетах с иной позиции. Студенты – это такая нация, которая ещё верит и в магию чисел 7 и 13. В теории вероятностей есть специальный раздел, изучающий числа и их закономерности – Математическая статистика. Попробуем отследить каким образом числа влияют на студентов колледжа.

Число 7, «духовная и мудрая» семерка

Семерка - одна из самых распространенных мистических цифр, с детства знакомая нам по сказкам, пословицам и поговоркам: «Волк и семеро козлят», «Сказка о мертвой царевне и семи богатырях», «Семь раз отмерь, один раз отрежь», «Семеро одного не ждут» - перечислять можно долго.

В радуге 7 цветов, в неделе - 7 дней, в музыке - 7 основных нот, в истории - 7 чудес света.

Особое значение семерка имеет в христианстве: 7 дней Творения, 7 смертных грехов и 7 добродетелей, 7 таинств, совершаемых церковью, 7 архангелов. Семь - число духовного совершенства, происходящее от еврейского слова «савах» (быть наполненным, иметь достаток). Именно это число, если верить исследователям, тысячи раз встречается в Библии, и именно оно указывает на то, что хорошо, полезно и благородно.

Семерка считается цифрой, приносящей удачу, если встречается в последовательности из нескольких цифр - в номере телефона или паспорта.

Согласно философскому учению фэн-шуй, семерка означает духовность, мудрость и приносит удачу в сочетании с цифрой восемь. Так что, если вы живете в квартире 87 или 78, вам должно везти во всех делах и начинаниях. Кстати, чтобы не останавливаться на пути к совершенству и чувствовать себя уверенно - и дома, и на работе, психологи рекомендуют раз в семь лет устраивать кардинальные перемены в жизни - менять сферу деятельности, место жительства (или хотя бы делать ремонт с перестановкой), заводить новое хобби.

Число 13

В темных культах число 13 играет важную роль, так как с его помощью вызывают духов. И именно в пятницу 13-го происходит всякого рода «чертовщина».

Мы иногда считаем что-то не десятками, а дюжинами (по 12 штук). А 13 штук - это уже так называемая «чертова дюжина».

Из-за распространенного страха перед этим числом во многих странах нет самолетов с бортовым номером 13, нет такого номера (а бывает — и всего этажа!) в гостинице.

Даже календарь Майя заканчивается 2012-м годом, что вызывает слухи о скором конце света. Но, может быть, это всего лишь своеобразный «пропуск» несчастливого 13-го года?

Каким образом мы исследовали эти числа и почему они нашли отражение в нашей работе?

1.         Исследовали результаты успеваемости среди студентов 1-го и 2-го курсов, родившихся 7 и 13 числа.

Год поступления	Родились 7 числа		Родились 13 числа
	человек	Из них успевают на 4 и 5	человек	Из них успевают на 4 и 5
2013	4	1	9	1
2014	6	2	3	1
Итого:	10	3, что составляет 30%	12	2, что составляет 17%

Неужели всё-таки число рождения изначально наделяет человека дополнительными качествами?

2.         Группа, в которой занимаюсь я – ВТ 13, само название напрашивается на то, чтобы её исследовали. Мы рассмотрели текущие оценки по дисциплинам, которые в 2014-2015 учебном году пришлись на даты 7 и 13 октября, 7 и 13 ноября, 13 февраля и 13 марта. Результаты следующие.

Оценки в учебном журнале	В целом по датам 7 октября и ноября	В целом по датам за 13 октября, ноября, февраля, марта
«5»	13	32
«4»	44	31
«3»	25	25
«2»	14	19

По данным таблицы можно сказать следующее:

В целом, число положительных оценок больше на 13 число: 63 против 57

Большее число неудовлетворительных оценок приходится на 13 число: 19 против 14

Но разница между этими значениями минимальная, к тому же следует учитывать количество дат и характер предметов по расписанию в эти дни.

3.                По экзаменационным билетам наша группа сдавала экзамены по трем дисциплинам. Отследим оценки, полученные при ответе на билет №13 и №7.

Наименование дисциплины	Билет №7	Билет №13
История Казахстана	4	3
Физика	4	3
Комплекс технических средств	5	5

Так может действительно, билет №13 - это несчастливый билет? Мы провели опрос преподавателей, попросив их сравнить уровень сложности вопросов в разработанных ими билетах №13 и №7. Оказалось, что по сложности билеты равнозначны. Опросили студентов, как влияет на ответ на экзамене нумерация билета? Ответ порадовал, нумерация билетов не влияет на ответ студента, а влияет степень подготовки к экзамену.

4.                Приведём ещё одни пример исследования. В целом за 2014-2015 учебный год по расписанию экзаменационных сессий на 13 число пришлось 2 экзамена, а на 7 число 6. Рассмотрим их результаты.

Наименование дисциплины, экзаменатор	Результаты экзаменов – средний балл
	7 числа	13 числа
Физическая культура Губер М.В.	4,7

Продолжение таблицы

Наименование дисциплины, экзаменатор	Результаты экзаменов – средний балл
	7 числа	13 числа
Налоги и налогообложение Федосеева А.В.	4,3
Организация производства на предприятиях питания Баранова Н.П.	3,2
Менеджмент ресторанного бизнеса Ким М.К.	4,1
Оборудование общественного питания Елюбаева А.А.	3,8
Физическая культура Макаров Д.М.	4,7
Основы бухгалтерского учета Легостаева А.А.		3,6
Организация обслуживания на предприятиях питания Климова А.С.		3,8
Средний результат	4,1 без физической культуры 3,9	3,7

И опять, мы видим, что разница в среднем балле незначительна, а если исключить из списка дисциплин Физическую культуру, то получим практически равные показатели.

Итак, мы провели 4 исследования, пытаясь определить: существует или нет магия чисел? Анализируя результаты каждого этапа, приходили к выводу, что разница в показателях минимальная, а если объединим их?

Предмет исследования	Число 7	Число 13
Число хорошистов и отличников среди студентов 1-го и 2-го курсов, родившихся 7 и 13 числа (в % от общего числа)	30%	17%
Текущие оценки студентов гр. ВТ 13 в учебном журнале	3,6	3,7
Результаты экзаменов по билетам №7 и №13	4,3	3,7
Результаты экзаменов в колледже в целом	4,1	3,7

В результате мы видим, что, если свести вместе результаты нескольких исследований, видна определенная положительная энергия числа 7.

Заключение

Мы часто употребляем в своей речи такие слова: «это невероятно», «это маловероятно», «можно утверждать со 100% вероятностью», и пытаемся тем самым спрогнозировать наступление того или иного события. При этом мы обычно опираемся на интуицию, жизненный опыт, здравый смысл и т. п. Но очень часто такие приблизительные оценки оказываются недостаточными: бывает важно знать, на сколько или во сколько раз совершение одного случайного события вероятнее другого.

Гипотеза исследования: с помощью теории вероятностей можно с большой степенью уверенности предсказать события, происходящие в нашей жизни.

Работая над доказательством гипотезы исследования были изучены основы теории вероятностей: её основные положения, теоремы вероятностей, рассмотрены классическая формула, формула Бернулли, гипергеометрическое распределение, элементы комбинаторики и математической статистики, получены навыки уметь численно характеризовать возможность наступления того или иного события. Мы пришли к выводу, что владея такими знаниями человек более уверенно идет по жизни, так как многие события, которые его окружают, становятся прогнозируемыми.

Цель нашего исследования: выявить вероятность успешной сдачи экзаменов студентами путем угадывания правильного ответа или заучивания нескольких билетов, применяя теорию вероятностей.

Многие законы генетики, социологии, военного дела, техники обосновываются с помощью теории вероятностей, однако, даже в настоящее время есть случаи, когда математикам приходится защищать теорию вероятностей от обвинений в ненаучности некоторых её приложений. По этому поводу российский ученый А. Я. Хинчин высказался так: «Наука – враг случайностей, но врага надо изучать, а это делает теория вероятностей». Решая различные задачи, выполняя эксперимент, мы словно общались с учеными прошлого, которые также были увлечены этими вопросами. Было интересно убедиться в истинности выводов, сделанных ими, а также сделать собственные по этой проблеме: вероятность успешной сдачи экзаменов напрямую зависит от степени подготовки к ним, не пытайтесь использовать магию чисел – её эффект кратковременен и минимален, шанс сдать экзамены в тестовой форме, не готовясь к ним, исчисляется в десятитысячных долях процентов, а вероятность сдачи экзаменов по билетам может увеличиться, только если будет расти М – число выученных билетов!

Список использованной литературы

1.         АлимовШ.А. Алгебра и начала математического анализа.10-11 классы:учеб.для общеобразовательных учреждений: базовый уровень. М.:Просвещение,2010.

2.         Бродский Я.С. «Статистика. Вероятность. Комбинаторика» -М.: Оникс; Мир и Образование, 2008 г.

3.         Бунимович Е.А., Суворова С.Б. Методические указания к теме «Статистические исследования» //Математика в школе.-2003.-№3.

4.         Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей.-М.:Просвещение 1990.

5.         Ожегов С.И. Словарь русского языка: М.:Русс.яз.,1989.

6.         Семеновых А. Комбинаторика//Математика (приложение к газете «Первое сентября»),2004,№16,17.

Ресурсы:

1.         http://ru.wikipedia.org/wiki