"Нестандартные способы решения квадратных уравнений" урок- исследование

Тема: «Нестандартные способы решения квадратных уравнений»

Актуальность темы: В процессе решения дробно-рациональных уравнений мы часто приходим к решению квадратных уравнений, которые встречаются и в алгебре, и в геометрии, и в физике. По программе 8 класса изучаются стандартные способы решения уравнений, но существуют и нестандартные способы решения квадратных уравнений, с которыми мы познакомимся  дополнительно.

Цель: Формирование способности учащихся к новому способу действия, расширение понятийной базы за счет введения понятия решение квадратных уравнений. Повторить стандартные и изучить нестандартные способы решения квадратных уравнений.

Задачи: 1. Вспомнить наиболее известные способы решения уравнений.

2. Изложить нестандартные способы решения уравнений.

 3. Сделать вывод.

Планируемые результаты УУД:

Личностные: решать квадратные уравнения;

Познавательные: выбирают и формулируют познавательную цель, выражают смысл ситуации с помощью различных примеров;

Регулятивные: самостоятельно формулируют познавательную цель и строят свои действия в соответствии с ней;

Коммуникативные: регулируют собственную деятельность посредством речевых действий;

Межпредметные связи: изучение алгебры, геометрии, физики;

Объект исследования: квадратные уравнения;

Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.

Создание проблемной ситуации:

1.Решим дробно-рациональное уравнение  В процессе решения мы приводим данное уравнение к линейному уравнению 3(х +4) = 6, где х ≠ - 4. Решив полученное уравнение, находим корень х = - 2.

2.Решим уравнение   Решая данное уравнение, мы приходим к квадратному уравнению х² – 7х + 12 = 0.

Рассмотрим различные способы решения квадратных уравнений:

1.1.Определение квадратного уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида ах² + вх + с = 0, где а, в, с – некоторые числа, причем, а ≠ 0.Числа а, в, с – коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число в – вторым коэффициентом и число с – свободным членом.

Квадратные уравнения могут быть полными и неполными. Полные квадратные уравнения – это уравнения, в которых коэффициентыв≠0, с≠0.

Пример: х² – 37х + 27 = 0; 12х² – 4х – 4 = 0.

Неполные квадратные уравнения: а)ах² + с = 0, где в = 0, с ≠ 0;

                                                            б)ах² + вх = 0, где в ≠ 0, с = 0;

                                                            в)ах² = 0, где в = 0, с = 0.

Пример: 4х² – 9 = 0;  2х² + 3х = 0;  9х² = 0.

1.2.Стандартные способы решения квадратных уравнений

1.2.1.Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена

Решим уравнение х² + 4х + 4 = 0. Применим формулу сокращенного умножения и получим уравнение (х + 2)² = 0, из которого легко находим корень уравнения х = - 2.

Решим уравнение 5х² – 4х – 1 = 0. Разделим обе части уравнения на 5, получим равносильное уравнение  Выделим из трехчлена квадрат  двучлена, для этого представим

в виде 2 ·   и получаем:  -  - = 0. Отсюда . Следовательно,  или  или    х = - 0,2 или х = 1.

1.2.2.Разложение левой части на множители

Решим уравнение х² + 10х – 24 = 0. Разложим левую часть на множители:

Х² + 12х – 2х – 24 = 0;  х(х + 12) – 2(х + 12) = 0;  (х + 12)(х –2) = 0;

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем корни уравнения х = - 12 и х = 2.

1.2.3.Решение квадратных уравнений по формулам

Решим уравнение 2х² + 3х + 1 = 0. Воспользуемся формулой дискриминанта D = b²– 4ac. Получаем D = 1, D>0, следовательно, уравнение имеет два корня. Находим корни по формуле x_1,2 = , х₁ = - 0,5 и х₂ = 1.

Решим уравнение 9х²+ 6х + 1 = 0. D = 0, следовательно, уравнение имеет один корень х =  .

Решим уравнение 2х² + х + 2 = 0. D = - 15, D<0, следовательно, уравнение не имеет корней.

Решим уравнение 5х² – 8х + 3 = 0. Применим формулу для четного второго коэффициента в = 2к: D₁ = k² – ac.D = 1. Найдем корни уравнения по формуле , х₁ = 1, х₂ = 0,6.

1.2.4.Решение квадратных уравнений, применяя теорему Виета

Уравнение ах² + вх + с = 0, где а = 1 называется приведенным квадратным уравнением. Запишем его в виде х² + рх + q = 0, тогда по теореме Виета

Решим уравнение х²+ 2х – 48 = 0. Воспользуемся теоремой Виета, отсюда подбором находим корни х₁ = 6, х₂ = - 8. Можно найти корни уравнения, применив формулу

. Тогда получим такие же корни.

1.3.Нестандартные способы решения квадратных уравнений

1.3.1.Решение с помощью свойств коэффициентов квадратного уравнения

Свойства коэффициентов квадратного уравнения помогают быстро и устно найти корни уравнения ах² + вх + с = 0.

·      Если а + в + с = 0, то х₁ = 1, х₂ = .

Решим уравнение х² + 3х – 4 = 0. Отсюда 1 + 3 +(- 4) = 0, следовательно, х₁ = 1, х₂ = - 4. Сделаем проверку по теореме Виета:

·      Если в = а + с, то х₁ = - 1, х₂ = .

Решим уравнение 3х² + 4х + 1 = 0. Тогда 4 = 3 + 1, отсюда х₁ = - 1, х₂ = - 3.

1.3.2.Способ «переброски»

При этом способе коэффициента умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему. Этот способ применяют при использовании теоремы Виета, когда дискриминант есть точный квадрат и а ± в + с ≠ 0.

Решим уравнение 3х² + 4х + 1 = 0:  3 + 4 + 1 ≠ 0, тогда х² + 4х + 3 = 0. С помощью теоремы Виета получаем корни уравнения х₁ = - 3, х₂ = - 1. Поделим полученные корни на 3, получаем х₁ = - 1, х₂ = .

1.3.3.Решение уравнения с помощью закономерности коэффициентов

·         Если в уравнении ах² +вх + с = 0 коэффициент в = (а² + 1), и коэффициент с = а, то корни уравнения ах² + (а² + 1)х + а = 0 равны х₁ = - а, х₂ = .

Решим уравнение 3х² + 10х + 3 = 0. Корни равны х₁ = - 3, х₂ = .

·         Если в уравнении ах² – вх + с = 0 коэффициент в = (а² + 1), и коэффициент с = а, то корни полученного уравнения ах² – (а² + 1)х + а = 0 равны х₁ = а, х₂ = .

Решим уравнение 5х² – 26х + 5 = 0. Тогда х₁ = 5, х₂ = .

·         Если в уравнении ах² + вх – с = 0 коэффициент в = (а² – 1), и коэффициент с = а, то корни уравнения ах² + (а² – 1)х – а = 0 равны х₁ = - а, х₂ = .

Решим уравнение 4х² + 15х – 4 = 0. Находим корни х₁ = - 4, х₂ = .

·         Если в уравнении ах² – вх – с = 0 коэффициент в = (а² – 1), и коэффициент с = а, то корни уравнения ах² – (а² – 1)х – а = 0 равны х₁ = а, х₂ = .

Решим уравнение 3х² – 8х – 3 = 0. Тогда корни равны х₁ = 3, х₂ =

   Кроме изученных способов решения квадратных уравнений существуют и другие способы:

·         Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

·         Исследование уравнения на промежутках действительной оси

·         Геометрический способ.

В процессе изучения нового материала учащиеся работают группами: сопоставляют уравнения и способы их решения; решают уравнения, делая проверки стандартными способами; находят выход из проблемной ситуации.

Рефлексия деятельности: решая уравнения разными способами, приходим к выводу, что одним из более рациональных способов решения квадратных уравнений является способ «переброски» коэффициента. Самым универсальным способом можно считать стандартный способ решения уравнений по формуле, т.к. данный способ позволяет решить любое уравнение. Помогают сэкономить время на экзаменах и контрольных работах свойство коэффициентов и теорема Виета.