Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Нестандартные приемы и методы решения неравенств
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Нестандартные приемы и методы решения неравенств

библиотека
материалов

Нестандартные приемы и методы решения неравенств.



Знание математики на хорошем уровне обуславливает умение решать задачи повышенной сложности. К ним, в частности, относятся задачи на решение или доказательство неравенств из таких разделов математики, как алгебра, тригонометрия, геометрия.

Приведенные в примерах решения и доказательства неравенств основаны на несколько необычных рассуждениях.

Пример 1. 

Пусть х13 + х23 + … + хn3 = 0,

где -1 ≤ х1 ≤ 1, -1 ≤ х2 ≤ 1, … , -1 ≤ хn ≤ 1.

Доказать, что -n/3 ≤ х1 + х2 + … + хn ≤ n/3.

Доказательство.

Так как -1 ≤ х1 ≤ 1, -1 ≤ х2 ≤ 1, …, -1 ≤ хn ≤ 1, то обозначим

х1 = cos a1, х2 = cos a2, … , хn = cos an.

Используя известное равенство cos 3a = 4cos3 a – 3cos a, можно записать

cos a = (4cos3 a – cos 3a)/3. В таком случае имеем

х1 + х2 + … + хn = cos a1 + cos a2 + … + cos an =

= 4/3(cos3 a1 + cos3 a2 + …  + cos3 an) – 1/3(cos 3a1 + cos 3a2 + … + 3cos an).

По условию х13 + х23 + … + хn3 =0, поэтому

cos3 a1 + cos3 a2 + …  + cos3 an = 0.В этой связи получаем равенство

х1 + х2 + … + хn = – 1/3(cos 3a1 + cos 3a2 + …  + cos 3an).

Однако, -1 ≤ cos 3a1 ≤ 1, -1 ≤ cos 3a2 ≤ 1, … , -1 ≤ cos 3an ≤ 1,

поэтому -n/3 ≤ – 1/3(cos 3a1 + cos 3a2 + …  + cos 3an) ≤ n/3,

а значит и -n/3 ≤ х1 + х2 + … + хn ≤ n/3.

Ответ: Получили требуемое утверждение.

Пример 2.

Доказать, что cos 43° < tg 43°.

Доказательство.

Рассмотрим вспомогательное неравенство

cos х < tg x, где 0° < х < 90°. Решая неравенство  cos х < tg x, получаем

cos2 х < sin x, sin2 x + sin x – 1 > 0 и sin x > (√5 – 1)/2.

Следовательно, доказательство исходного неравенства сводится к доказательству неравенства

sin 43° > (√5 – 1)/2.

Преобразуем полученное неравенство:

sin (45° – 2°) > (√5 – 1)/2;

2/2 · (cos 2° – sin 2°) > (√5 – 1)/2;

2 · (cos 2° – sin 2°) > √5 – 1;

2 · (cos 2° - sin 2°) > 6 – 2√5;

1 – 4sin 4° > 3 – √5 или sin 4° < √5 – 2.

Очевидно, что если доказать последнее неравенство, то тем самым будет доказано и исходное неравенство.

Далее воспользуемся известным неравенством sin х < х, где 0° < х < 90°.

Следовательно имеет место sin 4° < (2п/360) · 4 = п/45.

Отсюда следует, что для доказательства неравенства sin 4° < √5 – 2 достаточно показать, что п/45 < √5 – 2 или п + 90 < 45√5.

Поскольку п < 4 и √5 > 2,2, то неравенство п + 90 < 45√5 справедливо.

Отсюда следует и справедливость приведенных выше неравенств, в том числе и cos 43° < tg 43°.

Пример 3.

Доказать, что cos 2° > 44/45.

Доказательство.

Преобразуем требуемое неравенство как

cos (2°)2 > (44/45)2;

1 – cos (2°)2 < 1 – (44/45)2;

sin (2°)2 < (1 – 44/45) · (1 + 44/45) = 89/452.

Отсюда получаем неравенство sin 2° < √89/45.

Здесь воспользуемся известным неравенством 

sin х < х, где 0° < х < 90°.

Имеет место sin 2° < (2п/360) · 2 = п/90.

Значит,  для доказательства неравенства sin 2° < √89/45 достаточно показать, что п/90 < √89/45, то есть п < 2√89.

Поскольку п < 4, то неравенство п < 2√89 очевидно.

Отсюда следует и справедливость неравенства cos 2° > 44/45.

Пример 4.

Доказать неравенство а3 + b3 + 3abc > c3, где a, b и c – стороны треугольника.

Доказательство.

Поскольку a, b и c – стороны треугольника, то a + b > c.

Кроме того, для любых a и b справедливо неравенство а2 – ab + b2 > 0.

Используя приведенные выше неравенства, получаем

а3 + b3 + 3abc = (a + b)(а2 – ab + b2) + 3abc > с(а2 – ab + b2) + 3abc =

= с(а2 – ab + b2 + 3ab) = c(a + b)2 > c3.

Следовательно, неравенство а3 + b3 + 3abc > c3 доказано.

Пример 5.

Доказать, что для выпуклого четырехугольника со сторонами a, b, c, d имеет место неравенство 
S ≤ (a + c)/2 · (b + d)/2, где S – площадь четырехугольника.

Доказательство.

Пусть ABCD – искомый выпуклый четырехугольник со сторонами AB = a, BC = b, CD = c и AD = d.

Нетрудно видеть, что площадь S четырехугольника ABCD можно оценить сверху следующими двумя способами:

S = SABC + SACD = (a · b · sin B)/2 + (c · d · sin D)/2 ≤ (a · b)/2 + (c · d)/2 и

S = SABD + SBCD = (a · d · sin A)/2 + (b · c · sin C)/2 ≤ (a · d)/2 + (b · c)/2.

Отсюда получаем

2 · S ≤ (a · b)/2 + (c · d)/2 + (a · d)/2 + (b · c)/2 = (a + с)(b + d)/2.

Следовательно, неравенство  S ≤ (a + c)/2 · (b + d)/2 доказано.

 Если четырехугольник ABCD не является выпуклым, то, отражая стороны c и d относительно внешней диагонали, получим выпуклый четырехугольник площади S*, где S* > S. В этой связи можно рассматривать только выпуклые четырехугольники.



Владение нестандартными приемами решения и доказательства неравенств является одним из критериев выявления уровня знаний основных разделов школьной математики, а так же уровня развития  математического и логического мышления.

Умение решать задачи, особенно с использованием нестандартных методов, открывает так же большое число различных эвристических приемов общего характера, которые ценны для математического развития личности. Такие приемы могут быть применены в исследованиях и на любом другом математическом материале. Регулярная практика в решении задач играет большую роль в формировании логического мышления и математической культуры.



Автор
Дата добавления 12.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров119
Номер материала ДВ-522037
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх