Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Научно-исследовательская работа по теме : "золотое сечение"

Научно-исследовательская работа по теме : "золотое сечение"

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Название документа zolotoe_sechenie.pptx

Золотое сечение Презентацию разработала Родионова Надежда Владимировна Учител...
Золотое сечение Сегодня мы познакомимся с необычной пропорцией, называемой зо...
Золотое сечение в живописи, фотографии, дизайне. Основы композиции В живописи...
Золотое сечение. История вопроса. Под золотым сечением понимается такое пропо...
Золотая спираль Вопрос: Что общего в расположении полипептидных цепей нуклеин...
Золотая спираль Рога животных растут по спирали Спиралевидную форму имеют бол...
Золотая спираль Явление филлотаксиса Филлотаксисом называется своеобразное ре...
Золотое сечение в искусстве Архитектура Золотое сечение пронизывает всю истор...
Пропорции тела человека и золотое сечение 	Идеальным, совершенным считается т...
Пропорции золотого сечения в природе Форма птичьих яиц описывается золотым се...
Практические задания 1. Разделите отрезок длиной 16 см в отношении “золотого...
1 из 11

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Золотое сечение Презентацию разработала Родионова Надежда Владимировна Учител
Описание слайда:

Золотое сечение Презентацию разработала Родионова Надежда Владимировна Учитель математики, ГОУ Гимназия № 157, г. Санкт-Петербург

№ слайда 2 Золотое сечение Сегодня мы познакомимся с необычной пропорцией, называемой зо
Описание слайда:

Золотое сечение Сегодня мы познакомимся с необычной пропорцией, называемой золотым сечением и даже “божественной пропорцией”. Вы узнаете какую роль играет эта пропорция в окружающем мире, как она связана с понятием гармонии и как и почему она используется в искусстве (живописи, архитектуре, фотографии…), дизайне…

№ слайда 3 Золотое сечение в живописи, фотографии, дизайне. Основы композиции В живописи
Описание слайда:

Золотое сечение в живописи, фотографии, дизайне. Основы композиции В живописи, фотографии, дизайне золотое сечение очень часто используется в виде классических приемов композиции, о чем вы можете прочитать, заглянув на любой сайт, посвященный этим видам искусства.] Основная рекомендация заключается в следующем. Объект, являющийся центральной фигурой в композиции, далеко не всегда должен располагаться в центре. Определенные точки в композиции автоматически привлекают внимание. Таких точек 4, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от краев картины. Нарисовав сетку, получим эти точки в местах пересечения линий (см. фотографию).

№ слайда 4 Золотое сечение. История вопроса. Под золотым сечением понимается такое пропо
Описание слайда:

Золотое сечение. История вопроса. Под золотым сечением понимается такое пропорциональное деление отрезка на неравные части. При котором длина всего отрезка так относится к его большей части, как длина большей части относится к длине меньшей. Это отношение равно иррациональному числу Ф=1.618033989.. Впервые золотое сечение встречается в «Началах» Евклида (300 лет до н.э.). Лука Пачоли, современник Леонарда да Винчи, назвал его «божественной пропорцией». Золотое сечение обозначают символами PHI или Ф (в честь древнегреческого скульптора Фидия, всегда использовавшего в своих работах золотое сечение). Математик Фибоначчи впервые получил последовательность чисел, названной в его честь числами Фибоначчи 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 … Особенностью этого числового ряда является то, что каждый его член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих : 1+1=2; 1+2=3; 2+3=5; 3+5=8 …При этом отношение двух соседних членов равно золотому сечению, т.е. числу Ф. Рассматривая закономерности, связанные с проявлением золотого сечения, обычно используют обратную величину числа Ф : 1/1,618 = 0,618 a+b a b b : a = (a+b) : b

№ слайда 5 Золотая спираль Вопрос: Что общего в расположении полипептидных цепей нуклеин
Описание слайда:

Золотая спираль Вопрос: Что общего в расположении полипептидных цепей нуклеиновых кислот, лепестков розы, раковин моллюсков, рогов млекопитающих, подсолнуха, далеких космических галактик? Ответ: в основе их структуры лежит золотая (логарифмическая) спираль. Эта спираль вписывается в золотой прямоугольник (отношение длины и ширины которого равно числу Ф). Последовательно отрезая от него квадраты и вписывая в каждый из них по четверти окружности, мы и получим золотую спираль (см. фото) Роль спирали в строении животных и растительных объектов открыл Т.Кук, доказав, что феномен роста связан с золотой спиралью. Носитель генетического кода - молекула ДНК - состоит из двух переплетенных между собой спиралей. Не так давно спиральные структуры обнаружены и в неживой природе

№ слайда 6 Золотая спираль Рога животных растут по спирали Спиралевидную форму имеют бол
Описание слайда:

Золотая спираль Рога животных растут по спирали Спиралевидную форму имеют большинство раковин

№ слайда 7 Золотая спираль Явление филлотаксиса Филлотаксисом называется своеобразное ре
Описание слайда:

Золотая спираль Явление филлотаксиса Филлотаксисом называется своеобразное решетчатое расположение листьев, семян, чешуек многих видов растений. Ряды ближайших соседей в таких решетках разворачиваются по спиралям или закручиваются винтовыми линиями вокруг цилиндра. Семечки в подсолнухе расположены по логарифмическим спиралям. При этом отношение числа левых и правых спиралей равно отношению соседних чисел Фибоначчи . Можно встретить подсолнухи с отношением количества спиралей 34 /55 и 55/89.

№ слайда 8 Золотое сечение в искусстве Архитектура Золотое сечение пронизывает всю истор
Описание слайда:

Золотое сечение в искусстве Архитектура Золотое сечение пронизывает всю историю искусства: пирамиды Хеопса, знаменитый греческий храм Парфенон, большинство греческих скульптур памятников, непревзойденная Джоконда Леонарда да Винчи, картины Рафаэля, Шишкина, этюды Шопена, музыка Бетховена, Чайковского, стихи Пушкина … вот далеко не полный перечень выдающихся произведений искусства, наполненных чудесной гармонией основанной на золотом сечении. На фотографии показаны здания, при делении основных масс конструкций которых использовалось золотое сечение. Обычно считается, что такое членение используется в зданиях, построенных в классическом стиле. Однако, посмотрите на Смольный собор, построенный в стиле барокко, и вы без труда обнаружите золотое сечение.

№ слайда 9 Пропорции тела человека и золотое сечение 	Идеальным, совершенным считается т
Описание слайда:

Пропорции тела человека и золотое сечение Идеальным, совершенным считается тело, пропорции которого составляет золотое сечение. Основные пропорции были определены Леонардо да Винчи, и художники стали сознательно их использовать. Основное деление человеческого тела – это деление точкой пупа. Отношение расстояния от пупа до ступни к расстоянию от пупа до макушки составляют золотое сечение. Идеальной женской фигурой считается фигура Афродиты Милосской (см. рисунок). Интересно, что статистически средние размеры тел различных людей также подчинены правилу золотого сечения (об этом свидетельствуют антропологические исследования Цейзинга (1855 г.), который провел измерения почти 2000 человек. Из любопытства можно самим проверить насколько близко ваше тело к идеальному. Зайдите в Интернет, наберите «идеальные пропорции человеческого тела», проведите измерения и сделайте выводы. Существуют определенные правила, по которым изображают фигуру человека, основанные на понятии пропорциональности размеров различных частей тела.

№ слайда 10 Пропорции золотого сечения в природе Форма птичьих яиц описывается золотым се
Описание слайда:

Пропорции золотого сечения в природе Форма птичьих яиц описывается золотым сечением. Сегодня уже установлено, что при такой конфигурации прочностные характеристики оболочки оказываются наиболее высокими. Совершенная форма тела стрекозы создана по законам золотого сечения: отношение длины хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста. Резюме Не одно столетие ученые применяют уникальные математические свойства золотого сечения. Это отношение обнаруживается во всех живых организмах, растениях на всех уровнях их развития. Универсальность его проявления в строении органов, систем, их функциональных параметрах позволяет предполагать, что оно играет роль кирпичика в фундаменте всего живого на Земле. Последние исследования в области астрономии, физики показывают, что это сечение имеет отношение ко всему Мирозданию.

№ слайда 11 Практические задания 1. Разделите отрезок длиной 16 см в отношении “золотого
Описание слайда:

Практические задания 1. Разделите отрезок длиной 16 см в отношении “золотого сечения”. Используйте числа Фибоначчи 1 вариант – 3 и 5 2 вариант - 2 и 3 2. Длина прямоугольника равна 20 см (1 вариант), 15 см(2 вариант). Найдите такую ширину прямоугольника, чтобы отношение длины к ширине составило “золотое сечение” Ф=1,6 Решите задачу, составив уравнение 3. Проверьте, насколько идеально одно из отношений вашей ладони: отношение длины указательного пальца к длине двух его фаланг от конца пальца. Измерьте с помощью линейки указанные длины и найдите их отношение. Округлите полученное число до десятых и сравните с Ф=1,6 (определите, насколько оно больше или меньше числа Ф )

Название документа Золотое сечение1.doc

Поделитесь материалом с коллегами:


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТОСТАН

ОТДЕЛ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ

ГОРОДСКОГО ОКРУГА г. СТЕРЛИТАМАК

МОУ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 12 с углубленным изучением отдельных предметов»








Золотое сечение

научно - исследовательская работа

по математике





ученицы 9 д класса

Григорьевой Анастасии

Научный руководитель:

Асадуллина Л.М.









Стерлитамак 2014

Актуальность

Красота скульптуры, красота храма, красота человеческого тела, окружающей природы... Что между ними общего? Разве можно сравнивать красоту храма с красотой растения? Оказывается можно, если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие понятие прекрасного самых различных объектов - от цветка ромашки до красоты обнаженного человеческого тела.

Я считаю тему, раскрытую в нашей работе, актуальной, поскольку красота и гармония стали важнейшими категориями познания, возможно и его целью, т.к. в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а ученый - красоту в истине. Зная правило «золотого сечения» художник, скульптор, строитель может обеспечить многообразие композиционных форм в своих работах, искусствовед - исследовать пропорциональную структуру любого художественного произведения.


Цель: Исследовать принцип «золотого сечения» в окружающем мире.

Задачи:

1. Исследовать применение принципа «золотого сечения» в архитектуре.

2. Исследовать принцип «золотого сечения» в живой природе:

а) в строении тела человека

в) в растениях

3. Обобщить результаты исследования и применить их при изучении темы «Пропорция»

4.Использовать результаты исследования для формирования научного мировоззрения, основанного на принципах гармонии и золотого сечения.

Объект исследования: мечети Республики Башкортостан, учащиеся 6 класса, родители, растения.

Предмет исследования: отражение «золотого сечения» в окружающем мире

Методы исследования:

  1. анализ теоретической литературы;

  2. математические расчеты пропорциональных отношений;

  3. сопоставление полученных данных.

Гипотеза: в окружающем мире «золотое сечение» является основополагающим принципом красоты, прочности, надежности.

Содержание

Введение. ……………………………………………………………………..4

  1. История «золотого сечения»…………………………………….5

. «Золотое сечение» в архитектуре мечетей Башкортостана..6

. «Золотое сечение» в строении человеческого тела…………..7

3.1 Исследование роста…………………………………………..…...8

3.2 Исследование лицевой части головы…………………………..8

3.3 Исследование кисти руки………………………………………..9

. «Золотое сечение» в растениях…………………….………….9

Заключение………………………………………………………………...11

Список литературы……………………………………….……………...12



Приложения.







Введение


С давних пор человек стремится окружать себя красивыми вещами. Предметы обихода жителей древности уже показывают стремление человека к красоте. На отдельном этапе своего развития человек начал задаваться вопросом: почему тот или иной предмет является красивым и что является основой прекрасного? Уже в Древней Греции изучение сущности красоты, прекрасного, сформировалось в отдельную науку - эстетику. Тогда же родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония-соразмерность частей и целого, слияние различных компонентов объекта в одно целое.

Человек различает окружающие его предметы по цвету, вкусу, запаху, форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть вызван жизненной необходимостью, а может быть и красотой формы. Форма, в основе построения которой лежит принцип «золотого сечения», способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.














Глава1. История «золотого сечения»

В дошедшей до нас древней литературе впервые упоминание о «золотом сечении» встречается в трудах Евклида «Начала» (около. 300 до н. э.) О «золотом сечении» знали еще в Древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию.

Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями «золотого сечения» при их создании.

А что это такое «золотое сечение» или по-другому «золотая пропорция»? Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей и это приблизительно равно 1,62 т.е. c:b = b:a ; или, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему и это приблизительно равно 0,62 т.е. a:b = b:c


hello_html_c545c36.png


Принято считать, что объекты, содержащие в себе «золотое сечение» воспринимаются людьми как наиболее гармоничными.

Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете - посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы произвели «золотое сечение».Так что же такое «золотое сечение»?..Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он - мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее - нет, известен. «Золотое сечение» - это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна.


