Научно-исследовательская работа по математике на тему "Применение производной"

• 1 слайд

  Применение производной к решению прикладных задач.
  Исследовательская работа
  Выполнила
  Ученица 10 Б класса
  Гусамова Асель.
  Научный руководитель
  Калиева У.А.
  

• 2 слайд

  Производная
  «…нет ни одной области в математике, которая когда-
  либо не окажется применимой
  к явлениям действительного мира…»
  Н.И. Лобачевский
  

• 3 слайд

  Чаще всего производная находит
  применение в геометрии и механике.
  IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
  Геометрический смысл производной состоит в том, что касательная к графику дифференцируемой в точке 𝑥 0 функции 𝑓 - это прямая проходя- щая через точку
  ( 𝑥 0 ;𝑓 𝑥 0 ) и имеющая угловой коэффициент 𝑓 ′ 𝑥 0 .
  

• 4 слайд

  «Если продолжить одно из маленьких звеньев ломаной, составляющей кривую линию, то эта продолженная таким образом сторона будет называться касательной к кривой»
  Готфрид Вильгельм Лейбниц
  

• 5 слайд

  Механический смысл производной:
  

• 6 слайд

  Но производная применяется
  
  намного более широко, чем мы
  
  (десятиклассники )
  
  привыкли думать.
  

• 7 слайд

  11
  Применение производной в
  Химии:
  Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью:
  р(t) = t2/2 + 3t –3 (моль)
  Найти скорость химической реакции через 3 секунды.
  Пример задачи:
  

• 8 слайд

  Решение:
  

• 9 слайд

  По такому же алгоритму можно решать
  задачи по
  Биологии
  По известной зависимости численности популяции x (t) определить относительный прирост P в момент времени t.
  Например:
  Р = х‘ (t)
  Конечная формула:
  

• 10 слайд

  Или по
  Географии
  ЭТО Я
  ЭТО Я
  ЭТО Я
  ЭТО Я
  Вывести формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t.
  ЭТО Я
  

• 11 слайд

  
  у=у(t)- численность населения. t=t-t0 ; y=k y t, где к=кр – кс –коэффициент прироста (кр – коэффициент рождаемости, кс – коэффициент смертности) y/ t=k y При t0 получим у’=к у
  Решение:
  

• 12 слайд

  Намного более трудные задачи можно встретить
  в задачниках по математике для 10-11 классов.
  Давайте рассмотрим более-менее решаемые из них.
  К сожалению…
  

• 13 слайд

  . Какая наибольшая площадь может быть у прямоугольника, координаты вершин которого удовлетворяют уравнению
  |у| = (х + 2)(4-х), -2<х<4,
  а стороны параллельны координатным осям?
  

• 14 слайд

  .
  
  
  S’(x) = 4(3 𝑥 2 - 6x - 6) = 12 ( 𝑥 2 - 2x - 2)
  S'(x) = 0 при x = 1 ± 3 ;
  
  
  
  х 𝑚𝑎𝑥 = 1 - 3 .
  
  S(x) = 2(6-2(x+ 2))(x+ 2)(4-x) =
  4(1-x)(8 + 2x- 𝑥 2 ) =
  4(8 + 2x- 𝑥 2 -8x-2 𝑥 2 + 𝑥 3 )=
  4( 𝑥 3 -3 𝑥 2 -6x+8).
   
  
  
  𝑆 𝑚𝑎𝑥 = S(1 - 3 ) = 4(1 -1 + 3 )(3- 3 )(3+ 3 )=24 3 .
  
  Ответ:24 3 ед 2 .
  -2
  4
  a
  b
  1- 3
  1+ 3
  х
  +
  +
  -
  Идея!!!
  

• 15 слайд

  Допустим, что мы решили построить во дворе школы теплицу, так сказать, для озеленения участка.
  Итак, рабочие руки у школы имеются, значит нам нужно построить саму теплицу, провести воду и свет.
  Однако куда более сложные задачи задаёт порой нам жизнь.
  

• 16 слайд

  Задача первая.
  На школьном дворе строится теплица в форме параллелепипеда, одна стена должна быть сделана из стекла , а остальные -из обычного материала. Высота теплицы должна равняться 4м, а площадь 80 м 2 .
  Известно, что 1 м 2 стеклянной стены стоит 750 р., а из обычного материала 50 р. Установить размеры теплицы, чтобы общая стоимость постройки была наименьшей.
  

• 17 слайд

  𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 =ab=80( 𝑚 2 )
  𝑆 𝐴𝐴1𝐵𝐵1 =ah=4a( 𝑚 2 )
  𝑃 𝐴𝐴1𝐵𝐵1 =750*4a=3000a
  𝑆 𝐴𝐴1𝐷𝐷1 =bh=4b ( 𝑚 2 )
  𝑆 𝐵𝐵1𝐶1𝐶 =bh=4b ( 𝑚 2 )
  𝑃 𝐴𝐴1𝐷𝐷1 =2∗4𝑏∗500=4000𝑏
  𝑃 𝐵𝐵1𝐶1𝐶 =500*4a=2000a
  P=3000a+4000b+2000a=5000a+4000b
  b= 80 𝑎
  P=5000a+ 320000 𝑎 ; a>0;
  P’(a)=5000- 320000 𝑎 2
  P’(a)=0;
  5000- 320000 𝑎 2 =0; 𝑎 1 =8; 𝑎 2 =-8.
  a=8; b=10.
  
  
  Значит дешевле всего будет построить теплицу шириной в 8 метров и длинной в 10 метров.
  

• 18 слайд

  
  Задача вторая.
  Оросительный канал имеет форму равнобокой трапеции, боковые стороны которой равны меньшему основанию. При каком угле наклона боковых сторон сечение оросительного канала будет иметь максимальную площадь?
  
  
  AM=h=a sin 𝜑, BM=CK=a cos 𝜑 .
  BC=a+2a cos 𝜑 .
  𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐷+𝐵𝐶 2 *AM= =𝑎 2 sin 𝜑 (1 +cos 𝜑 )
  F(𝜑)= 𝑎 2 sin 𝜑 (1+ cos 𝜑 );
  F’ (𝜑)= 𝑎 2 (2 cos 2 𝜑 + cos 𝜑 -1);
  F’ (𝜑)=0⟹ 𝑎 2 (2 cos 2 𝜑 + cos 𝜑 -1)=0
  cos 𝜑 = 1 2 ; 𝜑= 60 °
  
  
  Итак, наибольшее количество воды будет проходить через оросительный канал при том условии, что его стенки будут наклонены на 60 °
  

• 19 слайд

  Если батарея с электродвижущей силой Е и внутренним сопротивлением r
  замкнута с сопротивлением R, то мощность выражается как W= 𝐸 2 𝑅 (𝑅 + 𝑟) 2 .При каком значении сопротивления R мощность наибольшая?
  𝑊 (𝑅) = 𝐸 2 𝑅 (𝑅 + 𝑟) 2 ;
  ОДЗ:R≥0
  r>0.
  𝑊′ (𝑅) = 𝐸 2 (𝑟−𝑅) (𝑅 + 𝑟) 3 .
  𝑅∈(0;W).
  𝑊′ (𝑅) =0 ⟹ 𝐸 2 (𝑟−𝑅) (𝑅 + 𝑟) 3 =0;
  R=r
  𝑅 𝑚𝑎𝑥 =r.
  Задача третья.
  Да будет свет!!!
  

• 20 слайд

  без производной
  
  
  
  Как и без труда
  Ни теплицы не построишь,
  ни рыбку из пруда не выловишь!
  Вывод: