Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №9»

 

 

 

 

 

Научно-практическая работа

по математике

на тему:

«Палиндромы в математике»

 

 

 

Выполнили: ученица 7А класса

Ярдыкова Карина

Руководитель: учитель математики

Михайлова Тамара Александровна

 

 

 

 

 

 

 

г. Новочебоксарск, 2018

Оглавление

 

Введение …………………………………………………………………………………..3

Теоретическая часть …………………………………………………………………. ….4

1.     Числа палиндромы …………………………………………………………….......4

2.     Алгоритм получения палиндрома ………………………………………………..4

3.     Свойства палиндромов ……………………………………………………………5

4.     Формулы – палиндромы …………………………………………………………..6

Практическая часть ………………………………………………………………………7

Примеры палиндромов……………………………………………………………………9

Заключение ………………………………………………………………………………10

Приложение ……………………………………………………………………………...11

Список использованных источников информации …………………………………...12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

 

 

Актуальность выбора темы

 

Числа палиндромы образуют одно из наиболее интересных подмножеств множества натуральных чисел. Они обладают необычной историей, удивительными свойствами.

Мы провели исследование среди учащихся 6А, 6В и 7А классов и  выяснили, что многие ребята слышали об этих числах, но подробную информацию знают единицы.  Многие из  опрошенных учащихся хотели бы узнать об этих числах больше. (Приложение)

 

Гипотеза

 

Простые числа – это часть чисел, из  которых состоят все натуральные числа.

Исследуя  множество простых чисел, можно получить удивительные числовые множества с их необыкновенными свойствами.

 

Цель исследования

Изучить свойства особенных чисел - палиндромов и научиться решать с их помощью некоторые математические задачи на смекалку олимпиадного характера. Данная работа также будет полезна всем тем, кто желает легче и лучше считать.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теоретическая часть

 

 

 

1.     Числа палиндромы

 

Вы, наверное, все помните книгу о приключениях Буратино. Помните, как строгая Мальвина учила Буратино писать? Она велела написать такую фразу: «А роза упала на лапу Азора» и велела прочитать “наоборот”. Эта фраза читается слева направо и справа налево. Это фраза-палиндром (в переводе — перевертыш). Слова: ШАЛАШ, РАДАР, ТОПОТ, КОК, КАЗАК — тоже палиндромы.

 

Числовые палиндромы – это натуральные числа, которые одинаково читаются справа налево и слева направо. Иначе говоря, отличаются симметрией записи (расположения цифр), причём число знаков может быть как чётным, так и нечётным.

Например:    121;  676;  1331;  4884;  94949;  1177711;  1178711  и т. д.

 

Изучая палиндромы, я задалась вопросом: «Как из других чисел можно получить палиндромы?»

Палиндром можно получить как результат операций над другими числами. Для этого воспользуемся известным алгоритмом.

 

2.     Алгоритм получения палиндрома

-      Возьми любое двузначное число

-       Переверни его (переставь цифры справа налево)

-       Найди их сумму

-       Переверни полученное число

-       Найди их сумму

-       Повторяй аналогичные действия до тех пор, пока не получится палиндром

 

Пример: 

1.  96

2.  96 + 69 = 165

3.  165 + 561 = 726

4.  726 + 627 = 1353

5.  1353 + 3531 = 4884

 

В результате проделанной работы я пришла к выводу, что, используя составленный алгоритм, из любого двузначного числа можно получить число-палиндром.

 

 

3.     Свойства палиндромов

 

Теперь обратимся к числам простым. В их бесконечном множестве имеются целые семейства палиндромов. Только среди первых ста миллионов натуральных чисел насчитывается 781 простой палиндром, причём двадцать приходится на первую тысячу, из них четыре числа однозначные – 2;  3;  5;  7 и всего одно двузначное – 11. С такими числами связано немало интересных закономерностей:

 

Ø Существует единственный простой палиндром с чётным числом цифр – 11.

Ø Первой и последней цифрами любого простого палиндрома могут быть только 1;  3;  7 или 9. Это следует из известных признаков делимости на 2 и на 5. Все простые двузначные числа, записанные с помощью перечисленных цифр (кроме 19), можно разбить на пары.

 

Например:  13 и 31;  17 и 71;  37 и 73;  79 и 97.

