Научно-исследовательская работа по математике на тему "Алгебра гармонии" (3 курс)

ВСЕРОССИЙСКИЙ КОНКУРС НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ ПРОЕКТНЫХ И ТВОРЧЕСКИХ РАБОТ  ОБУЧАЮЩИХСЯ

«ОБРЕТЁННОЕ ПОКОЛЕНИЕ –

НАУКА, ТВОРЧЕСТВО, ДУХОВНОСТЬ»

Направление: Математика

Название работы:

«Алгебра гармонии»

Автор: Панфилова Ольга Викторовна

Место выполнения работы:

ГБПОУ КК

«КРАСНОДАРСКИЙ КОЛЛЕДЖ ЭЛЕКТРОННОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ»

3 курс, Краснодар

Научный руководитель:

Иншакова Евгения Анатольевна,

преподаватель математики.

2016 г.

Оглавление

Аннотация…………………………………………..… ………..……..….….3

Введение…………………………………………..… ………..……………...4

Основная часть………………………………….……….….………...…..…6

  Практическая часть…………………………...……….….…………...….9

     Задача 1……………….………….… ……………….…….……….……9

     Задача 2………………………  ….…….……..…….…………….……12

Заключение……………………………………….…………………..….…..15

Литература и источники……………………………...…………....………17

Цитаты и ссылки……………………………...………………….…......…..18

Приложения…..……………………………………………………...………19

     Приложение 1……... ……..……………………………………………19

     Приложение 2..…………. ……………………………………..………20

     Приложение 3..…………. ……………………………………..………21

     Приложение 4..…………. ……………………………………..………22

Аннотация

В научной работе ставится цель - нахождение оптимального расстояния для наилучшего обзора предметов, находящихся выше уровня глаз наблюдателя. Сначала производим опрос для выдвижения гипотезы. В дальнейшем, подтверждаем ее математическими расчетами, на основании которых выводим формулу и находим оптимальный угол зрения для благоприятного обзора. Сравнивая вычисленные углы с физиологическими особенностями информационной зоны визуального поля человека, приходим к выводу, что математика, по сути, и есть сама гармония.

Полученные результаты дают нам возможность найти наиболее благоприятное место таким образом, чтобы видимость объекта была наилучшей для изучения трехмерных объектов, памятников, статуй на постаментах, стендов с информацией или рекламой, картин в музее, висящих в несколько рядов.

Введение

Понятие «производная» возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики.

Великий французский математик Пьер Ферма в 1629 г. научился находить касательные к алгебраическим прямым.

В 1638г Ферма поделился этим открытием со своим земляком Рене Декартом, который тоже занимался этой проблемой и нашел свой метод построения касательных к алгебраическим кривым. Ферма далеко продвинулся в применении дифференциальных методов. Он использовал их не только для проведения касательных, но, к примеру, для нахождения максимумов, вычисления площадей.  Однако ни Ферма, ни Декарт не сумели свести полученные научные выводы и результаты в единую систему. Тем не менее, выдвинутые идеи не пропали впустую. Многие из них легли в основу нового метода математического анализа – дифференциального исчисления.

Основоположниками этого метода считаются Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) и Исаак Ньютон (1642 – 1727).  Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. И. Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, а Г. Лейбниц использовал понятие бесконечно малой.

 С помощью дифференциального исчисления  был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVII века.

Многие великие ученые внесли свой вклад в зарождение и развитие дифференциального исчисления. Среди них – Джеймс Грегори, Якоб Бернулли, Гийом Франсуа Лопиталь, Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Жозеф Луи Лагранж, который в 1797 г. Ввел термин «производная» и современные обозначения y´ , f ´.

Как сказал в 1905 г. Эмиль Пикар, «если бы Ньютон и Лейбниц знали, что непрерывные функции необязательно должны иметь производные, то дифференциальное исчисление никогда не было бы создано»¹.

 «С чувством непреодолимого отвращения я отшатываюсь от достойного всякого сожаления зла – непрерывных функций, не имеющих производных»².  

Производной функции  y = f(x)  в точке  x₀ называется предел отношения приращения функции в точке  x₀  к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Производная нашла широкое применение:             

•                     а)  в алгебре и началах анализа при исследовании функции и построении графиков функций;

•                     б)  в физике при решении задач на нахождение скорости неравномерного движения, плотности неоднородного тела и др.;

•                     в)  в тригонометрии при вычислении тангенса угла наклона касательной к кривой;

•                     а также в геометрии, астрономии, аэродинамике, химии и экономике, биологии и медицине, логистике и коммерческой деятельности.

Умение применять производную к исследованию функции – важный элемент математической культуры. Сейчас, в связи с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становится все более актуальным в решении как простых, так и сложных задач.

А нужно ли будет знание производной в моей будущей профессии?

С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей:

•                     Инженеры технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции;

•                     Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей;

•                     Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными.

Задачи подобного рода носят общее название – задачи на оптимизацию, состоящие из трех этапов математического моделирования: составление математической модели; работа с моделью; ответ на вопрос задачи.

Н.И. Лобачевский говорил, что «…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира».

В геометрии существует множество задач, в которых требуется найти наибольшее или наименьшее значение функции. В качестве функции могут рассматриваться периметр или площадь фигуры или, например, объем тела, а аргументом функции служит какой-либо параметр фигуры или тела − длина стороны, угол между сторонами и т.п. После того, как функция составлена, ее необходимо исследовать с помощью производной на экстремальное значение. При этом следует учитывать, что обычно в таких примерах функция существует на конечном промежутке, который определяется геометрией системы и условием задачи. 

Основная часть

«Безнадежная попытка судить о художественном творчестве, основываясь только на рациональном начале, исключая чувства, бессознательное и т. д.»³

Математика, по сути, и есть сама гармония.

Цель работы - нахождение оптимального расстояния для наилучшего обзора предметов, находящихся выше уровня глаз наблюдателя.

Иоганн Кеплер утверждал, что «главной целью всех исследований внешнего мира должно быть открытие рационального порядка и гармонии, которые бог ниспослал миру и открыл нам на языке математики»⁴.

Задачи научно – исследовательской работы:

•              познакомиться с проблемой нахождения оптимального расстояния обзора объекта;

•              проанализировать ситуацию с целью создания ее математической модели;

•              провести опрос среди  учащихся с целью выдвижения гипотезы;

•              обработать результаты опроса;

•              проверить выдвинутую гипотезу с помощью математического анализа;

•              осмыслить полученный результат в рамках решения поставленной проблемы.

Когда я была в Санкт-Петербурге, мы посетили Эрмитаж. Во время экскурсии мое внимание привлекло, что картины разных размеров удобнее рассматривать на разном расстоянии, поэтому необходимо стать определенным образом. И задалась вопросом: как найти оптимальное расстояние от картины для наиболее благоприятного осмотра, т.е. чтобы угол зрения по вертикали был наибольшим.

Остановив свой взгляд на картине Белли «Портрет Петра I» (см. приложение 1), решила ответить себе на поставленный вопрос. Экскурсовод сообщил размеры полотна. Нижний край портрета Петра I висит выше моих глаз на 50 см.

 Сначала был произведен опрос: «На каком расстоянии необходимо стать, чтобы положение наблюдателя было наиболее благоприятно для осмотра картины», на него ответили 40 человек. Предложены варианты ответов: до метра, от 1 до 3 метров, от 3 до 5 метров, затрудняюсь ответить. Результаты представлены на диаграмме.

Таким образом, по результатам опроса выдвигается гипотеза: необходимо стать на расстоянии 1-3 метров.

«Конечно, не каждая красиво выглядящая гипотеза оправдывается. Но искать подлинное решение проблемы часто бывает разумным среди предположений, выделяющихся своей красотой», - считал А. Н. Колмогоров⁵.

Можно ли тоже проделать с памятником Петру I «Медный всадник» (см. приложение 2), состоящим из статуи и постамента?

Аналогично был произведен опрос: «На каком расстоянии необходимо стать, чтобы положение наблюдателя было наиболее благоприятно для осмотра памятника», на него ответили 40 человек. Предложены варианты ответов: до 5 метров, от 5 до 10 метров, от 10 до 15 метров, затрудняюсь ответить. Результаты представлены на диаграмме.

Таким образом, по результатам опроса выдвигается гипотеза: необходимо стать на расстоянии 5-10 метров.

«Нежелательно верить в гипотезу, когда нет решительно никаких оснований считать ее верной»,- думал  Бертран Рассел⁶.

Чтобы проверить гипотезу, необходимо сконструировать функцию и исследовать ее на наибольшее значение с помощью аппарата производной.

Практическая часть

«Не поверяют алгебру гармонией?

А если чуть подумать, господа?

Со свойственной тебе самоиронией,

ты спросишь: "Так ли?" -

 "Так! Да не всегда!"

Гармонию проверить можно Алгеброй

И Алгебру Гармонией – всегда».⁷

Задача 1.

 Картина высотой 239,3 см повешена на стену так, что ее нижний край на 50 см выше глаз наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен встать наблюдатель, чтобы его положение было более благоприятно для осмотра картины (т.е. чтобы угол зрения по вертикали был наибольшим)?

Решение:

В данной задаче необходимо найти оптимальное расстояние от картины для наиболее благоприятного осмотра. Обозначим его за x, a – высота картины, h – расстояние от глаз наблюдателя до нижнего края картины.

Выведем соотношение для угла обзора α=∠BAC – наибольший угол, γ – угол от нижнего края картины до глаз наблюдателя, β – угол от верхнего края картины до глаз наблюдателя.

Из рисунка следует, что .

Воспользуемся формулой тангенса разности углов, приняв его за функцию, зависящую от искомого расстояния f(x)=tgα:

Отсюда находим выражение для функции α(x):

Находим производную этой функции и приравниваем ее к нулю:

Производная равна нулю при условии

 →    →  →  →  причем в этой точке функция α(x) имеет максимум, так как знак производной изменяется с плюса на минус при переходе через данное значение. 

Таким образом, оптимальное расстояние от стены для наилучшего обзора картины определяется формулой

Подставим значения a и h, по условию a=239,3 см и h=50 см, то оптимальное расстояние составляет

Ответ: 120,27 см.

Вывод: необходимо стать на расстояние 120,27 сантиметров от стены, чтобы видеть картины под наибольшим вертикальным углом.

Гипотеза подтвердилась.

Подставим найденное значение и найдем угол зрения.

Воспользуемся свойством обратных тригонометрических функций

α=67°25´

или с помощью таблицы М.В.Брадиса, определим, что угол равен 67°25´.

Задача 2.

К памятнику Петру I подошел человек. Верхняя точка памятника находится выше уровня глаз человека на 8,75 м, а верхняя точка постамента на 3,4 м. На каком расстоянии от памятника необходимо стать, чтобы видеть статую под наибольшим углом?

Решение:

В данной задаче необходимо найти оптимальное расстояние от памятника для наиболее благоприятного осмотра. Обозначим его за x.

Выведем соотношение для угла обзора α=∠BAC – наибольший угол, γ – угол от верхней точки постамента до глаз наблюдателя, β – угол от верхнего края памятника до глаз наблюдателя. Из рисунка следует, что 

Воспользуемся формулой тангенса разности углов, приняв его за функцию, зависящую от искомого расстояния α (x)=tgα:

Отсюда находим выражение для функции α= α(x):

            

Находим производную функции и приравниваем производную к 0:

   → 

Находим критические точки, выясняем, являются ли они экстремумами. Получаем 2 критические точки, одна из которых не входит в область определения функции, а вторая является точкой максимума, так как знак производной изменяется с плюса на минус при переходе через данное значение.

  

   в этой точке угол будет наибольшим, т.к. исследуемая функция tg является возрастающей, и при наибольшем угле tg будет принимать наибольшее значение. Расстояние, при котором функция tg будет иметь максимум, и будет являться оптимальным расстоянием.

x ≈ 5,45 м.

Ответ: 5,45 м.

Вывод: необходимо стать на расстояние 5,45 метров от памятника, чтобы видеть статую под наибольшим углом.

Гипотеза подтвердилась.

Подставим найденное значение и найдем угол зрения.

Воспользуемся свойством обратных тригонометрических функций

=58°5´

или с помощью таблицы М.В.Брадиса, определим, что угол равен 58°5´.

Проверим выведенную формулу. Подставим данные из задачи.

Полученные результаты совпадают.

Для упрощения расчетов и нахождения величин, на языке C++ написала программу (см. приложение 3), помогающую вычислить оптимальное расстояние до предмета и угол зрения по вертикали. Код включает приглашение пользователю. Необходимо только ввести высоту предмета и расстояние от глаз наблюдателя до нижнего края картины. Программа проверит введенные значения с клавиатуры, если данные верны, то выдаст искомые данные; при вводе отрицательных чисел или символов, выдаст сообщение об ошибке.

Результат работы программы:

Задача 1.

Задача  2.

Данную программу собираются внедрить в виртуальные экскурсии по Краснодарскому краевому художественному музею имени Ф.А.Коваленко.

Заключение

«Основы функций постигая,

Вступая с косинусом в бой,

По синусоиде шагая,

Мир открываем мы с тобой.

И пусть он полон колебаний,

Несущих жизни суету,

Мы открываем с миром знаний

Гармонию и красоту».⁸

Дифференциальное исчисление - это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки, техники и жизни; изучение основ дифференциального исчисления, которое способствует осознанному качественному усвоению  материала, развитию правильного представления об изучаемом понятии, его огромной значимости в различных областях.

В данной научно-исследовательской работе выполнила все поставленные задачи:

·                    познакомилась с проблемой нахождения оптимального расстояния до объектов;

·                    проанализировала ситуацию с целью создания ее математической модели;

·                    провела опрос среди  учащихся с целью выдвижения гипотезы;

·                    обработала результаты опроса;

·                    проверила выдвинутую гипотезу с помощью математического анализа;

·                    осмыслила полученный результат в рамках решения поставленной проблемы;

·                    написала программу, помогающую вычислить оптимальное расстояние до предмета и угол зрения по вертикали.

Средствами математического анализа, приняв за аргумент расстояние от стены до наблюдателя, а функцию как тангенс разности углов от глаз наблюдателя до верхнего и нижнего края картины и, учитывая размеры картины, ее расположение относительно наблюдателя, вывела формулу оптимального расстояния от стены для наилучшего обзора картины:  , где: а – высота картины, h – расстояние от глаз наблюдателя до нижнего края картины. Эта формула верна не только для картин, но и для трехмерных объектов.

Исходя из результатов задачи 1 и задачи 2, угол обзора равен 67°25´ и 58°5´; зависит от размера изображения и фокусного расстояния глаза, с одной стороны. С другой стороны, угол обзора зависит от поля зрения человека (т.е. угловое пространство, видимое глазом при фиксированном взгляде и неподвижной голове). Каждый глаз по отдельности имеет угол обзора порядка 120-200°, в зависимости от того, насколько строго объекты определены как "наблюдаемые". Человеческий глаз способен распознавать объекты в диапазоне 180°, но воспринимать их трехмерными лишь в диапазоне 110°.

В вертикальной плоскости оптимальный угол обзора составляет 70° - удобен для просмотра предметов, расположенных на уровне глаз (см. приложение 4). Нормальная линия обзора соответствует наиболее удобному положению глаз и головы при рассматривании объектов и располагается под углом 15° вниз от горизонтальной линии.

Максимальный угол обзора в вертикальной плоскости при повороте только глаз составляет 135°; при одновременном движении глаз и головы предельный угол видимости составляет 195°, что позволяет рассматривать предметы, расположенные выше глаз наблюдателя. В представленных задачах, вычисленные углы обзора 67°25´ и 58°5´ попадают в диапазон оптимального угла обзора.

Человеческий глаз отчетливо видит лишь в небольшом угле обзора. Вся остальная картинка выглядит расплывчато, однако, зритель не замечает этого, потому что для анализа полученной информации глаза совершают непрерывные скачки и в случае заинтересованности взор будет устремлен в нужном направлении. Зрительные рецепторы - это нервы, а они регистрируют не потенциал, а изменение потенциалов - нет изменений - нет и сигналов.

Литература и источники

1. Алимов, Ш. А. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11 кл. сред. шк./ Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - М.: Просвещение, 1993.

2. Башмаков, М. И. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. –

 М.: Просвещение, 1992.

3. Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. Уч. пособие. - СПб.: Изд-во «Профессия», 2001.

4. Задачи как средство обучения алгебре и началам анализа в X классе.  Уч. пособие// Сост. Е. С. Канин. – Киров, 1985.

5. Колмогоров, А. Н. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др. - М.: Просвещение, 1998.

6. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10-11 классы, часть 1// «Мнемозина», 2009.

7. В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик, Математика: Учеб.пособие. М.: ABF, 1995.

8. В.А. Подольский, А.М. Суходский, Е.С. Мироненко, Сборник задач по математике: Учеб.пособие// Издательство «Высшая школа», 1999.

9. http://math4school.ru/citation.html

10. http://festival.1september.ru

11. portfolio.1september.ru

12. http://bibliotekar.ru/encSlov/15/89.htm

Цитаты и ссылки

¹ Морис Клайн, Математика. Утрата определенности. – М.: Мир, 1984, с.91.

² Шарль Эрмит, 20 мая 1893 г. Письмо Томасу Стилтьесу.

³ В.А. Серов, Энциклопедический словарь крылатых слов и выражений, «Локид-Пресс», 2003.

⁴ Валерия Дубковская, Владимир Дубковский, Нектар для души. Книга о судьбе, счастье и смысле жизни,3-е издание, 2015.

⁵ В.Г. Штейнгауз, Математический калейдоскоп,1981, с.4.

⁶ О. Еремишин, Афоризмы. Золотой фонд мудрости — М.: Просвещение, 2006.

⁷ Ю.П. Лысенко-Раин, 2010. https://www.proza.ru/2010/07/02/325

⁸ Ирина Бойцева, 2010. https://www.proza.ru/2010/07/02/325

Приложения

Приложение 1

Портрет Петра I. 1697 г. Работа Белли М. находится в Эрмитаже.

Приложение 2

Медный всадник. Памятник Петру I на Сенатской площади в Санкт-Петербурге. Открытие памятника состоялось 7 августа 1782 год. Автор: Этьен Морис Фальконе.

Приложение 3

#include <iostream>

#include <math.h>

using namespace std;

main()

{

float a, b=0, h, grad=0, x=0, PI = 3.14159265;

setlocale(LC_ALL, "Russian");

cout << " Введите высоту предмета:" << endl;

cin >> a;

cout << " Введите расстояние от глаз наблюдателя до нижнего края картины:" << endl;

cin >> h;

   if (a>0 && h>0)

   {

    x=round((sqrt(h*(a+h)))*100)/100;

  cout << " Необходимо стать на расстоянии "<< x << " см от предмета"<< endl;

    b=atan((a+h)/x);

    grad=b*180/PI;

  cout << " Угол зрения "<<grad<< " градусов"<< endl;

   }

cout<< "Введены неверные данные!"<< endl;

}

Программа написана на языке С++ в среде разработки Code::Blocks. Содержит понятное приглашение пользователю к вводу данных для расчета искомых величин с проверкой условия на корректность введенных значений.

Приложение 4

Информационные зоны визуального поля человека.

В вертикальной плоскости оптимальный угол обзора составляет 70°.

Максимальный угол обзора в вертикальной плоскости при повороте только глаз составляет 135°.

При одновременном движении глаз и головы предельный угол видимости составляет 195°.