Научно-исследовательская работа учащихся "Лазерный осциллограф"

СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ

КОЛЕБАНИЙ: ФИГУРЫ ЛИССАЖУ

Цель работы - изучение зависимости траектории движения точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, от параметров колебаний.

Пусть материальная точка одновременно совершает гармонические колебания вдоль двух взаимно перпендикулярных направлений – горизонтального (ось Х) и вертикального (ось Y). В общем случае уравнения движения вдоль оси Х и оси Y могут быть записаны в следующей форме:

 x = A_x sinω_xt (1)  y = A_y sin(ω ϕ_yt +∆ ) , (2)

где t – время, A_х – амплитуда колебаний вдоль оси Х, A_у – амплитуда колебаний вдоль оси Y, ω_x – циклическая частота горизонтальных колебаний, ω_у – циклическая частота вертикальных колебаний, ∆ϕ - разность начальных фаз колебаний.

В общем случае произвольных параметров точка движется вдоль сложной траектории, локализованной в области, ограниченной по вертикали значением амплитуды А_у, а по горизонтали значением амплитуды А_х (рис.2.6.1).

Если частоты колебаний являются рациональными числами, то есть их отношение может быть выражено как отношение целых чисел, то траектория точки представляет собой замкнутую кривую. В зависимости от соотношения частот, амплитуд и разности фаз получаются различные траектории, называемые фигурами Лиссажу по фамилии ученого, впервые их исследовавшего (J. Lissajous). Например, ω_х : ω_у = 5 : 6, A_x = 150, A_y = 150, ∆ϕ = π/2 (рис.2.6.2). 

Физическая модель

Точка, совершающая колебания в соответствии с уравнениями (1), (2) начинает движение, имея координаты х = 0, у = A_ysin(∆ϕ).

В соответствии с принципом независимости движения точка совершает колебания вдоль оси Х с периодом

2π

                                                                   T_x = ,                                                           (3)

ω_x

а вдоль оси Y с периодом

2π

                                                                   T_y = .                                                           (4)

ω_y

Если частоты колебаний относятся как целые числа ω_x : ω_y = n : m, то за время, пока совершается n полных колебаний вдоль горизонтальной оси, происходит m полных колебаний вдоль вертикальной оси. Поэтому через время t, равное наименьшему общему кратному периодов T_x и T_y, точка возвратится в положение, из которого начинала движение.

По траектории движения можно определить соотношение частот. При максимальном отклонении точки от положения равновесия в горизонтальном или вертикальном направлении траектория касается стороны прямоугольника со сторонами 2A_x и 2A_y, расположенного в координатной плоскости так, что его центр совпадает с началом координат.

Если              отношение           частот    иррациональное                число     (например, ωω_x :              _y = 2 :1), то траектория движения будет незамкнутой.

Если частоты колебаний одинаковы ω ω ω_x = =_y , то траектория движения точки может быть описана уравнением:

x2 y2 2xy 2 ⁺ − cos∆ϕ=sin ∆ϕ

                                         _{2              2}

                                      Ax           Ay          AxAy

                                                                                                                                      (5)

В общем случае произвольной разности фаз траектория движения представляет собой эллипс, повернутый под некоторым углом к осям координат. Однако имеются некоторые важные частные случаи.

Математическая модель

1. Колебания вдоль оси Х и вдоль оси Y происходят в одинаковой фазе: ∆ϕ = 0.

Тогда cos∆ϕ = 1; sin∆ϕ = 0. С учетом этого уравнение траектории (5) может быть записано в виде:

                                             x²          y²           2xy

                                              ₂ ^{+ −}₂  cos∆ =ϕ 0 ,                                      (6)

                                             Ax            Ay A Ax y

или 

                                                       x       y ²

                                                 ^ _Ax ⁻ _Ay ^_ =0.                                           (7)

Следовательно

                                                    y        x                A_y

                                                            = ⇒ y=   x .                                            (8)

                                                   Ay         Ax                       Ax

Выражение (8) представляет собой уравнение прямой, проходящей через начало координат, І и ІІІ квадранты координатной плоскости. Тангенс

Ay

угла наклона прямой к оси абсцисс равен отношению          . Координата Х

Ax

изменяется в соответствии с уравнением (1) в пределах от -А_х до А_х. Следовательно, траектория движения представляет собой отрезок прямой

(8), проходящий через I и III квадранты (рис. 2.6.3).

                          Рис. 2.6.3                                                      Рис. 2.6.4

Колебания вдоль оси Х и вдоль оси Y происходят в противофазе:  ∆ϕ = π.

В этом случае уравнение траектории (5) может быть приведено к виду:

Ay

                                                                  y=− x ,                                                         (9)

Ax

то есть, точка совершает колебания вдоль отрезка прямой, проходящей через ІІ и ІV квадранты и начало координат. Тангенс угла наклона отрезка

A_y

    к оси абсцисс равен  (рис.2.6.4).

A_x

3. Разность фаз равна : ∆ =ϕ .

Если амплитуды колебаний не равны A_x ≠ A_y , траектория движения представляет собой эллипс, полуоси которого направлены  вдоль осей Х и Y. Причем большая полуось эллипса совпадает с той осью, вдоль которой амплитуда колебаний больше (рис. 2.6.5).

Если амплитуды колебаний A_x = A_y , то траектория движения представляет собой окружность (рис.2.6.6).

                        Рис. 2.6.5                                                  Рис. 2.6.6

Таким образом, при движении точки, одновременно участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с разностью фаз, равной целому числу π, эллипс вырождается в отрезок прямой. А если разность фаз равна нечетному числу , полуоси эллипса совпадают с направлением

колебаний.

Компьютерная модель

Для моделирования движения точки была разработана специальная программа, интерфейс которой представлен на рис. 2.6.7. Для движущейся точки отображается траектория ее движения. 

Чтобы изменить значение амплитуды колебаний вдоль оси Х (A_x) и вдоль оси Y (A_y), необходимо передвинуть ползунок вдоль соответствующей шкалы в правой верхней части окна. Амплитуда может изменяться от значения 0 до значения 250. Левое крайнее положение соответствует минимальному значению амплитуды, а крайнее правое - максимальному.

Чтобы изменить значение циклической частоты колебаний вдоль оси X (ω_x) и вдоль оси Y (ω_y), необходимо нажать на стрелку "вверх" или "вниз" счетчика справа возле поля с соответствующей надписью. Частота изменяется в пределах от 1 до 10 с интервалом равным 1 (рис. 2.6.7.)

 

Рис 2.6.7

Чтобы задать разность фаз колебаний вдоль оси Х и Y, нажать на стрелку "вниз" рядом с полем ∆ϕи выбрать пункт из раскрывшегося списка. Значения разности фаз могут быть заданы следующими: 0, π/6, π/5, π/4, π/3, π/2, π.

После того, как установлены параметры, нажать кнопку "Старт". В рабочей области появится точка, движущаяся вдоль траектории, определяемой заданными параметрами колебаний. 

Задания для моделирования

I. Изучение траектории движения точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях.

1       Выбрать значения циклической частоты для горизонтальных и вертикальных колебаний равной 1. Разность фаз выбрать равной 0. Изменяя значение амплитуд горизонтальных и вертикальных колебаний, проследить, как изменяется траектория движения точки.

2       Выбрать значения циклической частоты для горизонтальных и вертикальных колебаний равной 1. Значения амплитуд горизонтальных и вертикальных колебаний сделать разными. Изменяя разность фаз от 0 до π, проследить, как изменяется траектория движения точки.

3       Проделать то же самое, что и в п.2, установив одинаковые амплитуды колебаний в горизонтальном и вертикальном направлениях.

4       Выбрать значения циклической частоты для горизонтальных колебаний равной 2, а для вертикальных колебаний равной 1. Значения амплитуд горизонтальных и вертикальных колебаний сделать одинаковыми. Изменяя разность фаз от 0 до π, проследить, как изменяется траектория движения точки.

5       Проделать то же самое, что и в п.4, установив разные амплитуды колебаний в горизонтальном и вертикальном направлениях.

6       Выбрать значения циклической частоты для горизонтальных колебаний равной 1, а для вертикальных колебаний равной 3. Значения амплитуд горизонтальных и вертикальных колебаний сделать одинаковыми. Изменяя разность фаз от 0 до π, проследить, как изменяется траектория движения точки.

7       Проделать то же самое, что и в п.6, установив разные амплитуды колебаний в горизонтальном и вертикальном направлениях.

8       Выполнить задания, аналогичные п.п. 4-5, 6-7, для трех пар произвольных значений циклической частоты колебаний в горизонтальном и вертикальном направлениях. Например, ω_x = 5 и ω_y = 7.

ІІ. Контрольные задания 

1       Для выполнения контрольных заданий выбрать в меню режим пункт «Идентификация».

2       После этого будет изображена траектория движения точки, совершающей взаимно перпендикулярные колебания.

3       Необходимо по изображению траектории определить параметры колебаний и ввести их в соответствующие поля.

4       Амплитуды колебаний вдоль горизонтальной и вертикальной осей ввести в поля A_x и A_y с клавиатуры. Соотношения между частотами ввести в поля ω_x и ω_y с клавиатуры.

Значения разности фаз ∆ϕ выбрать из списка, нажав кнопку «Вниз», справа от поля.

5       После того как введены параметры, нажать кнопку «Проверить». При правильном выполнении задания появится соответствующее сообщение.

6       Если задание выполнено неправильно, можно заново ввести параметры и представить новый ответ, нажав кнопку «Проверить».

7       Если задание выполнено правильно, в раскрывающемся списке выбрать следующий вариант контрольного задания.

8       Можно выполнить пробный расчет, установив параметры и нажав кнопку «Старт». После этого, чтобы вернуться к выполненному неправильно варианту контрольного задания, нажать кнопку «Повторить».

9       Выполнить 3 варианта контрольных заданий. Уравнения соответствующих колебаний записать в тетрадь.

Контрольные вопросы

1.       Записать уравнение гармонических колебаний.

2.       Что такое амплитуда колебаний? Период? Частота?

3.       Записать дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

4.       Вывести формулу для траектории движения точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты.

5.       Что такое фигуры Лиссажу?

Литература

1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высш. шк., 1989. – 608с.

Министерство образования и науки РТ
МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №9
с углубленным изучением отдельных предметов» ЕМР РТ

научно-практическая конференция по физике

 

ОПТИКО-МЕХАНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОСЦИЛЛОГРАФА

 

 

                                                                                             Выполнили: ученики 10 класса

                                                           Сахабутдинов Булат,

                                                        Шайхразиев Наиль

                                                                     Руководитель: Ямаева О.Э.

Елабуга

2012

Проект

«Лазерно-механическая модель осциллографа»

Стр2 Стр2 Стр3 Стр3-8 Стр 9 Стр 9

Содержание.

1.     Введение.                                                                                 

2.     Цели и задачи.

3.     Исследовательская часть.

4.     Разработка прибора и конструирование.

5.      Выводы. Перспективы использования.

6.     Источники информации.

Введение.

Электронный осциллограф- прибор для демонстрации и измерения параметров переменного напряжения. С его помощью можно, например, изучать преобразованные в электрический сигнал в микрофоне звуковые колебания.  К сожалению, не во всех школах осциллографы имеются. Мы предлагаем альтернативу-  оптико- механический осциллограф.

Цели и задачи работы.

Цель- Создать прибор для демонстрации принципа действия осциллографа, его возможностей при изучении механических и электромагнитных колебаний.

Задачи:

1.     Изучить принцип действия электронного осциллографа

2.     Разработать оптико-механическую модель

3.     Сконструировать и собрать установку

4.     Испытать и откорректировать устройство

5.     Составить описание прибора:

-назначение, практическая значимость

-принцип действия, конструкция, схема

-техника использования и техника безопасности при эксплуатации

6.  Проанализировать достоинства и недостатки

Исследовательская часть.

Принцип действия электронного осциллографа основан на развертке электронного луча на люминесцентном экране в двух взаимно перпендикулярных направлениях с помощью электрического поля. Электронный луч создается электронной пушкой , направляется на люминисцентный экран. На вход можно подавать переменный сигнал с генератора колебаний или микрофона.

 Если колебания луча происходят в вертикальном направлении, то линейное смещение его по горизонтали дает картину в виде синусоиды.

Разработка прибора.

1.   Назначение прибора

Прибор для демонстрации принципа действия осциллографа, его возможностей при изучении механических и электромагнитных колебаний.

2.   Принцип действия прибора

Электронный луч заменяем на лазерный, который создаем обыкновенной лазерной указкой. Управление лучом будем выполнять с помощью колеблющихся зеркал, установленных на динамиках, по закону отражения света. Картинка в виде быстро перемещающейся светящейся точки вследствие инертности зрения будет сливаться в линии.

Колебания зеркал происходят гармонически, под действием сигналов звуковой частоты, получаемых в генераторах.  В качестве экрана можно использовать любую светлую поверхность, указка дает яркий луч. Чем дальше экран- тем крупнее проекция.

3.    Конструкция прибора, схема, внешний вид

.

ГЗЧ - генератор звуковых частот

Д – динамики с зеркалами

ЛУ – лазерная указка

4.   Техника использования.

Опыт 1. Демонстрация графика гармонических колебаний.

Зеркало колеблющееся на Д1 дает изображение луча в виде отрезка. Для временной развёртки будем использовать второе зеркало, закреплённое на стрелке метронома. В этом случае на экране вырисовывается синусоида.

 Опыт 2. Демонстрация сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний (фигуры Лиссажу).

Основы получения фигур Лиссажу.

Физическая модель. Пусть материальная точка одновременно совершает гармонические колебания вдоль двух взаимно перпендикулярных направлений – горизонтального (ось Х) и вертикального (ось Y). В общем случае уравнения движения вдоль оси Х и оси Y могут быть записаны в следующей форме:

где t – время, A – амплитуда колебаний вдоль оси Х, B – амплитуда

колебаний вдоль оси Y, w – циклическая частота горизонтальных колебаний, w - циклическая частота вертикальных колебаний, a- разность начальных фаз колебаний. 

Уравнение траектории в этом случае представляется в виде

.

Если , то при , траектория представляет собой прямую

при - эллипс

,

при - траектория окружность

.

Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называется фигурой Лиссажу. Если ( частоты колебаний не равны), то траектория

имеет следующий вид

Если , то траектория имеет вид, показанный ниже

При определенных соотношениях частот колебаний и фаз результирующее колебание на экране выглядит в виде соответствующих фигур.

Математическая модель.

Математическое выражение для кривой Лиссажу

где A, B — амплитуды колебаний, a, b — частоты, δ — сдвиг фаз

Вид кривой сильно зависит от соотношения a/b. Когда соотношение равно 1, фигура Лиссажу имеет вид эллипса, при определённых условиях она имеет вид прямой (A = B, δ = π/2 радиан) и отрезка прямой (δ = 0). Ещё один пример фигуры Лиссажу — парабола (a/b = 2, δ = π/2). При других соотношениях фигуры Лиссажу представляют собой более сложные фигуры, которые являются замкнутыми при условии a/b — рациональное число.

Фигуры Лиссажу, где a = 1, b = N (N — натуральное число) и

являются полиномами Чебышева первого рода степени N.

 Анализ формулы при математическом сложении формул двух косинуидальных колебаний показывает,что, действительно, график полученной функции является либо отрезком, либо эллипсом, либо более сложной функцией.

Компьютерная модель позволяет наблюдать фигуры Лиссажу при различных соотношениях частот. (см приложение) 

5.   Техника безопасности при эксплуатации установки.

-Установка работает на переменном напряжении 24 вольт, безопасного для человека напряжения.

-Воздействие лазерного луча на сетчатку может привести к нарушениям зрения, поэтому избегать попадания луча в глаз.

-Рекомендуется использовать частоты до 200 Гц

 6. Достоинства и недостатки.

Прибор достаточно прост в обращении, но настройка зеркал требует времени.

Ярко и наглядно демонстрирует работу осциллографа.

Опыты при приобретении навыков работы проводятся просто и быстро.

Недостатком является шум, громоздкость.  

 Выводы. Перспективы использования.

Итак,  сконструированный прибор расширяет возможности ознакомления на уроках физики  с темами «механические и электромагнитные колебания», «оптика». Устройство оригинально и не имеет аналогов, легко собирается.

Источники информации.

1.http://physicsoscillat.ucoz.ru/index/slozhenie_vzaimno_perpendikuljarnykh_kolebanij/0-16

2.http://physicsoscillat.ucoz.ru/load/kolebatelnoe_dvizhenie/slozhennie_vzaimno_perpendikuljarnykh_kolebanij/slozhenie_vzaimno_perpendikuljarnykh_kolebanij/8-1-0-13

3.http://www.heuristic.su/effects/catalog/est/byId/description/1250/index.html

4. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%E8%E3%F3%F0%FB_%CB%E8%F1%F1%E0%E6%F3

5. http://ido.tsu.ru/schools/physmat/data/res/virtlab/

6. http://users.kpi.kharkov.ua/koef/Files/pr_c.files/Lab_w/2.2_opt(Lissajous).pdf