КОНКУРС «NEXT» посвящен
систематизации и обобщению теоретических знаний. Каждая команда отвечает на
вопросы в течение 1,5 минут. Чем быстрее отвечают игроки, тем больше баллов они
наберут. Вопросы я задаю последовательно каждому участнику, если он не знает
ответа, то говорит «next» (следующий). За полный и правильный ответ 1балл. Если
команда не знает ответа, то заработать балл может другая команда.
Вопросы для команды____________
1.
Определение арифметической прогрессии.
2.
Это число называется…
3.
Обозначается…
4.
Как найти разность арифметической прогрессии.
5.
Формула п-го члена арифметической прогрессии.
6.
-2,-6,… -арифметическая прогрессия. d=?
7.
Назовите несколько следующих членов
8.
Составьте формулу п-го члена.
9.
Может ли нуль быть членом арифметической прогрессии?
А членом геометрической?
10.
Является ли 1,1,1,…арифметической прогрессией?
11.
S60 =68 , S59=65, a60
= ?
12.
Выразить 16-й член арифметической прогрессии
через пятый член и d.
13.
Сколько чисел, кратных 6, не превосходит
число 59?
Вопросы для команды _____________
1.
Определение геометрической прогрессии.
2.
Это число обозначается…
3.
Называется…
4.
Как найти знаменатель геометрической прогрессии.
5.
Формула п-го члена геометрической
прогрессии.
6.
-2,-6,… -геометрическая прогрессия. g=?
7.
Назовите несколько следующих членов данной
прогрессии.
8.
Составьте формулу п-го члена.
9.
Является ли последовательность 1,1,1,…геометрической
прогрессией. g = ?
10.
S15 – S14 = -3, в15
= ? (Слайд 1)
11.
Выразить 16-й член через пятый член и g.
12.
Какая это прогрессия 1, ½, ¼, 1/8,…
13.
Сколько чисел, кратных 6, не превосходит
число 59?
Что общего в двух определениях? Посмотрим на слайд 3.
Родство прогрессий еще заметней, если вспомнить их
характеристические свойства.
Вопросы для команды ______________
1.
Характеристическое свойство арифметической
прогрессии.
2.
Формула суммы п- первых членов арифметической
прогрессии.
3.
Вторая формула …
4.
…,2,…8,… - арифметическая прогрессия, a3
= ?
5.
d = ?
6.
a5 = ?
7.
a1 = ?
8.
S6 = ?
9.
В арифметической прогрессии d= -7. Какая это
прогрессия убывающая или возрастающая?
10.
Сколько всего четных двузначных чисел?
11.
Является ли последовательность хп
= арифметической? d= ?
12.
Сколько положительных членов в данной прогрессии
хп=24-5п?
13.
Найдите сумму натуральных чисел от 1 до 60.
Вопросы для команды______________
1.
Характеристическое свойство геометрической
прогрессии.
2.
Формула суммы п- первых членов
геометрической прогрессии.
3.
Продолжите фразу: геометрическая прогрессия
называется бесконечно убывающей, если…
4.
Формула суммы п- первых членов бесконечно
убывающей геом. прогрессии.
5.
…,2,…8,… -геометрическая прогрессия, в3 =
?
6.
g= ?
7.
в5 = ?
8.
в1 = ?
9.
Составьте формулу п-го члена для геометрической
прогрессии.
10.
Бактерия за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий
будет в пробирке через 3 сек?
11.
(Слайд 6) Определить вид прогрессий и
продолжить числовой ряд: 5; 5,5; 6; 6,5;…
12.
-9; -10,5; -12; -13,5;…
13.
6; 0,6; 0, 06,..
14.
-2,2; 4,4; -8,8;…
15.
3+а, 2а + 5; 3а + 7; …
16.
2с; 4с2; 8с2; …
Посмотрите на слайд (Слайд5): насколько похожи
характеристические свойства прогрессий (то, чем они различаются, выделено).
Итак, итоги за первый тур?
КОНКУРС «ДВА В ОДНОМ»
Объединим два конкурса «Расшифруй» и «Поименный». Вот
задание на этот тур: расшифровать любимое изречение Карла Гаусса (Слайд 7). Каждой
команде достается по два или по одному слову, которые мы затем сложим.
Команда, первая выполнившая задание, получит 5 баллов, вторая- 4 балла, и т. д.
Во время расшифровки некоторые участники могут заработать для команды
дополнительные очки (по 2 балла) по правилам «поименного конкурса». Т. е., координатор
команды указывает имя соперника и номер задания, который тот должен выполнить у
доски. А также можете обменяться карточками на «восстановление формул» (приложение2)
. Если вызванный участник решает неправильно, то ему может помочь команда, но в
этом случае она зарабатывает вместо 2 баллов только 1.
Итак, переверните листочки с заданиями и обменяйтесь
заданиями с соперниками (приложение 3).
Изрядно потрудившись, собрали вы слова
И поиск их был нами оценен.
Слова же следует теперь соединить,
В какую фразу можно их объединить? (Слайд 8) «Математика-царица наук, арифметика- … математики».
Какое слово пропущено? Координаторы проверяют «восстановленные формулы»
соперниками, подсчитывают баллы.
КОНКУРС - ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА.
Говорят все в жизни начинается с истории. И наш урок не исключение. Немного из
истории прогрессий. Что в переводе с латинского означает слово «прогресс»?
(движение вперед). Кто впервые доказал формулу суммы п- первых членов
арифметической прогрессии? (древнегреческий ученый Диофант, 3 век до нашей эры.
О нем говорили: «Он уйму всяких разрешил проблем: и засухи предсказывал, и
ливни, поистине его познанья дивны»)
1.
Портрет какого выдающегося математика
изображен? (Слайд 9) Он проявил блестящие математические способности
уже в школе. Однажды учитель предложил ученикам сложить вместе все числа от 1
до 100. Не успел учитель прочитать условие задачи, как он поднял руку:
«Готово!» Весь класс был поражен быстроте, с какой этот ученик произвел
подсчет. Как он считал?
ü Это
немецкий математик, астроном, физик Карл Фридрих Гаусс. При решении задачи он
заметил, что, если записать последовательность чисел сначала в порядке возрастания,
а затем в порядке убывания, то пары чисел, записанные одно под другим дают одно
и тоже число 101.Всего таких пар 100, поэтому, 101*100/2,т.к. записано
2последовательности.101*50=5050. Фактически он применил известную нам сейчас
формулу суммы членов арифметической прогрессии.
Учитель, задавший задачу был поражен: он понял, что в его
практике- это самый умный ученик. Какие еще открытия принадлежат этому ученому?
ü В 19
лет он нашел способ построения с помощью циркуля и линейки прав. 17-иугольника.
Этим своим первым открытием он очень гордился и завещал на своей надгробной
плите выгравировать прав. 17-угольник.
ü Гаусс
при помощи математических вычислений определил траекторию движения малой
планеты Цереры, которая располагалась вблизи Солнца и вскоре после того, как ее
открыли пропала в лучах Солнца.
2.
Из какого всемирно известного романа эти строки,
об одном его герое говорят: « не мог он ямба от хорея, как мы ни бились,
отличить». (Слайд10) Можно ли утверждать, что ямб и хорей-это тоже
прогрессия?
Речь идет о главном герое романа А.С.Пушкина « Евгений
Онегин». Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных
слогов стиха. Ямб - стихотворный размер с ударениями на четных слогах стиха
(мой дядя самых честных правил),т.е. ударными являются 2-ой,4-ый,6-ой,8-ой и т.
д. слоги. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым
членом 2 и с разностью, равной 2. Хорей- стихотворный размер с ударениями на
нечетных слогах стиха (Буря мглою небо кроет). Номера ударных слогов так же
образуют арифметическую прогрессию, но первый член равен1, а разность 2.
3.
С древних времен человечество умело применять
закономерности арифметической и геометрической прогрессий. В те времена ученые
знали о том, что если g >1, то члены геометрической прогрессии растут с невообразимой
быстротой. Об этом свидетельствует дошедшее до нас знаменитое предание о
создании шахмат (Слайд 11).
Инсценировка легенды. Существует
легенда о том, как индусский царь полюбил новую тогда игру «шахматы». Царь
решил наградить создателя этой игры. Позвал его в царский дворец и огласил
всему двору, что этот человек может загадать одно желание, которое будет
исполнено.
«Я индусский царь Шерам, научился игре в шахматы и
восхищен ее остроумием и разнообразием в ней положений. Я желаю достойно наградить
тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал. Назови любую награду,
которая тебя удовлетворит, и ты ее получишь».
«Повелитель, прикажи выдать мне за первую клетку
шахматной доски одно пшеничное зернышко».
«Только одно зернышко?» - спросил удивленный царь.
«Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать два
зернышка, за третью -4, за четвертую – 8, за пятую -16, и так до 64-й клетки.
Вот так выглядит мое маленькое желание»
Царь рассмеялся, он был очень рад. «Получил такую
интересную игру за такую невысокую плату, - подумал, - мне усмехается сегодня
удача».
«Согласен, - крикнул царь, - разложите здесь шахматы, и
пускай каждый из собравшихся здесь людей будет свидетелем нашего договора».
Изобретатель под смех придворных стал класть зернышки на
клетки шахматной доски 1…2…4…8… 16…32…64…128 зернышек. И вскоре смех перешел в
окрики недоумения. Маленькие кучки перерастали в маленькие мешочки, маленькие
мешочки в большие. Царь понял, что сделал непростительную ошибку. Он прервал
это зрелище и вызвал к себе самых лучших математиков. Счёты пошли в движение,
вычисления, сделанные наспех, записывались на доске. После длительного
замешательства, математики пришли к обоюдному согласию, что это количество
пшеницы, равное всей пшенице в мире, умноженному на 10! Если бы царю удалось
засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и
горы, и Арктику с Антарктидой, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться.
Царь прервал пересчитывание зернышек, положенных
создателю игры и сделал ему предложение, с которым трудно было не согласиться.
« Я понял мудрость твоего желания. Если ты согласишься
снять с меня данное тебе обещание, то получишь взамен обширное поместье с очень
плодородными полями». Изобретатель охотно принял это предложение. Все подняли
тост в его честь за его мудрость и проницательность. Он с удовольствием
переехал в свое новое поместье, где прожил много лет в достатке и радости.
4.
Древние задачи, известные сейчас, содержатся
и в старинном русском учебнике «Арифметика», составителем которого являлся
преподаватель Московской школы математических наук Леонтий Магницкий. Говорят Петр
1, часто беседовавший с ним о математике, говорил, что он так много знает, что
притягивает к себе как магнит, поэтому приказал ему называться Магницким. Вот
одна из задач (Слайд 11): «Некто продал лошадь за 150 рублей. Но
покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил ее продавцу,
говоря: «Нет мне выгоды покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не
стоит». Тогда продавец предложил другие условия: «Если, по-твоему, цена лошади
высока, то купи ее подковные гвозди, лошадь же получишь в придачу бесплатно.
Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего 1/4копейки, за
второй 1/2копейки, за третий-1копейку и т. д. Покупатель, соблазненный низкой
ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что
за гвозди придется уплатить не боллее10 руб.»
Всем предлагается заработать дополнительные баллы, решив
эту задачу. Ученик из 4-ой команды на закрытой доске готовит решение, и затем
комментирует.
Решение: Стоимость гвоздей –это последовательность чисел
¼,1/2,1,…- которая является геом. прогрессией, где а=1/4,g=2.У лошади 4
подковы по 6 гвоздей в каждой, значит всего 24 гвоздя. S24 =1/4(224 -1) =2-2
(224 -1)=222 -1/4=4194304коп,41943руб. Проторговался на 41 793руб.
КОНКУРС РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПРИМЕНЕНИЕ ПРОГРЕССИЙ.
Аристотель говорил «Ум заключается не столько в знании,
сколько в умении применять знания на деле». Сможете ли вы в реальной жизни
применить знание формул прогрессий? В этом конкурсе стоимость задания 3 балла.
Разрешена коллективная подготовка ответа. После обдумывания координатор
определяет, кто будет отвечать.
1. (С лайд 13) Рабочий выложил плитку следующим
образом: в первом ряду-3плитки, во втором -5 и т. д., увеличивая каждый ряд на
две плитки. Сколько всего плиток он выложит, когда закончит 7-ой ряд?
2.Каждое простейшее одноклеточное животное
инфузория-туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий будет
после 7-кратного деления?
3.На куб со стороной a поставили куб со стороной а/2, на
него куб со стороной а/4, затем куб со стороной а/8 и т. д. Найти высоту
получившейся фигуры.
4. При хранении бревен строевого леса их укладывают так,
как показано на рисунке. Сколько бревен находится в нижнем ряду, если всего в
одной кладке 120 бревен?
5.Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и
увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько
дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их
максимальной продолжительности 1ч12мин.?
6. Настенные русские часы с кукушкой устроены так, что
кукушка кукует по одному разу, когда часы показывают половину часа, и каждый
час столько раз, каково время от 1до12. Сколько раз прокукует кукушка за сутки?
Итак, подводим итоги: члены команды-победительницы получают
«5», те, кто на 2-ом месте- «4». Это призы за победу. И, кроме этого, все
получают оценки, исходя из набранных баллов.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Таблица оценивания «Применение
прогрессий»
КОМАНДА____________________
Фамилия
участника
|
Баллы
за
1
конкурс
|
Баллы
за
2
конкурс
|
Баллы
за
3
конкурс
|
Баллы
за
4конкурс
|
Всего
балл.
|
1.
|
|
|
|
|
|
2.
|
|
|
|
|
|
3.
|
|
|
|
|
|
4.
|
|
|
|
|
|
5.
|
|
|
|
|
|
6.
|
|
|
|
|
|
7.
|
|
|
|
|
|
Штрафные
балл.
|
|
|
|
|
|
Всего баллов
|
|
|
|
|
|
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
«Восстановите формулу»
|
Команда
|
Фамилия
ученика
|
Прогрессия
|
Арифметическая
|
Геометрическая
|
Определение
|
|
|
Формула
n
первых
членов
|
|
|
Сумма
n
первых
членов
|
|
|
Характеристическое
свойство
|
|
|
Проверил
|
Кол-во
баллов
|
|
|
|
|
|
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
КОМАНДА I _____________
1.
Найдите семнадцатый член арифметической прогрессии: 19, 15, …
2. Найдите сумму первых семнадцати
членов этой прогрессии.
3. Найдите сумму первых десяти членов
этой прогрессии.
4. ÷÷(bn) b1 = -16, q = 0,5 Найдите: b5 -?
5. S5 -?
6. -24, 12, -6, … - бесконечная геометрическая прогрессия.
Найдите ее сумму.
7. ÷(an): а3 = 11, а5 = 19 а4-?
8. S10 -?
9. Между числами -2 и -128 вставьте два числа так, чтобы получилась
геометрическая прогрессия. q -?
10. Найдите первый отрицательный член последовательности хn= 22-3n.
а
|
е
|
и
|
к
|
м
|
т
|
а
|
м
|
т
|
а
|
- 221
|
-1
|
210
|
4
|
-45
|
10
|
-16
|
-31
|
15
|
-2
|
КОМАНДА II _____________
1. ÷ (an) а1=
-18, d =3. Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии.
2. Найдите сумму первых двадцати трех членов этой
прогрессии.
3. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии:
4. ÷÷ (bn) b1 = -32, q = 0,5 Найдите:
b6 -?
5. S5 -?
6. -48, 24, -12, … - бесконечная геометрическая прогрессия. Найдите ее
сумму.
7. ÷÷ (bn) b2 = 6, b4 = 24, bn› 0.
Найдите: b3 -?
8. S8 -?
9. Между числами 1 и 64 вставьте два числа так, чтобы
получилась геометрическая прогрессия.
q -?
10. Найдите сумму -38+ (-33) + (-28) + (-23) +…+12
ц
|
а
|
а
|
и
|
к
|
н
|
р
|
у
|
ц
|
а
|
48
|
345
|
-32
|
-1
|
-143
|
12
|
-45
|
4
|
-62
|
765
|
КОМАНДА III ____________
1.
÷(an) а1=7, d =4. Найдите двадцатый
член арифметической прогрессии.
2.
Найдите сумму первых двадцати членов этой прогрессии.
3.
Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии
4.÷÷ (bn) b1 = 4, q = . Найдите: b7
-?
5.
S6 -?
6. Найдите первый член бесконечной геометрической
прогрессии, если S= 4 + 4, q =
7. ÷÷ (bn) b3=54, b5=6, bn› 0. Найдите:
b4-?
8.
b1-?
9.
S6 -?
10.Представьте
в виде обыкновенной дроби 0,(7).
а
|
е
|
и
|
к
|
м
|
а
|
т
|
р
|
и
|
ф
|
83
|
2√2
|
250
|
728
|
52(√3 +1)
|
7
9
|
18
|
900
|
486
|
108
|
КОМАНДА IV________________
1.
÷(an) а1= -8, d =2. Найдите
восемнадцатый член арифметической прогрессии.
2.
Найдите сумму первых восемнадцати членов этой прогрессии.
3.
Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.
4.
÷÷ (bn) b1=3, q = 2, bn
=96. Найдите: n -?
5.
S5 -?
6.
b 6=100, b8=9, bn› 0. Найдите:
b7-?
7. q-?
8.
Между числами 1/16 и 32 вставьте два числа так, чтобы они вместе с данными
числами составили геометрическую прогрессию. q -?
9.
Найдите сумму 90+80+70+…+(-60)
10.
Представьте в виде обыкновенной дроби 0,6(3).
и
|
а
|
е
|
и
|
к
|
м
|
м
|
а
|
т
|
т
|
8
|
162
|
6
|
19
30
|
240
|
26
|
93
|
30
|
10
|
0,3
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.