Глава 2.«Золотое сечение» в архитектуре

Математики и историки, архитекторы и философы с разных позиций то возносили, то низвергали закономерности согласования архитектурной формы. Особое внимание привлекало «золотое сечение». Трудно найти человека, который бы не знал и не видел собора Василия Блаженного на Красной площади. Храм этот особенный; он отличается удивительным разнообразием форм и деталей, красочных покрытий; ему нет равных в нашей стране. Архитектурное убранство всего собора продиктовано определенной логикой и последовательностью развития форм. Исследователи пришли к выводу о преобладании в нем ряда «золотого сечения». Примером использования золотого сечения в строительстве храмов может служить и Сретенский женский монастырь с.Батурино Прибайкальского района.

Расчет размеров этой церкви, взятых из архива, позволил выявить, что композиционный замысел целиком связан с «золотым сечением». На рисунке приведен композиционный замысел церкви, все расчеты; данные размеры приводятся в метрах.


hello_html_264f798.pngAC:AB=11:6,8=1.62 DM:DN=13:8=18=1,63 KQ:KP=7:4.4=1,6

AB:CB=6,8:4,2=1,62 DN:MN=8:5=1,6 KP:PQ=4,4:2,6=1,69

DN:NK=8:4,6=1,7 длина/ширина=26:16=1,63

Используя фотографию этого монастыря, произведя все интересующие меня измерения и вычисления, я в очередной раз убедилась, что «золотая пропорция», действительно, использовалась при строительстве.

Башкортостан славится своими церквами и мечетями. Для исследования я выбрала несколько мечетей (Приложение1).


а

в

с

в:а

с:в

Мечеть им. С.Юлаева г.Уфа

27

41

68

1,51

1,65

Мечетьг.Стерлитамак

24

33

60

1,22

1,81

Мечеть Ляля-Тюльпан г.Уфа

22

31

53

1,41

1,71

Мечеть деревни Кинзябулат

28

32

60

1,14

2,14

Мечеть Хамза г Уфа.

25

26

51

1,04

1,96


Выяснила, что принцип «золотого сечения» частично выполняется в некоторых мечетях: им. С.Юлаева г Уфы, г. Стерлитамака и Ляля-Тюльпан. А мечети деревни Кинзябулат, г Кумертау и Хамза г. Уфы построены без учета золотого сечения .

Приобретенные мною знания о золотой пропорции еще больше убедили меня в том, что архитектура - это то, где золотое сечение является основополагающим принципом красоты, прочности, надежности, о чем говорят сами за себя произведения архитектуры и зодчества нашего Башкортостана.

Глава 3.«Золотое сечение» в строении человеческого тела.

Вhello_html_m5690e848.gifhello_html_46922fd8.png разные времена и у разных народов эталоны длины частей человека были одинаковыми: они происходили от человеческого тела. В человеке заложены пропорции, отобранные самой природой. Начало этим мерам дает рост человека. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель «золотого сечения». Художники, ученые, модельеры, дизайнеры  делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения «золотого сечения». Они используют мерки с тела человека, сотворенного по этому принципу. Если эти пропорции совпадают с формулой «золотого сечения», то внешность или тело человека считается идеально сложенными

В строении черт лица человека и в руке, также есть множество примеров, приближающихся по значению к этой формуле. Я на практике решила проверить присутствие «золотого сечения» в частях человеческого тела - в росте, в кисти руки, в лицевой части головы. Для этого я провела необходимые измерения шестиклассников(11-12лет), у одноклассников(16 лет) и у родителей

Представляю по одному результату исследования из каждой возрастной группы.

    1. Исследование роста

hello_html_m6bb68265.jpg hello_html_m74e84b17.jpg

Фамилия,

имя

Рост,

с,см

От макушки до пупка,

а,см

От пупка до пола,

в,см




с:в



в:а

Яхина Айсылу

149

56

93

1,6

1,62

Момса Анастасия

167

69

98

1,7

1,42

Григорьева Валентина Александровна

172

66

106

1,62

1,61




3.2.Исследование лицевой части головы.

hello_html_5a479e36.png

Исследование лица:

1. Яхина Айсылу (12лет) 3,8 : 2,4 =1,58 6,2 : 3,8 =1,63

20 : 13 =1,53 13 : 7 =1,85

2. Момса Анастасия (16 лет) 4 : 2,5 =1,6 6,5 : 4 =1,63

22 : 13,6 =1,62 13,6 : 8,4 =1,62

3 .Григорьева Валентина Александровна (55лет)

4,3 : 2,7 =1,6 7 : 4,3 =1,62

22,5 : 14 =1,61 14 : 8,5 =1,65

3.3.Исследование кисти руки. hello_html_m5a06845a.png


а

в

с

в:а

с:в

Яхина

Айсылу

25

40

65

1,6

1,62

Момса Анастасия

30

40

70

1,33

1,75

Григорьева Валентина Александровна

30

44

74

1,46

1,68

После всех вычислений я пришла к выводу, что «золотое сечение» присутствует в частях человеческого тела. Но чем старше человек, тем пропорция более приближена к «золотому сечению», т.к. дети растут, организм их формируется, поэтому размеры тела изменяются.


Глава 4. «Золотое сечение» в растениях.

Вhello_html_4a97d15f.jpg биологических исследованиях 1970-90 гг. показано, что, начиная с вирусов и растений, и кончая организмом человека, всюду выявляется «золотая пропорция», характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. «Золотое сечение» признано универсальным законом всех живых систем.

Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений: золотой ус, традесканция и алоэ, я выяснила, что между каждыми двумя из листьев третий расположен в определенном месте.


Алоэ: 2,5+1.5=4 4:2.5=1.6 золотой ус 8:5=1,6

2.5:1,5=1,67 5:3=1,67

Гибискус 9:6=1,5

15:9=1,67

Расчеты показали, что средний лист, располагается в месте «золотого сечения».

hello_html_m70b17fce.jpg







Заключение


В данной работе были рассмотрены и исследованы свойства «золотого сечения» в живой и неживой природе. Работа над проектом показала мне ,что многое ,что окружает нас и даже мы сами построены по закону золотого сечения. По результатам моего исследования не все данные соответствуют закону золотого сечения, но это связано с индивидуальными особенностями человека и погрешностями измерений. Идея единства, основанная на проявлении одних и тех же закономерностей в разнородных явлениях природы, сохранила свою актуальность от Пифагора до наших дней. При изучении школьных предметов имеется возможность продемонстрировать взаимосвязи между понятиями, принятыми в различных областях знаний, и процессами, протекающими в природной среде, в человеческом обществе на примере свойств «золотого сечения». При более глубоком изучении пропорций, прямоугольных треугольников, теоремы Пифагора, прямоугольников и правильных пятиугольников можно использовать правило «золотого сечения». Одновременно с этим может быть найден подход к созданию целостной картины мира в сознании школьников. Анализируя все вышеизложенное можно еще раз подивиться грандиозности процесса познания мира, открытием все новых его закономерностей и сделать вывод: принцип «золотого сечения» – высшее проявление совершенства единого целого и его частей в искусстве, науке и природе.







Список использованной литературы:

  1. Аксенова М. «Энциклопедия для детей Аванта+». Том 11, 2006г.

  2. БЭКМ – электронная энциклопедия. «Кирилл и Мефодий».

  3. Васютинский Н. Золотая пропорция. - М.: Молодая гвардия, 1999г.

  4. Волошинов А. В. «Математика и искусство» 2005 г. «Просвещение».

  5. Коробко В.И., Коробко Г.Н.; М., АСВ Издательство, 2002 г. «Золотая пропорция и человек».

  6. Коробко В.И.; Москва, Издательство Ассоциации строительных вузов,2004г. «Золотая пропорция и проблемы гармонии систем».

  7. Степанов; М., «Архитектура-С» 2003 г. «Обьемно-пространственная композиция».

  8. Тиц А.А.; М., Стройиздат, 1978 г. «Загадки древнерусского чертежа».

  9. Хинн О.Г. под общ. Ред. ООО «Издательство АСТ-ЛТД» 2004 г. «Я познаю мир: математика».

  10. Якушева Г. «Справочник школьника: математика» Филологическое общество: «Слово» 2005 г.













Приложения.


hello_html_5fbfcf7f.jpg

Мечеть им. С.Юлаева г.Уфа

hello_html_183ab12.jpg

Мечеть г. Стерлитамак

hello_html_m2ec32933.jpg

Мечеть Ляля-Тюльпан г.Уфа

hello_html_m7dd298f2.jpg

Мечеть деревни Кинзябулат

hello_html_m4c88445.jpg

Мечеть г. Кумертау

hello_html_m757dd710.jpg

Мечеть Хамза г Уфа.



Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 06.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров415
Номер материала ДВ-232935
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх