Инфоурок / Математика / Научные работы / НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ.

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ.

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ topologicheskie_obekty_i_ih_primenenie.pptx

библиотека
материалов
Цели проекта Найти необходимую информацию и изучить фундаментальные начала т...
Задачи Обработать материалы информационных ресурсов сети и дополнительной ли...
Что такое топология? Топология – раздел математики, который изучает свойства...
Топология не рассматривает метрические свойства объектов. Например, кружка и...
 Топологические свойства Непрерывность Связность Односторонность
Непрерывность Непрерывность – присутствие места в определенной области фигур...
Связность Связность – состояние пространства, при котором все его части соед...
Односторонность Это свойство подразумевает наличие у фигуры только одной сто...
Рассматриваемые области Проблема четырех красок Задачи на вычерчивание фигур...
 Проблема четырех красок
Вычерчивание фигур одним росчерком
Свойства листа Мебиуса Разрезание на треть от края Итог: одна - короткая лен...
Разрезаем четверть от края Итог: получается 2 кольца вдвое длиннее первоначал...
Если у ременной передачи ремень сделать в виде листа Мёбиуса, то его поверхн...
Это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной ин...
 Искусство
Это украшение в виде ленты Мебиуса выполнено в Риге в 2001 году. Лист Мебиуса...
Бутылка Клейна — определенная неориентируемая поверхность первого рода, т.е....
 Заключение
27 1

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.


Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.


Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Цели проекта Найти необходимую информацию и изучить фундаментальные начала т
Описание слайда:

Цели проекта Найти необходимую информацию и изучить фундаментальные начала топологии Представить азы науки ученикам школ для их общего развития Отобрать несколько объектов изучения топологии и провести несколько простых опытов

№ слайда 3 Задачи Обработать материалы информационных ресурсов сети и дополнительной ли
Описание слайда:

Задачи Обработать материалы информационных ресурсов сети и дополнительной литературы, касающихся топологии Изучить свойства топологических объектов на примере проделывания манипуляций с листом Мёбиуса

№ слайда 4
Описание слайда:

№ слайда 5 Что такое топология? Топология – раздел математики, который изучает свойства
Описание слайда:

Что такое топология? Топология – раздел математики, который изучает свойства фигур, сохраняющихся при деформации этих фигур.

№ слайда 6 Топология не рассматривает метрические свойства объектов. Например, кружка и
Описание слайда:

Топология не рассматривает метрические свойства объектов. Например, кружка и бублик топологией неотличимы, так как поверхность кружки при деформации переводится в поверхность бублика и наоборот.

№ слайда 7  Топологические свойства Непрерывность Связность Односторонность
Описание слайда:

Топологические свойства Непрерывность Связность Односторонность

№ слайда 8 Непрерывность Непрерывность – присутствие места в определенной области фигур
Описание слайда:

Непрерывность Непрерывность – присутствие места в определенной области фигуры, когда множество точек обрывается и не соединяется с точками начала этого множества.

№ слайда 9 Связность Связность – состояние пространства, при котором все его части соед
Описание слайда:

Связность Связность – состояние пространства, при котором все его части соединены в единое множество точек. То есть пространство представлено одним «куском». А – связное пространство В – несвязное пространство

№ слайда 10 Односторонность Это свойство подразумевает наличие у фигуры только одной сто
Описание слайда:

Односторонность Это свойство подразумевает наличие у фигуры только одной стороны. Топология изучает только односторонние поверхности.

№ слайда 11 Рассматриваемые области Проблема четырех красок Задачи на вычерчивание фигур
Описание слайда:

Рассматриваемые области Проблема четырех красок Задачи на вычерчивание фигур одним росчерком

№ слайда 12  Проблема четырех красок
Описание слайда:

Проблема четырех красок

№ слайда 13 Вычерчивание фигур одним росчерком
Описание слайда:

Вычерчивание фигур одним росчерком

№ слайда 14
Описание слайда:

№ слайда 15 Свойства листа Мебиуса Разрезание на треть от края Итог: одна - короткая лен
Описание слайда:

Свойства листа Мебиуса Разрезание на треть от края Итог: одна - короткая лента Мебиуса, другая - длинная с двумя перекрутами Свойства листа Мебиуса

№ слайда 16 Разрезаем четверть от края Итог: получается 2 кольца вдвое длиннее первоначал
Описание слайда:

Разрезаем четверть от края Итог: получается 2 кольца вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое перекрученные, сцепленные между собой.

№ слайда 17 Если у ременной передачи ремень сделать в виде листа Мёбиуса, то его поверхн
Описание слайда:

Если у ременной передачи ремень сделать в виде листа Мёбиуса, то его поверхность будет изнашиваться вдвое медленнее, чем у обычного кольца. Это даёт ощутимую экономию. Применение листа Мебиуса

№ слайда 18 Это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной ин
Описание слайда:

Это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности. Магнитофонная лента, расположенная в кассете по ленте Мёбиуса, будет проигрываться в два раза дольше.

№ слайда 19  Искусство
Описание слайда:

Искусство

№ слайда 20 Это украшение в виде ленты Мебиуса выполнено в Риге в 2001 году. Лист Мебиуса
Описание слайда:

Это украшение в виде ленты Мебиуса выполнено в Риге в 2001 году. Лист Мебиуса в скульптуре и архитектуре. г. Москва

№ слайда 21
Описание слайда:

№ слайда 22
Описание слайда:

№ слайда 23 Бутылка Клейна — определенная неориентируемая поверхность первого рода, т.е.
Описание слайда:

Бутылка Клейна — определенная неориентируемая поверхность первого рода, т.е. поверхность, у которой нет различия между внутренней и внешней сторонами, и которая, таким образом, в пространстве ограничивает собой нулевой объем.

№ слайда 24
Описание слайда:

№ слайда 25
Описание слайда:

№ слайда 26  Заключение
Описание слайда:

Заключение

№ слайда 27
Описание слайда:

Выбранный для просмотра документ Топология и ее применение.docx

библиотека
материалов

hello_html_71b9d53b.gif

Оренбургская область

Оренбургский район

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Лицей № 1 п. Первомайский Оренбургский район»





ТЕМА:

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ.







Выполнил: Казаев Кирилл,

ученик 10 класса

Руководитель: Исламова Эльвира Рамилевна,

учитель математики









Донгуз – 2015

СОДЕРЖАНИЕ:



Введение

Цель работы

Задачи

Глава I. Общие понятия топологии

-Что такое топология?

- История развития топологии

Глава II. Топологические свойства и их описание

-Непрерывность

-Связность

- Односторонность

Глава III. Области топологии, рассматриваемые в работе:

- Проблема четырех красок

- Задачи на вычерчивание фигур одним росчерком

- Односторонние поверхности

Глава IV. Некоторые объекты, изучаемые топологией

- Лист Мебиуса и его свойства

- Применение листа Мебиуса

- Бутылка Клейна

- Свойства бутылки Клейна

Заключение





Цели:

  • - Найти необходимую информацию, изучить и познать фундаментальные начала топологии

  • - Представить азы науки в упрощенном виде ученикам школ для их общего развития

Задачи:

  • - Обработать материалы информационных ресурсов сети и дополнительной литературы, касающихся топологии

  • - Изучить свойства топологических объектов на примере проделывания манипуляций с листом Мебиуса



























Введение

Со школьной скамьи мы знаем, что геометрия – точная наука, которая не признает погрешностей в различных параметрах разнообразных фигур евклидового пространства. В этой работе мы хотим рассказать о сравнительно молодой «части» современной геометрии - топологии. Она находится в разработке и изучении, ведь непривычное для нас пространство и фигуры в нем сложно не только описать, но и представить. Поэтому, нашим долгом мы считаем изучить начала этого интереснейшего раздела геометрии, плоды трудов выдающихся ученых, которыми мы будем пользоваться при написании работы, и рассказать о нем школьникам для понимания того, что современная наука не ограничивается одними точными расчетами. Эта наука, на наш взгляд, имеет очень большой потенциал, поэтому нужно привлекать к ней больше людей, которые, возможно, в будущем внесут свой вклад в это прекрасное творение Лейбница и Эйлера…























Глава I. Общие понятия топологии

Что такое топология?

ТОПОЛОГИЯ (от древнегреческого языка τόπος — место и λόγος — слово, учение) - раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при различных изменениях этой фигуры, например, как растяжение, сжатие или изгибание. Фигуры можно гнуть, растягивать, сжимать, но нельзя склеивать и рвать. Изучаются,  в частности свойства пространств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях, например, связность, ориентируемость. В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов (например, расстояние между парой точек). Например, с точки зрения топологии, кружка и бублик неотличимы. Весьма важными для топологии являются понятия гомеоморфизма и гомотопии. Грубо говоря, это типы деформации, происходящие без разрывов и склеиваний.В научно-популярной литературе топологию часто называют «геометрией на резиновом листе», так как ее наглядно можно представлять себе как геометрию фигур, нарисованных на идеально упругих резиновых листах, которые подвергаются растяжению, сжатию или изгибанию.

Топология – один из новейших разделов математики.













История развития топологии.



Название этой науки дал Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета. Листинг определяет топологию так: «Под топологией будем понимать учение о модальных отношениях пространственных образов, или о законах связности, взаимного положения и следования точек, линий, поверхностей, тел и их частей или их совокупности в пространстве, независимо от отношений мер и величин».

Первое направление топологии (называемое теоретико-множественной топологией) было утверждено Ф. Хаусдорфом и другими математиками (начало ХХ века).

Второе направление топологии (называемое комбинаторной или алгебраической топологией) начало развиваться в 90-х годах прошлого столетия. В этом направлении имеются работы А. Пуанкаре, которые посвящены интегральному исчислению для высших размерностей. Объединил теоретико-множественное и комбинаторное направления Л.Брауэр (1908). Он же изучил понятие размерности. Дальнейшее развитие объединённой теории было продолжено Д. Лефшецем (С. Лефшец первый использовал термин «топология») и другими. С 1930 года топология двигалась более ускоренным шагом. Огромнейший вклад внесли в эту науку М. Морс (теория критических точек), Х. Уитни ( расслоенное пространство), Ж. Де Рама (дифференциальные формы).

Топология дала новый толчок дифференциальной геометрии и развила новую ветвь алгебры (называемой гомологической алгеброй) и алгебраическую геометрию. Советские математики, начиная с 20-х годов, тоже внесли большой вклад в топологию. Особенно важные результаты принадлежат П.С. Александрову, А.Н. Колмогорову, Л.С. Понтрягину, П.С. Урысону. В последние годы успешно работают в этой области математики В.А.Рохлин, М.М. Постников, С.П. Новиков, А.В.Чернавский и другие.

Топология стала отдельной областью математики примерно 90 лет назад, но само её развитие, приходится на последние 70 лет. Топология, как одна из самых новых ветвей науки геометрии, имеет великое будущее. Она образовалась из потребности анализа, но ни в коем случае не является отделом анализа, а принадлежит геометрии (хотя содержит теоремы, связанные с алгеброй). Однако интересно то, что идеи топологии проникают

почти во все области математики.





























Глава II. Топологические свойства и их описание.

Непрерывность.

В основе, в истоках каждого отдела математики можно увидеть основную идею, которая пронизывает все его здание и определяет его лицо. Основной идеей топологии является идея непрерывности. Она встречается уже в математическом анализе, но, подчиненная другим идеям анализа, не получает там заметного развития. Свое полное и всестороннее развитие идея непрерывности получает в топологии. Непрерывность – присутствие места в определенной области фигуры, функции, плоскости и т.д., когда множество точек обрывается и не соединяется с точками начала этого множества.

Связность

Топологическое пространство называется связным, если его нельзя разбить на два пустых открытых множества. В противном случае оно называется несвязным. Таким образом, пространство Х несвязно, если в нем найдутся два непустых открытых множества U и V, которые не пересекаются, а в объединении дают все пространство Х. Можно сказать, что связное пространство «состоит из одного цельного куска».Поскольку, очевидно, разбиение на два непустых открытых множества одновременно является разбиением на два непустых замкнутых множества, то связность можно переформулировать в терминах замкнутых множеств: «Пространство связно тогда и только тогда, когда его нельзя разбить на два непустых замкнутых множества».Так как дополнение к множеству непусто тогда и только тогда, когда само множество не совпадает со всем пространством, а дополнение к открытому множеству замкнуто, то мы получаем еще одно полезное определение связности: «пространство Х связно в том случае, когда в нем имеется только два открыто – замкнутых множества: все пространство Х и пустое множество.»



Односторонность

У каждой из обыкновенных поверхностей имеется две стороны. Это относится к замкнутым поверхностям вроде сферы или тора, и к поверхностям, имеющими границы, каковы, например, диск или тор, из которого удален кусок поверхности. Чтобы легко различать две стороны одной и той же поверхности, их можно было бы раскрасить разными красками. Если поверхность замкнутая, две краски нигде не встретятся. Если поверхность имеет граничные кривые, то разные краски встречаются по этим кривым. Предположим, что по таким поверхностям ползал бы клоп и что-нибудь мешало бы ему пересекать граничные кривые; тогда он оставался бы всегда на оной стороне поверхности.



























Глава III. Области топологии, рассматриваемые в работе:

Проблема четырех красок.

Britain

«Много интересных задач имеются в топологии и среди них – проблема четырёх красок. Вот она: доказать, что каждую карту на сфере можно раскрасить, взяв не более четырёх красок...» Г.Штейнгауз

Проблема заключается в следующем: можно ли любую карту раскрасить в четыре цвета так, чтобы любые две страны, имеющие общую границу, были раскрашены в различные цвета? Проблема четырех красок топологическая, так как ни форма стран, ни конфигурация границ не имеют значения. Вопрос о том, что четырех красок достаточно для соответствующей раскраски любой карты, был впервые высказан в 1852. Опыт показал, что четырех красок действительно достаточно, но строгого математического доказательства не удавалось получить на протяжении более ста лет. И только в 1976 К. Аппель и В.Хакен из Иллинойского университета, затратив более 1000 часов компьютерного времени, добились успеха.

Задачи на вычерчивание фигур одним росчерком.

К топологическим относятся и задачи на вычерчивание фигур одним росчерком. Еще один вклад Эйлера в развитие топологии – это решение знаменитой задачи о кёнигсбергских мостах. Речь шла об острове на реке Преголь в Кёнигсберге (в том месте, где река разделяется на два рукава – Старый и Новый Преголь) и семи мостах, соединяющих остров с берегами. Совершая прогулки в воскресные дни, горожане заспорили: можно ли выбрать такой маршрут, чтобы пройти один и только один раз по каждому мосту и затем вернуться в начальную точку пути? Долго бы спорили жители города, если бы через Кенигсберг не проезжал Леонард Эйлер. Он заинтересовался спором… и разрешил его. Мост1

Эйлер заменил участки суши точками, а мосты – линиями. Полученную схему Эйлер назвал графом , точки – его вершинами, а линии – ребрами. Вершины он разделил на четные и нечетные в зависимости от того, четное или нечетное число ребер выходит из вершины. Эйлер показал, что все ребра графа можно обойти ровна по одному разу по непрерывному замкнутому маршруту, лишь, если граф содержит только четные вершины. Так как граф в задаче о кёнигсбергских мостах содержит только нечетные вершины, мосты невозможно обойти по непрерывному маршруту, побывав на каждом ровно по одному разу и вернувшись к началу маршрута.

180px-Ko180px-Kp

Этот пример показывает, как абстрактность математики позволяет создать математическую модель конкретной задачи. Протяжённость берегов, мостов и островов не играет в задаче никакой роли, важным является только их расположение. Фигура, которую можно начертить одним росчерком называется уникурсальной.





Примеры фигур уникурсальных

Основные положение теории задач на вычерчивание фигур одним росчерком. Во всякой фигуре число нечётных вершин чётно. Фигуру, имеющую более двух нечётных вершин, невозможно начертить «одним росчерком». Фигуру, имеющую ровно 2n нечётных вершин, можно полностью обойти по n отдельным маршрутам. Фигуру, имеющую всего две нечётные вершины, можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги, при этом движение нужно начать с одной из этих нечётных вершин и

закончить во второй из них. Если все вершины фигуры чётные, то можно на отрывая карандаш от бумаги, проводя по каждому ребру только один раз, начертить эту фигуру. Движение можно начать с любой вершины и закончить его в той же вершине.





























Глава IV. Некоторые объекты, изучаемые топологией

Лист Мебиуса и его свойства

Начало современной науки топологии послужило исследование ленты Мёбиуса. Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса придумал в 1858 году немецкий геометр Август Фердинанд Мебиус (1790 - 1868), ученик «короля математиков» Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляло время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одни из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Идея пришла ему в голову, когда служанка не правильно сшила ленту.

mebiusF:\CA8KKUGRCAPYSLI6CAVCWFH5CA6R0TFDCAIAVUHYCA66TAN9CA3VML80CA43YK80CAMNRMF7CA1W6EMOCA990V1LCA8PGTPCCAUGA2WVCAUG5VX7CAHTUF6LCAO2ECRVCAXHJDA8CA0GF4TJCABNP5NOCA3BTL7H.jpg

http://www.wikiznanie.ru/ru-wz/images/thumb/4/49/Mobius_strip.jpg/800px-Mobius_strip.jpg





Лист Мёбиуса - топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. Лента Мёбиуса была обнаружена независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 г. Фердинанд Мёбиус послал в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись опубликовал её результаты. Одновременно с Мёбиусом изобрёл этот лист другой ученик К.Ф.Гаусса- Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского Университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше Мёбиуса, - в 1862 году. Модель ленты Мёбиуса может быть легко сделана. Для этого надо взять бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.

Свойства листа Мебиуса:

Оформим свойства листа Мебиуса, проявляющиеся в результате разрезаний, в таблицу:

C:\Users\Admin\Desktop\Снимок.PNG







Выводы:

Лист Мебиуса имеет один край.

Лист Мебиуса имеет одну сторону.

Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура лента Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.

Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.


Разрезание на треть от края

IMG_0290


hello_html_m79b2c2c8.jpg


Итог: получаются две ленты, одна - короткая лента Мебиуса, другая - длинная лента с двумя перекрутами.


Разрезаем на одну четвертую от края

IMG_0286


IMG_0292


IMG_0300


Итог: получается 2 кольца вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое перекрученные, сцепленные между собой.











Разрезаем ленту с двумя перекрутами

IMG_0362


IMG_0367

Итог: получили два кольца с двумя перекрутами, сцепленные друг с другом.








Применение листа Мебиуса

Лента Мёбиуса используется во многих изобретениях, навеянных тщательным изучением свойств односторонней поверхности. Свойства односторонности листа Мёбиуса было использовано в технике: если у ременной передачи ремень сделать в виде листа Мёбиуса, то его поверхность будет изнашиваться вдвое медленнее, чем у обычного кольца. Это даёт ощутимую экономию.

C:\Users\Admin\Desktop\топология\f_clip_image013.gif





Устройство под названием резистор Мёбиуса – это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности. Никола Тесла запатентовал подобное устройство. Катушка для электромагнитов предназначалась для использования в его системе глобальной передачи электричества без проводов.

untitled



Магнитофонная лента, расположенная в кассете по ленте Мёбиуса, будет проигрываться в два раза дольше. Также в системах записи на непрерывную пленку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). А лет восемнадцать назад ленточке нашли совсем другое применение - она стала играть роль пружины, вот только пружины особенной. Как известно взведённая пружина срабатывает в противоположном направлении. Лента Мёбиуса же, поправ все законы, направления срабатывания не меняет, подобно механизмам с двумя устойчивыми положениями. Такая пружина могла бы стать бесценной в заводных игрушках – её нельзя перекрутить, как обычную – своего рода вечный двигатель.

В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса. В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. И это только ничтожная часть примеров использования этой удивительной поверхности.

шлиф





Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

clip_image002.jpg

Днк1

Физики утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника.

http://cs304908.vk.me/v304908795/953/_HvUWkCeMYQ.jpg

Лента Мебиуса понравилась не только математикам, но и фокусникам. Более 100 лет лента Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

гимнастика

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных - показывает муравьев, ползающих по поверхности листа Мёбиуса. Серию вариантов листа Мёбиуса создал Макс Билл (родился в 1908 г.). В течение почти 20 лет он обращался к листу Мёбиуса, стремясь выразить в скульптуре идею вечного движения и развёртывающейся в пространстве формы. Скульптура «Узел без конца» находится в национальном музее современного искусства в Париже.

hello_html_9db7153.jpgkex13big

545_lb

Лента Мебиуса вдохновила многих художников на создание известных скульптур, картин и для графического искусства. У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967 году в Бразилии состоялся международный математический конгресс. Его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса.И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета.Интерес к листу Мёбиуса не угас и в наши дни. В Москве, в сентябре 2006 года состоялся Фестиваль художественной математики. С большим успехом было принято выступление профессора из г. Токио Джина Акияма. Его представление напоминало шоу иллюзиониста, где было место и листу Мёбиуса .



hello_html_m5c36b270.gif









































Бутылка Клейна

В 1882 году ещё одну одностороннюю поверхность построил немецкий математик Феликс Клейн. Эта поверхность является не только односторонней, но и замкнутой.В математике Бутылка Клейна — это определённая неориентируемая поверхность рода 1, т. е. поверхность (двумерное топологическое пространство), у которой нет различия между внутренней и внешней сторонами. Бутылка Клейна тесно связана с лентой Мёбиуса и вложениями проективной плоскости, например поверхностью Боя. Чтобы сделать бутылку Клейна, необходимо взять бутылку с отверстием в донышке, вытянуть горлышко, изогнуть его вниз, и продев его через отверстие в стенке бутылки (для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве это отверстие не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве), присоединить к отверстию на дне бутылки.

F:\CACW0YNCCA7RN29BCAB8PJSFCALCAHRSCAEAEC7SCAVV4QA9CA624XH4CAM6VUB7CA8SX3R9CA9FX20XCA0X4YI8CAQ6DMXBCABR95LECAFBI28XCA0U8M1TCA69UG3QCAR3GPZUCAQRQ1CSCAKMMOP3CAFPNPJ8.jpg

В отличие от обыкновенного стакана у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась. В отличие от воздушного шара можно пройти путь изнутри наружу не пересекая поверхность (т. е. на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»). Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Flache (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка). При рассечении бутылки Клейна получается лента Мёбиуса (рис.2). На рис.3 представлена развертка бутылки Клейна.

Бутылка Клейна

Свойства бутылки Клейна

Подобно ленте Мёбиуса, бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым неориентируемым многообразием. В отличие от ленты Мёбиуса, бутылка Клейна является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края.

- Бутылка Клейна не может быть вложена (только погружена) в трёхмерное евклидово пространство, но вкладывается в четырехмерное неевклидово.

-Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю.





KleinBottle-02Изображение:KleinBottle-Figure8-01.png

-Если разрезать бутылку Клейна пополам вдоль её оси симметрии, то результатом будет лента Мёбиуса.









Заключение

Таким образом, топологические объекты окружают нас повсюду. Хотя наука топология является относительно молодой наукой, проблемы, которые исследуются в ней, пронизывают многие области знаний.

Удивительные свойства топологических объектов применяются и используются сейчас в технике, физике, оптике, математических науках. Многие объекты топологии вдохновляют на творчество писателей, художников и скульпторов. При написании работы перед нами были поставлены определенные цели. Мы считаем, что цели достигнуты путем выполнения поставленных задач. После ознакомления учеников с нашей работой, у них появятся общие представления об этом замечательном разделе геометрии, о том, что объекты, изучаемые топологией, мы иногда встречаем в современном мире, и нередко пользуемся ими.









Общая информация

Номер материала: ДВ-556968

Похожие материалы