 

Ø Среди простых трёхзначных палиндромов встречаются пары чисел, у которых средняя цифра отличается всего на 1.

 

Например:  181 и 191;  373 и 383;  787 и 797;  919 и 929.

 

Ø Аналогичная картина наблюдается у больших простых чисел.

 

Например:  94849 и 94949;  1177711 и 1178711.

 

Ø Все однозначные числа являются палиндромами.

Ø 26 – наименьшее число, не являющееся палиндромом, квадрат которого палиндром

       

Например:  26² = 676

Ø А вот пары чисел - «перевёртышей» 13 — 31 и 113 — 311 при возведении в квадрат дают также пары «перевёртышей»: 169 — 961 и 12769 — 96721. Любопытно, что даже суммы их цифр,  оказались,  связаны хитрым образом:

(1 + 3)² = 1 + 6 + 9,
(1 + 1 + 3)² = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Ø Из простых чисел - палиндромов, располагая их определённым образом, скажем построчно, можно составить симметричные фигуры, отличающиеся оригинальным рисунком из повторяющихся цифр.

 

 

 

 

 

4.     Формулы – палиндромы

 

Палиндромные формулы вызвали у меня больший интерес. Под формулами – палиндромами понимают выражение, состоящее из суммы или разности, произведения или частного чисел, результат которого не меняется в результате прочтения выражения справа налево.

Например:

42 + 35 = 53 + 24

41 – 32 = 23 – 14

63 ∙ 48 = 84 ∙ 36

 

Задача 1. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их сложения не менялся в результате прочтения суммы справа налево.

Решение.

Запишем это равенство с помощью букв:

           

Представим наши числа в виде суммы разрядных слагаемых:

 (10х₁ + у₁) + (10х₂ + у₂) = (10у₂ + х₂) + (10у₁ + х₁)

10х₁ + у₁ + 10х₂ + у₂ = 10у₂ + х₂ +10у₁ + х₁

10х₁ - х₁ + 10х₂ - х₂ = 10у₁ - у₁ + 10у₂ - у₂

9х₁ + 9х₂ = 9у₁ + 9у₂

9(х₁ + х₂) = 9(у₁ + у₂)

х₁ + х₂ = у₁ + у₂.

Вывод: Для решения этой задачи сумма первых цифр должна быть равна  сумме их вторых цифр, т.е. х₁ + х₂ = у₁ + у₂.

 

Примеры:

76 + 34 = 43 + 67

25 + 63 = 36 + 52 и т.д.

 

Задача 2. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их вычитания не менялся в результате прочтения разности справа налево.

         Решение.

Запишем это равенство с помощью букв:

Представим наши числа в виде суммы разрядных слагаемых:

(10х₁ + у₁) – (10х₂ + у₂) = (10у₂ + х₂) – (10у₁ + х₁)

10х₁ + у₁ – 10х₂ -  у₂ = 10у₂ + х₂ – 10у₁ -  х₁

10х₁ + х₁ +  у₁ + 10у₁ = 10у₂ + у₂ + 10х₂  + х₂

11 х₁ + 11 у₁ = 11х₂ + 11у₂

11(х₁ + у₁) = 11(х₂ + у₂)

х₁ + у₁ = х₂ + у₂

Вывод: Для решения этой задачи у таких чисел должны быть равны суммы цифр, т.е. х₁ + у₁ = х₂ + у₂

 

Примеры:

46 – 28 = 82 – 64

52 –16 =  61 – 25 и т.д.

 

Задача 3. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их умножения не менялся в результате прочтения произведения справа налево.

Решение.

Запишем это равенство с помощью букв:

Представим наши числа в виде суммы разрядных слагаемых:

(10х₁ + у₁) ∙ (10х₂ + у₂) = (10у₂ + х₂) ∙ (10у₁ + х₁)

100х₁∙х₂ + 10х₁∙у₂ + 10у₁∙х₂ + у₁∙у₂ = 100у₁∙у₂ + 10х₁∙у₂ + 10у₁∙х₂ + х₁∙х₂

99х₁∙х₂ = 99у₁∙у₂

х₁∙х₂ = у₁∙у₂

Вывод: Для решения этой задачи произведение первых цифр чисел равно произведению их вторых цифр, т.е. х₁∙х₂ = у₁∙у₂

 

Примеры:

82 ∙ 14 = 41 ∙ 28

46 ∙ 32 = 23 ∙ 64 и т.д.

 

Задача 4. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их деления не менялся в результате прочтения чисел справа налево.

Для решения этой задачи произведение первой цифры первого числа на вторую цифру второго числа равно произведению двух других их цифр, т.е. x₁ ∙ y₂ = x₂ ∙ y₁

 

         Примеры:

82 : 41 = 28 : 14

62 : 31 = 26 : 13

 

Практическая часть

 

 

 

Задача 1. Приведите  примеры  того, как при помощи одних палиндромов получаются другие:

         Решение.

 а) 212²  -  121² = 44944 – 14641 = 30303;

 б) 2·121·10201 = 2·11² ·101² = 22·112211 = 1111· 2222 = 2468642.

 

С помощью понятий числа - палиндром и формулы - палиндромы можно решать задачи на делимость чисел, которые часто встречаются в олимпиадах по математике. Вот одна из них:

 

Задача 2. Докажите, что если из трёхзначного числа вычесть число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, разность всегда будет делиться на 9.

Решение.  

Ответ: Данное произведение делится на 9.

 

Задача 3. (Б.А. Кордемский «Математическая смекалка»)

Найти 10-тизначное число с неповторяющимися цифрами, при делении которого на 9 получается в частном палиндромическое число, т.е. читающееся одинаково как слева направо, так и справа налево.

Вот первые результаты моей работы:

ü 8 706 543 921 : 9 = 967 393 769

ü 1 206 453 879 : 9 = 134 050 431

ü 4 059 721 386 : 9 = 451 080 154

 

Таких 10-тизначных чисел с неповторяющимися цифрами более трёх миллионов:

9/10*10!=3 265 920

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры палиндромов

 

В русском языке	Утречко летело к черту Я ем змея Я нем и нежен, не жени меня Я ужру буржуя! Нам рак влетел в карман Цени в себе свинец
Магический квадрат	Древнейший из сохранившихся палиндромов написан на латыни и датируется 4 в. н.э. Это фраза "Sator Arepo tenet opera rotas", что означает "Сеятель Арепо с трудом держит колёса".
В биологии	Палиндромы в ДНК                                                1 - палиндром
В химии	НООССООН – формула щавелевой кислоты
В изобразительном искусстве

Между прочим, нашему поколению выпала большая удача, не каждому человеку выпадает прожить хотя бы один палиндромный год, а уж тем более два - 1991-й и 2002-й. Ведь предыдущий был в 1881-м, а следующий — в 2112-м

 

 

 

 

 

Заключение

                       

 Мир чисел настолько загадочен и увлекателен, что занимаясь данной работой, я поняла: если бы каждый из нас уделял ему больше  внимания, то нашел бы для себя много нового и интересного.  

Я познакомилась с удивительными натуральными числами - палиндронами. Все они обязаны своими свойствами простым числам. 

Значит, я подтвердила  гипотезу о том, что простые числа – это часть чисел, из  которых состоят все натуральные числа.

В своей работе я рассмотрела формулы – палиндромы для суммы и разности, произведения и частного двузначных чисел и смогла их доказать, и показать их применение на практике.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение

 

 

 

Результаты опроса

 

 

Результаты опроса показали, что в большинстве учащиеся хотят знать больше о числах палиндромах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованных источников информации

 

 

 

 

1.     Депман  И.Я. За страницами учебника математики  //пособие для учащихся 5-6 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1989.

2.     Кордемский Б.А. Удивительный мир чисел // книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1995.

3.     Перельман Я.И. Занимательная математика // издательство «Тезис». – 1994

4.     http://arbuz.uz/t_numbers.html

5.     http://www.ipb.su/uploads/ipbsu/maffss/post-11-1375455274.png  магический квадрат

6.     http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/DNA_palindrome.svg/640px-DNA_palindrome.svg.png  палиндромы в ДНК

7.     http://newcok.ru/_fr/1/4657107.jpg  картинки перевёртыши

8.      http://www.nkj.ru/upload/img/2010/5_108/ur9.gif  числа палиндромы

9.      http://polit.ru/media/archive/generic/p0001882.jpg числа палиндромы

10. http://polit.ru/media/archive/generic/p0001887.jpg числа палиндромы

11. http://polit.ru/media/archive/generic/p0001880.jpg числа палиндромы