"Неравенство или система неравенств". Подготовка к ЕГЭ (11 класс)

• 1 слайд

  Задание С3
  Неравенство или система неравенств.
  
  
  
  
  
  
  
  
  учитель математики Гагунц С.В.
  МАОУ гимназия №2 г.Новороссийск
  

• 2 слайд

  Характеристика задания. Неравенство или система неравенств, содержащих степени, дроби, корни, логарифмы(в том числе с переменным основанием).
  
  Рассмотрим метод интервалов и метод решения логарифмических неравенств. Логарифмические неравенства с переменным основанием можно решать «традиционным» способом, рассматривая два случая (основание положительно и меньше1,основание больше 1).
  Второй способ – применение метода интервалов.
  Третий способ основан на следующих простых утверждениях.
  
  

• 3 слайд

  Утверждение 1. Если числа p и q одного знака (т.е. pq>0), то и числа pr и qr
  одного знака; обратно, если числа pr и qr одного знака, то и числа p и q одного знака.
  
  
  Утверждение 1 означает, что если числа p и q одного знака, то неравенства
  
  pr >0 и qr>0 равносильны. Вместе с утверждением 2 это позволяет при решении логарифмических неравенств вида
  
  переходить (разумеется, записав необходимые ограничения) сначала к неравенству
  
  
  (где b – любое число, большее 1), а затем неравенству
  
  Таким образом, неравенство равносильно системе
  то числа
  одного знака.
  Утверждение 2. Если
  При необходимости такой переход можно сделать несколько раз. Описанный алгоритм справедлив и для неравенств противоположного знака и нестрогих неравенств. Кроме того, при решении логарифмических неравенств часто оказывается полезным и следующее утверждение.
  Утверждение 3. Если
  
  
  то числа
  одного знака.
  

• 4 слайд

  Сформулированные утверждения применимы к неравенствам, правая часть которых равна нулю, а левая представляет собой произведение или частное нескольких алгебраических множителей. В некоторых случаях такие множители можно заменить более простыми, имеющими те же знаки (точнее, те же промежутки знакопостоянства), что и заменяемые.
  
  Кроме указанных выше, к таким парам можно отнести следующие:
  (при условиях
  ),
  (при условии
  )
  
  1.Решите неравенство
  Решение.
  Последняя система легко решается методом интервалов.
  Ответ:
  

• 5 слайд

  2.Решите неравенство
  Решение.
  Ответ:
  

• 6 слайд

  3.Решите неравенство
  Решение.
  Ответ: (2; 3)
  

• 7 слайд

  4.Решите систему неравенств:
  Решение.
  1.Решим первое неравенство системы:
  2.Решим второе неравенство системы:
  Методом интервалов найдём решения:
  Поскольку
  получаем решение системы:
  Ответ:
  

• 8 слайд

  5.Решите неравенство
  Решение.
  Ответ:
  

• 9 слайд

  6.Решите систему неравенств
  Решение.
  1.
  Сделаем замену
  откуда находим решение первого неравенства системы:
  2.Решим второе неравенство системы. Рассмотрим два случая.
  Первый случай:
  Второй случай:
  Учитывая условие
  получаем
  Таким образом,
  3.Решение исходной системы неравенств:
  Ответ:
  

• 10 слайд

  7.Решите систему неравенств:
  Решение.
  1.Решим первое неравенство системы:
  Рассмотрим два случая.
  Первый случай:
  откуда
  Второй случай:
  откуда
  Решение первого неравенства исходной системы:
  2.Решим второе неравенство системы:
  Решение второго неравенства исходной системы:
  
  3.Решение исходной системы неравенств:
  Ответ:
  
  

• 11 слайд

  Литература
  1.Математика. Подготовка к ЕГЭ в 2014году. Диагностические работы.
  – М.: МЦНМО,2014. Библиотечка СтатГрад.
  2.Подготовка к ЕГЭ по математике 2014. Методические указания.
  Ященко И.В., Шестаков С.А., Трепалин А.С., Захаров П.И.- М.: МЦНМО, 2014.
  3.Математика. Тематическая подготовка к ЕГЭ. Ю.В. Садовничий -М.: Илекса, 2011
  ЕГЭ- 2014. Математика. Тематические задания и тренировочные варианты.
  Серия «ЕГЭ-2014. ФИПИ»
  4.Первое сентября. Газета «Математика», 2004.