Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Научные работы / Научно-практическая работа "Исследование изопериметрических задач"

Научно-практическая работа "Исследование изопериметрических задач"


  • Математика

Название документа Аннотация.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Аннотация

Зырянова Софья

МКОУ Абалаковская СОШ №1,5класс

«Исследование изопериметрических задач»

Цель работы: доказательство того, что среди многоугольников круг обладает наибольшей площадью.

В данной работе путем проведения экспериментов проверяется «мудрость» царицы Дидоны, доказывается, что из всех прямоугольников квадрат обладает наибольшей площадью, а среди треугольника, квадрата и круга, последний имеет самую большую площадь.

Практическая значимость работы определяется возможностью использования данного материала при решении геометрических задач, при доказательстве некоторых положений, в прикладных приложениях, в объяснении некоторых природных фактов.

Основные результаты работы: проверены исторические факты, приведены объяснения природным явлениям, систематизирован материал по изопериметрическим задачам, по их применениям в жизни.



Название документа Презентация.ppt

Поделитесь материалом с коллегами:

Столько земли, сколько можно окружить «воловьей шкурой»
Тема работы: Исследование изопериметрических задач Цель работы: доказательств...
Изопериметрическая задача – это задача на нахождение площадей фигур с равным...
Эксперимент №1. Какой прямоугольник обладает наибольшей площадью? P=20см=2а+2...
Эксперимент №2.Задача о крестьянине Пахоме P=40км =2а+2в Вывод: если бы Пахом...
Эксперимент №3 a=8см P=24см S= =28 См2 a=6см P=24см S=6 6=36 См2 R=4см S=4 вы...
Зенодор (IIвек до н. э.): Если существует n-многоугольник, имеющий наибольшую...
Проблема: недостаточность знаний
Эксперимент №3:исследование числа, равного С:d Вывод: C/d=3,…. П=3,14 №3 №1 №...
Вывод: чем больше площадь поверхности, тем больше тепла он сохраняет внутри и...
Выводы Из всех прямоугольников квадрат обладает наибольшей площадью Наибольша...
1 из 14

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Столько земли, сколько можно окружить «воловьей шкурой»
Описание слайда:

Столько земли, сколько можно окружить «воловьей шкурой»

№ слайда 3
Описание слайда:

№ слайда 4 Тема работы: Исследование изопериметрических задач Цель работы: доказательств
Описание слайда:

Тема работы: Исследование изопериметрических задач Цель работы: доказательство того, что среди геометрических фигур наибольшую площадь имеет круг. Методы исследования: анализ научно-популярной литературы, проведение экспериментов.

№ слайда 5 Изопериметрическая задача – это задача на нахождение площадей фигур с равным
Описание слайда:

Изопериметрическая задача – это задача на нахождение площадей фигур с равным периметром периметром Евклид (3век до н.э.) Коперник (1473-1543) Ньютон (1642-1727) Архимед (Ivвек до н.э) Зенодор (2век до н.э.)

№ слайда 6 Эксперимент №1. Какой прямоугольник обладает наибольшей площадью? P=20см=2а+2
Описание слайда:

Эксперимент №1. Какой прямоугольник обладает наибольшей площадью? P=20см=2а+2в Вывод: 1.Наибольшей площадью обладает квадрат 2. Чем ближе размеры прямоугольника к их половинам, тем больше их площадь a(длина) 1 2 3 4 5 b(ширина) 9 8 7 6 5 S 9 16 21 24 25

№ слайда 7 Эксперимент №2.Задача о крестьянине Пахоме P=40км =2а+2в Вывод: если бы Пахом
Описание слайда:

Эксперимент №2.Задача о крестьянине Пахоме P=40км =2а+2в Вывод: если бы Пахом, в рассказе Толстого, вздумал вырезать себе участок земли в виде квадрата, он захватил бы наибольшее количество земли. a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 S 19 36 51 64 75 84 91 96 99 100

№ слайда 8 Эксперимент №3 a=8см P=24см S= =28 См2 a=6см P=24см S=6 6=36 См2 R=4см S=4 вы
Описание слайда:

Эксперимент №3 a=8см P=24см S= =28 См2 a=6см P=24см S=6 6=36 См2 R=4см S=4 вывод: чем больше количество сторон, тем больше площадь

№ слайда 9 Зенодор (IIвек до н. э.): Если существует n-многоугольник, имеющий наибольшую
Описание слайда:

Зенодор (IIвек до н. э.): Если существует n-многоугольник, имеющий наибольшую площадь с заданным периметром, то он должен быть правильным

№ слайда 10 Проблема: недостаточность знаний
Описание слайда:

Проблема: недостаточность знаний

№ слайда 11 Эксперимент №3:исследование числа, равного С:d Вывод: C/d=3,…. П=3,14 №3 №1 №
Описание слайда:

Эксперимент №3:исследование числа, равного С:d Вывод: C/d=3,…. П=3,14 №3 №1 №2 Окружность №1 Окружность №2 Окружность №3 C (длина) 27см 15см 45см d (диаметр) 8см 5мм 5см 14см C/d 3(ост.15) 3 3(ост. 30)

№ слайда 12 Вывод: чем больше площадь поверхности, тем больше тепла он сохраняет внутри и
Описание слайда:

Вывод: чем больше площадь поверхности, тем больше тепла он сохраняет внутри и меньше расходует во внешнее пространство. пространство.

№ слайда 13
Описание слайда:

№ слайда 14 Выводы Из всех прямоугольников квадрат обладает наибольшей площадью Наибольша
Описание слайда:

Выводы Из всех прямоугольников квадрат обладает наибольшей площадью Наибольшая площадь у круга Дидона смогла занять территорию в 4км Совет: при выборе участка земли судить не по периметру, а по площади

Название документа Рецензия на исследовательскую работу.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Рецензия на исследовательскую работу

Зырянова Софья Андреевна


Тема «Исследование изопериметрических задач»


  1. Изопериметрические задачи важны не только в математике, но и в других науках и даже в технике. Ведь ежедневно в нашей жизни человеку встречаются задачи на нахождение наибольших или наименьших значений, потому что разумный человек непременно ищет такой путь, который поможет ему достигнуть наибольшей выгоды.

  2. Цель работы: доказательство, что среди многоугольников наибольшую площадь имеет круг. Задачи: познакомиться с формулами вычисления площадей: правильного треугольника и круга; исследовать значение числа ; провести эксперименты с изопериметрическими задачами; найти в различной литературе применение изопериметрических задач.

  3. Практическая новизна результатов: применение задач для решения олимпиадных и прикладных задач

  4. Данная работа может быть использована для проведения математических кружков, для работы в летних математических школах

  5. Анализ научно-популярной литературы, проведение экспериментов

  6. В 1 части работы содержится теоретический и исторический материал по изопериметрической задаче, во второй части –практикум исследования задачи на выявление наибольшей площади и прикладное значение.

  7. Каждый проведенный эксперимент содержит обоснованные выводы и объяснения, четкую формулировку

  8. В работе используется достаточно большой набор литературы, на основании которой делаются анализы и выводы.

  9. У ученика не хватило теоретической подготовки ,в силу возрастных особенностей, на доказательство того, что площадь шестиугольника меньше, чем площадь круга.

  10. Рекомендуется сделать такие же исследования с объемом стереометрических фигур в старших классах.








19.022014___________



Рецензент__________________(И.В.Бусыгина)

Название документа введение.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Ежедневно в нашей жизни нам встречаются задачи на нахождение наибольших или наименьших значений, потому что разумный человек непременно ищет такой путь, который поможет ему достигнуть наибольшей выгоды.

Жадный человек говорит: «Все мое, мое!»,собирая свои руки в круг, показывая, как много добра он может ими захватить. При этом, он даже не подозревает, что этим движением он демонстрирует решение одной из самых древних задач математики - изопериметрической задачи. Но при этом мы даже и не подозреваем, что в таком простом бытовом случае мы решаем изопериметрические задачи.

При изучении темы «Площади» мы услышали от учителя легенду о мудрости царицы Дидоны , которая в поисках нового места жительства, предложила хозяевам новой земли сделку: дать ей взять столько земли, сколько она может «окружить бычьей шкурой». Оказалось, что царица выложила шкурой территорию в виде круга, тем самым получив на проживание большой участок земли.

Меня заинтересовал вопрос: на самом ли деле круг обладает самой большой площадью.

Поэтому тема моей работы «Исследование изопериметрических задач»

Выбранную мною тему считаю актуальной, потому что изопериметрические задачи важны не только в математике, но и в и ее приложениях, а также в экономике и технике.

Цель работы: доказательство того, что среди геометрических фигур с равными периметрами

наибольшую площадь имеет круг

Задачи:

  1. Познакомиться с формулами вычисления площадей: правильного треугольника и круга.

  2. Исследовать значение числа hello_html_m264c0141.gif

  3. Провести эксперименты с изопериметрическими задачами.

  4. Найти в различной литературе применение изопериметрических задач.

Методы исследования: анализ научно-популярной литературы, проведение экспериментов.






3




Название документа глава 1 и 2.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m7e7370e5.gifhello_html_m13d9c429.gifhello_html_m4db51dc5.gifhello_html_183f51c5.gif Глава1

Что такое изопериметрическая задача

« Всё моё, моё!» — говорит

жадный человек, собирая

свои руки в круг, показывая,

как много добра он может

ими захватить. При этом,

не подозревая, чт демонст-

рирует решение одной из

самых древних задач матема

тики — изопериметрической

задачи.

1.1.Определение изопериметрической задачи

Слово «изопериметрический» происходит от слов «изос» (по-гречески «равный») и «периметр».Изопериметрическая задача (на плоскости) состоит в нахождении фигуры, имеющей наибольшую площадь среди всех фигур с одним и тем же периметром.Решение изопериметрической задачи является решением другой задачи, а именно: найти фигуру наименьшего периметра среди всех о аналогии с указанной изопериметрической задачей на плоскости можно рассмотреть и пространственную изопериметрическую задачу: какое трехмерное тело среди всех тел той же площади поверхности имеет наибольший объем.

1.2. Изопериметрические задачи в древности

Попытки строгого доказательства изопериметрического свойства круга предпринимались ещё в древности.

Вот что писал Николай Коперник в своей великой книге «О вращениях небесных сфер»: «Прежде всего мы должны заметить, что мир является шарообразным или потому, что эта форма совершеннейшая из всех и не нуждается ни в каких скрепах и вся представляет цельность, или потому, что эта форма среди всех других обладает наибольшей вместимостью, что более всего приличествует тому, что должно охватить и сохранить всё».Если шар вмещает в себя весь мир, то он, конечно, имеет максимальный объём!

В книге Пойа Д. «Математика и правдоподобные рассуждения» написано о том, что «уже древнегреческим математикам был известен ответ в изопериметрической задаче: в плоском случае искомая фигура – это круг (а в пространственном – шар). На эту мысль, наводит, во-первых, непосредственное сравнение площадей некоторых фигур равного периметра (или равной площади поверхности). Во-вторых, некоторые физические соображения также показывают, что ответ в изопериметрической задаче – это круг или шар. Например, капельки воды и мыльные пузыри не случайно имеют форму шара: силы поверхностного натяжения действуют так, чтобы уменьшать площадь поверхности.

В -третьих, древние греки считали круг наиболее совершенной фигурой (она максимально симметрична, именно такую форму имеют небесные тела и их орбиты). Это

4

соображение увеличивало их уверенность в том, что именно круг, помимо других своих

интересных свойств, должен также быть решением изопериметрической задачи.

Но вот геометрически древние греки доказать этого не могли, хотя и пришли к ряду частных, но важных результатов на эту тему, в том числе, в решении разнообразных задач о том, у какой фигуры определенного типа с заданными условиями площадь имеет наибольшее значение. Исследования такого рода имели не только теоретическое, но и практическое значение: при разделе земли в древности иногда совершались махинации, связанные с выдачей кусков большого периметра и маленькой площади; периметр легче измерить, чем площадь, поэтому некоторые доверчивые клиенты судили о величине участка земли по периметру.

В книге Тихомирова В. М. «Рассказы о максимумах и минимумах.» говорится, что «Зенодор (II в. до н. э.) написал целый трактат «Об изопериметрических фигурах». Хотя трактат Зенодора не сохранился, некоторые его результаты дошли до нас в изложении математиков Паппа (III в. н. э.) и Теона (IV в. н. э.), в том числе следующие теоремы:

  • из двух треугольников с общей стороной и равными периметрами меньше площадь того, которому принадлежит наибольший из четырех углов, прилежащих к этой стороне (отсюда сразу следует, что из всех треугольников равного периметра, имеющих общее основание, площадь максимальна у равнобедренного треугольника);

  • при одинаковом числе сторон и равных периметрах площадь правильного многоугольника больше, чем неправильного;

  • при одинаковом числе сторон и равных периметрах площадь правильного многоугольника больше, чем неправильного

Теорема Зенодора: «Максимальный n-многоугольник должен быть правильным»


Изопериметрической задачей занимался еще Евклид, доказывая ее так:



Рпрямоуг-ка=а-х+а+х+х+а-х+а=4а Рквадрата=а-х+а-х+а-х+а-х=4а

Площадь прямоугольника равна S0+S1Площадь квадрата равна S0+S2.,S1<S2 Значит площадь прямоугольника меньше площади квадрата.



5


1.3. Формулировки задачи Дидоны или классическая изопериметрическая задача:

В римской мифологии есть легенда :царица Дидона была дочерью царя Тира и женой жреца Геракла Акербаса. После того как брат Дидоны Пигмалион убил ее мужа, позарившись на его богатства, Дидона была вынуждена бежать. Захватив с собой часть сокровищ мужа, она в сопровождении многочисленных спутников отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря. Ей приглянулось одно место на побережье нынешнего Тунисского залива. Дидона повела переговоры с берберийским царем Ярбом о продаже земли. По условию она могла взять столько земли, сколько можно «окружить бычьей шкурой». Сделка состоялась. Тогда Дидона разрезала эту шкуру на тонкие ремни, связав их воедино, и окружила изрядный кусок земли. На этом месте была основана цитадель Карфагена Бирсу. (По-гречески «бирсу» как раз и означает «шкура».)

Изопериметрические задачи:

-Среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающую максимальную площадь.

-Среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную площадь, найти кривую, имеющих минимальный периметр.

Рассказ Л.Толстого о Пахоме: «крестьянин Пахом, который мечтал о собственной земле и собрал, наконец, желанную сумму, предстал перед требованием старшины: «Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за 1000р. Но если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои деньги». Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырехугольник периметром Р=40 км.»

1.4.Формулы площадей

Площадь фигуры – величина, показывающая сколько места занимает фигура на плоскости.

Sпрямоугольника=ав Sпарал-маh Sтрапеции =hello_html_m70d348b.gifSкруга=hello_html_m45858990.gifR2hello_html_m77559db0.gif

1.5.Свойства площадей

  1. Равные фигуры имеют равные площади

  2. Площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей

  3. За единицу площади принимают площадь квадрата со стороной, равному единичному отрезку

1.6. Определение правильного многоугольника

Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого все стороны и углы равны.





6

Глава 2

Исследование многоугольников

2.1. Эксперимент: сравнение площадей прямоугольников с равным периметром

P=20см

a(длина)

1

2

3

4

5

b(ширина)

9

8

7

6

5

S

9

16

21

24

25


Вывод: 1.Наибольшей площадью обладает квадрат

2. Чем ближе размеры прямоугольника к их половинам ,тем больше их площадь


2.2.Исследование задачи о с крестьянине Пахоме.

Pучастка=40км

a

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

b

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

S

19

36

51

64

75

84

91

96

99

100


Вывод: как видно из таблицы, если бы Пахом, в рассказе Толстого, вздумал вырезать себе участок земли в виде прямоугольного поля, он захватил бы наибольшее количество земли, обходя квадратный участок ,имея бы землю наибольшей площади



2.3. Расчет территории, которую заняла царица Дидона.

Если взять, что Sшкуры быкаhello_html_4fc0a4fe.gif2, а ширина разрезанной полоски 1мм.

Длина всех полосокhello_html_4fc0a4fe.gif 4000000:1=4000000мм=4км.

Вывод: значит, длина всего кругаhello_html_4fc0a4fe.gif4км.




7



2.4. Эксперимент: исследование отношения длины окружности и ее диаметра

Мы измерили длину окружности, ее диаметр и занесли данные в таблицу:


Окружность

№1

Окружность

№2

Окружность №3

C (длина)

27см

15см

45см

d (диаметр)

8см 5мм

5см

14см

C/d

3(ост.15)

3

3(ост. 30)


hello_html_133861af.gifВывод: hello_html_246cd511.gif=3,… hello_html_cafeb94.gif =3,14-число, необходимое для вычисления площади круга

S=hello_html_m7ece5929.gif


2.5. Эксперимент: исследование зависимости площади правильных многоугольников от количества сторон:

Исходя из доказанного утверждения Зенодора о том, что «при одинаковом числе сторон и равных периметрах площадь правильного многоугольника больше, чем неправильного» будем рассматривать правильные: треугольник, четырехугольник.

Периметр у всех геометрических фигур одинаковый. Обозначим: а-количество сторон, Р-периметр, S-площадь.

Правильный треугольник: правильный четырехугольник круг

P=24см Р=24cм Р=24см

a=8 a=6 R=4

S= hello_html_1754d22c.gifS=6hello_html_1b5e890a.gifS= hello_html_m620f7697.gifR2=3hello_html_62757d61.gif

Вывод: чем больше количество сторон, тем больше площадь




8

2.6.Эксперимент с листом бумаги

Можно ли в листе бумаги размером с обычную страницу из тетради проделать такое отверстие, чтобы сквозь него мог пройти человек?

Проверила, что если лист бумаги разрезать так, как показано на рисунке, то при растяжении данной модели можно получить окружность, в которую может пройти человек.



2.7.Применение изопериметрической задачи в жизни

2.7.1. Задача с разделом земли

Изопериметрические задачи считают практичными, потому что их можно использовать в жизненных ситуациях. Например, если нужно огородить изгородью, забором или решёткой участок земли определённой площади так, чтобы длина ограды была насколько возможно малой, причём огороженный участок должен быть прямоугольной формы, но с любым соотношением сторон. В переводе на точный, математический язык это значит: какой из прямоугольников данной площади имеет наименьший периметр?

При разделе земли в древности иногда совершались махинации, связанные с выдачей кусков большого периметра и маленькой площади; периметр легче измерить, чем площадь, поэтому некоторые доверчивые клиенты судили о величине участка земли по периметру.


2.7.2. Форма шляпок гвоздей

Какой гвоздь труднее вытащить: круглый, квадратный или треугольный, если они забиты одинаково глубоко и имеют одинаковую площадь поперечного сечения?

Будем исходить из того, что крепче держится тот гвоздь, который соприкасается с большей поверхностью. При равных площадях периметр квадрата < периметра (п.2.2) треугольника, а периметр окружности <периметра квадрата. Т.к. площадь одинаковая, следовательно, наибольший периметр у треугольника. Следовательно, гвоздь, у шляпка треугольная, значит, крепче сцепляется с поверхностью, в которую забит, а поэтому его вытащить труднее




9

2.7.3. Очевидно, почему кот сворачивается клубком, уменьшая свою поверхность, он уменьшает расход тепла во внешнюю среду.





Заключение

Итак, в своей работе для достижения цели мы самостоятельно провели эксперименты, сделав интересные выводы.

  1. Из всех четырехугольников наибольшей площадью обладает квадрат.

  2. Чем больше количество сторон многоугольника, тем больше его площадь.

  3. Самой большой площадью обладает круг.

  4. Мы смогли объяснить некоторые факты из природы техники, ссылаясь на то, что самая большая площадь у круга.

  5. Проводя собственные исследования по рассказу Толстого о крестьянине Пахоме ,мы убедились ,что, ему необходимо было ему вырезать участок земли в виде квадратного поля, он захватил бы наибольшее количество земли.

  6. Доказательство теоремы Евклида актуально для изопериметрической задачи.

  7. Изопериметрическая задача имеет применение в жизни: а) трубы, шляпки гвоздей, шариковые ручки имеют круглую форму, б) при выборе участка земли для проживания, необходимо учитывать, что судить о размерах участка надо не по периметру, а по площади


Данная работа может быть использована на занятиях математического кружка, при решении задач, при подготовке к олимпиадам.







10


Название документа содержание.docx

Поделитесь материалом с коллегами:


Заочный этап краевого Конкурса юных исследователей окружающей среды

Полное название темы работы

Роль и значение изопериметрических задач

Название номинации

Математика 5-8 класс

Тип работы

Научно – практическая работа

Фамилия Имя автора

Зырянова Софья Андреевна

Территория

Село Абалаково Енисейский район

Место учебы

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Абалаковская средняя общеобразовательная школа №1»

Класс

5 «а»

Место выполнения работы

МКОУ Абалаковская СОШ №1

Руководитель

Бусыгина Ирина Владимировна школа МКОУ Абалаковская СОШ №1 учитель математики +7(902) 920-21-16

Научный руководитель

e-mail (обязательно) Контактный телефон

+7(983) 612-82-80









Содержание

Ведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр.

Глава 1Что такое изопериметрическая задача. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр.

Глава 2 Исследование многоугольников с равными периметрами . . . . .стр.

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .стр.

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр.

Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр.







Название документа титульный,содержание.docx

Поделитесь материалом с коллегами:



Полное название темы работы

Исследование изопериметрических задач

Название секции

Математика

Жанр работы

Исследовательская работа

Фамилия Имя автора

Зырянова Софья Андреевна

Возрастная номинация

5-6 класс

Территория

Село Абалаково Енисейский район

Место учебы

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Абалаковская средняя общеобразовательная школа №1»

Класс

5

Место выполнения работы

МКОУ Абалаковская СОШ №1

Руководитель

Бусыгина Ирина Владимировна школа МКОУ Абалаковская СОШ №1 учитель математики +7(902) 920-21-16

Научный руководитель

e-mail (обязательно) Контактный телефон

+7(983) 612-82-80





















Содержание

Ведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр.3

Глава 1Что такое изопериметрическая задача. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр.4

1.1.Что такое изопериметрическая задача………………………….стр.4

1.2.Изопериметрические задачи в древности………………………стр.4

1.3.Задача Дидоны и легенда о крестьянине Пахоме………………стр.6

1.4.Формулы площадей многоугольников………………………….стр.6

1.5.Свойства площадей……………………………………………….стр.6

1.6.Определение правильного многоугольника…………………… стр.6

Глава 2 Исследование многоугольников ……………………………. . . . . стр7

2.1.Эксперимент:сравнение площадей прямоугольников с равным периметром…………………………………………………………………...стр.7

2.2.Исследование задачи Пахома…………………………………….стр.7

2.3. Расчет территории, которую заняла Дидона……………………стр.7

2.4.Эксперимент:что такое число hello_html_638d75c5.gif………………………………….стр.8

2.5.Эксперимент: зависимость площади от количества сторон……стр.8

2.6.Эксперимент с листом бумаги……………………………………стр.9

2.7.Прикладное значение изопериметрической задачи……………..стр.9

2.7.1.Задача с разделом земли……………………………………...стр.9

2.7.2. Форма шляпок гвоздей………………………………………стр.9

2.7.3. Почему кот сворачивается клубком……………………… стр.10

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр.10

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр.11











Литература



  1. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? – М.: Просвещение, 1967г.

  2. О. В. Мантуров, Ю. К. Солнцев, Ю. И. Суркин, Н. Г. Федин Толковый словарь математических терминов, Пособие для учителей под редакцией проф. В. А. Диткина. - Издательство «Просвещение», Москва, 1965 г.

  3. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. – М.: Физматлит, 1975г.

  4. Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. – М.: Физматгиз, 1966г.

  5. Тихомиров В. М. Рассказы о максимумах и минимумах. Библиотечка «Квант», вып. 56. – М.: Наука, 1986 г.

  6. Шарыгин Д. Миф о Дидоне и изопериметрическая задача. «Квант» №1, 1997г.



































































11












Автор
Дата добавления 16.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров357
Номер материала ДВ-531980
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх