Научно-исследовательская работа " Метод перебора"

Предпросмотр материала:

Выберите файл для просмотра:

Всего файлов: 2

Всероссийский фестиваль исследовательских и

творческих работ учащихся «Портфолио».

Математика. В помощь учителю.

Автор ─ составитель: Маркевич Евгений,

11 «В» класс МОУ СОШ № 2 г. Нарткала.

Руководитель: Грудачёва А. Н.,

учитель математики.

2013 г.

Метод перебора. Математика. В помощь учителю. Автор─составитель: Маркевич Евгений, 11 класс.

Руководитель: Грудачёва А. Н., учитель математики. ─ г.Нарткала, МОУ СОШ № 2, 2013г.

В работе рассматривается один из древнейших методов решения математических задач, возникающих на практике ─ это метод перебора. Задачи, решаемые методом перебора, приводят зачастую к красивым, неожиданным результатам, которые полезно рассмотреть на кружке или факультативе.

Перебор ─ один из древнейших методов решения математических задач, возникающих на практике. Трудно назвать ещё какой-либо метод, который мы использовали бы так же часто в своей повседневной жизни, как этот. Метод перебора, является наряду с анализом, синтезом и другими методами, важным инструментом интеллектуальной деятельности учащихся. Он наиболее легко алгоритмизируется и поэтому может быть положен в основу составления компьютерных программ для решения задач.

Перебор применяется лишь в тех случаях, когда речь идет о конечном числе значений переменных. Этот метод, хотя и не требует больших знаний в области математики, имеет значительную дидактическую ценность. Она состоит в том, что при переборе мы фактически экспериментируем, наблюдаем, на основе частных выводов делаем общие заключения. В процессе этих наблюдений обогащается учебный и практический опыт. Задачи, решаемые методом перебора, приводят зачастую к красивым, неожиданным результатам, которые полезно рассмотреть на кружке или факультативе.

Перебор должен носить системный характер, только тогда он обеспечивает рассмотрение всех возможных случаев и позволяет не только найти решение, но и показать, что других решений нет. Если число случаев невелико, то применяется простой (полный) перебор. Но если число случаев очень велико, то простой перебор становится трудоемким, и здесь уже применяется метод оптимального перебора, который фактически является простейшим вариантом методов линейного программирования.

При оптимальном переборе между значениями функции устанавливается закономерность, которая позволяет рассмотреть не все значения функции, а лишь некоторые из них. Оптимальный перебор, предпочтительнее даже в небольшом количестве значений аргумента, хотя появление компьютеров делает возможным и весьма быстрым перебор большого числа значений переменных. Рассмотрим задачи.

Задача №1.

Решите в натуральных числах уравнение:

Решение: число 96 делится нацело на (), если выражение () принимает значения из множества {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 12; 16; 24; 32; 48; 96}.

В таком случае значения также принадлежат этому множеству. Легко видеть, что принимают натуральные значения только в том случае, если . Первая система дает две пары значений (x; y):

(2; 4) и (4; 2). Вторая ─ одну (1; 95).

Задача №2.

Решите в целых числах систему уравнений:

Решение: из второго уравнения вычитаем первое, получим Число 6 можно разложить на целые множители четырьмя способами: Отсюда и из последнего уравнения получаем восемь систем:

Эти системы дают следующие тройки значений (х;y;z):

(5;2;7), (5;7;2), (7;4;3), (7;3;4), (19;0;-5), (19;-5;0), (17;-2;-1), (17;-1;-2),

которые являются решениями данной системы.

Задача №3.

Существует ли такое натуральное число n, не равное 1, при котором число делится на 100?

Решение: число делится на 100, если две последние его цифры ─ нули. Таким образом, нет никакой необходимости возводить число 7 в n-ю степень, достаточно следить за двумя последними цифрами степеней, что облегчает процесс перебора. Простыми прикидками получим, что .

В последнем случае имеем: , т.е. число делится на 100.

Задача №4.

Завод должен переслать заказчику 1100 деталей. Детали упаковываются в ящики трех видов: по 70, 40 или 25 деталей в каждом. Стоимость пересылки одного ящика соответственно 20, 10 или 7 рублей. Сколько ящиков, и какого вида должен использовать завод, чтобы стоимость пересылки была наименьшей. Недогрузка ящиков не допускается.

Решение: 1 способ (простой перебор):

стоимость пересылки одной детали в первом ящике составляет 2/7 руб., во втором ─ 1/4руб., в третьем ─ 7/25 руб.

Поскольку то выгоднее всего пересылать детали в ящиках по 40 штук, не менее выгодно ─ по 25штук и еще менее выгодно упаковать детали в ящики по 70 штук. Но в ящики по 40 штук нельзя упаковывать без недогрузки 1100 деталей, поэтому приходится искать наибольшее число деталей, которые можно переслать в ящиках по 40 штук. Это число следует искать среди чисел, близких к 1100 и кратных 40, т.е. среди чисел 1080, 1040, 1000 и т.д. Из последовательности 1080, 1040, 1000,…. Первым числом, которое нам подходит, является число 1000, так как в этом случае остается 100 деталей, которые можно разместить в четырех ящиках по 25 штук. Мы показали, что выгоднее всего взять 25 ящиков по 40 деталей в каждом и

4 ящика по 25 деталей.

2 способ: составим по условию задачи таблицу.

Суммируя стоимости пересылки ящиков всех трёх видов, составим функцию: Найдём минимальное значение функции при условии:

Учитывая стоимость пересылки одной детали , делаем вывод, что наиболее выгодно пересылать детали в ящиках второго вида, т.е. так, чтобы в каждом ящике было по 40 деталей. Тогда должно выполняться условие, при котором уравнение 40 Оно не имеет решений в области натуральных чисел. Это значит, что необходимо использовать ящики и другого вида. Выгоднее всего предпочесть ящики третьего вида, т.е. положить, что Тогда уравнение , будет иметь вид или Решая последнее уравнение в натуральных числах при помощи метода перебора, находим следующие пары значений переменных и х_{3 :}(0; 44), (5; 36), (10; 28),

(15; 20), (20; 12), (25; 4). При функция принимает вид . Легко установить непосредственной подстановкой, что наименьшее значение функция принимает при т.е. при использовании пары (25;4).

Задача № 5.

Найти все двузначные числа, каждое из которых на 13 больше суммы квадратов его цифр.

Решение: пусть х ─ это десятки и у ─ единиц в данных числах, тогда их можно записать в виде 10х + у. По условию, 10х + у = х² + у² + 13, или

х² ─10х + у² ─ у + 13 = 0. Решим это уравнение:

D=4(25─ у² + у – 13) = 4 ·(12 – у² + у)=4·(4 ─ у)(у+3).

Дискриминант больше или равен нулю, если ─3≤ у≤ 4. Так как у выражается целым неотрицательным числом, то у=0, 1, 2, 3, 4.

Рассмотрим все случаи:

Если у=0, у=1, у=2, у=3 , то х ─ не натуральное число, а если у=4 , то х = 5.

Получим число – 54.

В задачах учащиеся сталкиваются с проблемой решения уравнений в целых и натуральных числах, со стандартным приёмом определения делимости чисел данного вида по их последним цифрам. На примере практической задачи мы показали, как может быть использован метод перебора при решении экстремальных задач.

Литература:

Бартнев Ф.А. Нестандартные задачи по алгебре. М., 1976. Возняк Г.М., Малюк Е.П. Прикладная направленность школьного курса математики. Киев, 1984.

Гарднер М. Математические досуги. М., 1972.

Монахов В.М., Малкова Т.В. Математическое моделирование – необходимый компонент современной подготовки школьника.

Математика в школе. 1984. №3.

Ткачук В.В. Математика ─ абитуриенту. М., 1995.

1/9

Научно-исследовательская работа " Метод перебора"

Стоимость пересылки

(в рублях)

деталей в одном ящике

всех деталей

одного ящика

всех ящиков

одной детали

03.04.2018

2650

Файл будет скачан в формате:

Автор материала

Хатунцева Ирина Владимировна

заместитель директора по УВР, учитель математики

На сайте: 11 лет и 1 месяц
Всего просмотров: 99850
Подписчики: 2
Всего материалов: 36

99850
просмотров
36
материалов
2
подписчиков

Настоящий материал опубликован пользователем Хатунцева Ирина Владимировна.
Инфоурок является информационным посредником. Всю ответственность за опубликованные материалы несут пользователи, загрузившие материал на сайт. Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете на материал.