Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Презентации / Научно-исследовательский проект "Теорема Пифагора и различные способы её доказательства" (8 класс).
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Научно-исследовательский проект "Теорема Пифагора и различные способы её доказательства" (8 класс).

библиотека
материалов
Муниципальное казённое образовательное учреждение «Средняя общеобразовательн...
Содержание Пояснительная записка. Цель и задачи исследовательской работы. Из...
Пояснительная записка При изучении курса математики, мы познакомились с новы...
Цели проекта. Основная цель моей работы состоит в том, чтобы рассмотреть раз...
Из биографии Пифагора Самое большее, что известно сейчас народонаселению об...
Пифагор не оставил после себя собрания сочинений, он держал своё учение в та...
Из истории теоремы Строго говоря, хоть теорема и называется «теоремой Пифаго...
Формулировки теоремы в переводе с греческого, латинского и немецкого языков...
Сейчас существует три формулировки теоремы Пифагора: 1. В прямоугольном треу...
Простейшее доказательство А В С Простейшее доказательство теоремы получается...
Доказательство, основанное на равнодополняемости а в с в² а² а в с с² = Расп...
Доказательство индийского математика Бхаскари а в с в а - в в в с Метод Бхас...
Доказательство ІХ века н. э. 1 2 3 4 5 Математики 9 столетия новой эры разме...
Доказательство Вальдхейма а в с а в с Вальдхейм пользуется тем, что площадь...
Доказательства основанные на теории подобия А В С Н а в с В прямоугольном ∆...
В С А Е Д F а в с Проведём окружность с центром в точке В и радиусом с. В ок...
В А Р С К а в с Проведём окружность с центром В и радиусом а. Из точки А, ле...
Доказательство Хоукинса А В С А1 В1 а в Д с а в с 1. Повернём прямоугольный...
Значение теоремы Пифагора Теорема Пифагора по праву является одной из основн...
Кроме этого практическое значение теоремы Пифагора и обратной ему теоремы за...
Но не надо думать, что теорема Пифагора больше не имеет других значений. Из...
Заключение На данный момент в научной литературе зафиксировано около 500 док...
Список использованной литературы Березин В. Я. Теорема Пифагора. Квант, №8,...
 Спасибо за внимание!
24 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Муниципальное казённое образовательное учреждение «Средняя общеобразовательн
Описание слайда:

Муниципальное казённое образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 2» города Черкесска Карачаево – Черкесской республики. Тема научно – исследовательского проекта «Теорема Пифагора и различные способы её доказательства». Автор проекта: ученица 8 класса Джубуева Белла. Научный руководитель: учитель математики Блохина Елена Васильевна.

№ слайда 2 Содержание Пояснительная записка. Цель и задачи исследовательской работы. Из
Описание слайда:

Содержание Пояснительная записка. Цель и задачи исследовательской работы. Из биографии Пифагора. Из истории теоремы Пифагора. Различные формулировки теоремы. Способы доказательства теоремы: Простейшее доказательство. Доказательство, основанное на равнодополняемости. Доказательство индийского математика Бхаскари. Доказательство ІХ века нашей эры. Доказательство Вальдхейма. Три доказательства, основанные на теории подобия. Доказательство Хоукинса. Значение и применение теоремы Пифагора в современной жизни человека. Заключение. Список использованной литературы.

№ слайда 3 Пояснительная записка При изучении курса математики, мы познакомились с новы
Описание слайда:

Пояснительная записка При изучении курса математики, мы познакомились с новым разделом – это раздел «Геометрия». Наш учитель математики познакомила нас в 8 классе с простой теоремой для прямоугольного треугольника – теоремой Пифагора. Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах»- квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота-красота-значимость. С одной стороны ее формулировка очень проста, ее доказательство не вызывает никаких затруднений. Но меня больше всего поразило другое – это одна из немногих теорем, которая имеет так много различных способов доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т. д.) Это меня очень заинтересовало. Ведь, как правило, теорема имеет 1-2 доказательства. А здесь все наоборот. Цель моей исследовательской работы была: с помощью различных интернетисточников и литературы изучить биографию древнегреческого философа и математика Пифагора и способы доказательства теоремы Пифагора.

