Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Научные работы / Научно-исследовательская работа по математике МАЛОУПОТРЕБИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВЕЛИКОЛЕПНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Научно-исследовательская работа по математике МАЛОУПОТРЕБИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВЕЛИКОЛЕПНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ



Осталось всего 2 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение «Орский индустриальный колледж» г. Орска Оренбургской области








ГУМАНИТАРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ



ИСЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

ТЕМА: МАЛОУПОТРЕБИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВЕЛИКОЛЕПНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.






Выполнил: А.В. Глазков, обучающийся 2 курса,

группы 2ПР ГАПОУ «ОИК»

Научный руководитель: Е.В. Асмолова,

преподаватель математики,

высшей квалификационной категории






2016


СОДЕРЖАНИЕ


ВВЕДЕНИЕ...........................................................................................

1 Из истории квадратных уравнений…………………................................

2 Способы решения квадратных уравнений ………................................

ЗАКЛЮЧЕНИЕ....................................................................................................

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ........................................................

ПРИЛОЖЕНИЕ…………………………………………………………………






















ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы.

Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное сооружение алгебры. Квадратные уравнения обретают обширное применение при решении тригонометрических, логарифмических, иррациональных уравнений, дифференциальных уравнений. Принимаются изучать решение квадратных уравнений в 8 классе и решают их вплоть до завершения университета. По этой причине неловко поступать в среднее учебное заведение учащимся, которые не научились решать квадратные уравнения.

Целью данной работы является изучение различных способов решения квадратных уравнений и их практическое применение.

В связи с актуальностью темы нами сформулирована тема исследования: «Малоупотребительные методы решения великолепных квадратных уравнений».

Проблема исследования:

- Сколько существует методов решения квадратных уравнений?

- Показать рациональные способы решения квадратных уравнений.

- Целесообразно ли применение их при решении уравнений?


Гипотеза: различные методы решения квадратных уравнений дадут возможность решать их наиболее рационально, что поможет сэкономить время при выполнении задач.

Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.

Задачи:

- Провести исследование по теме.

- Проанализировать имеющуюся литературу по теме работы.

- Узнать возникновение и развитие квадратных уравнений.

- Изучить малоупотребительные способы решения квадратных уравнений.


1 Из истории квадратных уравнений


Древний Вавилон

Ещё во втором тысячелетии вплоть до нашей эпохи вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения. Решение их в Античном Вавилоне существовало непосредственно с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади аграрных участков, земельные работы, связанные с боевыми делами; присутствие данных знаний, кроме того, обуславливается формированием алгебры, геометрии и астрономии в целом. Существовали известные способы решения как абсолютных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём образцы квадратных уравнений, решавшихся в Античном Вавилоне, применяя нынешнею алгебраическую запись:

hello_html_69cbd4e0.png

Принципы решения квадратных уравнений в большинстве случаев подобны нынешним, но в вавилонских текстах никак не зафиксированы логические рассуждения, путём которых эти правила были получены.

Индия

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, попадаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанные индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эпохи. Один из первых популярных и известных выведенных формул корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте (около 598 г.). Он изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду: hello_html_m11a65081.png; притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме hello_html_6f4f738d.png могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.


2 Способы решений квадратных уравнений


1) Разложение левой части уравнения на множители.


Решим уравнение х2 + 10х – 24 = 0.


Разложим левую часть уравнения на множители:

х2 + 10х – 24 = х2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12) (х – 2).


Следовательно, уравнение возможно записать таким образом:


(х + 12) (х – 2) = 0.


Произведение равно нулю, когда хотя один из его множителей равен нулю. Поэтому, решая это уравнение, приравниваем обе скобки к нулю, находим корни уравнения: х = 2, х = - 12. Делая вывод, получаем корни квадратного уравнения х2 + 10х – 24 = 0, равные 2 и – 12.


2) Метод выделения полного квадрата

Смысл этого метода заключается в применении формул сокращенного умножения, изучаемых в школьном курсе математики. При решении этим методом необходимо выделить в левой части уравнения полный квадрат. Лишнее число, получившееся при выделении полного квадрата, необходимо учесть при дальнейшем решении, чтобы не изменить квадратное уравнение.

Решим уравнение х2 + 6х – 16 = 0

Выделяя полный квадрат, получим выражение

х2 + 2· х ·3 + 9 = (х + 3)2.

Чтобы сохранить число – 9, необходимо добавить слагаемое - 25.

Итак, получается: х2 + 6х – 9 = х2 + 2· х ·3 + 32 – 18 = (х + 3)2 – 25.

В результате решения уравнение можно переписать так:

(х + 3)2 –25 = 0, т.е. (х + 3)2 = 25.

Итак, х = 2, х = -8.

3) Решение квадратных уравнений по формуле, в которой присутствует понятие дискриминанта.

Вывод формулы осуществляется простым умножением на 4а, где а ≠ 0


Х1,2 =

Выражение, стоящее под знаком радикала, называется дискриминантом. По значению дискриминанта определяют количество и вид корней квадратного уравнения.

D = b2 – 4ас

Если D>0, то уравнение имеет два различных действительных корня;


Х1,2 =

Если D=0, то уравнение имеет два одинаковых действительных корня.

Если D<0, то уравнение имеет два комплексных корня.


4) Графическое решение квадратного уравнения


Преобразуем квадратное уравнение x2 + px + q = 0, перенеся второй и третий члены в правую сторону уравнения, тогда получится две функции, графики которых необходимо построить в одной системе координат:

у = х2 и у = – px – q.

График левой функции является парабола, имеющая вершину в начале координат. Графиком правой функции является прямая, для построения которой необходимо задать две точки.

Существует три случая взаимного расположения параболы и прямой: пересекаются, то есть имеют две общие точки, и, как следствие, два корня квадратного уравнения; имеют одну точку касания, следовательно, уравнение имеет один корень и не иметь общих точек, значит. Квадратное уравнение не имеет корней в действительном множестве.

у

у=х2 у = - px - q


x1 x2 x

Решим графически уравнение:

х2 – 3х – 4 = 0.

Решение. Необходимо записать две функции, построить их графики в одной системе координат и посмотреть на их взаимное расположение. В результате получаем две точки пересечения графиков, абсциссы этих точек являются корнями данного квадратного уравнения

х1 = – 1 и х2 = 4. у

у=х2 у = - 3х + 4








-1 4 х

Ответ: х1 = – 1, х2 = 4.

5) Решение уравнений с использованием теоремы Виета (прямой и обратной)

Очень хорошо развивает логическое мышление и воображение решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета, так как необходимо выполнить подбор корней квадратного уравнения.

а) Упрощенный вид теорема Виета имеет для решения приведенного квадратного уравнения: х2 + px + q = 0, когда а-1

Его корни равны совокупности двух равенств

По сути, можно предсказать корни квадратного уравнения.

а) Если свободный член qприведенного уравнения положителен (q >0), то уравнение имеет два(2) одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p.

Если p>0, то оба корня отрицательные, если p <0, то оба корня положительны.

Например,

х2 – 3х + 2 = 0; х1 = 2 и х2 = 1, так как q = 2> 0 и p = – 3 <0;


х2 +8х + 7 = 0; х1 = – 7 и х2 = – 1, так как q = 7> 0 и p = 8 >0.

б) Если свободный член qприведенного уравнения отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два(2) различных по знаку корня, при этом больший по модулю корень будет положителен, если p<0, или отрицателен, если p>0.

Например,

х2 + 4х – 5 = 0; х1 = – 5 и х2 = 1, так как q = – 5<0 и p = 4> 0;

х2 – 8х – 9 = 0; х1 = 9 и х2 = – 1, так как q = – 9<0 и p = – 8 >0.

б) Теорема Виета для полного квадратного уравнения


ах2 +bх +с = 0

имеет вид

Работает и теорема, обратная теореме Виета:

Если числа х1 и х2 таковы, что х12 = -р, х1х2 = q, то х1 и х2 – корни квадратного уравнения

х2 +рх + q = 0.

Эта теорема помогает в некоторых случаях находить корни квадратного уравнения без использования формулы с применением дискриминанта.

Решить уравнение:

х2 – 9х + 14 =0

Попробуем найти два числа х1 и х2, такие, что

х12 = 9

х1х2 = 14

Получившиеся числа 2 и 7 являются корнями решенного уравнения.


6) Решение уравнений способом "переброски".


Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где, а≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а2х2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0, равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем х1 = у1/а и х1 = у2/а.

При этом способе коэффициент a умножается на свободный член, как бы "перебрасывается" к нему, поэтому его называют способом "переброски". Признаком применения этого метода является то, что можно без особого напряжения определить корни уравнения, используя теорему Виета и, что очень важно, дискриминант должен быть точным квадратом.

Решим уравнение 2х2 - 11х + 15 = 0.

Решение. "Перебросим" коэффициент 2 к свободному члену и после замены получается уравнение с другой переменной  у2 - 11у + 30 = 0.

Применив обратную теорему Виета, получим

у1 = 5, чтобы вернуться к переменной x, разделим 5 на 2, так как перебрасывали коэффициент 2. Итак, корнем уравнения является  x=2,5.

Аналогично, находится второй корень уравнения

у2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.

Ответ: х1=2,5; х2= 3.

7) Свойства коэффициентов квадратного уравнения.


А. Пусть дано квадратное уравнение:


ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.


1.Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то:


х1 = 1, х2 = .


Доказательство вывода этих формул производится делением обеих частей этого уравнения на а ≠ 0, в результате этих преобразований получаем приведенное квадратное уравнение


х2 + х + = 0.

Далее работает теорема Виета для полного квадратного уравнения



По условию, а + b + с = 0, откуда b = – а – с. Значит,

Получаем х1 = 1, х2 = , что, собственно, и требовалось доказать.

2. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1, х2 = – .

Доказательство. По теореме Виета



По условию, а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,


т.е. х1 = – 1 и х2 = , что и требовалось доказать.


1. Решим уравнение 345х2 – 137х – 208 = 0.


Решение. Для того, чтобы применять этот способ решения квадратных уравнений, нужно внимательно изучить числа, стоящие в уравнении. Так как 345 – 137 – 208 = 0, то х1 = 1, х2 = = .

Ответ: 1; – .

  1. Решим уравнение 132х2 + 247х + 115 = 0


Решение. Так как а-b+с = 0 (132 – 247 +115=0), то


х1= - 1, х2= -

Ответ: - 1; –



Б. Если коэффициент b = 2n – четное число, то формулу корней


х1,2 =


можно записать в виде


х1,2 =


Решим уравнение 3х2 – 14х + 16 = 0.


Решение.

При решении обращаем внимание на коэффициент b. Так как он является четным, то можно применять формулу вычисления корней квадратного уравнения при четном b = – 14, c = 16, k = – 7;


D = k2 – ac = (– 7)2 – 3 · 16 = 49 – 48 = 1, D>0, два различных корня;


Х2 =


Ответ: 2; .


В. Приведенное уравнение


x2 + px + q = 0


совпадает с уравнением общего вида, в котором, а = 1, p и c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней


х1,2 =


принимает вид:


х1,2 = или х1,2 = -

Формулу особенно удобно использовать, когда p – четное число.


1. Решим уравнение х2 – 14х – 15 = 0.

Решение очень простое: х1,2 = 7±= 7±= 7±8.


Ответ: х1 = 15, х2 = – 1.


8) Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.


Графический способ решения квадратных уравнений с помощью построения графиков и нахождения их взаимного расположения не всегда удобен и вызывает у обучающихся массу вопросов по построению параболы и прямой, поэтому существует еще один способ решения квадратных уравнений

ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки.

Предположим, что нужная нам окружность пересекает ось абсцисс в

точках B (х1 ;0) и D (х2 ;0), где х1 и х2 – корни уравнения

ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки А (0;1) и С (0;) на

оси Оy. Применяя теорему о секущих прямых, имеем ОВ∙ОD = ОА ∙ ОС, откуда ОС = .

у




С(0; )

S ()

А(0; 1)

К

В(х1, 0) D2, 0) х




Центр окружности находиться в точке пересечения перпендикуляров

SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому


SK = ,

SF = .

Построим точки S(; ) (центр окружности) и А (0;1);

проведем окружность с радиусом SA;

абсциссы точек пересечения этой окружности с осью ох являются корнями квадратного уравнения.

При решении таким способом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS>SK, или R>), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис.а) B (х1 ; 0) и D (х2 ;0), где

х1 и х2 – корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SВ, или R = ), окружность касается оси Ох (рис.б) в точке B (х1 ; 0 ), где

х1 – корень квадратного уравнения.

3)Радиус окружности меньше ординаты центра (AS < SВ, или R < ), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. в), в этом случае уравнение не имеет решения.

У у у






S

S S

А

1. А 1. х. А 1 х

В

х1 В х2 х1 В

а) б) в)

а) AS > SВ, или R > . б) AS = SВ, или R = .

Два решения х1 и х2. Одно решение х1.


в) AS < SВ, или R < . Не имеет решения.


Решим графически уравнение

х2 – 2х – 3 = 0.

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

х = –

у = =

Проведем окружность радиуса S A, где А (0;1).

у

1 А

- 1 3 х


S (1; - 1)


Ответ: х1 = – 1, х2 = 3.



Решим уравнение

х2 +4х + 4 = 0.

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

х = –

у = =

Проведем окружность радиуса A, где А (0;1).

у





S (- 2; 2,5)


А


- 2 х

Ответ: х = – 2.




9) Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.


Это давний и незаслуженно заброшенный способ решения квадратных уравнений, помещенный в книге Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы.

Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам:

ОВ = , АВ =


Полагая ОС = р, ЕD = q, ОЕ = а (все в см), из подобия треугольников САН и СDF получим пропорцию

,


откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z2 + pz + q = 0,

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

p q




О В Е



F D


H A

C


hello_html_m1a570ebf.png

Для уравнения

z2 – 9z + 8 = 0.

Номограмма дает корни

z1 = 8, 0 и z2 = 1, 0 (рис. 1).

Решим с помощью номограммы

номограммы уравнение

2z2 – 9 z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого

уравнения на 2, получим уравнение рисунок 1hello_html_597a03db.png

z2 – 4, 5z+ 1 = 0.

Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.


Для уравнения


z2 + 5 z – 6 = 0


номограмма дает положительный

корень z1 = 1,0, а отрицательный рис. 2hello_html_78237417.png

корень находим, вычитая

положительный корень

из – р, т.е. z2 = – р – 1 =

= – 5 – 1 = – 6,0 (рис.2.)

Для уравнения


z2 – z – 8 = 0


номограмма дает положительный

корень z1 = 4,0, отрицательный

равен z2 = – р – z1 =

= 2 – 4 = – 2,0.

Для уравнения z2 + 4 z + 3 = 0, оба корня которого отрицательные числа, берем

z1 = – t и находим по номограмме два положительных корня t1 и t2

уравнения t2 – 4 t + 3 = 0, это t1 = 1 и t2 = 3, а затем z1 = – t1 = – 1

и z2 = – t2 = – 3. если коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, то

выполняют подстановку z = kt и решают с помощью номограммы

уравнение


t2 +

где k берут с таким расчетом, чтобы имели место неравенства


12,6≤.

Для уравнения

z2 – 25z + 66 = 0

коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку

z = 5t, получим уравнение

t2 – 5t + 2,64 = 0,

которое решаем посредством номограммы и получим

t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откуда z1 = 5 t1 = 5 • 0,6 = 3,0

и z2 = 5 t2 = 5 • 4,4 = 22,0.


10) Геометрический способ решения квадратных уравнений.


В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал-Хорезми.


Решим уравнение х2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,

следовательно, площадь каждого равна 2 . Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD, достраивая в углах четыре


равных квадрата, сторона каждого из них 2, а площадь 6

D x C

x2

2

6

2

6

A х B


Площадь S квадрата ABCD можно представить, как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников

(4 ∙ 2 = 10х ) и четырех пристроенных квадратов(6), т.е.

S = х2 + 10х = 25. Заменяя х2 + 10х числом 39, получим что S = 39+ 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

х = 8 – 2 – 2 = 3

2. А вот, например, как древние греки решали уравнение


у2 + 6у – 16 = 0.

Решение представлено на рис., где

у2 + 6у = 16, или у2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у2 + 6у – 16 +9 – 9 = 0 – одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = – 8.



у у 3

у2



9

3

3. Решить геометрически уравнения у2 – 6у – 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

у2 – 6у = 16.


На рис. находим «изображения» выражения у2 – 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3.

Значит, если к выражению у2 – 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у – 3. Заменяя выражение у2 – 6у равным ему числом, получаем: (у – 3)2 = 16 +9, т.е. у – 3 = ± или у – 3 = ± 5, где у1 = 8 и у2 = – 2.


у у 3

у – 3

у – 3



3

3

9


Квадратные уравнения играют большую роль в нашей жизни. С помощью таких уравнений определяют траекторию движения небесных тел, вычисляют все движения, происходящие по параболе: прыжок в воду, расчет траектории движения воды в фонтане, полет пули, метание молота, падение тел и т. д.

Заключение

Общество миновало продолжительный курс от незнания к познанию, постоянно сменяя на этом пути неполное и несовершенное знание все более полным и идеальным.

В процессе выполнения данной исследовательской работы полагаем, что с установленной целью и задачами мы справились, нам получилось подвести итог и систематизировать освоенный материал согласно выше указанной теме.

Располагая материал согласно уровню его трудности, начиная решать квадратные уравнения часто встречающимися способами перешли на малоприменяемые, в результате получилось собрание способов решения квадратных уравнений, которые можно представить в виде брошюри, в которую войдут все известные на сегодняшний день способы решения квадратных уравнений.

Способов решения квадратных уравнений весьма большое количество. Мы нашли 10 способов решения квадратных уравнений. Необходимо выделить, то, что никак не все они комфортны с целью решения, однако любой из них уникален. Определённые способы решения могут помочь сберечь время, а это то, что важно при решении заданий из ОГЭ. С целью овладения всеми методами решения уравнений, необходимо порешать ряд уравнений исследуемым способом.

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения представляют большую значимость не только в геометрии, алгебре, астрономии, но и в прикладных науках. Данные познания имеют все шансы понадобиться нам в течение всего существования, а так как эти методы решения квадратных уравнений легки в использовании, то они, бесспорно, обязаны привлечь внимание азартных подростков.





Библиографический список

1. Алгебра 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Издательство «Просвещение», Москва 2009 г. 
2. Алгебра 9 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Издательство «Просвещение», Москва 2009 г.
 
3. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы: для сред.шк.-57-е изд. – М.: Просвещение, 1990.
 
4.
 https://ru.wikipedia.org/wiki/Квадратное_уравнение





















ПРИЛОЖЕНИЕ

Вопросы к социологическому опросу.

  1. Знаете ли вы, какие уравнения называются квадратными? Ответили: «Да» (86%), «Нет» (14%).

  2. Умеете ли вы решать квадратные уравнения? «Да» (72%), «Нет» (28%).

  3. Сколько способов решения вы знаете? «1 способ» (72%), «2 способа» (26%), «более 2» (2%).

  4. Интересно ли вам узнать новые способы решения квадратных уравнений? «Да» (74%), «Нет» (26%).

  5. Нравится ли вам решать квадратные уравнения? «Да» (54%), «Нет» (46%).

Опрошено 126 человек.


22



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 05.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров22
Номер материала ДБ-239110
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх