Научно-практическая работа "Линейная функция в экзаменационных задачах" 7 класс

окружной этап региональной

 НАУЧНОЙ КОНФЕРЕНЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ

СЕКЦИЯ “Математика”

Линейная функция

в экзаменационных задачах

                             Автор:

………………., учащаяся 7класса

ГБОУ СОШ с. Надеждино

 Научный руководитель:        

Романова Татьяна Александровна

 – учитель математики

ГБОУ СОШ с. Надеждино

с. Красный Яр. 2016 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Ø	Введение ……………………………………………………..	Стр. 3
Ø	Глава 1. Теоретические сведения	Стр. 7
	1.1.Из истории развития понятия  функции  …..………….	Стр. 7
	1.2. Линейная функция и ее график ……..............................	Стр. 10
	1.3. Свойства линейной функции…………………………...	Стр.13
	1.4. Построение графика линейной функции, содержащей          знак модуля. ……………………………………….…….	Стр.15
	1.5.Решение задач по теме «Линейная функция»  ………	Стр.17
Ø	Глава 2.  Экзаменационные задачи.	Стр. 20
	2.1.  Решение задач «Открытого банка ОГЭ»  …..……….	Стр. 20
	2.2 . Задачи из сборников тренировочных экзаменационных работ …………………………………	Стр. 23
	2.3 . Алгоритм решения задач ………………………………	Стр. 24
Ø	Заключение  …………………………………………………	Стр. 25
	Список литературы ………………………………………..	Стр. 26
·	Приложения
	Приложение №1. Решение задач, объясняющих  с помощью линейной функции  процессы и события в нашей жизни.	Стр. 27
	Приложение №2. Примеры экзаменационных задач из печатных сборников тренировочных заданий для подготовки к ГИА (ОГЭ).	Стр. 29
	Приложение №3. Буклет-памятка Справочный материал по теме «Линейная функция»	Стр. 34

ВВЕДЕНИЕ

В этом году мы начали изучать функции, познакомились с функциональными зависимостями в природе. Учились читать и понимать график линейной функции. Оказывается, математические функции окружают нас в этой жизни со всех сторон!

Первоочередная задача, стоящая перед учащимися: достойно пройти государственную итоговую аттестацию по математике. Оказывается и в ЕГЭ и в ОГЭ включены задания по теме «Линейная функция». Некоторые из них мы решали. Первоначально меня поразила простота задания. Но, учитель отметил, что далеко не все выпускники успешно выполняют данные задания.

Меня заинтересовала эта тема. Посоветовавшись с учителем,  я изучила статистику успешности выполнения данного задания. Оказалось что,   выпускники, как Самарской области, так и всей России с каждым годом хуже выполняют это задание.

Проблема

Статистика показывает низкий процент выполнения данных заданий выпускниками школ.

По данным Самарского Регионального центра мониторинга в образовании (РЦМО)  результаты выполнения данного задания экзаменационной работы (ЕГЭ) по математике снизились за последний год на 10%. (без учета результатов на базовом уровне)

Проверяемые элементы содержания	% успешного выполнения
	2013 г	2014 г	2015г
Уметь выполнять действия с функциями	75%	53%	43%

Я проанализировала   статистику Федерального института педагогических измерений (ФИПИ) с помощью Интернет-ресурсов в разрезе трех лет. (К сожалению, не смогла найти результаты выполнения заданий в 2014,  2015  годах. В аналитических справках они не отражены.) Результаты неутешительные.

Проверяемые элементы содержания	% успешного выполнения
	2011 г	2012 г	2013 г
·         Линейная функция, её график, геометрический смысл коэффициентов ·         Функция, описывающая прямую пропорциональную зависимость, её график ·         Чтение графика числовой функции. ·         Понятие функции. Область определения функции. ·         Способы задания функции	63%	57,3%	61%

Отрадно, что процент успешного выполнения задания №5 выпускниками основных школ Северо-Западного управления министерства образования и науки Самарской области в 2015 году составил 75%.  И это на 15% выше результата учащихся ГБОУ СОШ с. Надеждино.

Результаты выполнения заданий выпускниками 9 класса нашей школы

Контролируемые элементы	Процент успешного выполнения в 2012году	Процент успешного выполнения в 2013 году	Процент успешного выполнения в 2014году	Процент успешного выполнения в 2015году
Уметь строить и читать графики	50%	80%	25%	60%
Описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами; интерпретировать графики реальных зависимостей	50%	100%	50%	50%

15 декабря 2015 года в 7 классах школ  Северо-Западного управления проводилась окружная диагностическая работа.  В задании №4 проверялись элементы содержания «Линейная функция, ее свойства и график, геометрический смысл коэффициентов» Результаты следующие:

Процент успешности выполнения задания № 4
по Елховскому району	по Кошкинскому району	по Красноярскому району	по ГБОУ СОШ с. Надеждино
66%	51%	58%	66%

Актуальность

С подобной задачей каждый выпускник школы встретится на Государственной Итоговой аттестации. Поэтому, можно сделать вывод о необходимости подробного изучения данной темы с первыми шагами в алгебре. Мне, как и всем учащимся, необходимо овладеть навыками интерпретации   графиков реальной зависимости, распознавания видов изученных функций умением  строить и читать графики функций.   Приобретенные знания и умения пригодятся каждому выпускнику при сдаче ЕГЭ и ОГЭ,  вероятно и в практической деятельности и в  повседневной жизни.

Я произвела  небольшой статистический опрос своих одноклассников и учащихся 8-9 классов нашей школы.

1.      Что называется  линейной функцией?

При ответе	Кол-во человек	%  учащихся
Затруднились в изложении мысли	11	37
Объяснили понятие линейной функции	9	30
Дали определение линейной функции	10	33

2.     В каких  областях наук  применяются математические функции?

Наука	Кол-во человек	% уч-ся
Математика	20 чел.	67%
Физика	6 чел.	20%
Химия	3 чел.	10%
Биология	1 чел.	3%

3.     Ответили верно на вопрос «Что является графиком….»

… линейной функции?	26 чел	87%
… прямой пропорциональности?	20 чел	67%

Функция - одно из основных математических  и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. Мы тоже являемся функцией многих переменных, одна из которых – время. Проходят годы, и мы меняемся. Мы также зависим от своей наследственности, от книг, которые мы читаем, от температуры окружающей нас среды и от многих других факторов.

Цель  работы:

Изучить линейную функцию и ее свойства, научиться решать экзаменационные задачи по данной теме, строить график линейной функции, читать его и  выбирать рациональный способ решения задач

Задачи:

1.     Изучить теоретические сведения, используя  литературу по данной теме и Интернет-ресурсы.

2.     Изучить свойства линейной функции.

3.     Научится строить график линейной функции и читать его.

4.     Произвести отбор заданий из КИМов прошлых лет и открытого банка задач.

5.     Рассмотреть способы решения задач по данной теме.

6.     Научиться решать задачи по теме «Линейная функция»

7.     Провести  практическое занятие с одноклассниками  по данной теме.

8.     Изготовить справочный буклет для учащихся при подготовке к ОГЭ

Объекты исследования: Линейная функция, ее свойства и график, открытый банк задач ОГЭ

Предмет исследования: Способы решения задач по теме

Гипотеза:  Я смогу  самостоятельно составить  алгоритм решения экзаменационных задач.

Методы исследования:

1.     Поисковый

2.     Информационно-аналитический

3.     Исследовательский

4.     Формулирование выводов

5.     Сравнениеи обобщение полученных результатов.

Теоретическая значимость исследования: расширение знаний о линейных функциях,  способах решения экзаменационных задач и задач, объясняющих  с помощью линейной функции, процессы и события в нашей жизни.

Практическая значимость исследования:  обобщение опыта, издание справочного буклета, который может быть  использован при изучении темы в курсе алгебры, подготовке  к проверочным и экзаменационным работам учащимися.

ГЛАВА 1.

1.1.          из истории развития понятия функции

Сложный путь прошло понятие функции. Оно корнями уходит в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что чем больше удастся убить оленей на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода; чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела; чем дольше горит костёр, тем теплее будет в пещере. Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.  Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5 тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r. С развитием скотоводства, земледелия, ремёсел и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами.Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев.

Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику. Отношения между известными и неизвестными величинами Декарт выражал в виде уравнений. Чтобы наглядно изображать уравнение, он заменял все величины длинами отрезков. По сути дела, здесь была заложена идея метода координат.Одновременно с Декартом к мысли о соответствии между линиями и уравнениями пришел другой французский математик - Пьер Ферма (1601-1665 гг.).  

      В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени (называл в «флюентой»). Само слово «функция» (от латинского functio -совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем  в 1673г. в письме к Гюйгенсу.

В 18 веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой.

Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667-1748) который в 1718 году определил функцию следующим образом: «функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способ из этой переменной величины и постоянных». Определение Бернулли опиралось не только на работы Лейбница и его школы, но и на исследования великого математика и физика Исаака Ньютона (1643—1727гг.)
В «Дифференциальном исчислении», вышедшем в свет в 1755 году, Леонард Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят друг от друга таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению,то первые называют функцией вторых».	Л. Эйлер
В 1834 году в работе «Об исчезании тригонометрических строк» Н.И. Лобачевский, развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции, писал: «Общее понятие  требует, чтобы функцией от x называть число, которое дается для каждого x и вместе с x постепенно изменяется». Уже с самого начала 20 века определение Дирихле стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков. Еще важнее была критика физиков, натолкнувшихся на явления, которые потребовали более широкого взгляда на физику.	Н.И. Лобачевский (1792-1856гг)
Необходимость дальнейшего расширения понятия функции стала особенно острой после выхода в свет в 1930 году книги «Основы квантовой механики» Поля Дирака. В связи с этим советский математик Н.М. Гюнтер и другие ученые опубликовали в 30-40 годах ХХ века работы, в которых неизвестными являются не функции точки, а «функции области», что лучше соответствует физической сущности явлений.	Н.М. Гюнтер (1871-1941г.г)
В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 году, 28-летний советский математик и механик С.Л. Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применилсозданную теорию к решению ряда задач математической физики. Важный вклад в развитие теории обобщенной функции внести ученики и последователи Шварца - И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов и др.	С.Л. Соболев (1908-1989г.г)

Все течет, все изменяется в окружающем нас мире… Кажется, причем тут математика,  а тем более функции и графики? Но, как заметил великий               Г.Галилей (1564-1642) , книга природы написана на математическом языке и ее буквы – математические знаки и геометрические фигуры и именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения присущие природе.

1.2.          Линейная функция и ее график

1.2.1.   Определение линейной функции

Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, где x – независимая переменная,   k  и b – некоторые числа.

В уравнении функции число k, которое мы умножаем на x называется угловым коэффициентом (коэффициентом наклона). Например:

·         в уравнении функции  y= –2x+3     k = –2,   b = 3;

·         в уравнении функции y= –x     k = –1,  а  b = 0;   

·         в уравнении функции y= 3     k = 0,  а   b = 5.

 Линейная функция — это специальный вид линейного уравнения с двумя переменными ах + bу + с=0

1.2.2.   График линейной функции

Графиком линейной функции является прямая.

Чтобы построить график функции, определяют координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять произвольно два значения х , подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

 Например, чтобы построить график функции у =х+2, удобно взять х₁=0 и х₂ = 3 , тогда ординаты эти точек будут соответственно  равны у₁=2 и у₂= 3.

Получим точки А(0;2) и В(3;3). Проведем прямую через эти точки и получим график  функции: у =х+2,

         В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

•          Если k>0, то график наклонен вправо

•          если k<0, то график наклонен влево

Коэффициент b  – ордината точки пересечения графика с осью OY Коэффициент b  отвечает за сдвиг графика вдоль оси OY:

•         если b>o, то график функции y = kx + b  получается из графика  функции    y = kx + b сдвигом на b  единиц вверх вдоль оси OY 

•         если b<0, то график функции y = kx + b получается из графика функции  y=kx сдвигом на  b единиц   вниз вдоль оси  OY

1.2.3.   Частные случаи линейной функции   

Прямая пропорциональность у = kx,  при   b = 0. График функции  проходит через начало координат, точку О(0;0)	Постоянная функция у= b, при    k=0 График функции параллелен оси абсцисс.

1.2.4.   Взаимное расположение графиков линейных функций.

Если k1=k2,  b1≠b2,  то графики функций   y1 = k1x+b1 и  y2 = k2x+b2 являются параллельными прямыми	Если k1≠k2,  то графики функций y1 = k1x + b1 и    y2 = k2x +b2 пересекаются в одной точке	Если k1∙k2=–1 или то графики функций  y1 = k1x+b1 и    y2 = k2x+b2 перпендикулярны

На рисунке изображены графики функций y=2x+3;  y=x+3; y=x+3. 

Отмечу, что во всех этих функциях коэффициент k >0 (положительный), и все графики функций наклонены вправо. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая. Во всех функциях b =3  и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3) Теперь рассмотрим графики функций   y= –2x+3;  y= –x+3; y=–x+3. 

На этот раз  во всех  функциях коэффициент k <0 (отрицательный), и все графики функций наклонены влево. Замечу, что чем больше |k|, тем круче идет прямая. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)

Рассмотрим графики функций у=2х+3;  у=2х;  у=2х–2. Во всех уравнениях функций  угловые коэффициенты k равны k₁=k₂=k₃=2. Следовательно, все три параллельные прямые. Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY  в различных точках:

·         График функции у=2х+3 (b=3) пересекает ось OY  в точке (0;3)

·         График функции у=2х  (b=0) пересекает ось OY  в точке (0;0) –  начале координат.

·         График функции у=2х–2. (b=–2) пересекает ось OY  в точке (0;–2)

Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y = kx + b .

k>0 и b>0

k<0 и b>0

k>0 и b<0

k<0 и b<0

1.2.5.   Построение графика линейной функции с помощью элементарных преобразований графика функции у=х

1.     Построить график функции у=х

2.     Произвести растяжение (при |k| >1) или сжатие ( при |k| <1) вдоль оси OY. Если  k<0, произвести, кроме того, зеркальное отражение относительно любой из координатных осей.

3.     Произвести параллельный перенос графика вдоль оси OY  на  |b| единиц (вверх при b>0, вниз при b<0).

1.3.          Свойства линейной функции

1.     Область определения: все действительные числа: D (у)=R

2.     Область значений линейной функции

•         при k ≠0,   E(у)= R

•         при k =0,  Е(у) ={b}

3.     Четность, нечетность:

•         если k≠0,  b≠0, то функция не является ни четной, ни нечетной;

•         если k≠0,  b=0, то функция нечетная;

•         если k=0,  b≠0, то функция четная;

•         если k=0,  b=0, то функция тождественно равно нулю, то есть является одновременно четной и нечетной;

4.     Нули функции:

•         если k≠0,   то у=0  при х= – ;

•         если k=0, b≠0,  то нулей нет;

•         если k=0, b=0,  то у=0  при хR;

5.     Промежутки знакопостоянства:

•         если k>0,  то     y>0 при   x 

                                y<0 при   x 

•         если k<0,  то     y>0 при   x 

                                y<0 при   x 

•         если k=0,  b >0,   то   у>0  при х R;

•         если k=0,  b <0,   то   у<0  при х R;

•         если k=0,  b =0,   то   у=0  при х R;

6.     Промежутки монотонности:

•         если k >0,   то функция возрастает  при х R;

•         если k <0,   то функция убывает при х R;

•         если k =0,   то функция постоянна при х R;

7.     Экстремумов линейной функции нет.

Как определить точки пересечения графика функции  y = kx + b   с осями координат?

С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).

С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда х= – . То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты ( – ;0):

1.4.          Построение графиков функций, содержащих знак модуля.

При построении графиков функций, содержащих знак модуля, применяются, в основном, те же приемы, что при решении уравнений с модулем. Основным действием при этом является «снятие модуля». Однако при построении графиков эта операция иногда даже упрощаемся, так как она может быть заменена геометрическими преобразованиями.

Пример 1. Построить график функции y=|x|.

Решение. Первый способ. Раскроем знак модуля согласно его определению: y=x  при x≥0,  y =−x, при x < 0. Таким образом, искомый график совпадает с графиком функции y=x  при x≥0  в правой полуплоскости и с графиком функции y=−x при x < 0  в левой полуплоскости. Руководствуясь этим, строим график.

Второй способ. Можно рассматривать функцию y=x  как модуль функции  y₁=x. Модуль не меняет график в верхней полуплоскости и отражает части графика, находящиеся в нижней полуплоскости, в верхнюю полуплоскость симметрично координатной оси OX.

Пример 2. Построить график функции y=|4–x|.

Решение.

•         Если 4-х ≥0 , то у = 4-х. строим эту прямую АС и выбираем из нее участок (луч ВА), для которого х≤4

•         если 4-х>0, то у= –(4–х). В отличие от предыдущего случая функция отличается только знаком: у=4–х и у=–(4–х). Поэтому для построения графика у=–(4–х) в области х>4 выбираем участок ВС графика у=4-х и отражаем его симметрично оси абсцисс. Тогда луч ВС переходит в луч ВD.

•         Поэтому построение данного графика сводится к следующему. Строится прямая у=4-х (прямая АС). Часть графика, для которого у≥0 (луч АВ), сохраняется. Часть графика, для которого у<0(луч ВС), симметрично отражается относительно оси абсцисс и получается луч ВD. Ломанная АВD- график данной функции.

Вывод: Чтобы построить график функции у=|f(x)|, надо построить график функции у=f(х); сохранить ту его часть, которая расположена выше оси абсцисс, зеркально отразить относительно оси абсцисс  ту часть графика, которая находится ниже оси ОХ.

При более сложных примерах используется метод элементарных преобразований графика функции.

Пример 3.  Построить график функции y=4–|x|

Решение.

•         Отметим, что функция у=4–|х| четная. Поэтому график данной функции симметричен относительно оси ординат.

•         При х≥0 получаем у=4-х. Строим график этой функции для х≥0 (луч АВ).

•          Затем зеркально отражаем этот луч относительно оси ординат и получаем луч АС. Ломанная САВ – график данной функции.

Вывод: чтобы построить график функции у=f(|х|), надо построить график функции у(х) для  неотрицательных значений х,  а затем зеркально отразить его относительно оси ординат.

Пример 4. Построить график функции y=||x–1|–2|.

Решение. В данном случае имеется “матрешка ” из модулей. Мы построим график функции    y₃= |х –1| – 2, применив к нему операцию “модуль”. Последовательно построим графики функций:

y1 = |x|	y2 = |x–1|	y3=|x–1|–2	y=||x–1|–2|.
Построим график функции y = |x|, см. Пример 1.	Произвели парал-лельный перенос графика y1 вдоль оси OX на (–b)=–(–1)=1 единиц вправо	Произвели парал-лельный перенос графика y2 вдоль оси OY на (–2),   т.е. вниз на 2 единицы	сохранили часть графика у3, которая расположена выше оси абсцисс, зеркально отразили относительно оси ОХ  ту часть графика, которая находилась ниже оси ОХ.

 С помощью линейной функции можно объяснить некоторые процессы и события в нашей жизни (См. приложение №1)

1.5.          Решение задач по теме «Линейная функция»

Задача №1. Постройте график функции y=kx+b , если известно, что он проходит через точку А(–3;2) и параллелен прямой y= –4x.

Решение. В уравнении функции y=kx+b   два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи должны быть два условия,  характеризующих график функции.

•         Из того, что график функции y=kx+b  параллелен прямой y=–4x, следует, что k= –4. То есть уравнение функции имеет вид y= –4x+b.

•         Нам осталось найти b. Известно, что график функции y= –4x+b проходит через точку А(–3;2). Если точка принадлежит графику функции, то при подстановке ее координат в уравнение функции, мы получим верное равенство: 2= –4∙(–3)+b отсюда b= –10.

•         Таким образом, нам надо построить график функции у= –4х–10.

•         Точка А(-3;2) нам известна, возьмем точку B(0;–10).

•         Отметим эти точки в координатной плоскости и проведем через них прямую.

Задача №2.  Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(1;1); B(2;4).

Решение. Если прямая проходит через точки с заданными координатами, следовательно, координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y=kx+b   . То есть если мы координаты точек подставим в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение y=kx+b  и получим систему линейных уравнений.

1=k+b ,                            Вычтем из второго уравнения системы первое,

4=2k+b .                          и получим  k=3.  Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b= –2. Получаем, уравнение прямой y=3x–2 .

Задача №3. Постройте график [1]уравнения (2у–х+1)(у²–1)=0

Решение.   Чтобы найти,  при каких значениях неизвестного произведение нескольких множителей равно нулю, нужно каждый множитель  приравнять к нулю и учесть область допустимых значений  каждого множителя.  Выясняем, что  х R.  Разложим на множители вторую скобку (2у–х+1)(х–1)(х+1) и приравняем каждый множитель к нулю. Получим совокупность уравнений:

2у–х+1=0,

у–1=0,

у+1+0.         Получим:  

          ,

у= 1,

у= –1.

Построим графики всех  уравнений совокупности в одной координатной плоскости.    Это и есть график уравнения(2у–х+1)(у2–1)=0.

Задача №4. Постройте график функции y=kx+b   , если он перпендикулярен прямой и проходит через точку М(-1;2)

Решение. Найдем уравнение прямой.

а) Так как график функции y=kx+b , если он перпендикулярен прямой ,  следовательно , отсюда k=2. То есть уравнение функции имеет вид  y=2x+b.

б) Мы знаем, что  график функции y=2x+b. проходит через точку М(-1;2). Подставим ее координаты в уравнение функции. Получим: 2=2x–1+b,

 отсюда . b=4..

Следовательно, наша функция имеет вид: у=2х+4.  

5. Постройте график функции 

Упростим выражение, стоящее в правой части уравнения функции.[2]

Важно. Прежде чем упрощать выражение, найдем его ОДЗ.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому х≠1, х≠–1.

Тогда наша функция принимает вид:

          у=х+2

          х≠1

          х≠–1

То есть нам надо построить график функции у=х+2 и выколоть на нем две точки: с абсциссами x=1 и x=-1:

ВЫВОД:  В процессе работы я познакомилась с основными историческими представлениями о понятии функции, узнала о роли российских и советских математиков, внесших  большой вклад в развитие понятия функции.  

В своей работе я представляю наряду с определением линейной функции и ее графика взаимное расположение графиков и  частные случаи линейных функций, изучаемые в школьном курсе алгебры. Я изучила свойства линейной функции, научилась строить графики линейных функций, формулы которых содержат модули, рассмотрела несколько усложненных задач по построению графика линейной функции, приобрела необходимые умения и навыки для решения экзаменационных задач.

Г Л А В А   2

решение экзаменационных задач.

2.1. Решение задач «Открытого банка ОГЭ» .

 Мы познакомились со свойствами линейной функции, можем представить, как выглядит ее график, знаем все о взаимном расположении графиков линейных функций. Теперь можно приступать непосредственно к решению задач. Существует много различных сборников тренировочных тестовых заданий для подготовки к Основному государственному экзамену по математике. Все задания сконцентрированы на сайте Федеральных институтов педагогических измерений (ФИПИ) в разделе «Открытый банк заданий ОГЭ по математике». Рассмотрим решение некоторых типичных задач. http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-oge

Задача №1

На рисунке изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.

КОЭФФИЦИЕНТЫ А)  k<0, b<0   Б)  k<0, b>0   В)  k>0, b<0 ГРАФИКИ 1)    2)    3)

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Решение.

     1. Определим знаки угловых коэффициентов данных графиков.

         На графиках №1 и №2 – графики убывающих функций (прямые наклонены влево), значит k<0. На графике №3 функция возрастающая (прямая наклонена вправо), значит k >0.

2.     Определим знак коэффициента  b. На графике №1  b>0, т.к. прямая пересекает ось OY выше начала координат, т.е выше точки (0;0). На графиках №2 и №3  b<0, т.к. прямые пересекают  ось OY ниже начала координат.

3.     Запишем соответствие:  

График	№1	№2	№3
	k<0	k<0	k >0
	b>0	b<0	b<0
Коэффициенты	Б	А	В

4.     Получаем ответ: 

                                                    Ответ: 213

 Задача №2

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. 

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ

А)

Б)

В)

ФОРМУлы

1) y=− 3x+3,        2) y=3x,         3) y=3x−3.

Решение.   Можно рассуждать короче:

1.     На графике В – представлен частный случай линейной функции – прямая пропорциональность, (прямая проходит через начало координат), т.е. b=0, причем  k >0.    Это соответствует только функции №2

2.     Определим знак коэффициента  b. На графике Б  b>0, т.к. прямая пересекает ось OY выше начала координат, в точке (0;3), значит b=+3, а соответствующая функция №1.  На графике А  b<0, т.к. прямые пересекают  ось OY ниже начала координат, в точке (0;–3), значит b=–3 соответствующая функция №3

3.     Получаем ответ:     Ответ: 312.

Задача №3

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. 

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ

А)

Б)

В)

ФОРМУЛЫ

2)    y=− −1,    2) y=− +1,       3)    y= +1,   

Решение.

1.  Угловые коэффициенты все равны по модулю. Определим  их знак

На графиках А и В  убывающие линейные функции (прямые наклонены влево), значит k<0. На графике Б функция возрастающая (прямая наклонена вправо), значит k >0.

2. Определим знак коэффициента  b. На графиках А и Б  b>0, т.к. прямые пересекает ось OY выше начала координат, в точке (0;1), значит b=+1. На графике В  b<0, т.к. прямая  пересекают  ось OY ниже начала координат, в точке (0;–1), значит b=–1.

3.  Запишем соответствие:  

Графики	А	Б	В
	k<0	k>0	k< 0
	b=1	b=1	b=–1
Формулы	y=− +1	y= +1	y=− −1
	2	3	1

4. Получаем ответ:     Ответ: 231.

Задача № 4

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. 

Функции:

А) у=–0,5х+2                Б) у=2х–6     В) у=0,5х–3

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ

1)

2)

3)

Решение.

1.     На графике №1 функция возрастающая, проходит выше прямой y=x+b, значит угловой коэффициент  k>1, а точнее равен k=2. Прямая пересекает ось OY ниже начала координат в точке (0;–6), значит b=–6. Следовательно, графику соответствует функция у=2х–6.

2.     На графике №2 функция убывающая, проходит ниже прямой y=–x+b, приближается к оси ОХ значит модуль углового коэффициента |k|<1,  а точнее равен   k=–0,5. Прямая пересекает ось OY выше начала координат в точке (0;2), значит b=2. Следовательно, графику соответствует функция у=–0,5х+2.

3.     На графике №3 функция возрастающая, проходит ниже прямой y=x+b, приближается к оси ОХ значит угловой коэффициент  k<1,  а точнее равен   k=0,5. Прямая пересекает ось OY ниже начала координат в точке (0;–3), значит b=–3. Следовательно, графику соответствует функция у=0,5х–3.

4.     Получаем ответ:     Ответ: 213.

            2.2. Задачи из сборников тренировочных экзаменационных работ

В открытом  банке задач ОГЭ на сайте ФИПИ размещено большое количество заданий, являющихся прототипами  отобранных мною задач. Задания №5 можно научится решать, следуя моим примерам. Подобные задачи  имеются и печатных сборниках  разных авторов для подготовки к ОГЭ. В сборниках прошлых лет имеются  задачи отличные от данных. Рассмотрим их.

Задача №1 (Вариант 3, Задание №5, «ОГЭ-2015. Математика» 20 вариантов экзаменационных работ для подготовки к ОГЭ. Под редакцией И.В. Ященко)

Решение:

1.     На всех графиках – честный случай: прямая пропорциональность.

2.     На графике №2 k>0, значит, ему соответствует функция В.

3.     На графике №1 угловой коэффициент k<0, но  |k|>1, значит, соответствующая  функция  А.

4.     На графике №3 угловой коэффициент k<0 и  |k|<1, значит, соответствующая  функция Б.

5.     Получаем ответ:                             Ответ: 132

Задача №2.  (Вариант 5, «ГИА-2013. Математика» 10 вариантов экзаменационных работ. И.В. Ященко, А.В. Семенов и д.р.)

Решение.

Найдем точки пересечения графиков  с осью OY.

1. Точка (0;2) принадлежит двум прямым №3 и №4,

2. Через точку (0;–2) проходит только 1 прямая, причем k=1

3. Значит, отсутствует график функции №2. Ответ: 2

           В Тренировочных сборниках по подготовке к ГИА (ОГЭ) присутствуют  и задачи другого характера, отличные от данных. Решение некоторых из них подробно представлено в приложении №2

2.3. Алгоритм решения экзаменационных Задач №5.

На основание выше предложенных решений составим алгоритм

1.     Определить знак углового коэффициента  прямой, воспользовавшись свойством возрастания (убывания) линейной функции, сравнить |k| с единицей.

2.     Определить знак коэффициента b. Для этого найти координаты (х;у) точки пересечения прямой с осью OY, записать  b=y.

3.     Записать соответствие между графиками функций и формулами.

Вывод: Изучив свойства линейной функции, взаимное расположение графиков и  частные случаи линейных функций, владея умением построения графика линейной функции, используя предложенный мною алгоритм решения задачи №5 можно научиться решать экзаменационные задачи по данной теме.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе написания работы изучены литература и Интернет–ресурсы о линейной функции, ее свойствах и графике. Я научилась схематично изображать графики линейных функций с помощью простейших преобразований, строить простейшие графики  линейных функций, графики функций содержащих модули, усложненные формулы.  

Все поставленные перед собой задачи я выполнила.

В своей работе я представила 4 основных варианта типичных задач на соответствие из Открытого банка экзаменационных задач.

Теперь я могу решать задачи на установление соответствия между графиками функций и формулами. Я составила алгоритм решения экзаменационных Задач №5.

Так как статистические данные показывают низкий процент успешности выполнения подобного задания, то уже сейчас с 7 класса нужно всем ученикам уметь решать подобные задачи. Я надеюсь, что данная работа поможет моим одноклассникам и выпускникам 9 класса нашей школы научиться:

·        безошибочно строить график линейной функции;

·        читать его;

·        выбирать рациональный способ решения задач

·        успешно справиться данным заданием основного государственного экзамена.

Моя гипотеза подтвердилась и цель достигнута. Я подготовила справочные буклеты-памятки  для учащихся 7-9 классов раздала их на школьном этапе НПК. (см. приложение №3). Надеюсь, они помогут учащимся в подготовке ОГЭ

Список литературы

ЛИТЕРАТУРА:

1.     Генденштейн Л.Э. Ершова А.П., Ершова А.С. «Наглядный справочник по алгебре и началам анализа с примерами для 7-11 классов. Издательство:«Илекса» Москва. 2001г. с.96.

2.     Лаппо Л.Д, Попов М.Ф «Математика. ОГЭ-2016. Сборник заданий». Издательство: «Экзамен» Москва. 2016 г. с.160.

3.     Макарычев Ю.Н., Н.Г. Миндюк, и др. «Алгебра. 7 класс».
учебник для общеобразовательных организаций. Издательство: М. Просвещение. 2015 г. с. 256.

4.     Максютин А.А., Неценко Ю.Н. «Тренировочные материалы для подготовки к ОГЭ по математике. 2016». Издательство: Самара. 2015 г.  с.142.

5.     Ященко И.В. «Математика. ОГЭ-2016. 20 вариантов».Издательство: «АСТ. Астрель»  Москва. 2015 г.  с.110.

6.     Ященко И.В., Рослова Л.О., Кузнецова Л.В., Суворова С.Б. и др. «3000 задач с ответами по математике. Банк заданий ОГЭ» Издательство: «Экзамен» Москва. 2015 г. с.464.

Интернет-ресурсы:

1.     «Открытый банк заданий по математике 0ГЭ-2015 – профильный уровень»  http://mathege.ru/or/оge/ShowProblems?offset=0&posMask=8&showProto=true

2.     «Репетитор по математике» Сайт http://ege-ok.ru/2012/04/03/lineynaya-funktsiya-i-ee-grafik

3.     Сайтминистерства образования и науки Самарской области  «Региональный центр мониторинга в образовании (РЦМО)» Статистика ЕГЭ. http://rcmo.ru/statistics/ege-statistics/

4.     Сайт Федеральный институт педагогических измерений (ФИПИ). Отчеты. Аналитические материалы. Математика.ЕГЭ. 2012, 2013, 2014 г. 2015 г http://www.fipi.ru/ege-i-gve-11/analiticheskie-i-metodicheskie-materialy

5.     http://www.mathgia.ru/or/gia12/ShowProblems.html?posMask=16&showProto=true

6.     http://festival.1september.ru/articles/564334/

7.      https://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=5&ved=0ahUKEwjtiIu_wvDKAhVjJnIKHYCDAIsQFggzMAQ&url=http%3A%2F%2Fschool3.admsurgut.ru%2Fwin%2Fdownload%2F508%2F&usg=AFQjCNGX3W19xue1f8OzzXfDeFNVy_DmJw&bvm=bv.113943164,d.bGQ

Приложение №1

Решение задач, объясняющих  с помощью линейной функции

процессы и события в нашей жизни.

Задача 1. Автомобиль, выехавший из пункта А, в настоящее время находится от него в 120 км. На каком расстоянии S от пункта А будет находиться автомобиль через t ч, если он будет двигаться в том же направлении со скоростью 50 км/ч?                                                      Решение: при равномерном движении тел

 зависимость между S и t задается формулой S=v_ot+S_o, т.е. выражается линейной функцией S=50t+120, где k=50>0. Функция возрастает, значит автомобиль будет удаляться от пункта А в течение всего времени движения. График – прямая линия, образующая с осью времени острый угол . Чем больше скорость, тем больше угол наклона графика к оси времени, тем дальше от пункта А будет автомобиль через время t.

Задача 2. Проанализируйте два адиабатных процесса при различных давлениях. Какое значение давления больше?

Решение: из уравнения Менделеева-Клапейрона  для данной массы газа получим , где С==const. Зависимость между VиТ выражается линейной функцией вида y = kx, где k = tg,  – угол наклона графика к оси температур. При увеличении р угловой коэффициент         уменьшается, поэтому р₂>р₁.

Многие реальные ситуации описываются математическими моделями, представляющими собой линейные функции.

Задача 3. На складе было 500 т угля. Ежедневно стали подвозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через 2, 4,10 дней?

Решение: если пройдет х дней, то количество у угля на складе (в тоннах) выразится формулой     у = 500 + 30х.

Таким образом, линейная функция у = 30х+500 есть математическая модель ситуации.

Теперь нетрудно установить, что:

·         при х = 2 и получили у = 30∙2+500 = 560 (т) угля;

·         при х = 4 имеем у =30∙4 +500= 620 (т) угля;

·         при х = 10 имеем у =30∙10+500=800 (т) угля.

                      Ответ: 560 т; 520 т; 800 т угля

Задача №4. Турист проехал на автобусе 15 км от пункта А до В, а затем продолжил движение из пункта В в том же направлении, но уже пешком, со скоростью 4 км/ч. На каком расстоянии от А будет турист через 2 ч, через 4 ч, через 5 часов ходьбы?

Математической моделью ситуации является линейная функция у = 15 + 4х, где х — время ходьбы (в часах), у — расстояние от А (в километрах). С помощью этой модели отвечаем на вопрос задачи:

если х = 2, то у =15 + 4∙2= 23

если х = 4, то у =15 + 4∙4= 31;

если х = 6, то у =15 + 4∙6= 39.    Ответ: 23 км; 31 км; 39 км. 

Можно записать формулы, описывающие зависимости между величинами

Задача №5. Лыжник идет со скоростью 10 км/ч какое расстояние он пройдет за 2,5 ч? За какое время он пройдет 15 км?

Задача №6.  Килограмм моркови стоит 22 руб. Сколько надо заплатить за 3,5 кг картошки? Сколько картошки можно купить на 33 руб?

Задача №7.  Через кран поступает в минуту 6 л воды. Сколько воды поступит через кран за 2,5 мин? За сколько времени через кран поступит 27 л воды?

Задача №8.  Минутная стрелка поворачивается за 1 мин на угол 6°. На какой угол повернется она за 2,5 мин? За сколько времени повернется минутная стрелка на угол 27°?

Это прямо пропорциональная зависимость. Эти задачи можно решить графически, используя построенные графики.

Приложение №2

Примеры экзаменационных задач из печатных сборников

тренировочных заданий для подготовки к ГИА (ОГЭ).

1.     Из сборника «Тренировочные материалы для подготовки к ОГЭ по математике. 2016», составители: Максютин А.А., Неценко Ю.Н.(Самара. СИПКРО)

Вариант 11. Задание №5.    Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

А	Б	В
1) у = 3	2) 2х – у + 4 = 0	3) х – 2у +4 =0

Решение:

1)      Функция  заданная формулой у=3  – постоянная, график функции параллелен оси абсцисс, представлен графиком В

2)      В уравнении 2х – у + 4 = 0 выразим переменную у. Получим: у=2х+4, где k=2>1 и   b=4>0, значит это график Б

3)      В уравнении  х – 2у +4 =0  выразим переменную у. Получим: 2у= х+4, затем  у = 0,5х +2. Где  k=0,5    т.е.  0<k<1, и  b=2>0, значит это график А.

4)      Запишем соответствие

                                                   Ответ: 321.

Вариант 13. Задание №5.

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают

А	Б	В
1) у=	2) у=	3) у=

В таблице под каждой буквой, соответствующей графику, впишите номер формулы, которая его задает.

Решение.

1)      Область определения функции у=все числа, кроме 0. Построение графика сводится к построению прямых параллельных оси ОХ: при х >0 это у=1, при х<0 это у=–1. Значит это график В.

2)      Преобразуем уравнение  у = , получим у= –0,5х +3. Где k=–0,5,  k<0  и 0<|k|<1 – функция убывающая, а b=3>0 т.е. график пересекает ось ординат в точке (0; 3), значит это график Б.

3)      Рассмотрим функцию у=, получили у=0,5х–1, где k=0,5>0 и 0<k<1 – функция возрастающая, b=–1, т.е. график пересекает ось ординат в точке (0; –1), значит это график А.

4)      Запишем соответствие

                                                   Ответ: 321.

Вариант 8. Задание №5.

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

А	Б	В
1) у = 1 – |x|	2) у=|x –1|	3) у= |x| + 1

Решение.

В данном задании преобразован график функции у=|x|

1)      На графике А происходит смещение графика функции у=|x|  вправо на 1, значит запишем функцию у=|x –1|  т.е. формула №2.

2)      На графике В происходит смещение графика функции у=|x|  вверх на 1, значит запишем функцию у=|x| +1  т.е. формула №3.

3)      На графике Б  график функции у=|x|  отображен симметрично оси ОХ и смещен вверх на единицу. Значит, запишем функцию у=1–|x|  т.е. формула №1.

4)      Запишем соответствие

                                                   Ответ: 231.

2.     Из Сборника заданий «Математика. ОГЭ-2016.». Лаппо Л.Д, Попов М.Ф Издательство: «Экзамен» Москва. 2016 г. с.160.

Вариант 4. Задание №5.

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.             ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ:

А	Б			В
ФОРМУЛЫ:    1) х = 2		2) х = –2	3) у = 1		4) у= –2

1)      На графике А представлена прямая параллельная оси ОХ, проходящая через точку (0;1), значит записана она может быть формулой №1:  у=1.

2)      На графике В представлена прямая параллельная оси ОХ, проходящая через точку (0;–2), значит записана она может быть формулой №1:  у=–2.

3)      График Б не является графиком функции. Это график линейного уравнения х=2. Прямая параллельна оси ординат и проходит через точку (2;0).

4)      Запишем соответствие

                                                   Ответ: 314.

3.     Из сборника Ященко И.В., Рослова Л.О., Кузнецова Л.В., Суворова С.Б. и др. «3000 задач с ответами по математике. Банк заданий ОГЭ» Издательство: «Экзамен» Москва. 2015 г.

Задача № 1398.

График, какой из приведенных ниже функций, изображен на рисунке?

    1) у = 2х–4;             3) у= 2х+4

    2) у= –2х+4;            4) у= –2х–4                    

Решение:

Прямая пересекает ось ОХ в точке (0;–4), значит b=–4, b<0.

Прямая наклонена влево, значит функция убывающая, т.е. k<0. Если у=0, то х=–2  – абсцисса точки пересечения с осью ОХ. Запишем формулу линейной функции: y=kx+b, подставим полученные значения, получим:  0=k∙(–2)+(–4). Решив уравнение, найдем угловой коэффициент k= 4:(–2),  k =–2. Следовательно функция соответствующая данному графику имеет вид:  у= –2х–4.   Ответ:  4.                  

Изучив в 7 классе тему «Функции», ученик должен уметь решать задачи, аналогичные Заданию №15

Задача №3

На рисунке ниже показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали – значение температуры в градусах Цельсия.

 

Задача  № 2714. Найдите наибольшее значение температуры. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение. Самая высокая температура была в 15.00 и соответствовала 8°С.

 Ответ: 8.

Задача № 2715. Найдите разность между наибольшим значением температуры и наименьшим в первой половине дня. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение. Первая половина дня это от 0.00 часов до 12.00 часов.

Наибольшее значение в 12.00: 4°С, а наименьшее значение температуры утром –3°С. Найдем разность температур: 4°С – (–3°С) = 4°С + 3°С = 7°С.

 Ответ:       7

Задача из открытого банка задач ОГЭ (сайт ФИПИ)

На рисунке изображён график изменения атмосферного давления в некотором городе за три дня. По горизонтали указаны дни недели и время, по вертикали — значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Укажите значение атмосферного давления в среду в 12 часов. Ответ дайте в мм рт. ст.

   

 Решение. На оси абсцисс находим значение 12.00 в среду. Определяем шаг по оси ординат.

Находим  соответствующие значение по вертикали. Это 761.

Ответ:    761

Приложении №3.

Задача №1.  Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций. КОЭФФИЦИЕНТЫ А) k<0, b<0,     Б)  k<0, b>0,       В)   k>0, b<0 ГРАФИКИ      1.                              2.                                         3. График №1 №2 №3 k<0 k<0 k >0 b>0 b<0 b<0 Коэффициенты Б А В 2.            Определим знак коэффициента  b. На графике №1  b>0, т.к. прямая пересекает ось OY выше начала координат, т.е выше точки (0;0).        На графиках №2 и №3  b<0, т.к. прямые пересекают  ось OY ниже начала координат. 3.            Запишем соответствие:                         Ответ: 213
Задача №2. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.  Функции:        А) у=–0,5х+2                Б) у=2х–6     В) у=0,5х–3
Графики       1	2			3		1.            На графике №1 функция возрастающая, проходит выше прямой y=x+b, значит угловой коэффициент  k>1, а точнее равен k=2. Прямая пересекает ось OY ниже начала координат в точке (0;–6), значит b=–6. Следовательно, графику соответствует функция у=2х–6.          Ответ: 213.
5.       На графике №2 функция убывающая, проходит ниже прямой y=–x+b, приближается к оси ОХ значит модуль углового коэффициента |k|<1,  а точнее равен   k=–0,5. Прямая пересекает ось OY выше начала координат в точке (0;2), значит b=2. Следовательно, графику соответствует функция у=–0,5х+2. 6.       На графике №3 функция возрастающая, проходит ниже прямой y=x+b, приближается к оси ОХ значит угловой коэффициент  k<1,  а точнее равен   k=0,5. Прямая пересекает ось OY ниже начала координат в точке (0;–3), значит b=–3. Следовательно, графику соответствует функция у=0,5х–3.
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ              Линейная функция в             экзаменационных задачах
Алгоритм решения экзаменационной задачи №5. 1.         Определить знак углового коэффициента  прямой, воспользовавшись свойством возрастания (убывания) линейной функции, сравнить |k| с единицей. 2.         Определить знак коэффициента b. Для этого найти координаты (х;у) точки пересечения прямой с осью OY, записать  b=y. 3.         Записать соответствие между графиками функций и формулами.
Ч а с т н ы е     с л у ч а и     л и н е й н о й    ф у н к ц и и
Прямая пропорциональность у = kx,  при   b = 0. График функции  проходит через начало координат, точку О(0;0)					Постоянная функция у= b, при    k=0 График функции параллелен оси абсцисс.
Взаимное расположение графиков линейных функций.
Если k1=k2,  b1≠b2,  то графики функций   y1 = k1x+b1 и  y2 = k2x+b2 являются параллельными прямыми			Если k1≠k2,  то графики функций y1 = k1x + b1 и    y2 = k2x +b2 пересекаются в одной точке				Если k1∙k2=–1 или то графики функций  y1 = k1x+b1 и    y2 = k2x+b2 перпендикулярны
Схематичное представление графика функции y = kx + b .
k>0 и b>0		k<0 и b>0			k>0 и b<0			k<0 и b<0
Чтобы построить график функции у=f(|х|), надо построить график функции у(х) для неотрицательных значений х,  а затем зеркально отразить его относительно оси ординат.

---

[1]И.В. Фельдман, репетитор по математике. http://ege-ok.ru/sample-page 

[2] И.В. Фельдман, репетитор по математике. http://ege-ok.ru/sample-page

• 1 слайд

  
  ……………………...…………
  ГБОУ СОШ с. Надеждино
  7 класс
  
  Руководитель – Романова Т.А.,
  учитель математики
  ГБОУ СОШ с. Надеждино
  Линейная функция
  в экзаменационных
  задачах
  ОКРУЖНАЯ НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ УЧАЩИХСЯ
  
  Секция “Математика”
  Февраль. 2016г.
  

• 2 слайд

  Задачи из открытого банка ОГЭ
  На рисунке изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.
  
  2
  

• 3 слайд

  Статистика РЦМО г. Самара
  Проблема
  Статистика показывает низкий процент выполнения данных заданий выпускниками школ.
  По данным Самарского Регионального центра мониторинга в образовании (РЦМО) результаты выполнения данного задания экзаменационной работы (ЕГЭ) по математике снизились за последний год на 10%. (без учета результатов на базовом уровне).
  
  3
  

• 4 слайд

  15 декабря 2015 года в 7 классах школ Северо-Западного управления проводилась окружная диагностическая работа. В задании №4 проверялись элементы содержания «Линейная функция, ее свойства и график, геометрический смысл коэффициентов» Результаты следующие:
  
  Диагностическая работа
  в 7 классах СЗУ
  4
  

• 5 слайд

  Актуальность
  С подобной задачей каждый выпускник школы встретится на Государственной Итоговой аттестации. Поэтому, можно сделать вывод о необходимости подробного изучения данной темы с первыми шагами в алгебре.
  Мне, как и всем учащимся, необходимо овладеть навыками интерпретации графиков реальной зависимости, распознавания видов изученных функций умением строить и читать графики функций.
  Приобретенные знания и умения пригодятся каждому выпускнику при сдаче ЕГЭ и ОГЭ, вероятно и в практической деятельности и в повседневной
  
  5
  

• 6 слайд

  Цель и задачи
  Цель работы:
  Изучить линейную функцию и ее свойства, научиться решать экзаменационные задачи по данной теме. строить график линейной функции, читать его и выбирать рациональный способ решения задач
  Задачи:
  Изучить теоретические сведения, используя литературу по данной теме и Интернет-ресурсы.
  Изучить свойства линейной функции.
  Научится строить график линейной функции и читать его.
  Произвести отбор заданий из КИМов прошлых лет и открытого банка задач.
  Рассмотреть способы решения задачпо данной теме.
  Научиться решать задачи по теме «Линейная функция»
  Провести практическое занятие с одноклассниками по данной теме.
  Изготовить справочныйбуклет для учащихся при подготовке к ОГЭ
  
  6
  

• 7 слайд

  Исследование
  Объекты исследования:
  Линейная функция, ее свойства и график. Открытый банк задач ОГЭ
  Предмет исследования: способы решения задач по теме
  Гипотеза: Я смогу самостоятельно составить алгоритм решения экзаменационных задач
  Методы исследования:
  Поисково-информационный
  Аналитический
  Исследовательский
  Формулирование выводов
  Сравнение и обобщение полученных результатов.
  Теоретическая значимость исследования: расширение знаний о линейных функциях, способах решения экзаменационных задач и задач, объясняющих с помощью линейной функции, процессы и события в нашей жизни.
  
  7
  

• 8 слайд

  Из истории функции
  Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт.
  Большой вклад в развитие понятия функции внесли и российские математики
  
  8
  

• 9 слайд

  Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, где x – независимая переменная,
  k и b – некоторые числа.
  Графиком линейной функции является прямая.
  
  Определение
  9
  

• 10 слайд

  Взаимное расположение графиков линейных функций.
  
  
  10
  Для успешного решения задач по теме необходимо знать о…
  

• 11 слайд

  Расположение графика линейной функции.
  
  
  
  
  
  
  если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y = kx + b .
  11
  

• 12 слайд

  Область определения: все действительные числа: D (у)=R
  Область значений линейной функции:
  при k ≠0, E(у)= R и при k =0, Е(у) ={b}
  Четность, нечетность:
  - если k≠0, b≠0, то функция не является ни четной, ни нечетной;
  - если k≠0, b=0, то функция нечетная;
  - если k=0, b≠0, то функция четная;
  - если k=0, b=0, то функция тождественно равно нулю, то есть является
  одновременно четной и нечетной;
  4. Нули функции:
  - если k≠0, то у=0 при х= – ;
  - если k=0, b≠0, то нулей нет;
  - если k=0, b=0, то у=0 при х R;
  5. Промежутки монотонности:
  - если k >0, то функция возрастает при х R;
  - если k <0, то функция убывает при х R;
  - если k =0, то функция постоянна при х R;
  
  
  Некоторые свойства линейной функции.
  12
  

• 13 слайд

  Построить график функции:
  а) у=4-|х| б) у=|4-х|
  4
  4
  С
  D
  А
  В
  Вывод: сохранить ту его часть, которая расположена выше оси абсцисс, зеркально отразить относительно оси абсцисс ту часть графика, которая находится ниже оси х .
  х
  у
  13
  4
  4
  4
  х
  у
  В
  С
  А
  Вывод: надо построить график функции у(х) для
  неотрицательных значений х, а затем зеркально отразить его относительно оси ординат.
  
  
  

• 14 слайд

  Построить график функции: y= ||х–1|–2|
  В данном случае имеется “матрешка ” из модулей, но мы поступим иначе, чем при решении уравнений .
  Мы построим график функции y3= |х –1| – 2 и применив к нему операцию “модуль”. График функции y3(х) построим с помощью преобразования графика функции у1 = |х|
  График функции у2 = |х - 1|
  График функции у3 = |х - 1| - 2
  График функции y= ||х –1| – 2|
  1)
  2)
  3)
  4)
  15
  

• 15 слайд

  Обратимся к открытому банку заданий ОГЭ на сайте ФИПИ
  16
  

• 16 слайд

  Обратимся к открытому банку заданий ОГЭ на сайте ФИПИ
  17
  

• 17 слайд

  Обратимся к открытому банку заданий ОГЭ на сайте ФИПИ
  Определим знаки угловых коэффициентов данных графиков.
  На графиках №1 и №2 – графики убывающих функций (прямые наклонены влево), значит k<0. На графике №3 функция возрастающая (прямая наклонена вправо), значит k >0.
  
  Определим знак коэффициента b. На графике №1 b>0, т.к. прямая пересекает ось OY выше начала координат, т.е выше точки (0;0). На графиках №2 и №3 b<0, т.к. прямые пересекают ось OY ниже начала координат.
  Запишем соответствие:
  
  
  
  Ответ: 213
  18
  

• 18 слайд

  
  
  Решение.
  На графике В – представлен частный случай линейной функции –
  прямая пропорциональность, (прямая проходит через начало координат),
  т.е. b=0, причем k >0. Это соответствует только функции №2
  Определим знак коэффициента b. На графике Б b>0, т.к. прямая пересекает ось OY выше начала координат, в точке (0;3), значит b=+3, а соответствующая функция №1. На графике А b<0, т.к. прямые пересекают ось OY ниже начала координат, в точке (0;–3), значит b=–3 соответствующая функция №3
  Получаем ответ: Ответ: 312
  19
  

• 19 слайд

  Сборники по подготовке ОГЭ
  В своей работе я представляю решение экзаменационных задач из открытого банки задач ОГЭ по темам «Функция», «Линейная функция», задач из сборников тренировочных экзаменационных работ.
  В Тренировочных сборниках по подготовке к ГИА (ОГЭ) присутствуют и задачи другого характера, отличные от данных. Решение некоторых из них подробно представлено в приложении №2
  
  20
  

• 20 слайд

  Алгоритм решения
  экзаменационных задач №5.
  Определить знак углового коэффициента прямой, воспользовавшись свойством возрастания (убывания) линейной функции, сравнить |k| с единицей.
  Определить знак коэффициента b. Для этого найти координаты (х;у) точки пересечения прямой с осью OY, записать b=y.
  Записать соответствие между графиками функций и формулами.
  
  21
  

• 21 слайд

  Заключение
  Все поставленные перед собой задачи я выполнила.
  В своей работе я представила 4 основных варианта типичных задач на соответствие из Открытого банка экзаменационных задач.
  Теперь я могу решать задачи на установление соответствия между графиками функций и формулами.
  Я составила алгоритм решения экзаменационных Задач №5.
  
  22
  

• 22 слайд

  Заключение
  Моя гипотеза подтвердилась и цель достигнута.
  Я надеюсь, что данная работа поможет моим одноклассникам и выпускникам 9 класса нашей школы успешно справиться данным заданием основного государственного экзамена.
  Я подготовила справочные буклеты-памятки для учащихся 7-9 классов раздала их на школьном этапе НПК
  
  23