№ слайда 4 Цели проекта. Основная цель моей работы состоит в том, чтобы рассмотреть раз
Описание слайда:

Цели проекта. Основная цель моей работы состоит в том, чтобы рассмотреть различные способы доказательства теоремы Пифагора. Изучить биографию Пифагора Изучить историю открытия теоремы Показать какое значение имеет теорема Пифагора в развитии науки и техники, в математике в целом. Задачи проекта. Получить информацию по данному вопросу из разных источников. Проанализировать информацию. Рассмотреть различные способы доказательства теоремы Пифагора. Показать значение и применение теоремы Пифагора. Оформить результаты работы в виде презентации. Методы работы. Изучение  различных источников: книги, статьи, материалы в интернете.       Отбор необходимой информации. Компьютерное  моделирование.                                              

№ слайда 5 Из биографии Пифагора Самое большее, что известно сейчас народонаселению об
Описание слайда:

Из биографии Пифагора Самое большее, что известно сейчас народонаселению об этом уважаемом древнем греке, укладывается в одну фразу: "Пифагоровы штаны на все стороны равны". Авторов этой дразнилки явно отделяют от Пифагора века, иначе бы они дразниться не посмели. Потому что Пифагор - вовсе не квадрат гипотенузы, равный сумме квадратов катетов. Это знаменитый философ. Пифагор жил в шестом веке до нашей эры, имел красивую внешность, носил длинную бороду, а на голове золотую диадему. Пифагор - это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - "убеждающий речью".) Своими речами приобрёл 2000 учеников, которые вместе со своими семьями образовали школу-государство, где действовали законы и правила Пифагора. Он первый дал название своему роду деятельности. Слово "философ", как и слово "космос" достались нам от Пифагора. В его философии много космического. Он утверждал, что для понимания Бога, человека и природы надо изучать алгебру с геометрией, музыку и астрономию. Кстати, именно пифагорейская система знаний, и называется по-гречески "математикой". Что касается пресловутого треугольника с его гипотенузой и катетами, то это, согласно великому греку, больше, чем геометрическая фигура. Это "ключ" ко всем зашифрованным явлениям нашей жизни. Всё в природе, говорил Пифагор, разделено на три части. Поэтому прежде чем решать любую проблему, её надо представить в виде треугольной диаграммы. "Узрите треугольник - и задача на две трети решена".

№ слайда 6 Пифагор не оставил после себя собрания сочинений, он держал своё учение в та
Описание слайда:

Пифагор не оставил после себя собрания сочинений, он держал своё учение в тайне и передавал ученикам устно. В результате тайна умерла вместе с ними. Кое-какая информация всё же просочилась в века, но теперь уже трудно сказать, сколько в ней истинного, а сколько ложного. Даже с пифагоровой теоремой не всё бесспорно. Некоторые историки сомневаются в авторстве Пифагора, утверждая, что её вовсю использовали в хозяйстве самые разные древние народы. Что уж говорить об отдельных фактах биографии великого математика! Рассказывали, например, что он мог заставить птиц изменить направление полёта. Он разговаривал с медведицей, и та перестала нападать на людей, он беседовал с быком, и тот под влиянием беседы перестал трогать бобы и поселился при храме. Однажды, переходя вброд реку, Пифагор вознёс молитву духу реки, и из воды послышался голос: "Приветствую тебя, Пифагор!" Говорили также, что он повелевал духами: посылал их в воду и, глядя на рябь, делал предсказания. Влияние его на людей было так велико, что похвала из уст Пифагора переполняла его учеников восторгом. Он будто бы умудрялся исцелять людей, напевая им стихи из "Илиады" и "Одиссеи" Гомера. Он знал лекарственные свойства огромного количества растений. В последующие столетия фигура Пифагора была окружена множеством легенд.

№ слайда 7 Из истории теоремы Строго говоря, хоть теорема и называется «теоремой Пифаго
Описание слайда:

Из истории теоремы Строго говоря, хоть теорема и называется «теоремой Пифагора», сам Пифагор ее не открывал. Прямоугольный треугольник и его особенные свойства изучались задолго до него. Есть две полярных точки зрения на этот вопрос. По одной версии Пифагор первым нашел полноценное доказательство теоремы. По другой доказательство не принадлежит авторству Пифагора. Сегодня уже не проверишь, кто прав, а кто заблуждается. Известно лишь, что доказательства Пифагора, если оно когда-либо существовало, не сохранилось. Впрочем, высказываются предположения, что знаменитое доказательство из «Начал» Евклида может принадлежать как раз Пифагору, и Евклид его только зафиксировал. Также сегодня известно, что задачи о прямоугольном треугольнике встречаются в египетских источниках времен фараона Аменемхета I, на вавилонских глиняных табличках периода правления царя Хаммурапи, в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» и древнекитайском сочинении «Чжоу-би суань цзинь». Как видим, теорема Пифагора занимала умы математиков с древнейших времен. Подтверждением служит и около 500 разнообразных доказательств, существующих сегодня. В этом с ней не может тягаться ни одна другая теорема. Среди знаменитых авторов доказательств можно вспомнить Леонардо да Винчи и двадцатого президента США Джеймса Гарфилда. Все это говорит о чрезвычайной важности этой теоремы для математики: из нее выводится или так или иначе с нею связано большинство теорем геометрии.

№ слайда 8 Формулировки теоремы в переводе с греческого, латинского и немецкого языков
Описание слайда:

Формулировки теоремы в переводе с греческого, латинского и немецкого языков У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол". Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э. ), сделанный Герхардом Клемонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит: "Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол". В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так : "Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу". В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".

№ слайда 9 Сейчас существует три формулировки теоремы Пифагора: 1. В прямоугольном треу
Описание слайда:

Сейчас существует три формулировки теоремы Пифагора: 1. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 2. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. 3. Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равносоставлен с квадратами, построенными на катетах. Обратная теорема Пифагора: Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a2 + b2 = c2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. в а с

№ слайда 10 Простейшее доказательство А В С Простейшее доказательство теоремы получается
Описание слайда:

Простейшее доказательство А В С Простейшее доказательство теоремы получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АВ, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по 2. Теорема доказана.

№ слайда 11 Доказательство, основанное на равнодополняемости а в с в² а² а в с с² = Расп
Описание слайда:

Доказательство, основанное на равнодополняемости а в с в² а² а в с с² = Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (а + в), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и внутреннего квадрата ( а + в ) ² = 4 · 0,5 а в + с ² а ² + 2 а в + в ² = 2 а в + с ² с ² = а ² + в ² Теорема доказана.

№ слайда 12 Доказательство индийского математика Бхаскари а в с в а - в в в с Метод Бхас
Описание слайда:

Доказательство индийского математика Бхаскари а в с в а - в в в с Метод Бхаскари заключается в следующем: выразить площадь квадрата, построенного на гипотенузе ( с ² ), как сумму площадей треугольников ( 4S = 4· 0,5 а в) и площадь квадрата ( а – в ) ². То есть получается, что с ² = 4 · 0,5 а в + ( а – в ) ² с ² = 2 а в + а ² - 2 а в + в ² с ² = а ² + в ² Теорема доказана.

№ слайда 13 Доказательство ІХ века н. э. 1 2 3 4 5 Математики 9 столетия новой эры разме
Описание слайда:

Доказательство ІХ века н. э. 1 2 3 4 5 Математики 9 столетия новой эры разместили квадраты, построенные на катетах, ступенями, один рядом с другим. Индусы называли эту композицию «стулом невесты». Построен и квадрат со стороной, равной гипотенузе. Общая часть двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного на гипотенузе, - неправильный заштрихованный шестиугольник 5. Присоединив к нему треугольники 1; 2 и ещё один маленький треугольник, получим оба квадрата, построенные на катетах; если же к заштрихованной фигуре присоединить треугольники 3 и 4 (соответственно равные 1 и 2) и такой же маленький треугольник, то получим квадрат, построенный на гипотенузе.

№ слайда 14 Доказательство Вальдхейма а в с а в с Вальдхейм пользуется тем, что площадь
Описание слайда:

Доказательство Вальдхейма а в с а в с Вальдхейм пользуется тем, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, а площадь трапеции равна произведению полусуммы параллельных оснований на высоту. Теперь, чтобы доказать теорему, достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями S трапеции = 0,5(а + в) (а + в) = 0,5 (а + в) ² S трапеции = 0,5 а в + 0,5 а в + 0,5 с ² Приравнивая правые части, получаем 0,5 (а + в) ² = 0, 5 а в + 0,5 а в + 0,5 с ² (а + в) ² = а в + а в + с ² а ² + 2 а в + в ² = 2 а в + с ² с ² = а ² + в ² Теорема доказана.

№ слайда 15 Доказательства основанные на теории подобия А В С Н а в с В прямоугольном ∆
Описание слайда:

Доказательства основанные на теории подобия А В С Н а в с В прямоугольном ∆ АВС (∟С = 90º ) проведём высоту СН. Тогда исходный треугольник разобьётся на два треугольника, тоже являющихся прямоугольными. Полученные треугольники будут подобны друг другу и исходному треугольнику ( первый признак подобия прямоугольных треугольников). Так как у подобных треугольников сходственные стороны пропорциональны, то АС : АН = АВ : АС = ВС : СН; АВ : ВС = ВС : ВН = АС : СН Получим верные равенства: АС · АС = АВ · АН , ВС · ВС = АВ · ВН в · в = с · АН а · а = с ·ВН Складывая эти два верных равенства, получим в ² + а ² = с (АН + ВН ) с ² = а ² + в ² . Теорема доказана.

№ слайда 16 В С А Е Д F а в с Проведём окружность с центром в точке В и радиусом с. В ок
Описание слайда:

В С А Е Д F а в с Проведём окружность с центром в точке В и радиусом с. В окружности проведём две пересекающиеся хорды АД и ЕF, одна из которых проходит через центр окружности. Так как АВ = ВД (радиусы), то ∆АВД равнобедренный и ВС является его высотой.Значит∆АВСпрямоугольный. В теории подобия доказывается, что если две хорды окружности АД и ЕF пересекаются в точке С , то АС · СД = ЕС · СF в · в = ( с – а) ( с + а) в ² = с ² - а ² с ² = а ² + в ² Теорема доказана.

№ слайда 17 В А Р С К а в с Проведём окружность с центром В и радиусом а. Из точки А, ле
Описание слайда:

В А Р С К а в с Проведём окружность с центром В и радиусом а. Из точки А, лежащей вне окружности, проведём касательную АС (С–точка касания) и секущую, пересекающую окружность в точках К ;Р. Из теории подобия известно, что если через точку А, лежащую вне окружности, провести касательную АС (∆ АВС прямоугольный ) и секущую, пересекающую окружность в точках К и Р, то АС ² = АР · АК в ² = (с + а) (с – а) в ² = с ² - а ² с ² = а ² + в ² Теорема доказана.

№ слайда 18 Доказательство Хоукинса А В С А1 В1 а в Д с а в с 1. Повернём прямоугольный
Описание слайда:

Доказательство Хоукинса А В С А1 В1 а в Д с а в с 1. Повернём прямоугольный ∆АВС (с прямым углом С) вокруг центра в точке С на 90º таким образом, чтобы он занял положение А1 В1 С , как показано на рисунке. 2. Продолжим гипотенузу В1 А1 за точку А1 до пересечения с линией АВ в точке Д. Отрезок В1 Д будет высотой ∆В1АВ ( так как ∟В1ДА = 90º). 3. Рассмотрим четырёхугольник А1АВ1В. С одной стороны SА1АВ1В =SСАА1 + SСВВ1 =0,5в · в + 0,5а · а=0,5(а² + в²) С другой стороны SА1АВ1В = SА1ВВ1 + SАА1В1 = 0,5 с · ВД + 0,5 с · АД = = 0,5 · с ·(АД + ВД) = 0,5 · с ² Приравнивая полученные выражения, получим 0,5 (а² + в²) = 0,5 с² а² + в² = с² Теорема доказана.

№ слайда 19 Значение теоремы Пифагора Теорема Пифагора по праву является одной из основн
Описание слайда:

Значение теоремы Пифагора Теорема Пифагора по праву является одной из основных теорем математики. Значение этой теоремы заключается в том, что при ее помощи можно вывести большую часть теорем в геометрии. Ценность ее в современном мире также велика, поскольку теорема Пифагора применяется во многих отраслях деятельности человека. Например, ее используют при расположении молниеотводов на крышах зданий, при производстве окон некоторых архитектурных стилей и даже при вычислении высоты антенн операторов мобильной связи. И это далеко не весь перечень практического применения данной теоремы. Вот почему очень важно знать теорему Пифагора и понимать ее значение.

№ слайда 20 Кроме этого практическое значение теоремы Пифагора и обратной ему теоремы за
Описание слайда:

Кроме этого практическое значение теоремы Пифагора и обратной ему теоремы заключается в том, что с их помощью можно найти длины отрезков, не измеряя самих отрезков. Именно по этой причине теорема Пифагора так важна для человечества, которое стремится открывать все больше измерений и создавать технологии в этих измерениях. Например, в Германии недавно открылся кинотеатр, где показывают кино в семи измерениях: первые четыре даже перечислять не стоит, а также время, запах и вкус. Это наглядно говорит о том, насколько быстро увеличивается количество измерений, используемых человечеством. Ведь еще три года назад никто и не заикался о более чем трех измерениях в кино. Вы спросите: а как связаны между собой теорема Пифагора и запахи, вкусы? А все очень "просто": ведь при показе кино надо рассчитать куда и какие запахи направлять и т.д. Представьте: на экране показывают джунгли, и вы чувствуете запах листьев, показывают обедающего человека, а вы чувствуете вкус еды... Захватывает? Конечно да, и это говорит о том, насколько много направлений деятельности еще будет у теоремы Пифагора .

№ слайда 21 Но не надо думать, что теорема Пифагора больше не имеет других значений. Из
Описание слайда:

Но не надо думать, что теорема Пифагора больше не имеет других значений. Из того, что я уже сказала, надо сделать вывод, что все эти технологии используются также и в других отраслях. Например, при строительстве любого сооружения, рассчитывают расстояния, центры тяжести, размещение опор, балок и т.д. В целом, значение теоремы, кроме вышесказанного, заключается в том, что она применяется практически во всех современных технологиях, а также открывает простор для создания и придумывания новых.

№ слайда 22 Заключение На данный момент в научной литературе зафиксировано около 500 док
Описание слайда:

Заключение На данный момент в научной литературе зафиксировано около 500 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии. В данной исследовательской работе я рассмотрела всего лишь несколько различных доказательств данной теоремы, но я не буду останавливаться на достигнутом и планирую в дальнейшем расширить исследования по этой теме, пополняя ее новыми знаниями, открывая новые доказательства.

№ слайда 23 Список использованной литературы Березин В. Я. Теорема Пифагора. Квант, №8,
Описание слайда:

Список использованной литературы Березин В. Я. Теорема Пифагора. Квант, №8, 1971 г. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., Учпедгиз, 1959 г. Глейзер Г.И. История математики в школе. М., Просвещение,1982 г. Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., Учпедгиз, 1961 г. Литцман В. Теорема Пифагора. М., Просвещение, 1960 г. А.П.Савин. - Энциклопедический словарь юного математика. М.:Педагогика,1989. Большая энциклопедия Кирила и Мефодия.-2004. http://ru.wikipedia.org http://moypifagor.narod.ru/use.htm  http://moypifagor.narod.ru/literature.htm http://xreferat.ru/54/2139-2-teorema-pifagora.html

№ слайда 24  Спасибо за внимание!
Описание слайда:

Спасибо за внимание!


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Научно-исследовательская работа в школе всегда была актуальна. Востребована она и сегодня. Это совместный труд учащегося и педагога. Работа над исследовательским проектом увлекает обоих. Успех зависит от каждого из участников проекта, от их целеустремлённости, желания довести исследование до логического завершения.

Представляем Вашему вниманию научно-исследовательский проект " Теорема Пифагора и различные способы её доказательства". Работала над проектом ученица 8 класса. Это исследование занимало умы обеих: и ученицу, и учителя. Надеемся, что наш проект придётся Вам по душе. Презентация содержит интересный исторический материал, 10 способов доказательства теоремы Пифагора.

Автор
Дата добавления 11.07.2015
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров4341
Номер материала 316548
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх