Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Нестандартные способы решения иррациональных уравнений
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Нестандартные способы решения иррациональных уравнений

библиотека
материалов

Урок математики в 11-м классе по теме:

«Нестандартные методы решения иррациональных неравенств»


Гугучкина Татьяна Геннадьевна, учитель математики.


Цель урока


1. Познакомить учащихся с нестандартными методами решения иррациональных неравенств;

научить применять эти методы, уметь их классифицировать.

2. Развивать логическое мышление и интуицию при решение задач.

3. Воспитывать интерес к предмету, коллективизм и самоконтроль.

Оборудование.


1. Таблица с алгоритмом решения стандартных иррациональных неравенств.

2. Карточки - задания.

3. Задачи из сборников подготовки к ЕГЭ.

Ход урока


I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

III. Объяснение нового материала.

IV. Закрепление изученного материала.

V. Подведение итогов.

VI. Задание на дом.

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний.

Цель нашего урока познакомиться с нестандартными методами решения иррациональных неравенств, уметь классифицировать и применять их. Но мы сначала повторим основные моменты решения стандартных иррациональных неравенств. К доске вызываются два ученика для выполнения задания по карточкам. Два ученика выполнят тест, сидя за партой, а остальные выполняют устные задания.

1. Решение иррационального неравенства стандартного вида

1)hello_html_m12b7bb39.gif>0,


2)hello_html_m1d53b770.gif>2х + 3.

Эти неравенства взяты из заданий ЗФТШ, № 1 за 2012 – 2013 учебный год, 10-й класс.

2. Самостоятельная работа – тест.


Вариант 1 Вариант 2

1) Найти значение выражения


hello_html_m5284db46.gifhello_html_m3c7a91de.gif

А) 45 Г) 15 С) 75 Б) 50 Е) 81 Г) 75


2) Внести множитель под знак корня

вhello_html_m59c8c0fc.gif в < 0 аhello_html_1caef8ee.gif а < 0

Н) hello_html_3e036ca4.gif Е) hello_html_4bd29c90.gif Я) hello_html_m4396dd7d.gif К) hello_html_6a9426c.gif М) hello_html_m194764f9.gif Л) hello_html_2844601f.gif


3) Упростите выражение

hello_html_366ae50d.gif а > 0 hello_html_5287bb26.gif а > 0

О) 2а К) 0 Р) а К) 2а П) 0 М) 3


4) Сравните числа

hello_html_m37394f4d.gifhello_html_m57c6b828.gif
Н ) < Р) > С) = П) > М) = К) <


5) Решите уравнения


х4 – 1 = 0

К) 1 А) -1 и 1 Е) -1


6) Решите уравнение


hello_html_5f45d844.gif

К) -2 Л) 4; -4 С) 0


Ответы1) Г; 2) Е; 3) О; 4) Н Ответы: 1) Г; 2) И;3) П; 4) П; 5) А; 6) С.

3. Устная работа.


1) Упростите выражение.

а)hello_html_m2a69cb48.gif; б)hello_html_53b0261a.gif; в)hello_html_7ee13157.gif; г)hello_html_m709f217e.gif Ответы: а)hello_html_m7bcb7c90.gif; б)hello_html_2b56dc21.gif; в)hello_html_m76a6baf.gif; г)hello_html_5c1db5e2.gif, т.к. а<0


2) внести множитель под знак корня

а) hello_html_23c84ddb.gif; б)hello_html_m44d06373.gif; в)hello_html_5d41a307.gif; г)hello_html_1fb7463a.gif Ответы: а)hello_html_m26ede15d.gif; б)hello_html_mcc32436.gif; в)hello_html_m40f3d1e8.gif; г) а>0, hello_html_md9d36a4.gif

а<0, -hello_html_md9d36a4.gif

3) Решите уравнение

а)hello_html_m6c79f968.gif; б)hello_html_m7cdd426e.gif в)hello_html_ma85e7ca.gif

Ответы: а)1, -4; б) 2, 8 в) 1, т.к. -3,5 не удовлетворяет ОДЗ


г)hello_html_2ead90da.gif

Ответ: решения нет, так как при каждом допустимом значении переменной сумма двух не отрицательных чисел не может быть равна -2


д)hello_html_m9116a4c.gif

Ответ: решения нет, так как при всех допустимых значениях переменной, значение корня отрицательному числу равняться не может.


4) Решите неравенство.

а)hello_html_30b07c5d.gif< -1

Ответ: решения нет, так как по определениюhello_html_30b07c5d.gifнеотрицательное число, при всех допустимых значениях, меньше отрицательного быть не может.


б)hello_html_m3f9435be.gif> -8

Ответ: hello_html_145e10a2.gif


в)hello_html_20235eed.gif> -3

Ответ: hello_html_77d3952a.gif


III. Объяснение нового материала.


Нестандартные методы решения иррациональных неравенств не рассматриваются в школьном курсе алгебры и начал анализа. Мы познакомимся с методом рассуждения, методом оценки, метод интервалов.

1. Метод рассуждения

С помощью цепочки логических рассуждений приходим к более простому выражению, решение которого не требует усилий.

Рассуждаем с учителем.


Решим неравенство

hello_html_m6a7c24.gif

Решение

Так как по определению hello_html_m247fcf1a.gif неотрицательное число, при всех допустимых значениях х ≥ 0, то произведение двух множителей неотрицательно, когда hello_html_m7f06aa8f.gif принимает неотрицательные значения, то есть решением неравенства является промежуток hello_html_5b2dd2e5.gif.

Ответ: hello_html_5b2dd2e5.gif.

Выходят учащиеся к доске и решают неравенства.


а)hello_html_m30974509.gif<0.

Решение

Так как по определению hello_html_m3bd3e4e9.gif, при всех допустимых значениях х ≥ 1, то

х – 7 < 0, значит

hello_html_685e379a.gif

Ответ: hello_html_27cfb4fd.gif

б)hello_html_5a2739a5.gif

Эти неравенства взяты из заданий ЗФТШ, № 1 за 2012 – 2013 учебный год, 10-й класс.

2 Метод оценки.


Метод состоит в том, что оцениваются границы, в которых могут лежать значения выражений в каждой из частей неравенства.

Рассуждаем с учителем

hello_html_6b20caec.gif

Решение

В неравенстве присутствуют функции разного вида. Справа сумма квадратичной функции и квадратного корня, а в левой части тригонометрическая функция. Правая часть имеет смысл при у – х2 - 1≥0, то есть у>х2 +1, а х2+1≥1 следовательно у≥1, то есть hello_html_5fc7478a.gif, но ׀cos x׀ 1, при всех действительных значениях х выполняется неравенство hello_html_m18bffbcb.gif, поэтому неравенство наше может быть выполнено только если hello_html_m491b84fb.gif, то есть это выполняется при х = 0, у = 1.

Ответ: (0;1)

Это задание взято из вступительных тестов МГУ 2012.

Выходят учащиеся к доске и решают неравенства.

а) hello_html_m13212c84.gif.

Решение.

В неравенстве присутствуют функции разного вида, значит решим методом оценки. По определению hello_html_m247fcf1a.gif≥ 0, hello_html_m22d77a1f.gif≥ 1, а ׀cos x׀ 1, при всех допустимых значениях х ≥ 0 выполняется неравенство cos xhello_html_m22d77a1f.gif. Решение неравенства х ≥ 0.

Ответ: (0;+∞)

б) hello_html_5311b346.gif

Решение.

cos x ≤ 1. hello_html_4fdbc967.gif, но hello_html_76145f79.gif

Ответ: решений нет.

Это задание взято из вступительных тестов МГУ 2012.

3.Метод интервалов

Рассуждаем с учителем

Решим неравенство

а) hello_html_m795dd74.gif

Решение.

Рассмотрим функцию hello_html_m24a955de.gif. Область определения hello_html_m45cf7eb.gif, нуль функции 6. Функция на промежутках hello_html_1be5470a.gif определена, непрерывна и не обращается в нуль, поэтому сохраняет постоянный знак. Определим знак значение функции в каждом из интервалов: f(3)<0, f(11)>0. Значит решением неравенства является промежуток hello_html_2348e69b.gif

Ответ: hello_html_2348e69b.gif

Это же неравенство можно решить простым способом.

Решение.

ОДЗ: х – 2 ≥ 0, х ≥ 2

В области определения х может принимать положительные значения, значит hello_html_49f56eda.gif

Ответ: hello_html_2348e69b.gif

Выходит учащийся к доске и решает неравенство.

hello_html_7123744f.gif

Решение.

Учитывая, что hello_html_57083e97.gif при hello_html_m38bf18b7.gif, то hello_html_10da3f7.gif

Ответ: hello_html_6cf08cd9.gif.

4. Решите неравенство ,содержащее три и более корней


1) Решить неравенство.

hello_html_m523b982c.gif

Решение.

Обе части неравенства имеют смысл для тех и только тех значений х, которые удовлетворяют системе неравенств

hello_html_m567dfd63.gif

Легко видеть, что система имеет одно решение х = 5/2. Подстановкой в неравенство убеждаемся, что х = 5/2 является решением.

Ответ: 5/2.

2) hello_html_46111ebb.gif

Решение.

hello_html_46111ebb.gif

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

hello_html_m3d5b538b.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_de61f7e.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_61a1d33a.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_64a5cafa.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m2db70c44.gifhello_html_m292bead6.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m6a7c972.gif

Ответ: hello_html_m1c557ff8.gif.

V. Подведение итогов

Историческая справка

При выполнении теста у учащихся получились два имени: Геон и Гиппас. Их имена связаны с открытием иррациональных чисел. Открыв новый математический объект пифагорийцы пришли в замешательство. В основе всеобщей гармонии мира, считали они должны лежать целые числа и их отношения, ни каких других чисел они не знали. И вдруг эта гармония рушится – существуют величины, которые отношением целых чисел в принципе не являются. Они держали свое открытие в секрете. Гиппас из Метапонта разгласил людям «ужасную» тайну о существовании несоизмеримых величин. И небо покарало его, он утонул в море во время шторма.

VI. Задание на дом


1) hello_html_m51e4a2ea.gif, 3) hello_html_792c5e84.gif, 5)hello_html_m263662c0.gif.

2) hello_html_17074d18.gif, 4) hello_html_m3159b0ce.gif,














Литература

1. Задания ЗФТШ, № 1 за 2012 – 2013 учебный год, 10-й класс.

2. Сборник задач по математике. Под редакцией М.И. Сканави.

3. 3000 конкурсных задач по математике. Авторы: Е.Д. Куланин, В.П. Норин.

4. Решение задач методом оценки. Автор: А.А. Аксенов.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 27.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров497
Номер материала ДВ-014208
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх