Научно-исследовательская работа "Квадрат Пирсона"

Секция: Прикладная и фундаментальная математика

Тема работы: Квадрат Пирсона

Выполнил: Шицко Яна Витальевна

Мурзаева Е. И., учитель математики и физики

Оглавление

Введение 3

Глава I. Теоретические основы решения задач на процентное содержание веществ 5

§1. Массовая доля вещества 5

§2. Как мы решаем задачи на сплавы и смеси на уроках химии 5

Глава II. Квадрат Пирсона 7

§1. Карл Пирсон 7

§2. Схема «Квадрат Пирсона» 7

Глава III. Решение задач из открытого банка ЕГЭ 9

§1. Решение прототипов задач 9

§2. Сравнение способов решения с помощью таблицы критериев 12

§3. «Квадрат Пирсона» на подготовке к ЕГЭ. Опрос старшеклассников 12

Заключение 15

Литература 16

Введение

Увидев тренировочный вариант экзамена по математике (профильный уровень) я обратила внимание на задание №11, где была задача на процентное содержание вещества похожая на одну из тех, что мы решаем на уроках химии. Я задумалась о том, что делает задача из курса химии на экзамене по математике. С этим вопросом я обратилась к учителю и узнала, что эта задача на составление математической модели текстовой задачи и умение решать уравнения.

Актуальность данной темы заключается в том, что на экзаменах с такими задачами справляются около 40 % учеников. На протяжении ряда лет доля участников ЕГЭ, верно решающих такие задачи, практически неизменна и чуть выше доли тех, кто решает эти задачи в 8 или 9 классе. [1]

Мне стало интересно, и я посмотрела в интернете, как решаются эти задачи и обнаружила что способов решения около десяти. И тут передо мной встал вопрос, каким же способом воспользоваться на экзамене, ведь на экзамене не будет времени на раздумья? Из этого можно выделить проблему: достаточно ли тех способов решения задач на сплавы и смеси, которые нам предлагает школьная программа, что бы выбрать рациональный способ решения на экзамене.

Рассмотрев все способы, которые я нашла в интернете, самым интересным и понятным мне стал способ решения с помощью «квадрата Пирсона», остальные, по сравнению с ним, показались мне сложнее, на основании полученных данных я выдвинула гипотезу: не все задачи на смеси и сплавы решаются с помощью «квадрата Пирсона».

 Нельзя забывать и о традиционном способе, который мы рассматриваем на уроках химии. И вот я решила сравнить эти два способа.

Цель исследования: выявление простого и быстрого способа решения задач на смеси и сплавы.

Задачи:

1.      Решить прототипы задач на смеси и сплавы из открытого банка ЕГЭ с помощью «квадрата Пирсона»;

2.      Выделить особенности способа решения с использованием «квадрата Пирсона» и традиционного способа, используемого на уроках химии, сравнить их;

3.       Внедрить полученный опыт при подготовке к экзамену по математике в старших классах, сравнить результаты «до и после».

Объект исследования: задачи на смеси и сплавы.

Предмет исследования: решение задач на смеси и сплавы с помощью «квадрата Пирсона».

Методы исследования:

•      Работа с учебной и научно-популярной литературой;

•      решение примеров;

•      опрос старшеклассников;

•      наблюдение, сравнение, анализ.

Глава I. Теоретические основы решения задач на процентное содержание веществ

§1. Массовая доля вещества

Отношение массы растворённого вещества к общей массе раствора называют массовой долей растворённого вещества. [2]

Обозначают массовую долю вещества греческой буквой ω («омега»), выражается в долях или в процентах.

Итак, нам нужно приготовить раствор определенной концентрации, в распоряжении у нас имеются два раствора с  высокой и менее высокой концентрацией, чем нам нужно. Обозначим массу первого раствора - m₁, а второго - m₂, при смешивании масса получившейся смеси будет равна сумме этих масс. Массовую долю вещества в первом растворе обозначим ω₁, во втором растворе – ω₂, а в смеси – ω.

Сумма произведений масс на массовые доли растворов вещества равна произведению суммы масс растворов веществ на массовую долю смеси:

.                        (1)

Это уравнение лежит в основе традиционного способа решения задач на сплавы и смеси.

§2. Как мы решаем задачи на сплавы и смеси на уроках химии

            Рассмотрим одну из задач, которую мы решали на уроках химии.

Задача: Смешали 4 литра 9% раствора уксуса и 2,1 литра 70% раствора уксуса. Сколько процентов уксуса содержит получившийся раствор?

Решение:

 

 

 литров

 литров

Подставим в уравнение (1), получим:

4·0,09+2,1·0,7=ω(40+2,1)

ω =30%

Ответ: 30%-ый раствор.

            Для того что бы составить математическую модель при решении таких задач необходимы элементарные знания по химии, а так же умения преобразовывать выражения. Я думаю это, и является препятствием при решении задач на сплавы и смеси выпускниками на ЕГЭ.

Глава II. Квадрат Пирсона

§1. Карл Пирсон

Способ решения задач на сплавы и смеси рассматриваемый в моей работе сформулировал английский математик Чарльз Пирсон (рис 1). Данный способ был назван в его честь.

    Рис1

Дата рождения: 27 марта 1857

Место рождения: Англия, Лондон

Дата смерти: 27 апреля 1936 (79 лет)

Научная сфера: германистика, математика, статика

Место работы: Университетский колледж Лондона, Грешем – колледж, Кингс – колледж

Известен как: Критерий согласия, Распределение Пирсона

Награды и премии: Медаль Дарвина (1898). [3] 

§2. Схема «Квадрат Пирсона»

            Из уравнения (1), получим:

m₁ (ω₁ – ω) = m₂ (ω – ω₂),          (2)

теперь запишем в виде пропорции:

 = .                         (3)

            На получившемся уравнении (3) и основан способ, который называется «квадрат Пирсона». По сути, он представляет собой схему (рис 2), в основе которой находится квадрат: в верхнем левом углу квадрата располагается массовая доля первого раствора , в нижнем левом -  массовая доля второго раствора , на пересечении диагоналей квадрата -  массовая доля получившегося раствора ω, находим разность по первой диагонали и записываем её в правом верхнем углу  , затем находим разность по второй диагонали и записываем её в нижнем правом – .

                                                                                                         Рис 2

            Для удобства восприятия, я дополнила схему вертикальной чертой, за которой расположились массы растворов, так со схемы сразу видно все исходные данные и удобно сразу составлять математическую модель задачи.

            Этот способ основан на специфическом виде количества получаемой смеси, оно равно разности показателей исходных веществ. [4]

            Рассмотрим этот способ на решении конкретной задачи.

            Задача: В сосуд, где было 4 л молока 3% жирности,  долили 6 л молока 6% жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в сосуде?

            Решение: Составим схему (рис 3).

                            Рис 3

Выпишем уравнение:

 

 

 (%).

Ответ: 4,8 %.

            Для решения этих задач способом с помощью «квадрата Пирсона», понимание взаимосвязей между массовой долей вещества и массой вещества не нужно, не нужно и знание химической формулы. Необходимо только составить простую схему и выписать получившееся уравнение.

Глава III. Решение задач из открытого банка ЕГЭ

§1. Решение прототипов задач

В открытом банке заданий я нашла 7 прототипов:

1.      В сосуд, со­дер­жа­щий 5 лит­ров 12–про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства, до­ба­ви­ли 7 лит­ров воды. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

2.      Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 15–про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 19–про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

3.      Сме­ша­ли 4 литра 15–про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с 6 лит­ра­ми 25–про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра этого же ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

4.      Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый со­дер­жит 10% ни­ке­ля, вто­рой — 30% ни­ке­ля. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав мас­сой 200 кг, со­дер­жа­щий 25% ни­ке­ля. На сколь­ко ки­ло­грам­мов масса пер­во­го спла­ва была мень­ше массы вто­ро­го?

5.      Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый сплав со­дер­жит 10% меди, вто­рой — 40% меди. Масса вто­ро­го спла­ва боль­ше массы пер­во­го на 3 кг. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав, со­дер­жа­щий 30% меди. Най­ди­те массу тре­тье­го спла­ва. Ответ дайте в ки­ло­грам­мах.

6.      Сме­шав 30-про­цент­ный и 60-про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вив 10 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 36-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Если бы вме­сто 10 кг воды до­ба­ви­ли 10 кг 50-про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 41-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 30-про­цент­но­го рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

7.      Име­ют­ся два со­су­да. Пер­вый со­дер­жит 30 кг, а вто­рой – 20 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если эти рас­тво­ры сме­шать, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 68% кис­ло­ты. Если же сме­шать рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 70% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся в пер­вом со­су­де?[5]

Для каждой из них я решила составить математическую модель двумя способами: традиционным и с помощью «квадрата Пирсона».

Задача 1.

Традиционный способ	«Квадрат Пирсона»
Вспомним формулу (1), и подставим данные задачи:  ; Преобразуем:  ;  %.	;  %.

Задача 2.

Традиционный способ	«Квадрат Пирсона»
Вспомним формулу (1), и подставим данные задачи:  ; Преобразуем:  ;  %.	;  %.

Задача 3.

Традиционный способ	«Квадрат Пирсона»
Вспомним формулу (1), и подставим данные задачи:  ; Преобразуем:  ;  %.	;  %.

Задача 4.

Традиционный способ	«Квадрат Пирсона»
Вспомним формулу (1), и подставим данные задачи: Преобразуем:   150-50=100	150-50=100

Задача 5.

Традиционный способ	«Квадрат Пирсона»
Вспомним формулу (1), и подставим данные задачи:  ; Преобразуем:  ;  ;  ; 3+6=9 кг.	;  ;  ; 3+6=9 кг.

Задача 6.

Традиционный способ	«Квадрат Пирсона»
Вспомним формулу (1), и подставим данные задачи:	Не решается с помощью «квадрата Пирсона»

Задача 7.

Традиционный способ	«Квадрат Пирсона»
Вспомним формулу (1), и подставим данные задачи:	Не решается с помощью «квадрата Пирсона»

§2. Сравнение способов решения с помощью таблицы критериев

            После того как с прототипами было «покончено» пришло время для сравнения этих двух способов. Для этого я решила составить таблицу критериев (таблица – 1). Критерии я выбрала следующие – время, затрачиваемое на решение задачи; необходимость в дополнительных знаниях из курса химии; применимость способа для любого типа задач.

Таблица – 1

Способ	Время	Необходимость в доп. знаниях	Применимость для всех задач	Результат
Традиционный	-	-	+	1
«Квадрат Пирсона»	+	+	-	2

            Конечно, то что «квадрат Пирсона» подходит для решения не всех задач это очень большой минус, но в большинстве случаев он является более рациональным, чем традиционный, потому что схема решения очень простая и времени на решение задачи уходит меньше.

§3. «Квадрат Пирсона» на подготовке к ЕГЭ. Опрос старшеклассников.

            Узнав об этом простом способе, я решила поделиться своими знаниями со старшеклассниками в своей школе, а заодно и узнать умеют ли ребята решать задачи на смеси. Для этого на сайте «Решу ЕГЭ» я нашла задачи на смеси и сплавы:

1. В сосуд, со­дер­жа­щий 8 лит­ров 24-про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства, до­ба­ви­ли 4 литра воды. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

2. Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 15-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 17-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

3. Сме­ша­ли 3 литра 35-про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с 12 лит­ра­ми 15-про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра этого же ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

4.  Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый со­дер­жит 10% ни­ке­ля, вто­рой  — 35% ни­ке­ля. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав мас­сой 250 кг, со­дер­жа­щий 25% ни­ке­ля. На сколь­ко ки­ло­грам­мов масса пер­во­го спла­ва была мень­ше массы вто­ро­го?

5.  Име­ет­ся два спла­ва. Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый сплав со­дер­жит 5% меди, вто­рой — 14% меди. Масса вто­ро­го спла­ва боль­ше массы пер­во­го на 10 кг. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав, со­дер­жа­щий 12% меди. Най­ди­те массу тре­тье­го спла­ва. Ответ дайте в ки­ло­грам­мах. [6]

            Перед тем как рассказать ребятам о «квадрате Пирсона» я задала им вопрос: Хотите ли вы, что бы вам на экзамене по математике попалась задача на смеси и сплавы?  Результат оказался неожиданным, всего лишь 2 человека ответили положительно, остальные же предпочитают не сталкиваться с этой задачей на экзамене.

            В нашей школе 2 старших класса 10 и 11, и все они интенсивно подготавливаются к экзамену по математике.

            В 10 классе я предварительно не рассказывала о «квадрате Пирсона», сначала я предложила решить им заранее подготовленные задачи, большинство ребят не справились с задачами, решали в основном традиционным способом. Результаты я оформила в виде таблицы (таблица – 2) и диаграммы (рис 4).        

                                        Таблица – 2                                                                                           Рис 4

Результат	Кол-во	%
Справились	2	19
Не справились	9	81

В 11 классе я сначала поделилась опытом решения задач с помощью «квадрата Пирсона» и мы разобрали прототипы, представленные на экзамене, а после этого я предложила решить им выбранные мною задачи. Почти все ребята справились, и результат получился координально противоположным по сравнению с 10 классом. Результаты так же оформила в виде таблицы (таблица – 3) и диаграммы (рис 5).

                    Таблица – 3                                                                                                       Рис 5

Результат	Кол-во	%
Справились	7	88
Не справились	1	12

         После того как мы с ребятами закончили разбирать «квадрат Пирсона», я задала им тот же вопрос, что и в самом начале: Хотите ли вы, что бы вам на экзамене по математике попалась задача на смеси и сплавы? На этот раз ребята оказались более благосклоннее к задачам на сплавы и смеси, только четверо из них не изменили своего мнения (таблица – 4).

Таблица – 4

Результат	Количество	%
Да	15	22
Нет	4	78

            С помощью «квадрата Пирсона» не решаются задачи в которых ничего не известно про массы или массовые доли веществ, в таких задачах схема не работает, прототипов таких задач на экзамене представлено всего 2. Остальные же задачи решаются очень легко и быстро. Ребята из моей школы высоко оценили данный способ и обязательно им воспользуются, если представится такой случай на экзамене.

Заключение

            В моей работе было рассмотрено 2 способа решения задач на смеси и сплавы и проведён эксперимент по решению прототипов заданий из открытого банка ЕГЭ этими двумя способами. Гипотеза, выдвинутая вначале исследования -  подтвердилась, действительно не все задачи можно решить, используя «квадрат Пирсона».

В результате работы над темой «квадрат Пирсона» можно сделать следующие выводы:

1.      «Квадрат Пирсона» - простой и рациональный способ решения задач на концентрацию веществ;

2.      с помощью этого способа не решаются задачи в которых ничего не известно про массу растворов (сплавов) или их процентное содержание, в остальных случаях используя «квадрат Пирсона» можно легко и просто составить математическую модель задачи;

3.      каждый способ имеет свои особенности, которые нужно учитывать при решении задач;

4.      ребята из моей школы будут использовать «квадрат Пирсона» при подготовке к ЕГЭ, а так же на экзамене, если представится такой случай.

Так же в результате этой работы мне удалось поменять отношение ребят к этим

задачам, они оказались не такими уж «страшными», когда тебе известен такой замечательный способ.

            Считаю данную тему перспективной для развития дальше, ведь в моей работе я рассмотрела только два способа, а их на самом деле известно около 10.

Литература

1.      И.В.Ященко, А.В.Семенов, И.Р.Высоцкий.  Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2016 года.

2.      Габриелян О.С. Химия. 8 класс: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений – М.: Дрофа, 2012.

3.       https://ru.wikipedia.org/wiki/Пирсон,_Карл

4.       http://kvant.mccme.ru/1973/03/kvadrat_pirsona.htm - Журнал «Квант» 1973 год, №3

5.      http://85.142.162.119/os11/xmodules/qprint/index.php?proj=AC437B34557F88EA4115D2F374B0A07B – Открытый банк заданий ЕГЭ по математике.

6.      https://ege.sdamgia.ru/ - Образовательный портал Дмитрия Гущина.