Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Информатика / Другие методич. материалы / Научно-исследовательская работа «Применение компьютерных технологий к решению задач методом графов»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Информатика

Научно-исследовательская работа «Применение компьютерных технологий к решению задач методом графов»

библиотека
материалов

«Применение компьютерных технологий к решению задач методом графов»


Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №25

г. Пензы им. В.П. Квышко»



Научно-исследовательская ученическая работа


«Применение компьютерных технологий

к решению задач методом графов»








Выполнили:

Борисов Никита,

Елистратова Анастасия,

ученики 11 «А» класса

Руководитель:

Мамастина Е.В.









Пенза, 2015 год

Содержание



Вступление……………………………………………………….2

Задача про молоковоз и школы…………………………………

Понятие графа, простейшие свойства……………………….....3

Способы представления графов………………………………...5

Алгоритмы обхода связного графа…………………………......8

Заключение……………………………………………………….15

Приложение 1…………………………………………………….16

Литература ……………………………………………………….20

Вступление

Кто может с уверенностью сказать, с чего началась теория чисел? С алгоритма, предложенного Евклидом (IVIII вв. до н.э.), или принадлежащего ему же дока­зательства теоремы о бесконечности множества про­стых чисел? Или с работ Диофанта (III в. н.э.) о реше­нии уравнений в целых числах? Или с исследований Пьера Ферма (XVII в. н.э.), в которых изучение свойств целых чисел было основной и, самое важное, осознан­ной целью?

Кто может с уверенностью сказать, когда возникло понятие функции и кем оно было введено? Тоже никто.

Теория графов — одна из тех немногих математиче­ских теорий, для которых точно известен ее создатель, время и место создания: Леонард Эйлер, 1736 г., г. Петербург. Именно в этом году Л.Эйлером в "Запис­ках Петербургской академии наук" была опубликована статья, в которой приводилось решение широко теперь известной задачи о Кёнигсбергских мостах. Разумеется, работа Л.Эйлера содержала не только отрицательный ответ на вопрос о возможности обойти все семь мостов г. Кенигсберга так, чтобы по каждому из них пройти ровно один раз. В ней великий математик сформулировал и обосновал критерий, позволяющий отвечать на данный вопрос для любого графа. Однако эта статья была единственной в течение поч­ти столетия. Лишь в середине XIX века возродился интерес к теории графов. Исследование электрических сетей, структур молекул и строения кристаллов, при­менения к решению проблем в биологии и психологии послужили мощным катализатором в становлении дан­ного раздела математики. Графы оказались удобным средством для описания самых разнообразных систем и явились эффективным инструментом структурного анализа. Графы успешно применяются для решения разнообразных задач планирования — выбор оптималь­ного маршрута (транспортная задача), построение сетевого графика, исследование потоков в сетях и т.п. Одной из самых знаменитых задач, которая вызвала фейерверк остроумных работ в области теории графов, была предложенная де Морганом (около 1850 г.) проблема четырех красок: верно ли, что для раскраски любой карты так, чтобы граничащие между собой страны ' были раскрашены в разные цвета, достаточно четырех красок?

С некоторыми задачами, апеллирующими к понятию графа, и алгоритмами их решения мы познакомимся в этой работе.


Рассмотрим актуальную задачу. В настоящее время во все школы города доставляется молочная продукция. Имеется карта города. Спрашивается: как молоковоз может развести молоко по всем школам?

В городе Пензе около 70 школ. Чтобы посчитать все варианты доставки, потребуется немалое количество времени. Поручим это задание компьютеру. Составим алгоритм объезда молоковозом школ города.

Удобнее всего решать эту задачу методом графов. Нужно только представить школы как вершины графа, а соединяющие их дороги – как ребра графа.

hello_html_m279542e7.jpg

Прежде чем составить алгоритм обхода графа, необходимо рассмотреть некоторые вопросы теории графов.


1. Понятие графа. Простейшие свойства

Напомним, что граф — это конечная совокупность вершин, некоторые из которых соединены ребрами. Мы будем рассматривать только такие графы, у кото­рых две вершины могут быть соединены только одним ребром. Иногда, конечно, возникает необходимость рассматривать конфигурации, когда пара вершин сое­динена несколькими ребрами, — в этом случае говорят, что задан мультиграф, а ребра, соединяющие одну и ту же пару вершин, называют кратными. Отметим еще, что ребро не обязано соединять разные вершины. Если ребро соединяет вершину саму с собой, то такое ребро называют петлей.

Если две различные вершины графа соединены реб­ром, то такие вершины называются смежными. Коли­чество ребер, выходящих из одной вершины, называет­ся степенью этой вершины. Для петли будем считать, что это ребро выходит из вершины дважды. Степень вершины а будем обозначать v(a).

Сформулируем свойство, относящееся к любым графам.

Теорема 1. Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу его ребер.

Эта теорема доказывается совсем просто: легко ви­деть, что, когда подсчитывается сумма степеней всех вершин, каждое ребро в этой сумме фигурирует ровно два раза.

Из этого свойства есть следствие, которое принято называть "леммой о рукопожатиях".

Теорема 2. Количество вершин нечетной степени любого графа всегда четно.

А "леммой о рукопожатиях" это утверждение назы­вают из-за следующей интерпретации: в любой момент времени количество людей, сделавших нечетное число рукопожатий, четно. Действительно, если вершины гра­фа — это люди, и вершины соединены ребром, если соответствующие два человека обменялись рукопожати­ем, то это одно и то же утверждение о получившемся графе.

А вот еще одно свойство.

Теорема 3. В любом графе есть по крайней мере две вершины, имеющие одинаковую степень.

Доказательство. Пусть в графе п вершин. Ясно, что степень каждой вершины может иметь значение от 0 до п — 1. Если степени всех вершин различны, то каждое из указанных значений должно реализоваться ровно для одной вершины. Рассмотрим вершины сте­пени 0 и степени п — 1. Степень 0 означает, что эта вершина не соединена ни с какой другой; степень п — 1 означает, что эта вершина соединена со всеми другими вершинами. Но одновременно так быть не может.

Граф обычно изображают так, как сказано в опреде­лении: рисуют множество точек, изображающих вер­шины, и соединяют линией те из них, которые являют­ся смежными. Линии при этом вовсе не обязаны быть отрезками прямых.

Ясно, что один и тот же граф может оказаться изоб­раженным по-разному. Например, на рис. 1a и изоб­ражен один и тот же граф — легко понять, какие вер­шины в изображении графа на рис. 1a соответствуют вершинам изображения графа на рис. 1б так, что смеж­ные вершины при этом соответствии остаются смеж­ными, а не смежные — не смежными.

hello_html_m6696402b.gif


hello_html_261f0c32.gif




а) б)

Рис. 1. Разные изображения одного графа

М

e2

аршрутом на графе называется последовательность ребер e1, e2, ..., ek , в которой конец одного ребра служит началом следующего. Если при этом конец последнего ребра последовательности совпал с началом первого ребра, то маршрут называется циклическим. Для графа, изображенного на рис. 2, последовательности e1, е2, е4, е5, е2, е3 и е2, е4, е5 являются маршрутами, причем второй из них — циклический. А последовательность e1, e2, e5 маршрутом не является.

e1

e3

hello_html_m14f1afc4.gif

e4

e6

e5



e7

e8


e9


Рис. 2

Если вершина является концом какого-либо ребра, принадлежащего маршруту, то будем говорить, что дан­ный маршрут проходит через эту вершину.

Маршрут называется цепью, если каждое ребро со­держится в нем не более одного раза. Цепь, являющая­ся циклическим маршрутом, называется циклом. Цепь, проходящая через каждую свою вершину ровно один раз, называется простой. Если цикл является простой цепью, то он тоже называется простым.

Поскольку в рассматриваемых нами графах нет крат­ных ребер, то маршрут можно задавать и последова­тельным перечислением вершин, через которые он про­ходит. Мы будем иногда этим пользоваться.

Вершины а и b называют связанными, если суще­ствует цепь, начинающаяся в вершине а и заканчиваю­щаяся в вершине b. Договариваются также считать, что каждая вершина связана сама с собой.

Граф называется связным, если любые две его вер­шины связаны. Если же граф несвязен, то в нем можно выделить так называемые связные компоненты (или компоненты связности), т.е. такие множества вер­шин, соединенных ребрами исходного графа, каждое из которых является связным графом, но вершины из разных множеств уже не связаны. Легко убедиться в справедливости следующей теоремы.

Теорема 4. Если в связном графе удалить ребро, при­надлежащее циклу, то граф останется связным.


2. Способы представления графов

Изображение графа рисунком удобно для восприя­тия человеком. Однако если для решения задачи, свя­занной с графом, надо применить компьютер, такой способ представления уже малопригоден. Поэтому ис­пользуют другие способы представления графов.

Граф называется нагруженным (взве­шенным), если каждому ребру сопоставлено некоторое число (вес ребра). В зависимости от рассматриваемой задачи это число может обозначать расстояние между вер­шинами или время перехода от одной вершины к другой (если, например, графом изображена какая-либо транс­портная схема), или пропускную способность канала, со­единяющего две данные вершины (если в виде графа изоб­ражена какая-либо коммуникационная сеть), или еще что-либо. Иногда бывает удобно рассматривать ненагруженный граф как нагруженный, у которого каждому ребру поставлено в соответствие число 1.

Обычно граф задают одним из двух способов: перечис­лением всех его ребер или таблицей, где в клетке на пересечении строки и столбца, соответствующих данным вершинам, указано, соединены эти вершины ребром или нет. Такая таблица называется таблицей смежности. Если граф нагруженный, то для каждого ребра в соответ­ствующей клетке указывается нагрузка. Ниже для нагруженного графа, изображенного на рис. 3, приведены его задания списком ребер и таблицей смежности.

Список ребер: (AA; 2), (АВ; 3), (АС; 6), (ВС; 2), (AD; 4), (BD; 3), (CD; 5).

Таблица смежности 2.1

Вершина

А

В

С

D

А

2

3

6

4

В

3

0

2

3

С

6

2

0

5

D

4

3

5

0


В

2

таблице смежности ненагруженного графа везде вме­сто чисел, указывающих нагрузку (т.е. отличных от 0), стояло бы число 1. А в списке ребер ненагруженного графа просто не нужна числовая характеристика

hello_html_7c6b2c82.gifhello_html_m73ae6eb4.gif

3

A

B


2

6


4


3

C

D

5


Рис. 3

Надо, конечно, уметь переходить от одного способа описания графа к другому. Но работа такая совершенно формальна и, следовательно, может быть поручена ком­пьютеру — нужно только составить соответствующий алгоритм.

В дальнейшем в заданиях на составление алгоритма, тем или иным образом обрабатывающего граф, мы для простоты будем считать вершины графа перенумерован­ными натуральными числами от 1 до n (без пропусков и повторений). Список ребер для нагруженного графа бу­дем задавать как двумерный массив А [1 : n, 1 : 3], где в первой строке соответствующей этому массиву таблице указывается один конец ребра, во второй — другой его конец, а в третьей — величина нагрузки (здесь п — число ребер в графе). Для ненагруженного графа соот­ветствующий массив содержит только первые две стро­ки. Если граф задается таблицей смежности, то догово­римся считать значение первого индекса номером пер­вой вершины, а второго индекса — номером второй вершины; сами номера вершин в массиве не присутству­ют. В частности, для графа на рис. 3 при естественной нумерации вершин А — 1, В — 2, С — 3 и D — 4 список ребер в силу нашей договоренности задается мас­сивом, который можно изобразить табл. 2.2, а таблица смежности выглядит так, как показано в табл. 2.3.


Таблица 2.2 Таблица 2.3

1

1

1

1

2

2

3


2

3

6

4

1

2

3

4

3

4

4


3

0

2

3

2

3

6

4

2

3.

5


6

2

0

5









4

3

5

0






3. Алгоритмы обхода связного графа

Пусть имеется связный граф. Это означает, что из любой вершины можно, двигаясь по ребрам, добраться до любой другой его вершины. Скажем сразу: алгорит­ма, позволяющего по двум заданным вершинам постро­ить путь из одной вершины в определенную другую, нет. Но можно указать алгоритм, позволяющий из за­данной вершины совершить обход всех остальных вер­шин и, значит, заведомо добраться до нужной второй вершины. Скажем сразу, что алгоритмов таких суще­ствует несколько; мы рассмотрим два из них — наибо­лее популярных.

Оhello_html_m5f7cde76.gifдин из них называется поиском в глубину. Идея алгоритма такова. Пусть зафиксирована начальная вер­шина v0. Выберем смежную с ней вершину v1. Затем для v1 поступаем так же: выбираем смежную с ней вершину из числа еще невыбранных вершин. И так далее: если мы уже выбрали вершины v0, v1,…,vk , то следующая вершина выбирается смежной с vk из числа невыбранных. Если для вершины vk такой вершины не нашлось, то возвращаемся к вершине vk-1 и для нее ищем смеж­ную среди невыбранных. При необходимости возвра­щаемся еще на шаг назад и т.д. Ясно, что так будут перебраны все вершины графа, и поиск закончится. На рис. 5 показаны две реализации поиска в глубину для одного и того же графа (при одинаковом выборе на­чальной вершины): около каждой вершины написан присвоенный ей порядковый номер при исполнении поиска в глубину. Свое название этот метод получил за то, что при его реализации мы стремимся как можно дальше уйти от исходной вершины, а когда идти уже некуда, возвращаемся в ту вершину, откуда идет хотя бы одно ребро в непройденные еще вершины.


а)



hello_html_ddcb3be.gif


б)



Рис. 5. Два варианта применения поиска в глубину

Однако от идеи до алгоритма путь неблизкий. Во-первых, надо договориться, как задан граф. Во-вторых, надо как-то помечать вершины, которые уже просмот­рены. В-третьих, надо уметь каждый раз решать, какую из нескольких вершин, смежных с той, где мы нахо­димся, выбрать следующей. В-четвертых, когда уже не­куда двигаться из вершины, где мы находимся, уметь вернуться в ту вершину, для которой еще есть хотя бы одна непройденная смежная вершина. Текст данного алгоритма на языке Visual Basic приводится в приложении 1.

Другой алгоритм называется поиском в ширину. Суть этого подхода состоит в том, чтобы рассматри­вать все вершины, смежные с уже рассмотренными. На рис. 6 показаны две реализации поиска в ширину для одного и того же графа (при одинаковом выборе начальной вершины).

hello_html_m7906be28.gif

а)




hello_html_m2917a7a3.gif


б


)



Рис. 6. Два варианта применения поиска в ширину

Как и для поиска в глубину, прежде чем написать алгоритм, надо ответить на те же вопросы: каким спосо­бом представлен граф, как помечать просмотренные вершины, как выбирать очередную вершину из несколь­ких еще непросмотренных, но смежных с уже про­смотренными. Текст алгоритма поиска в ширину на языке Visual Basic приводится в приложении 1.

А сейчас рассмотрим одну из часто встречающихся задач: найти длину кратчайшей цепи от заданной вер­шины до любой другой. Длиной цепи при этом назы­вают количество содержащихся в ней ребер.

Идея решения этой задачи состоит в следующем. Исходной вершине припишем число 0. Каждой смеж­ной с ней вершине припишем число 1. Каждой вер­шине, смежной с той, которая уже помечена числом 1 и не была помечена раньше, приписываем число 2. Каждой вершине, смежной с той, которая уже поме­чена числом 2 и не была помечена раньше, приписыва­ем число 3. И так далее, до тех пор, пока такое действие можно будет производить. Конечно, при этом могут оказаться вершины, добраться до которых так и не уда­стся. На рис. 7 приведен результат обработки указан­ным образом конкретного графа. Действие этого алго­ритма напоминает распространение волны, и потому он получил название "волнового алгоритма".

hello_html_75cf9e3d.gif






а) После первого шага







б) Окончательный вид

Рис. 7. Результат обработки графа волновым алгоритмом


Легко понять, что число, написанное около верши­ны, показывает длину кратчайшей цепи, ведущей к ней от заданной вершины.

Алгоритм нахождения кратчайшего пути с помощью волнового алгоритма на языке Visual Basic приводится в приложении 1.

Можно показать применение алгоритмов «Поиск в глубину» и «Поиск в ширину» для гра­фов, заданных таблицами 2.4—2.6.

Задача

У путешественника есть карта, на которой отмече­ны города и дороги между некоторыми из них. Все дороги допускают двустороннее движение, и для каж­дой дороги, соединяющей два города, указана ее длина. Путешественник хочет из одного города добраться в другой кратчайшим путем. Предложите алгоритм, по­зволяющий найти нужный путешественнику маршрут или сообщить, что такого маршрута нет.


Представим себе путь молоковоза в виде конечной сис­темы объектов (школ), от которых расходятся дороги, причем каждая дорога соединяет два объекта (такие объекты будем называть смежными), но не исключается существование таких объектов, из которых можно проехать только по одной дороге (та­кие объекты будем называть тупиками). Геомет­рически путь молоковоза можно представить в виде систе­мы точек А, В, С, ... (изображающих школы) и совокупности отрезков АВ, ВС, ... (изображающих дороги), соединяющих некоторые пары этих
точек (рис. 8) и вернутся к ним.

Р

H

ис.8

С

I

N

M


hello_html_me91eb1f.gifhello_html_35358512.gifhello_html_m591e3a99.gifhello_html_m387fcfef.gifhello_html_290144d2.gif

В

E


D

K

L


А

F



Будем говорить, что объект Y достижим из объекта X, если существует путь, ведущий от X к Y через промежуточные дороги и объекты. Точнее, это означает, что либо X и Y — смежные объекты, либо существует последовательность объектов X1, X 2, Х3 ..., Хп, таких, что пары объектов X и X1, X 1 и Х2, X 2 и Х3, ..., Хп и У смежны. Например, на приведенном рисунке объект Н достижим из тупика А посредством пути , АВ, ВС, CD, DE, EF, FD, DH, в то время как объект К не достижим из А. Вместе с тем, если Y вообще достижим из X, то он достижим и посредством простого пути, т.е. такого пути, в котором каждый объект (а тем более и каждая дорога) проходится лишь один раз. В предыдущем примере путь не был простым, но, срезав петлю DE, EF, FD, мы получаем простой путь АВ, ВС, CD, DH.

Поскольку мы хотим облегчить мыслительную деятельность не только одному водителю одного молоковоза города Пенза, то решение поставленной задачи мыслится в виде общего метода поисков, пригодного при любых дорогах и при любом расположении в городе объектов А и М. Иными сло­вами, решение мыслится в виде алгоритма, решаю­щего любую из задач данного типа (именно в этом, как известно, заключается такое свойство алгорит­ма, как массовость).

Легко заметить, что в данной задаче можно применить волновой алгоритм обхода связного графа, приведенный в приложении 1, если задать представление совокупности школ и связывающих их дорог в виде таблицы смежности.






















Заключение


Теория графов в настоящее время является интенсивно развивающимся разделом дискретной математики. Это объясняется тем, что в виде графовых моделей описываются многие объекты и ситуации: коммуникационные сети, схемы электрических и электронных приборов, химические молекулы, отношение между людьми и многое другое.

Графовые задачи обладают рядом достоинств, позволяющих использовать их для развития соображения и улучшения логического мышления детей, начиная с детского сада и заканчивая старшими классами средней школы. Язык графов прост, понятен и нагляден. Графовые задачи допускают изложение в занимательной, игровой форме. С другой стороны, графовые задачи труднее поддаются формализации, чем, например, школьные задачи по алгебре, для их решения часто не требуется глубоких знаний, а следует применить смекалку.

Описанные выше приемы позволяют использовать элементы теории графов для одновременного решения нескольких важных задач школьного образования. С их помощью можно обеспечивать учеников новыми знаниями, которые облегчат ему в дальнейшем изучение информатики; повышать логическое и умственное развитие школьников; приучать их к самостоятельной работе; развивать их воображение и повышать культуру общения.

Приложение 1.


Алгоритм, реализующий алгоритм поиска в глубину и волновой алгоритм.


Dim g(10, 10), b(10), st(10), p(10), n, j As Integer


Private Sub Command1_Click()

'алгоритм реализует ввод таблицы смежности'

n = Val(txt(0))

For j = 0 To n - 1

For i = j * 10 + 1 To j * 10 + n

Text1(i).Visible = True

Next i, j

For j = 0 To n - 1

For i = j * 10 + 1 To j * 10 + n

g(i - j * 10, j + 1) = Val(Text1(i).Text)

Next i, j

End Sub


Private Sub Command2_Click()

'алгоритм реализует поиск в глубину'

m = Val(Text2.Text)

Label3.Caption = ""

For t = 1 To n

b(t) = 0

st(t) = 0

Next t

b(m) = 1

st(1) = m

u = 1

While u > 0

t = 1 : s = 1

While ((t <= n) And (g(st(u), t) = 0) Or (b(t) = 1))

t = t + 1

Wend

If t < n + 1 Then u = u + 1: b(t) = 1: st(u) = t: Label3.Caption = Label3.Caption + Str(t) Else st(u) = 0: u = u - 1

Wend

End Sub

Private Sub Command3_Click()

'волновой алгоритм реализует поиск кратчайшего пути'

Label6.Caption = ""

m = Val(Text2.Text)

For i = 1 To n

p(i) = -1

Next i

p(m) = 0

For k = 0 To n - 1

For i = 1 To n

If p(i) = k Then

For j = 1 To n

If ((p(j) = -1) And (g(i, j) = 1)) Then p(j) = k + 1

Next j

End If

Next i

Next k

For i = 1 To n

If p(i) = -1 Then Label6.Caption = Label6.Caption + "Вершина" + Str(i) + "Недостижима из вершины" + Str(m) Else Label6.Caption = Label6.Caption + " кратчайший путь до вершины" + Str(i) + "от вершины" + Str(m) + "равен" + Str(p(i))

Next

End Sub


Private Sub Command4_Click()

End

End Sub


Private Sub Command5_Click()

'алгоритм реализует поиск в ширину'

m = Val(Text2.Text)

Label3.Caption = ""

For t = 1 To n

b(t) = 0

st(t) = 0

Next t

b(m) = 1

st(1) = m

u = 1

k = 0

While u > 0

t = 1

s = 1

1: While ((t <= n) And (g(st(u), t) = 0) Or (b(t) = 1))

t = t + 1

Wend

If t < n + 1 Then u = u + k - 1: b(t) = 1: st(u) = t: k = k + 1: Label3.Caption = Label3.Caption + Str(t): GoTo 1 Else st(u) = 0: u = u - k + 1

Wend

End Sub



Литература.


  1. М.Г. Кац «О плоских правильных графах»,1975;

  2. Б.А. Трахтенброт «Алгоритмы и вычислительные автоматы»,1974;

  3. О. Оре "Графы и их применения",1965;

  4. К. Берж "Теория графов и ее применение",1962;

  5. А. Г. Гейн. «Математические основы информатики. Графы», Информатика – Приложение к газете «Первое сентября», № 20, 2007

  6. Нить Ариадны, или алгоритм поиска выхода из лабиринта, Информатика – Приложение к газете «Первое сентября», № 7, 2007

  7. http:/algolist.manual.ru/maths/graphs/.

  8. http://www.tisbi.ru/resource/lib/graph/




3


Автор
Дата добавления 18.10.2015
Раздел Информатика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров318
Номер материала ДВ-074201
Получить свидетельство о публикации

"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх